Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, za šta su potrebne i kako svoje znanje iskoristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Ovdje se nema šta objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno obložiti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni "brojanjem prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​“eksponencijalnosti”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u računanju Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: izbrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadrirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte da izračunate koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki vaš milion se udvostruči na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalnih brojeva... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalnih brojeva. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, svodivi razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako indikator zapišemo drugačije, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobijamo sljedeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Preuredimo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kakav bi trebao biti index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, pravilo 3 bi se moglo primijeniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjanjem samo jednog nedostatka koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je pre čisto matematički objekat koji su matematičari stvorili da prošire koncept stepena na čitav prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

Pa šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, za šta su potrebne i kako svoje znanje iskoristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Ovdje se nema šta objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno obložiti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni "brojanjem prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​“eksponencijalnosti”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u računanju Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: izbrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadrirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte da izračunate koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki vaš milion se udvostruči na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalnih brojeva... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalnih brojeva. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, svodivi razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako indikator zapišemo drugačije, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobijamo sljedeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Preuredimo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kakav bi trebao biti index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, pravilo 3 bi se moglo primijeniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjanjem samo jednog nedostatka koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je pre čisto matematički objekat koji su matematičari stvorili da prošire koncept stepena na čitav prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

Pa šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije:čas generalizacije i sistematizacije znanja

Ciljevi:

obrazovni– ponoviti definiciju stepena, pravila za množenje i dijeljenje stupnjeva, podizanje stepena na stepen, učvrstiti vještine rješavanja primjera koji sadrže stepene,

razvoj– razvoj logičkog mišljenja učenika, interesovanje za gradivo koje se proučava,

podizanje– negovanje odgovornog odnosa prema učenju, kulture komunikacije i osjećaja za kolektivizam.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, interaktivna tabla, prezentacija „Stepenja“ za mentalno računanje, kartice sa zadacima, materijali.

Plan lekcije:

Organiziranje vremena.

Ponavljanje pravila

Verbalno brojanje.

Istorijska referenca.

Radite za odborom.

Minut fizičkog vaspitanja.

Rad na interaktivnoj tabli.

Samostalan rad.

Zadaća.

Sumiranje lekcije.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Prenesite temu i ciljeve lekcije.

U prethodnim lekcijama otkrili ste prekrasan svijet moći, naučili kako umnožiti i podijeliti moći i podići ih u moći. Danas moramo konsolidovati stečena znanja rješavanjem primjera.

II. Ponavljanje pravila(usmeno)

1. Dajte definiciju stepena sa prirodnim eksponentom? (Moć broja A sa prirodnim eksponentom većim od 1 naziva se proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak A.)
2. Kako pomnožiti dva stepena? (Da biste pomnožili stepene sa istim bazama, morate ostaviti bazu istu i dodati eksponente.)
3. Kako podijeliti stepen po stepen? (Da biste podijelili potencije sa istim bazama, morate ostaviti bazu istu i oduzeti eksponente.)
4. Kako podići proizvod na snagu? (Da biste proizvod podigli na stepen, morate svaki faktor podići na tu potenciju)
5. Kako podići diplomu na moć? (Da biste stepen podigli na stepen, morate ostaviti bazu istu i pomnožiti eksponente)

III. Verbalno brojanje(preko multimedije)

IV. Istorijska referenca

Svi problemi su iz Ahmesovog papirusa, koji je napisan oko 1650. godine prije Krista. e. vezano za građevinsku praksu, razgraničenje zemljišnih parcela i sl. Zadaci su grupisani po temama. To su uglavnom zadaci za pronalaženje površina trougla, četvorougla i kruga, razne operacije sa celim brojevima i razlomcima, proporcionalno dijeljenje, nalaženje omjera, tu je i dizanje na različite stepene, rješavanje jednačina prvog i drugog stepena sa jednom nepoznatom.

Postoji potpuni nedostatak bilo kakvog objašnjenja ili dokaza. Željeni rezultat se ili daje direktno ili se daje kratak algoritam za njegovo izračunavanje. Ovakav način predstavljanja, tipičan za nauku u zemljama drevnog istoka, sugeriše da se tamošnja matematika razvijala putem generalizacija i nagađanja koja nisu formirala nikakvu opštu teoriju. Međutim, papirus sadrži brojne dokaze da su egipatski matematičari znali kako izvući korijene i podići na stepene, riješiti jednačine, pa čak i savladati rudimente algebre.

V. Rad za odborom

Pronađite značenje izraza na racionalan način:

Izračunajte vrijednost izraza:



VI. Minut fizičkog vaspitanja

6. za oči
7. za vrat
8. za ruke
9. za torzo
10. za noge

VII. Rješavanje problema(sa prikazom na interaktivnoj tabli)

Da li je korijen jednadžbe pozitivan broj?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Formule snaga i korijena.

Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a Kada:



Operacije sa stepenom.

1. Množenjem stepeni sa istom osnovom, dodaju se njihovi indikatori:

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:



3. Stepen proizvoda 2 ili više faktora jednak je proizvodu stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

5. Kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe:

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:



3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:



4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalan broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:



5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:



Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:



Formula a m :a n =a m - n može se koristiti ne samo za m > n, ali i sa m 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Za formulu a m :a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli sa nultim eksponentom jednaka je jedan.

Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n-. stepen od m-ti stepen ovog broja A:



Formule stepena.

6. a — n = - podjela stepena;

7. - podjela stepena;

8. a 1/n = ;

Stepeni pravila djelovanja sa stupnjevima

1. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stupnjeva ovih faktora (sa istim eksponentom):

(abc…) n = a n b n c n …

Primjer 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Primjer 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

U praksi je važnija obrnuta konverzija:

a n b n c n … = (abc…) n

one. proizvod identičnih snaga nekoliko veličina jednak je istoj snazi ​​proizvoda ovih veličina.

Primjer 3. Primjer 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Potencija količnika (razlomka) jednaka je količniku dijeljenja istog stepena djelitelja istim potencijom:

Primjer 5. Primjer 6.

Reverzna konverzija:. Primjer 7. . Primjer 8. .

3. Prilikom množenja stupnjeva sa istim bazama, eksponenti stupnjeva se sabiraju:

Primjer 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Primjer 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Prilikom dijeljenja potencija sa istim osnovama, eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende

Primjer 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Primjer 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe:

Primjer 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Primjer 14.

www.maths.yfa1.ru

Moći i korijeni

Operacije s moćima i korijenima. Stepen sa negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju značenje.

Operacije sa stepenom.

1. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju:

a m · a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi eksponenti se odbijaju .



3. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stepena ovih faktora.

4. Stepen omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva dividende (brojnik) i djelitelja (imenik):

(a/b) n = a n / b n .

5. Kada se stepen diže na stepen, njihovi eksponenti se množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvršavaju u oba smjera s lijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:



3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići na ovaj stepen radikalni broj:



4. Ako povećate stepen korijena za m puta i istovremeno podignete radikalni broj na m-tu potenciju, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:



5. Ako smanjite stepen korijena za m puta i istovremeno izvučete m-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:




Proširivanje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim eksponentima; ali operacije sa moćima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I razlomak indikatori. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:



Sada formula a m : a n = a m - n može se koristiti ne samo za m, više nego n, ali i sa m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bilo pošteno kada m = n, potrebna nam je definicija stepena nula.

Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule sa eksponentom nula je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podignuli realni broj a na stepen m / n, morate izdvojiti n-ti korijen m-tog stepena ovog broja a:



O izrazima koji nemaju značenje. Postoji nekoliko takvih izraza.

Gdje a ≠ 0 , ne postoji.

U stvari, ako to pretpostavimo x je određeni broj, onda u skladu sa definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

U stvari, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ova jednakost se javlja kada bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.



Rješenje Razmotrimo tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu

2) kada x> 0 dobijamo: x/x= 1, tj. 1 = 1, što znači

Šta x– bilo koji broj; ali uzimajući u obzir to u

u našem slučaju x> 0, odgovor je x > 0 ;

Svojstva stepena

Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stepeni sa prirodnim pokazateljima i nulom. Potencijama sa racionalnim eksponentima i njihovim svojstvima biće reči u lekcijama za 8. razred.

Potencija s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja nam omogućavaju da pojednostavimo proračune u primjerima sa potencijama.

Nekretnina br. 1
Proizvod moći

Prilikom množenja potencija sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.

a m · a n = a m + n, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo moći također se primjenjuje na proizvod tri ili više potencija.

• Pojednostavite izraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Predstavite to kao diplomu.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Predstavite to kao diplomu.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju potencija sa istim bazama. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5. Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina br. 2
Djelomične diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

• Zapišite količnik kao stepen
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Izračunati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo količnika.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva eksponenata.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli ovlasti sa istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina br. 3
Podizanje stepena na stepen

Prilikom podizanja stepena na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m = a n · m, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.

Primjer.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Primjer. Izrazite 3 20 kao stepen sa osnovom 3 2.

Svojstvom podizanja stepena na stepen Poznato je da kada se podigne na stepen, eksponenti se množe, što znači:

Svojstva 4
Snaga proizvoda

Kada se snaga podigne na snagu proizvoda, svaki faktor se podiže na tu snagu i rezultati se množe.

(a b) n = a n b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi; "n" je bilo koji prirodan broj.

• Primjer 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Primjer 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n)= (a b) n

To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze, ali ostavite eksponent nepromijenjen.

• Primjer. Izračunati.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Primjer. Izračunati.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U složenijim primjerima, mogu postojati slučajevi u kojima se množenje i dijeljenje moraju izvršiti nad potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer podizanja decimale na stepen.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Moć količnika (razlomka)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.

(a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n - bilo koji prirodan broj.

• Primjer. Predstavite izraz kao količnik stepena.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Vrsta lekcije:čas generalizacije i sistematizacije znanja

Ciljevi:

• obrazovni– ponoviti definiciju stepena, pravila za množenje i dijeljenje stupnjeva, podizanje stepena na stepen, učvrstiti vještine rješavanja primjera koji sadrže stepene,
• razvoj– razvoj logičkog mišljenja učenika, interesovanje za gradivo koje se proučava,
• podizanje– negovanje odgovornog odnosa prema učenju, kulture komunikacije i osjećaja za kolektivizam.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, interaktivna tabla, prezentacija „Stepeni“ za mentalno računanje, kartice sa zadacima, materijali.

Plan lekcije:

1. Organiziranje vremena.
2. Ponavljanje pravila
3. Verbalno brojanje.
4. Istorijska referenca.
5. Radite za odborom.
6. Minut fizičkog vaspitanja.
7. Rad na interaktivnoj tabli.
8. Samostalan rad.
9. Zadaća.
10. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Prenesite temu i ciljeve lekcije.

U prethodnim lekcijama otkrili ste prekrasan svijet moći, naučili kako umnožiti i podijeliti moći i podići ih u moći. Danas moramo konsolidovati stečena znanja rješavanjem primjera.

II. Ponavljanje pravila(usmeno)

1. Dajte definiciju stepena sa prirodnim eksponentom? (Moć broja A sa prirodnim eksponentom većim od 1 naziva se proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak A.)
2. Kako pomnožiti dva stepena? (Da biste pomnožili stepene sa istim bazama, morate ostaviti bazu istu i dodati eksponente.)
3. Kako podijeliti stepen po stepen? (Da biste podijelili potencije sa istim bazama, morate ostaviti bazu istu i oduzeti eksponente.)
4. Kako podići proizvod na snagu? (Da biste proizvod podigli na stepen, morate svaki faktor podići na tu potenciju)
5. Kako podići diplomu na moć? (Da biste stepen podigli na stepen, morate ostaviti bazu istu i pomnožiti eksponente)

III. Verbalno brojanje(preko multimedije)

IV. Istorijska referenca

Svi problemi su iz Ahmesovog papirusa, koji je napisan oko 1650. godine prije Krista. e. vezano za građevinsku praksu, razgraničenje zemljišnih parcela i sl. Zadaci su grupisani po temama. To su uglavnom zadaci za pronalaženje površina trougla, četvorougla i kruga, razne operacije sa celim brojevima i razlomcima, proporcionalno dijeljenje, nalaženje omjera, tu je i dizanje na različite stepene, rješavanje jednačina prvog i drugog stepena sa jednom nepoznatom.

Postoji potpuni nedostatak bilo kakvog objašnjenja ili dokaza. Željeni rezultat se ili daje direktno ili se daje kratak algoritam za njegovo izračunavanje. Ovakav način predstavljanja, tipičan za nauku u zemljama drevnog istoka, sugeriše da se tamošnja matematika razvijala putem generalizacija i nagađanja koja nisu formirala nikakvu opštu teoriju. Međutim, papirus sadrži brojne dokaze da su egipatski matematičari znali kako izvući korijene i podići na stepene, riješiti jednačine, pa čak i savladati rudimente algebre.

V. Rad za odborom

Pronađite značenje izraza na racionalan način:

Izračunajte vrijednost izraza:

VI. Minut fizičkog vaspitanja

1. za oči
2. za vrat
3. za ruke
4. za torzo
5. za noge

VII. Rješavanje problema(sa prikazom na interaktivnoj tabli)

Da li je korijen jednadžbe pozitivan broj?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Samostalan rad

IX. Zadaća

X. Sumiranje lekcije

Analiza rezultata, objavljivanje ocjena.

Stečena znanja o diplomama koristićemo pri rješavanju jednačina i zadataka u srednjoj školi, često se nalaze i na Jedinstvenom državnom ispitu.

I. Posao n faktora, od kojih je svaki jednak A pozvao n-ti stepen broja A i određen je An.

Primjeri. Napišite proizvod kao stepen.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Rješenje.

1) mmmm=m 4, budući da je, po definiciji stepena, proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak m, će četvrti stepen od m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Radnja kojom se pronađe proizvod nekoliko jednakih faktora naziva se eksponencijalnost. Broj koji je podignut na stepen naziva se baza stepena. Broj koji pokazuje na koji stepen je baza podignuta naziva se eksponent. dakle, An- stepen, A– osnovu diplome, n– eksponent. Na primjer:

2 3 — to je diploma. Broj 2 je baza stepena, eksponent je jednak 3 . Vrijednost stepena 2 3 jednaki 8, jer 2 3 =2·2·2=8.

Primjeri. Napišite sljedeće izraze bez eksponenta.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Rješenje.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. i 0 =1 Bilo koji broj (osim nule) na nultu potenciju jednak je jedan. Na primjer, 25 0 =1.
IV. a 1 =aBilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi.

V. a m∙ a n= a m + n Prilikom množenja stepena sa istim bazama, baza se ostavlja ista, a eksponenti presavijeni

Primjeri. Pojednostavite:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Rješenje.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nPrilikom dijeljenja potencija sa istim bazama, baza se ostavlja ista, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Primjeri. Pojednostavite:

12) a 8:a 3 ; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m) n= a mn Kada se stepen diže na stepen, baza se ostavlja ista, a eksponenti se množe.

Primjeri. Pojednostavite:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Bilješka, što, budući da se proizvod ne mijenja preraspoređivanjem faktora, To:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Kada se proizvod podiže na stepen, svaki od faktora se podiže na taj stepen.

Primjeri. Pojednostavite:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Rješenje.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Kada se razlomak podiže na stepen, i brojnik i imenilac razlomka se podižu na taj stepen.

Primjeri. Pojednostavite:

Rješenje.

Stranica 1 od 1 1