Direktna proporcionalna zavisnost. §36 Modeliranje zavisnosti između veličina

Regresiona analiza

Obrada eksperimentalnih rezultata metodom

Kada se proučavaju procesi funkcionisanja složenih sistema, mora se pozabaviti nizom slučajnih varijabli koje istovremeno deluju. Da bismo razumeli mehanizam pojava, uzročno-posledične veze između elemenata sistema itd., na osnovu dobijenih zapažanja, pokušavamo da uspostavimo odnose između ovih veličina.

U matematičkoj analizi, ovisnost, na primjer, između dvije veličine izražava se konceptom funkcije

gdje svaka vrijednost jedne varijable odgovara samo jednoj vrijednosti druge. Ova zavisnost se zove funkcionalan.

Situacija sa konceptom zavisnosti slučajnih varijabli je mnogo komplikovanija. U pravilu, između slučajnih varijabli (slučajnih faktora) koje određuju funkcioniranje složenih sistema obično postoji takva veza u kojoj se promjenom jedne vrijednosti mijenja distribucija druge. Ova veza se zove stohastički, ili vjerovatnoća. U ovom slučaju, veličina promjene slučajnog faktora Y, što odgovara promjeni vrijednosti X, može se podijeliti na dvije komponente. Prvi se odnosi na ovisnost. Y od X, a drugi sa uticajem „vlastitih“ slučajnih komponenti Y I X. Ako nedostaje prva komponenta, onda slučajne varijable Y I X su nezavisni. Ako nedostaje druga komponenta, onda Y I X funkcionalno zavise. Ako su prisutne obje komponente, odnos između njih određuje snagu ili bliskost veze između slučajnih varijabli Y I X.

Postoje različiti indikatori koji karakterišu određene aspekte stohastičkog odnosa. Dakle, linearni odnos između slučajnih varijabli X I Y određuje koeficijent korelacije.

gdje su matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y.

– standardne devijacije slučajnih varijabli X I Y.

Linearna probabilistička zavisnost slučajnih varijabli je da kada se jedna slučajna varijabla povećava, druga teži porastu (ili smanjenju) prema linearnom zakonu. Ako su slučajne varijable X I Y povezani su strogom linearnom funkcionalnom zavisnošću, npr.

y=b 0 +b 1 x 1,

tada će koeficijent korelacije biti jednak ; a znak odgovara predznaku koeficijenta b 1.Ako vrijednosti X I Y su povezani proizvoljnom stohastičkom zavisnošću, tada će koeficijent korelacije varirati unutar

Treba naglasiti da je za nezavisne slučajne varijable koeficijent korelacije nula. Međutim, koeficijent korelacije kao indikator zavisnosti između slučajnih varijabli ima ozbiljne nedostatke. Prvo, iz jednakosti r= 0 ne implicira nezavisnost slučajnih varijabli X I Y(osim slučajnih varijabli koje podliježu normalnom zakonu distribucije, za koje r= 0 znači istovremeno odsustvo bilo kakve zavisnosti). Drugo, ekstremne vrijednosti također nisu od velike koristi, jer ne odgovaraju ni jednoj funkcionalnoj ovisnosti, već samo strogo linearnoj.

Potpuni opis zavisnosti Y od X, i, štaviše, izraženo u egzaktnim funkcionalnim odnosima, može se dobiti poznavanjem funkcije uslovne distribucije.

Treba napomenuti da se u ovom slučaju jedna od posmatranih varijabli smatra neslučajnom. Istovremenim fiksiranjem vrijednosti dvije slučajne varijable X I Y, kada uporedimo njihove vrijednosti, sve greške možemo pripisati samo vrijednosti Y. Dakle, greška posmatranja će se sastojati od sopstvene slučajne greške veličine Y i iz greške poređenja koja nastaje zbog činjenice da sa vrijednošću Y nije potpuno ista vrijednost koja se poredi X koja se zaista i dogodila.

Međutim, pronalaženje funkcije uvjetne distribucije, po pravilu, ispada kao vrlo težak zadatak. Najlakši način da se istraži odnos između X I Y sa normalnom distribucijom Y, budući da je potpuno određen matematičkim očekivanjem i varijansom. U ovom slučaju, za opisivanje zavisnosti Y od X nema potrebe za izgradnjom funkcije uslovne distribucije, već samo naznačite kako kada mijenjate parametar X matematičko očekivanje i varijansu promjene količine Y.

Dakle, dolazimo do potrebe da pronađemo samo dvije funkcije:

(3.2)

Zavisnost od uslovne varijance D iz parametra X se zove školski zavisnosti. Karakterizira promjenu točnosti tehnike promatranja kada se parametar promijeni i koristi se prilično rijetko.

Zavisnost uslovnog matematičkog očekivanja M od X se zove regresija, daje pravu zavisnost veličina X I U, bez svih nasumičnih slojeva. Stoga je idealan cilj svakog proučavanja zavisnih varijabli pronalaženje regresijske jednačine, a varijansa se koristi samo za procjenu tačnosti dobivenog rezultata.

Ovisnost jedne slučajne varijable o vrijednostima koje pretpostavlja druga slučajna varijabla (fizička karakteristika) obično se u statistici naziva regresijom. Ako se ovoj zavisnosti da analitički oblik, onda je ovaj oblik reprezentacije predstavljen regresijskom jednadžbom.

Procedura za pronalaženje navodne veze između različitih numeričkih skupova obično uključuje sljedeće korake:

utvrđivanje značaja povezanosti između njih;

mogućnost predstavljanja ove zavisnosti u obliku matematičkog izraza (regresiona jednačina).

Prva faza ove statističke analize odnosi se na identifikaciju takozvane korelacije, odnosno korelacione zavisnosti. Korelacija se smatra znakom koji ukazuje na odnos brojnih nizova. Drugim riječima, korelacija karakterizira snagu odnosa u podacima. Ako se radi o odnosu između dva numerička niza xi i yi, onda se takva korelacija naziva uparna.

Prilikom traženja korelacione zavisnosti, verovatna veza između jedne merene vrednosti x (za neki ograničeni opseg njene promene, na primer, od x1 do xn) sa drugom izmerenom vrednošću y (također varira u nekom intervalu y1 ... yn) je obično otkriveno. U ovom slučaju radit ćemo sa dva numerička niza, između kojih moramo utvrditi postojanje statističke (korelacijske) veze. U ovoj fazi, zadatak još nije utvrditi da li je jedna od ovih slučajnih varijabli funkcija, a druga argument. Pronalaženje kvantitativnog odnosa između njih u obliku specifičnog analitičkog izraza y = f(x) je zadatak za drugu analizu, regresiju.

Međutim, korelaciona analiza nam omogućava da zaključimo snagu veze između parova podataka x i y, dok se regresiona analiza koristi za predviđanje jedne varijable (y) na osnovu druge (x). Drugim riječima, u ovom slučaju pokušavaju identificirati uzročno-posljedičnu vezu između analiziranih populacija.

Strogo govoreći, uobičajeno je razlikovati dvije vrste veza između brojčanih skupova - to može biti funkcionalna ovisnost ili statistička (slučajna). U prisustvu funkcionalne veze, svaka vrijednost faktora utjecaja (argumenta) odgovara strogo definiranoj vrijednosti drugog indikatora (funkcije), ᴛ.ᴇ. promjena rezultantne karakteristike je u potpunosti određena djelovanjem faktorske karakteristike.

Analitički, funkcionalna ovisnost je predstavljena u sljedećem obliku: y = f(x).

U slučaju statističke veze, vrijednost jednog faktora odgovara nekoj približnoj vrijednosti parametra koji se proučava, njegova tačna vrijednost je nepredvidiva, nepredvidiva, pa se rezultirajući indikatori ispostavljaju kao slučajne varijable. To znači da je promjena efektivnog atributa y posljedica utjecaja faktorskog atributa x samo djelimično, jer moguć je i uticaj drugih faktora čiji je doprinos označen kao ê: y = f(x) + ê.

Po svojoj prirodi, korelacione veze su korelativne veze. Primjer korelacije između pokazatelja komercijalne aktivnosti je, na primjer, zavisnost iznosa troškova distribucije od obima trgovinskog prometa. U tom smislu, pored faktorske karakteristike x (obim prometa), na efektivnu karakteristiku y (iznos troškova distribucije) utiču i drugi faktori, uključujući i neobračunate, koji generišu doprinos ê.

Za kvantificiranje postojanja veze između proučavanih skupova slučajnih varijabli koristi se poseban statistički indikator - koeficijent korelacije r.

Ako se pretpostavi da se ovaj odnos može opisati linearnom jednačinom tipa y=a+bx (gdje su a i b konstante), tada je uobičajeno govoriti o postojanju linearne korelacije.

Koeficijent r je bezdimenzionalna veličina i može varirati od 0 do ±1. Što je vrijednost koeficijenta bliža jedinici (bez obzira na koji predznak), to se sigurnije može reći da postoji linearna veza između dva skupa varijabli koja se razmatraju. Drugim riječima, vrijednost bilo koje od ovih slučajnih varijabli (y) značajno zavisi od vrijednosti druge (x).

Ako se pokaže da je r = 1 (ili -1), onda se javlja klasični slučaj čisto funkcionalne zavisnosti (ᴛ.ᴇ. ostvaruje se idealan odnos).

Kada se analizira dvodimenzionalni dijagram raspršenja, mogu se pronaći različiti odnosi. Najjednostavnija opcija je linearni odnos, koji se izražava u činjenici da su tačke postavljene nasumično duž prave linije. Dijagram pokazuje nedostatak odnosa ako su tačke locirane nasumično i ne može se otkriti nagib (bilo gore ili dolje) pri kretanju s lijeva na desno.

Ako su tačke na njemu grupisane duž zakrivljene linije, onda dijagram raspršenja karakteriše nelinearni odnos. Takve situacije su sasvim moguće

Sažetak časa informatike i IKT u 11. razredu

Samarin Aleksandar Aleksandrovič, nastavnik informatike u Srednjoj školi Savinskaya, selo Savino, Ivanovska oblast.
Predmet:"Modeliranje zavisnosti između količina."
Opis materijala: Ovaj sažetak lekcije će biti od koristi nastavnicima informatike i IKT koji realizuju opšteobrazovne programe u 11. razredu. Tokom časa učenici se upoznaju sa matematičkim modeliranjem i metodama za modeliranje veličina. Ova lekcija je uvodna u temu “Tehnologije informacionog modeliranja”.
Cilj: stvaranje uslova da deca steknu znanja iz matematičkog modeliranja i ojačaju svoje veštine u Microsoft Excel-u.
Zadaci:
- razvijaju znanja o matematičkom modeliranju;
- konsolidovati veštine u Microsoft Excel-u.
Planirani rezultati:
Predmet:
- formiraju ideje o matematičkom modeliranju;
- formirati ideje o metodama funkcionalnog, tabelarnog i grafičkog modeliranja.
metasubjekt:
- razvijanje vještina i sposobnosti korištenja informaciono-komunikacionih tehnologija za izradu tabelarnih i grafičkih modela;
- razviti vještine racionalne upotrebe raspoloživih alata.
Lični:
- shvatiti ulogu fundamentalnog znanja kao osnove savremenih informacionih tehnologija.
Tokom nastave:
Organizacioni momenat i ažuriranje znanja
Učitelj:„Zdravo momci. Danas počinjemo novu veliku temu “Tehnologije informacionog modeliranja”. Ali prvo, hajde da zapišemo domaći § 36, pripremimo pitanja 1.3 usmeno, pitanje br. 2 pismeno u svesci.” Domaći zadatak se projektuje na ekran.
Djeca otvaraju svoje dnevnike i zapisuju zadatak. Nastavnik objašnjava domaći zadatak.
Učitelj:“Momci, hajde da se prisjetimo šta su “model”, “simulacija”, “računarsko modeliranje”. Slajd „Hajde da se prisjetimo“ se projektuje na ekran.
djeca:“Model je zamjenski objekt koji, pod određenim uvjetima, može zamijeniti originalni objekt. Model reproducira svojstva i karakteristike originala koji nas zanimaju.
Modeliranje je konstrukcija modela dizajniranih za proučavanje i proučavanje objekata, procesa ili pojava.
Kompjutersko modeliranje je modeliranje implementirano uz pomoć kompjuterske tehnologije.”
Učitelj:„Šta mislite da je matematičko modeliranje? Šta to predstavlja?
djeca:“Ovo su modeli napravljeni korištenjem matematičkih formula.”
Učitelj:“Navedite primjere matematičkog modela.”
Djeca daju primjere raznih formula.
Učitelj:“Pogledajmo primjer. Primjeri se projektuju na ekran.
“Vrijeme pada tijela zavisi od njegove početne visine. Učestalost bronhijalne astme među stanovnicima grada ovisi o koncentraciji štetnih nečistoća u gradskom zraku.” Slajd pokazuje zavisnost nekih veličina od drugih. Tema naše današnje lekcije je “Modeliranje zavisnosti između veličina”. Tema lekcije “Modeliranje zavisnosti između veličina” se projektuje na ekran.
Djeca zapisuju temu u svesku.
Učenje novog gradiva
Učitelj:„Da biste implementirali matematički model na računaru, morate savladati tehnike predstavljanja zavisnosti između veličina. Pogledajmo različite metode predstavljanja zavisnosti. Svako istraživanje mora započeti identifikacijom kvantitativnih karakteristika objekta koji se proučava. Takve karakteristike se nazivaju količine. Definicija "količine" se projektuje na ekran.
Prisjetimo se koja tri osnovna svojstva ima veličina?
djeca:"Ime, vrijednost, tip"
Učitelj:„Tačno. Ime količine može biti semantičko ili simbolično. Na primjer, "vrijeme" je semantičko ime, a "t" je simboličko ime. Ljudi, dajte primjere semantičkih i simboličkih imena.” Vrste imena i njihovi primjeri se projektuju na ekranu.
Primjeri djece.
Učitelj:“Ako se vrijednost neke količine ne mijenja, onda se ona naziva konstantnom količinom ili konstantom. Primjer konstante je brzina svjetlosti u vakuumu – c = 2,998*10^8m/s. Vrijednosti se projektuju na ekran.
Koje stalne količine vi znate?”
Odgovori djece.
Učitelj:Šta mislite da je varijabla?
Odgovori djece.
Učitelj: Dakle, promenljiva količina je veličina čija se vrednost može promeniti. Na primjer, u opisivanju procesa pada tijela, promjenljive veličine su visina H i vrijeme pada t.
Treće svojstvo veličine je njen tip. Tip definira skup vrijednosti koje vrijednost može uzeti. Osnovne vrste vrijednosti: numeričke, simboličke, logičke. Razmotrićemo količine numeričkog tipa. Glavne vrste veličina se projektuju na ekran.
Sada se vratimo na, na primjer, tijelo koje pada na tlo. Označimo sve varijabilne veličine i naznačimo njihove dimenzije (dimenzije određuju jedinice u kojima su predstavljene vrijednosti veličina). Dakle, t (s) je vrijeme pada, N (m) je visina pada. Prikazaćemo zavisnost, zanemarujući otpor vazduha; ubrzanje slobodnog pada g (m/s2) smatrat će se konstantom. U ovom primjeru, odnos između veličina je potpuno definiran: vrijednost H jednoznačno određuje vrijednost t. Primjer 1 se projektuje na platno.
Sada pogledajmo pobliže primjer o učestalosti bronhijalne astme među stanovnicima grada. Zagađenje vazduha ćemo karakterisati koncentracijom nečistoća - C (mg/m2), stopom incidencije - brojem hronično obolelih od astme na 1000 stanovnika datog grada - P (pacijenata/hiljadu). U ovom primjeru odnos između vrijednosti je složeniji, jer s istim nivoom zagađenja u različitim mjesecima u istom gradu, stopa incidencije može biti različita, jer na nju utiču i drugi faktori. Primjer 2 se projektuje na platno.
Razmatrajući ova dva primjera, zaključujemo da je u prvom primjeru ovisnost funkcionalna, au drugom nije. Ako se odnos između veličina može predstaviti u matematičkom obliku, onda imamo matematički model. Izlaz se projektuje na ekran.
Matematički model je skup kvantitativnih karakteristika određenog objekta (procesa) i veza između njih, predstavljenih jezikom matematike. Prvi primjer odražava fizički zakon. Ova zavisnost je osnovna. U složenijim problemima, matematički modeli su predstavljeni kao jednačina ili sistemi jednačina. U drugom primjeru, ovisnost se može predstaviti ne u funkcionalnom obliku, već u drugom (ovo ćemo razmotriti u sljedećim lekcijama). Projektovano na ekran, što odražava Primer 1.
Razmotrimo primjer padajućeg tijela u tabelarnom i grafičkom obliku. Provjerimo eksperimentalno (u tabelarnom i grafičkom obliku) zakon univerzalnog pada tijela. Bacat ćemo čeličnu kuglu sa visine od šest metara, 9 metara i tako dalje (nakon 3 metra), mjereći početnu visinu lopte i vrijeme pada. Na osnovu rezultata napravićemo tabelu i nacrtati grafikon. Grafikon i tabela primjera 1 se projektuju na ekran.
Ako se svaki par vrijednosti H i t iz ove tablice zamijeni u formulu za prvi primjer, tada će se formula pretvoriti u jednakost. To znači da model radi dobro.
U ovom primjeru razmatraju se tri metode modeliranja veličina: funkcionalna (formula), tabelarna i grafička; međutim, samo formula se može nazvati matematičkim modelom procesa. Metode modeliranja se projektuju na ekran.
Ljudi, koja je po vama najuniverzalnija metoda modeliranja? Pitanje se projektuje na ekran.
Formula je univerzalnija; omogućava vam da odredite vrijeme pada tijela s bilo koje visine; Imajući formulu, možete lako kreirati tabelu i nacrtati grafikon.
Informacioni modeli koji opisuju razvoj sistema tokom vremena nazivaju se dinamički modeli. U fizici, dinamički modeli opisuju kretanje tijela, u biologiji – razvoj organizama ili životinjskih populacija, u hemiji – tok kemijskih reakcija, itd.”
Minut fizičkog vaspitanja
Učitelj:„Sada da se odmorimo malo. Momci, udobno sedite na stolicu, opustite se, ispravite ramena, savijte leđa, protegnite se, okrenite glavu, "okačite noge". Sada, bez okretanja glave, pogledajte desno, lijevo, gore, dolje. Sada pazi na pokrete moje ruke.” Učitelj pomiče ruku u različitim smjerovima.
Praktičan rad
Učitelj:“Momci, sada ćemo stečeno znanje učvrstiti praktičnim radom na računaru.” Zadatak za praktični rad se projektuje na platno.
Vježbajte
Konstruisati tabelarne i grafičke zavisnosti brzine od vremena
v=v0+a*t, ako je poznato da je pri t = 2 s v = 8 m/s. Početna brzina v0 je 2 m/s.
Momci završavaju zadatak u Microsoft Excel-u. Posao se tada verifikuje. Tačan odgovor na praktični rad se projektuje na ekranu.
Refleksija i sumiranje
Učitelj:„Momci, šta ste danas novo naučili? Šta ti je bilo teško? Na koje ste teškoće nailazili tokom izvođenja praktičnog rada? Refleksija se projektuje na ekran.
Odgovori djece.
Učitelj:“Hvala vam za vaš rad na času. Zbogom".