Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Osjećate li da ima još dosta vremena do ispita? Je li ovo mjesec? Dva? Godina? Praksa pokazuje da se student najbolje nosi sa ispitom ako se za njega počne pripremati unaprijed. Mnogo je teških zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu koji stoje na putu školarcima i budućim kandidatima do najviših bodova. Morate naučiti da savladate ove prepreke, a osim toga, to nije teško učiniti. Morate razumjeti princip rada s raznim zadacima iz tiketa. Tada neće biti problema sa novima.

Logaritmi na prvi pogled izgledaju nevjerovatno složeni, ali uz detaljnu analizu situacija postaje mnogo jednostavnija. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa najvećim rezultatom, trebali biste razumjeti koncept o kojem je riječ, što je ono što predlažemo da uradite u ovom članku.

Prvo, razdvojimo ove definicije. Šta je logaritam (log)? Ovo je pokazatelj snage do koje se baza mora podići da bi se dobio navedeni broj. Ako nije jasno, pogledajmo elementarni primjer.

U ovom slučaju, baza na dnu mora biti podignuta na drugi stepen da se dobije broj 4.

Pogledajmo sada drugi koncept. Izvod funkcije u bilo kojem obliku je koncept koji karakterizira promjenu funkcije u datoj tački. Međutim, ovo je školski program i ako imate problema s ovim pojmovima pojedinačno, vrijedi ponoviti temu.

Derivat logaritma

U zadacima objedinjenog državnog ispita na ovu temu možete dati nekoliko zadataka kao primjer. Za početak, najjednostavniji logaritamski izvod. Potrebno je pronaći derivaciju sljedeće funkcije.

Moramo pronaći sljedeći izvod

Postoji posebna formula.

U ovom slučaju x=u, log3x=v. Vrijednosti iz naše funkcije zamjenjujemo u formulu.

Derivat od x će biti jednak jedan. Logaritam je malo teži. Ali ćete razumjeti princip ako jednostavno zamijenite vrijednosti. Podsjetimo da je izvod lg x izvod decimalnog logaritma, a izvod ln x derivacija prirodnog logaritma (zasnovan na e).

Sada jednostavno uključite rezultirajuće vrijednosti u formulu. Probajte sami, a onda ćemo provjeriti odgovor.

Šta bi nekima ovdje mogao biti problem? Uveli smo koncept prirodnog logaritma. Razgovarajmo o tome, a u isto vrijeme smislimo kako riješiti probleme s tim. Nećete vidjeti ništa komplikovano, pogotovo kada shvatite princip njegovog rada. Trebalo bi da se naviknete na to, jer se često koristi u matematici (a još više u visokoškolskim ustanovama).

Derivat prirodnog logaritma

U svojoj osnovi, to je izvod logaritma na osnovu e (što je iracionalan broj koji je približno 2,7). U stvari, ln je vrlo jednostavan, pa se često koristi u matematici općenito. Zapravo, ni rješavanje problema s njim neće biti problem. Vrijedi zapamtiti da će derivacija prirodnog logaritma prema bazi e biti jednaka jedinici podijeljenoj sa x. Rješenje sljedećeg primjera će biti najotkrivenije.

Zamislimo je kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije jednostavne.

Dovoljno je pretvoriti

Tražimo derivaciju od u u odnosu na x

Prilikom razlikovanja eksponencijalnih funkcija stepena ili glomaznih frakcijskih izraza, zgodno je koristiti logaritamski izvod. U ovom članku ćemo pogledati primjere njegove primjene s detaljnim rješenjima.

Dalje izlaganje pretpostavlja sposobnost korištenja tablice izvoda, pravila diferencijacije i poznavanje formule za izvod kompleksne funkcije.

Derivacija formule za logaritamski izvod.

Prvo, uzimamo logaritme u bazu e, pojednostavljujemo oblik funkcije koristeći svojstva logaritma, a zatim pronalazimo izvod implicitno specificirane funkcije:

Na primjer, pronađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena x na stepen x.

Uzimanje logaritma daje . Prema svojstvima logaritma. Razlikovanje obe strane jednakosti dovodi do rezultata:

odgovor: .

Isti primjer se može riješiti bez korištenja logaritamskog izvoda. Možete izvršiti neke transformacije i prijeći od diferenciranja eksponencijalne funkcije snage na pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Primjer.

Pronađite izvod funkcije .

Rješenje.

U ovom primjeru funkcija je razlomak i njegov izvod se može naći korištenjem pravila diferencijacije. Ali zbog glomaznosti izraza, ovo će zahtijevati mnoge transformacije. U takvim slučajevima razumnije je koristiti formulu logaritamskog izvoda . Zašto? Sada ćeš razumjeti.

Hajde da ga prvo pronađemo. U transformacijama ćemo koristiti svojstva logaritma (logaritam razlomka jednak je razlici logaritama, a logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama, a stepen izraza pod znakom logaritma može biti uzeti kao koeficijent ispred logaritma):

Ove transformacije su nas dovele do prilično jednostavnog izraza, čiji je derivat lako pronaći:

Dobijeni rezultat zamjenjujemo u formulu za logaritamski izvod i dobivamo odgovor:

Da bismo konsolidirali materijal, navest ćemo još nekoliko primjera bez detaljnih objašnjenja.

Primjer.

Pronađite izvod eksponencijalne funkcije snage

Derivat prirodnog logaritma od x jednak je jedinici podijeljenoj sa x:
(1) (ln x)′ =.

Derivat logaritma prema bazi a jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom x pomnoženom prirodnim logaritmom a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jednom. Razmotrimo funkciju koja zavisi od varijable x, što je logaritam bazi:
.
Ova funkcija je definirana na . Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to uradili moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
IN) Značenje druge izuzetne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstva (4) i (5).

.

Koristimo svojstvo (7) i drugu izuzetnu granicu (8):
.

I na kraju, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e pozvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Onda ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za izvod logaritma.

Derivat prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za izvod logaritma na bazu a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji , . Onda
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi i drugim granama matematike vezanim za diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti prirodnim logaritmom korištenjem svojstva (6):
.

Derivat logaritma u odnosu na bazu može se naći iz formule (1), ako se iz predznaka diferencijacije uzme konstanta:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za izvod eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju. Inverzna funkcija prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov izvod je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x sa y:
.
Od tada
.
Onda
.
Formula je dokazana.

Sada dokazujemo formulu za izvod prirodnog logaritma koristeći pravila za razlikovanje složenih funkcija. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Hajde da razlikujemo ovu jednačinu s obzirom na varijablu x:
(10) .
Derivat od x je jednak jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija:
.
Evo. Zamijenimo u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite derivate od u 2x, U 3x I lnnx.

Rješenje

Originalne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = log nx. Zatim zamjenjujemo n = 2 i n = 3. I, tako, dobijamo formule za izvode od U 2x I U 3x .

Dakle, tražimo derivaciju funkcije
y = log nx .
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije u zavisnosti od varijable: ;
2) Funkcije ovisno o varijabli: .
Tada se originalna funkcija sastoji od funkcija i:
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.
Evo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne zavisi od n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo originalnu funkciju koristeći formulu za logaritam proizvoda:
.
- ovo je konstanta. Njegov izvod je nula. Tada, prema pravilu diferencijacije sume, imamo:
.

Odgovori

; ; .

Derivat logaritma modula x

Nađimo derivaciju druge vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Hajde da razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov izvod je određen formulom (1):
.

Sada razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali smo također pronašli derivaciju ove funkcije u primjeru iznad. Ne zavisi od n i jednako je
.
Onda
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivati ​​višeg reda prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njen derivat prvog reda:
(13) .

Nađimo derivat drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da derivat n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da , onda kada je n = 1 , formula (14) je važeća.

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da to implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Zaista, za n = k imamo:
.
Diferencirati s obzirom na varijablu x:

.
pa smo dobili:
.
Ova formula se poklapa sa formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Prema tome, formula (14), za izvod n-tog reda, vrijedi za bilo koje n.

Derivati ​​viših redova logaritma prema bazi a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na osnovu a, morate ga izraziti prirodnim logaritmom:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-ti izvod:
.

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da unapređujemo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav „Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, moraćete vrlo često da pravite razliku, a nije uvek zgodno (i nije uvek neophodno) detaljno opisivati ​​primere. Stoga ćemo vježbati usmeno pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema najčešće nije potreban takav detaljan zapis, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za dovršetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih razumijete (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za razlikovanje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite derivaciju kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja .

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? moguće je – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje u uzorku je riješeno pomoću prve metode.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate bilježnicu, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što više "razbiti" logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste biti u stanju da se nosite s njim samouvjereno.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, ima li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od “x”. Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu da bismo to uradili, stavljamo oba dela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od primjera predavanja o kojem se raspravlja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora - "x" i "logaritam logaritma x" (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :