Antiderivat funkcije u općem obliku. Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Ova lekcija je prva u nizu video zapisa o integraciji. U njemu ćemo analizirati šta je antiderivat funkcije, a takođe ćemo proučiti elementarne metode izračunavanja ovih antiderivata.

Zapravo, ovdje nema ništa komplikovano: u suštini sve se svodi na koncept derivata, koji bi vam već trebao biti poznat. :)

Odmah ću napomenuti da pošto je ovo prva lekcija u našoj novoj temi, danas neće biti složenih proračuna i formula, ali ono što ćemo danas naučiti činit će osnovu za mnogo složenije proračune i konstrukcije pri izračunavanju složenih integrala i površina .

Osim toga, kada počinjemo izučavati integraciju i posebno integrale, implicitno pretpostavljamo da je student već barem upoznat s konceptima derivacija i ima barem osnovne vještine u njihovom izračunavanju. Bez jasnog razumijevanja ovoga, nema apsolutno ništa da se radi u integraciji.

Međutim, ovdje se krije jedan od najčešćih i podmuklih problema. Činjenica je da, kada počnu računati svoje prve antiderivate, mnogi učenici ih brkaju s izvedenicama. Kao rezultat toga, prave se glupe i uvredljive greške tokom ispita i samostalnog rada.

Stoga, sada neću dati jasnu definiciju antiderivata. Zauzvrat, predlažem da vidite kako se izračunava koristeći jednostavan specifičan primjer.

Šta je antideritiv i kako se izračunava?

Znamo ovu formulu:

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ova derivacija se izračunava jednostavno:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pogledajmo pažljivo rezultirajući izraz i izrazimo $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]

Ali možemo to napisati na ovaj način, prema definiciji derivata:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]

A sada pažnja: ono što smo upravo napisali je definicija antiderivata. Ali da biste to ispravno napisali, morate napisati sljedeće:

Zapišimo sljedeći izraz na isti način:

Ako generaliziramo ovo pravilo, možemo izvesti sljedeću formulu:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sada možemo formulisati jasnu definiciju.

Antiderivat funkcije je funkcija čiji je izvod jednak originalnoj funkciji.

Pitanja o antiderivativnoj funkciji

Čini se da je to prilično jednostavna i razumljiva definicija. Međutim, nakon što ga čuje, pažljiv učenik će odmah imati nekoliko pitanja:

1. Recimo, u redu, ova formula je tačna. Međutim, u ovom slučaju, sa $n=1$, imamo problema: “nula” se pojavljuje u nazivniku i ne možemo dijeliti sa “nula”.
2. Formula je ograničena samo na stepene. Kako izračunati antiderivativ, na primjer, sinusa, kosinusa i bilo koje druge trigonometrije, kao i konstante.
3. Egzistencijalno pitanje: da li je uvijek moguće pronaći antiderivat? Ako da, onda šta je sa antiderivatom zbira, razlike, proizvoda, itd.?

Odgovorit ću odmah na posljednje pitanje. Nažalost, antiderivat se, za razliku od derivata, ne uzima uvijek u obzir. Ne postoji univerzalna formula po kojoj ćemo iz bilo koje početne konstrukcije dobiti funkciju koja će biti jednaka ovoj sličnoj konstrukciji. Što se tiče moći i konstanti, o tome ćemo sada.

Rješavanje problema sa funkcijama napajanja

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kao što vidite, ova formula za $((x)^(-1))$ ne radi. Postavlja se pitanje: šta onda funkcioniše? Zar ne možemo izbrojati $((x)^(-1))$? Naravno da možemo. Hajde da prvo zapamtimo ovo:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sada razmislimo: derivacija čije je funkcije jednaka $\frac(1)(x)$. Očigledno, svaki student koji je barem malo proučavao ovu temu zapamtit će da je ovaj izraz jednak derivatu prirodnog logaritma:

\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Stoga sa sigurnošću možemo napisati sljedeće:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Morate znati ovu formulu, baš kao izvod funkcije stepena.

Dakle, šta mi znamo o tome ovog trenutka:

• Za funkciju stepena - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Za konstantu - $=const\to \cdot x$
• Poseban slučaj funkcije stepena je $\frac(1)(x)\to \ln x$

A ako počnemo množiti i dijeliti najjednostavnije funkcije, kako onda možemo izračunati antiderivat proizvoda ili količnika. Nažalost, analogije s derivatom proizvoda ili količnika ovdje ne funkcioniraju. Ne postoji standardna formula. Za neke slučajeve postoje škakljive posebne formule - s njima ćemo se upoznati u budućim video lekcijama.

Međutim, zapamtite: ne postoji opća formula slična formuli za izračunavanje derivata količnika i proizvoda.

Rješavanje stvarnih problema

Zadatak br. 1

Izračunajmo svaku od funkcija snage zasebno:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Vraćajući se našem izrazu, pišemo opštu konstrukciju:

Problem br. 2

Kao što sam već rekao, prototipovi radova i pojedinosti „do tačke“ se ne razmatraju. Međutim, ovdje možete učiniti sljedeće:

Razlomak smo razbili na zbir dva razlomka.

Hajde da izračunamo:

Dobra vijest je da, poznavajući formule za izračunavanje antiderivata, već možete izračunati složenije strukture. Ipak, idemo dalje i još malo proširimo svoje znanje. Činjenica je da se mnoge konstrukcije i izrazi, koji na prvi pogled nemaju nikakve veze sa $((x)^(n))$, mogu predstaviti kao stepen sa racionalnim eksponentom, i to:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Sve ove tehnike se mogu i trebaju kombinovati. Izrazi moći mogu biti

• pomnožiti (stepeni dodati);
• podijeliti (stepeni se oduzimaju);
• pomnožiti sa konstantom;
• itd.

Rješavanje izraza stepena s racionalnim eksponentom

Primjer #1

Izračunajmo svaki korijen posebno:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Ukupno, cjelokupna naša konstrukcija se može napisati na sljedeći način:

Primjer br. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \desno))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Stoga dobijamo:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Ukupno, skupljajući sve u jedan izraz, možemo napisati:

Primjer br. 3

Za početak, napominjemo da smo već izračunali $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Prepišimo:

Nadam se da neću nikoga iznenaditi ako kažem da su ono što smo upravo proučavali samo najjednostavniji proračuni antiderivata, najelementarnije konstrukcije. Pogledajmo sada malo složenije primjere, u kojima ćete, osim tabelarnih antiderivata, morati zapamtiti i školski program, odnosno skraćene formule za množenje.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak br. 1

Prisjetimo se formule za kvadratnu razliku:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepišimo našu funkciju:

Sada moramo pronaći prototip takve funkcije:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Stavimo sve zajedno u zajednički dizajn:

Problem br. 2

U ovom slučaju, moramo proširiti kocku razlike. prisjetimo se:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Uzimajući u obzir ovu činjenicu, možemo to napisati ovako:

Transformirajmo malo našu funkciju:

Računamo kao i uvijek - za svaki termin posebno:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Napišimo rezultujuću konstrukciju:

Problem br. 3

Na vrhu imamo kvadrat zbira, proširimo ga:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napišimo konačno rješenje:

Sada pažnja! Vrlo važna stvar, koja je povezana s lavovskim udjelom grešaka i nesporazuma. Činjenica je da do sada, računajući antiderivate koristeći derivate i donoseći transformacije, nismo razmišljali o tome čemu je jednak izvod konstante. Ali derivacija konstante je jednaka "nuli". To znači da možete napisati sljedeće opcije:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ovo je vrlo važno razumjeti: ako je izvod funkcije uvijek isti, tada ista funkcija ima beskonačan broj antiderivata. Možemo jednostavno dodati bilo koje konstantne brojeve našim antiderivima i dobiti nove.

Nije slučajno da je u objašnjenju problema koje smo upravo riješili pisalo “Zapiši opći oblik antiderivata”. One. Već unaprijed se pretpostavlja da ne postoji jedan od njih, već čitavo mnoštvo. Ali, u stvari, razlikuju se samo po konstanti $C$ na kraju. Stoga ćemo u našim zadacima ispravljati ono što nismo završili.

Još jednom prepisujemo naše konstrukcije:

U takvim slučajevima, trebate dodati da je $C$ konstanta - $C=const$.

U našoj drugoj funkciji dobijamo sljedeću konstrukciju:

I posljednja:

I sada smo zaista dobili ono što se od nas tražilo u prvobitnom stanju problema.

Rješavanje problema nalaženja antiderivata sa datom tačkom

Sada kada znamo za konstante i posebnosti pisanja antiderivata, sasvim je logično da nastaje sljedeći tip problema kada se iz skupa svih antiderivata traži da se pronađe jedan jedini koji bi prošao kroz datu tačku. . Šta je ovo zadatak?

Činjenica je da se svi antiderivati ​​date funkcije razlikuju samo po tome što su vertikalno pomaknuti za određeni broj. A to znači da bez obzira koju tačku na koordinatnoj ravni zauzmemo, jedan antiderivat će sigurno proći, i štaviše, samo jedan.

Dakle, problemi koje ćemo sada riješiti formulirani su na sljedeći način: ne samo pronaći antiderivativ, znajući formulu originalne funkcije, već odabrati upravo onu koja prolazi kroz datu tačku, čije će koordinate biti date u zadatku izjava.

Primjer #1

Prvo, hajde da jednostavno prebrojimo svaki pojam:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Sada zamjenjujemo ove izraze u našu konstrukciju:

Ova funkcija mora proći kroz tačku $M\left(-1;4 \right)$. Šta znači da prolazi kroz tačku? To znači da ako umjesto $x$ svugdje stavimo $-1$, a umjesto $F\left(x \right)$ - $-4$, onda bismo trebali dobiti ispravnu numeričku jednakost. Uradimo ovo:

Vidimo da imamo jednačinu za $C$, pa hajde da je pokušamo riješiti:

Hajde da zapišemo rešenje koje smo tražili:

Primjer br. 2

Prije svega, potrebno je otkriti kvadrat razlike koristeći skraćenu formulu množenja:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Originalna konstrukcija će biti napisana na sljedeći način:

Sada pronađimo $C$: zamijenimo koordinate tačke $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Izražavamo $C$:

Ostaje da prikažemo konačni izraz:

Rješavanje trigonometrijskih zadataka

Kao konačan dodir onoga o čemu smo upravo razgovarali, predlažem da razmotrimo dva složenija problema koji uključuju trigonometriju. U njima ćete, na isti način, morati pronaći antiderivate za sve funkcije, a zatim iz ovog skupa odabrati jedinu koja prolazi kroz tačku $M$ na koordinatnoj ravni.

Gledajući unaprijed, želio bih napomenuti da je tehnika koju ćemo sada koristiti za pronalaženje antiderivata trigonometrijskih funkcija, zapravo, univerzalna tehnika za samotestiranje.

Zadatak br. 1

Prisjetimo se sljedeće formule:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na osnovu ovoga možemo napisati:

Zamenimo koordinate tačke $M$ u naš izraz:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Prepišimo izraz uzimajući u obzir ovu činjenicu:

Problem br. 2

Ovo će biti malo teže. Sad ćeš vidjeti zašto.

Prisjetimo se ove formule:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Da biste se riješili "minusa", trebate učiniti sljedeće:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Evo našeg dizajna

Zamenimo koordinate tačke $M$:

Ukupno zapisujemo konačnu konstrukciju:

To je sve o čemu sam ti danas htio reći. Proučavali smo sam pojam antiderivata, kako ih izračunati iz elementarnih funkcija, kao i kako pronaći antiderivat koji prolazi kroz određenu tačku na koordinatnoj ravni.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da barem malo shvatite ovu složenu temu. U svakom slučaju, na antiderivama se konstruišu neodređeni i neodređeni integrali, pa ih je apsolutno neophodno izračunati. To je sve za mene. Vidimo se opet!

Vidjeli smo da derivat ima brojne namjene: izvod je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); derivacija je nagib tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali u stvarnom životu moramo rješavati i inverzne probleme: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, susrećemo se i s problemom vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom u = tg. Pronađite zakon kretanja.

Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). To znači da za rješavanje problema morate odabrati funkcija s = s(t), čiji je izvod jednak tg. Nije teško to pogoditi

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Otkrili smo da, zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koju funkciju oblika proizvoljna konstanta može poslužiti kao zakon kretanja, jer

Da bismo zadatak učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakosti dobijamo s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan:
U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena i izmišljaju se posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i uzimanje kvadratnog korijena sinusa (sinh) i arcsinus(arcsin x) itd. Proces nalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije - integracija.
Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnom životu“: funkcija y - f(x) „rađa“ novu funkciju y"= f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj” , ali matematičari ga, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač”; oni kažu da je ovo, u odnosu na funkciju y"=f"(x), primarna slika, ili, u ukratko, antiderivativ.

Definicija 1. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na datom intervalu X ako za sve x iz X vrijedi jednakost F"(x)=f(x).

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Evo nekoliko primjera:

1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer je za sve x tačna jednakost (x 2)" = 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivativna za funkciju y-3x 2, jer je za sve x tačna jednakost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkcija y-sinh je antiderivativna za funkciju y = cosx, jer je za sve x tačna jednakost (sinx)" = cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer je za sve x > 0 jednakost tačna
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.

Nadamo se da razumete kako je ova tabela sastavljena: derivacija funkcije, koja je napisana u drugom stupcu, jednaka je funkciji koja je napisana u odgovarajućem redu prve kolone (provjerite, ne budite lijeni, veoma je korisno). Na primjer, za funkciju y = x 5 antiderivat je, kao što ćete ustanoviti, funkcija (pogledajte četvrti red tabele).

napomene: 1. U nastavku ćemo dokazati teoremu da ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati pojam C svuda u drugom stupcu tabele, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi kratkoće, ponekad umjesto fraze „funkcija y = F(x) je antiderivat funkcije y = f(x)“, kažu da je F(x) antiderivat od f(x) .”

2. Pravila za pronalaženje antiderivata

Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i kod pronalaženja izvoda, ne koriste se samo formule (navedene su u tabeli na str. 196), već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Skrećemo vam pažnju na donekle „lakoću“ ove formulacije. U stvari, treba formulirati teoremu: ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju antiderivate na intervalu X, odnosno y-F(x) i y-G(x), tada je zbir funkcija y = f(x)+g(x) ima antiderivat na intervalu X, a taj antiderivat je funkcija y = F(x)+G(x). Ali obično, kada se formulišu pravila (ne teoreme), ostaju samo ključne riječi - to je pogodnije za primjenu pravila u praksi

Primjer 2. Naći antiderivat za funkciju y = 2x + cos x.

Rješenje. Antiderivat za 2x je x"; antiderivat za cox je sin x. To znači da će antiderivat za funkciju y = 2x + cos x biti funkcija y = x 2 + sin x (i općenito bilo koja funkcija oblika Y = x 1 + sinx + C) .
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka antiderivata.

Primjer 3.

Rješenje. a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = 5 sin x antiderivativna funkcija biti funkcija y = -5 cos x.

b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija
c) Antiderivat za x 3 je antiderivat za x, antiderivat za funkciju y = 1 je funkcija y = x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivata, nalazimo da je antiderivat za funkciju y = 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što je poznato, izvod proizvoda nije jednak proizvodu derivata (pravilo za razlikovanje proizvoda je složenije) i izvod količnika nije jednak količniku derivata. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivata proizvoda ili antiderivata količnika dvije funkcije. Budi pazljiv!
Dobijmo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y = f(kx+m) izračunava po formuli

Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y=f(kx+m) funkcija

Zaista,

To znači da je antiderivat za funkciju y = f(kx+m).
Značenje trećeg pravila je sljedeće. Ako znate da je antiderivat funkcije y = f(x) funkcija y = F(x), a trebate pronaći antiderivat funkcije y = f(kx+m), postupite ovako: uzmite ista funkcija F, ali umjesto argumenta x zamijenite izraz kx+m; osim toga, ne zaboravite napisati “korekcioni faktor” prije znaka funkcije
Primjer 4. Pronađite antiderivate za date funkcije:

Rješenje, a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = sin2x antiderivat biti funkcija
b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija

c) Antiderivat za x 7 znači da će za funkciju y = (4-5x) 7 antiderivat biti funkcija

3. Neodređeni integral

Gore smo već napomenuli da problem nalaženja antiderivata za datu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Razgovarajmo o ovom pitanju detaljnije.

Dokaz. 1. Neka je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x"(x) = f(x). pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y = F(x) + C antiderivat za funkciju y = f(x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y=F(x), onda funkcija (f = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, na primjer, bilo koja funkcija oblika y = F(x) +C je antiderivat.
2. Dokažimo sada da navedeni tip funkcija iscrpljuje cijeli skup antiderivata.

Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dva antiderivata za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Razmotrimo funkciju y = F 1 (x) -.F(x) i pronađemo njen izvod: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identično jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidjeti teoremu 3 iz § 35). To znači da je F 1 (x) - F (x) = C, tj. Fx) = F(x)+C.

Teorema je dokazana.

Primjer 5. Dat je zakon promjene brzine s vremenom: v = -5sin2t. Naći zakon kretanja s = s(t), ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata tačke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Rješenje. Kako je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo trebamo pronaći antiderivat brzine, tj. antiderivat za funkciju v = -5sin2t. Jedan od takvih antiderivata je funkcija , a skup svih antiderivata ima oblik:

Da bismo pronašli specifičnu vrijednost konstante C, koristimo početne uslove prema kojima je s(0) = 1,5. Zamjenom vrijednosti t=0, S = 1,5 u formulu (1) dobijamo:

Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobijamo zakon kretanja koji nas zanima:

Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y = F(x) na intervalu X, tada je skup svih antiderivata, tj. skup funkcija oblika y = F(x) + C naziva se neodređeni integral funkcije y = f(x) i označava se sa:

(čitaj: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem paragrafu ćemo saznati koje je skriveno značenje ove oznake.
Na osnovu tabele antideriva dostupnih u ovom odeljku, sastavićemo tabelu glavnih neodređenih integrala:

Na osnovu gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulisati odgovarajuća pravila integracije.

Pravilo 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala ovih funkcija:

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

Pravilo 3. Ako

Primjer 6. Pronađite neodređene integrale:

Rješenje, a) Koristeći prvo i drugo pravilo integracije, dobijamo:

Sada upotrijebimo 3. i 4. formule integracije:

Kao rezultat dobijamo:

b) Koristeći treće pravilo integracije i formulu 8, dobijamo:

c) Da bismo direktno pronašli dati integral, nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima ponekad pomažu prethodno izvedene identične transformacije izraza sadržanog pod znakom integrala.

Koristimo trigonometrijsku formulu za smanjenje stepena:

Zatim nalazimo redom:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, Matematika u školi

Postoje tri osnovna pravila za pronalaženje antiderivativnih funkcija. Oni su vrlo slični odgovarajućim pravilima diferencijacije.

Pravilo 1

Ako je F antiderivat za neku funkciju f, a G antiderivat za neku funkciju g, tada će F + G biti antiderivat za f + g.

Po definiciji antiderivata, F’ = f. G' = g. A pošto su ovi uslovi ispunjeni, onda ćemo prema pravilu za izračunavanje derivacije za zbir funkcija imati:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Pravilo 2

Ako je F antiderivat za neku funkciju f, a k je neka konstanta. Tada je k*F antiderivat funkcije k*f. Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije.

Imamo: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Pravilo 3

Ako je F(x) neki antiderivat za funkciju f(x), a k i b su neke konstante, a k nije jednako nuli, tada će (1/k)*F*(k*x+b) biti antiderivat za funkciju f (k*x+b).

Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pogledajmo nekoliko primjera kako se ova pravila primjenjuju:

Primjer 1. Naći opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = x^3 +1/x^2. Za funkciju x^3 jedan od antiderivata će biti funkcija (x^4)/4, a za funkciju 1/x^2 jedan od antiderivata će biti funkcija -1/x. Koristeći prvo pravilo, imamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Primjer 2. Nađimo opšti oblik antiderivata za funkciju f(x) = 5*cos(x). Za funkciju cos(x), jedan od antiderivata će biti funkcija sin(x). Ako sada koristimo drugo pravilo, imat ćemo:

F(x) = 5*sin(x).

Primjer 3. Pronađite jedan od antiderivata za funkciju y = sin(3*x-2). Za funkciju sin(x) jedan od antiderivata će biti funkcija -cos(x). Ako sada koristimo treće pravilo, dobićemo izraz za antiderivat:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Primjer 4. Pronađite antiderivat za funkciju f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivat za funkciju 1/x^5 će biti funkcija (-1/(4*x^4)). Sada, koristeći treće pravilo, dobijamo.

Neodređeni integral

Glavni zadatak diferencijalnog računa bio je izračunati derivaciju ili diferencijal date funkcije. Integralni račun, na čije proučavanje prelazimo, rješava inverzni problem, naime, pronalaženje same funkcije iz njenog derivacije ili diferencijala. Odnosno, imati dF(x)= f(x)d (7.1) ili F ′(x)= f(x),

Gdje f(x)- poznata funkcija, potrebno je pronaći funkciju F(x).

definicija:Poziva se funkcija F(x). antiderivativ funkcija f(x) na segmentu ako jednakost vrijedi u svim točkama ovog segmenta: F′(x) = f(x) ili dF(x)= f(x)d.

Na primjer, jedna od antiderivativnih funkcija za funkciju f(x)=3x 2će F(x)= x 3, jer ( x 3)′=3x 2. Ali prototip za funkciju f(x)=3x 2 također će biti funkcije i , budući da .

Dakle, ova funkcija f(x)=3x 2 ima beskonačan broj primitiva, od kojih se svaki razlikuje samo konstantnim članom. Pokažimo da ovaj rezultat vrijedi iu općem slučaju.

Teorema Dva različita antiderivata iste funkcije definisane u određenom intervalu razlikuju se jedan od drugog na ovom intervalu konstantnim članom.

Dokaz

Neka funkcija f(x) definisano na intervalu (a¸b) I F 1 (x) I F 2 (x) - antiderivati, tj. F 1 ′(x)= f(x) i F 2 ′(x)= f(x).

Onda F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Odavde, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Gdje WITH - konstanta (ovdje se koristi posljedica Lagrangeove teoreme).

Teorema je time dokazana.

Geometrijska ilustracija. Ako at = F 1 (x) I at = F 2 (x) – antiderivati ​​iste funkcije f(x), zatim tangenta na njihove grafove u tačkama sa zajedničkom apscisom X paralelne jedna s drugom (slika 7.1).

U ovom slučaju, udaljenost između ovih krivulja duž ose OU ostaje konstantan F 2 (x) - F 1 (x) = C , odnosno ove krive u malo razumevanja"paralelno" jedno s drugim.

Posljedica .

Dodavanje nekom antiderivatu F(x) za ovu funkciju f(x), definisan na intervalu X, sve moguće konstante WITH, dobijamo sve moguće antiderivate za funkciju f(x).

Dakle, izraz F(x)+C , gdje , i F(x) – neki antiderivat funkcije f(x) uključuje sve moguće antiderivate za f(x).

Primjer 1. Provjerite jesu li funkcije antiderivati ​​funkcije

Rješenje:

Odgovori: antiderivati ​​za funkciju bit će funkcije I

definicija: Ako je funkcija F(x) neki antiderivat funkcije f(x), tada se skup svih antiderivata F(x)+ C naziva neodređeni integral od f(x) i označimo:

∫f(h)dh.

A-prioritet:

f(x) - integrand funkcija,

f(h)dh - integrand izraz

Iz ovoga slijedi da je neodređeni integral funkcija općeg oblika, čiji je diferencijal jednak integrandu, a derivacija u odnosu na promjenljivu X jednak je integrandu u svim tačkama.

Sa geometrijske tačke gledišta neodređeni integral je porodica krivulja, od kojih se svaka dobija pomeranjem jedne od krivih paralelnih sebi gore ili dole, odnosno duž ose OU(Sl. 7.2).

Poziva se operacija izračunavanja neodređenog integrala određene funkcije integracija ovu funkciju.

Imajte na umu da ako je izvod elementarne funkcije uvijek elementarna funkcija, onda antiderivat elementarne funkcije ne može biti predstavljen konačnim brojem elementarnih funkcija.

Hajde sada da razmotrimo svojstva neodređenog integrala.

Iz definicije 2 slijedi:

1. Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu, odnosno ako F′(x) = f(x) , To

2. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu

. (7.4)

Iz definicije diferencijala i svojstva (7.3)

3. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je ovoj funkciji do konstantnog člana, tj. (7.5)

Jedna od operacija diferencijacije je pronalaženje izvoda (diferencijala) i njegova primjena na proučavanje funkcija.

Inverzni problem nije ništa manje važan. Ako je poznato ponašanje funkcije u blizini svake tačke njene definicije, kako se onda može rekonstruisati funkcija kao cjelina, tj. u cijelom opsegu njegove definicije. Ovaj problem je predmet proučavanja tzv. integralnog računa.

Integracija je inverzno djelovanje diferencijacije. Ili vraćanje funkcije f(x) iz date derivacije f`(x). Latinska riječ “integro” znači restauracija.

Primjer br. 1.

Neka je (f(x))’ = 3x 2. Nađimo f(x).

Rješenje:

Na osnovu pravila diferencijacije nije teško pogoditi da je f(x) = x 3, jer

(x 3)’ = 3x 2 Međutim, lako možete primijetiti da se f(x) ne nalazi jedinstveno. Kao f(x), možete uzeti f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, itd.

Jer derivacija svakog od njih je 3x 2. (Izvod konstante je 0). Sve ove funkcije se međusobno razlikuju po konstantnom pojmu. Stoga se opšte rješenje problema može zapisati kao f(x) = x 3 + C, gdje je C bilo koji konstantan realni broj.

Bilo koja od pronađenih funkcija f(x) se poziva antiderivativ za funkciju F`(x)= 3x 2

Definicija.

Funkcija F(x) naziva se antiderivativna za funkciju f(x) na datom intervalu J ako je za sve x iz ovog intervala F`(x)= f(x). Dakle, funkcija F(x)=x 3 je antiderivativna za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Pošto je za sve x ~R jednakost tačna: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kao što smo već primijetili, ova funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Primjer br. 2.

Funkcija je antiderivativna za sve na intervalu (0; +∞), jer za sve h iz ovog intervala vrijedi jednakost.

Zadatak integracije je pronaći sve njene antiderivate za datu funkciju. Prilikom rješavanja ovog problema važnu ulogu igra sljedeća izjava:

Znak konstantnosti funkcije. Ako je F"(x) = 0 na nekom intervalu I, onda je funkcija F konstantna na tom intervalu.

Dokaz.

Popravimo neki x 0 iz intervala I. Tada za bilo koji broj x iz takvog intervala, na osnovu Lagrangeove formule, možemo naznačiti broj c koji se nalazi između x i x 0 tako da

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Po uslovu, F’ (c) = 0, budući da je c ∈1, dakle,

F(x) - F(x 0) = 0.

Dakle, za sve x iz intervala I

to jest, funkcija F održava konstantnu vrijednost.

Sve antiderivativne funkcije f mogu se napisati pomoću jedne formule, koja se zove opći oblik antiderivata za funkciju f. Sljedeća teorema je tačna ( glavno svojstvo antiderivata):

Teorema. Bilo koji antiderivat za funkciju f na intervalu I može se napisati u obliku

F(x) + C, (1) gdje je F (x) jedan od antiderivata za funkciju f (x) na intervalu I, a C je proizvoljna konstanta.

Objasnimo ovu izjavu, u kojoj su ukratko formulisana dva svojstva antiderivata:

1. Koji god broj da stavimo u izraz (1) umjesto C, dobićemo antiderivat za f na intervalu I;
2. bez obzira koji se antiderivat F za f na intervalu I uzme, moguće je izabrati broj C takav da je za sve x iz intervala I jednakost

Dokaz.

1. Po uslovu, funkcija F je antiderivativna za f na intervalu I. Prema tome, F"(x)= f (x) za bilo koji x∈1, dakle (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), tj. F(x) + C je antiderivat za funkciju f.
2. Neka je F (x) jedan od antiderivata za funkciju f na istom intervalu I, tj. F "(x) = f (h) za sve x∈I.

Tada je (F(x) - F (x))" = F"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Odavde slijedi c. snaga predznaka konstantnosti funkcije, da je razlika F(h) - F(h) funkcija koja uzima neku konstantnu vrijednost C na intervalu I.

Dakle, za sve x iz intervala I važi jednakost F(x) - F(x)=S, što je i trebalo dokazati. Glavnom svojstvu antiderivata može se dati geometrijsko značenje: grafovi bilo koja dva antiderivata za funkciju f dobijaju se jedan od drugog paralelnim prevođenjem duž ose Oy

Pitanja za bilješke

Funkcija F(x) je antiderivat funkcije f(x). Pronađite F(1) ako je f(x)=9x2 - 6x + 1 i F(-1) = 2.

Pronađite sve antiderivate za funkciju

Za funkciju (x) = cos2 * sin2x, pronađite antiderivat od F(x) ako je F(0) = 0.

Za funkciju pronađite antiderivat čiji graf prolazi kroz tačku