Pronađite broj od tri broja u html-u. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma „višestruko“.

Višekratnik A je prirodan broj koji je djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, brojevi koji su višekratnici od 5 mogu se smatrati 15, 20, 25 itd.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve, zgodno je zapisati sve višekratnike ovih brojeva na liniji dok ne nađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ova notacija se radi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračunavanja LCM-a.

Da biste izvršili zadatak, potrebno je da date brojeve rastavite u proste faktore.

Prvo trebate zapisati dekompoziciju najvećeg broja na liniji, a ispod njega - ostatak.

Dekompozicija svakog broja može sadržavati različit broj faktora.

Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba istaknuti faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako će proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja koji nisu uključeni u proširenje većeg broja biti najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, trebali biste ih sve rastaviti u proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu uključene u faktorizaciju većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).

Stoga ih je potrebno dodati proširenju većeg broja.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM (10, 11) = 110.

Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku, koji smo započeli u dijelu “LCM – najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri”. U ovoj temi ćemo se osvrnuti na načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, te ćemo se osvrnuti na pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primjer 1

Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Rješenje

Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi gcd brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite brojeve 68 i 34.

Rješenje

GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, LCM tih brojeva će biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada metodu pronalaženja LCM-a, koja se zasniva na faktoringu brojeva u proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve primarne faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji učestvuju u dekompoziciji ova dva broja. U ovom slučaju, gcd dva broja je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijate: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , faktoring oba broja u proste faktore.

Rješenje

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u dekompoziciji ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo to iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja u proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 brojevi 75 dodajte faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobijamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Rješenje

Razložimo brojeve iz uslova u jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo proizvodu faktore 2, 2, 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3 brojevi 648. Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi brojevi se nalaze uzastopnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na rješavanje specifičnih problema.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiri broja 140, 9, 54 i 250 .

Rješenje

Hajde da uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dakle, m 2 = 1,260.

Sada izračunajmo koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tokom proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Moramo samo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Pratimo isti algoritam. Dobijamo m 4 = 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera stanja je 94500.

odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• rastavljamo sve brojeve na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodajemo faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi dodajemo faktore trećeg broja koji nedostaju itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Trebate pronaći LCM od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Rješenje

Razložimo svih pet brojeva u proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Razložili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Pređimo na broj 48, iz proizvoda čijih prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prost faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, ovi brojevi se prvo moraju zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim se proračuni moraju izvršiti pomoću gore navedenih algoritama.

Primjer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Rješenje

Zamenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka najveći zajednički djelitelj (GCD) ovi brojevi.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju uzajamno prime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju uzajamno prime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (GCD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se naći bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljajući na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, precrtavamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Naći najveći zajednički djelitelj

2) iz faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) naći proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najveći zajednički djelitelj date brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su svi ostali brojevi djeljivi s njim: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to uradili, razložimo 75 i 60 u proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5, i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Oni također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

To pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razvrstati ih u proste faktore;
2) zapisati faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) naći proizvod rezultujućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi učenici proučavali su pitanje deljivosti brojeva. Oni su broj jednak zbiru svih njegovih djelitelja (bez samog broja) nazvali savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. vijeku. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali naučnici još uvijek ne znaju da li postoje neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Interes starih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih ima više, u drugim - manje. Ali što se dalje krećemo duž niza brojeva, prosti brojevi su manje uobičajeni. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prost broj? Drevni grčki matematičar Euklid (3. vek pre nove ere), u svojoj knjizi „Elementi“, koja je dve hiljade godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja postoji još veći prosti broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složen broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojeve koji su višekratni od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze iza 3 (brojevi koji su višekratni od 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su precrtani. na kraju su samo prosti brojevi ostali neukršteni.

Počnimo proučavati najmanji zajednički umnožak dva ili više brojeva. U ovom dijelu ćemo definirati pojam, razmotriti teoremu koja uspostavlja vezu između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja i dati primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici – definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo zajednički višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih datih brojeva. U stvari, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti bilo kojim od datih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore datoj definiciji, zajednički višekratnici broja 12 su 3 i 2. Takođe, broj 12 će biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 su zajednički višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istovremeno, zajednički višekratnik brojeva 2 i 3 bit će brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 i cijeli niz drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16, − 27, 5009, 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva osim nule.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotne brojeve, ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva, baš kao i broj - k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Da li je moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može naći za bilo koji cijeli broj.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dato k cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k. Broj koji dobijemo množenjem brojeva a 1 · a 2 · … · a k prema svojstvu djeljivosti, bit će podijeljen na svaki od faktora koji su bili uključeni u originalni proizvod. To znači da je proizvod brojeva a 1 , a 2 , … , a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ovi cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajedničkih višekratnika. U stvari, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k. Tada će proizvod brojeva k · z, gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z. S obzirom da je broj brojeva beskonačan, broj zajedničkih višekratnika je beskonačan.

Najmanji zajednički višestruki (LCM) – definicija, notacija i primjeri

Prisjetite se koncepta najmanjeg broja iz datog skupa brojeva, o kojem smo raspravljali u odjeljku „Upoređivanje cijelih brojeva“. Uzimajući u obzir ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji od svih zajedničkih višekratnika ima najveći praktični značaj.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik datih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj datih brojeva. Najčešće korištena skraćenica za pojam u referentnoj literaturi je NOC. Kratki zapis za najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k imaće oblik LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. One. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik od četiri broja 2, 12, 15 i 3 je 60. Kratka notacija će izgledati kao LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Najmanji zajednički višekratnik nije očigledan za sve grupe datih brojeva. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i GCD-a

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova je uspostavljen teoremom.

Teorema 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenom sa najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, odnosno LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dokazi 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M, koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv sa a, postoji i neki cijeli broj z , pod kojim je jednakost istinita M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M djeljivo sa b, pa onda a · k podijeljena b.

Ako uvedemo novu notaciju za gcd (a, b) kao d, onda možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d. U ovom slučaju, obje jednakosti će biti relativno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a · k podijeljena b. Sada se ovaj uslov može napisati na sljedeći način:
a 1 d k podijeljena b 1 d, što je ekvivalentno uslovu a 1 k podijeljena b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu međusobno prostih brojeva, ako a 1 I b 1– međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 unatoč činjenici da a 1 k podijeljena b 1, To b 1 mora se dijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od tada b 1 = b: d, To k = b: d t.

Sada umjesto k zamenimo u jednakost M = a k izraz forme b: d t. To nam omogućava da postignemo jednakost M = a b: d t. At t = 1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednaka a b: d, pod uslovom da su brojevi a i b pozitivno.

Tako smo dokazali da je LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućava vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više datih brojeva.

Definicija 3

Teorema ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dva broja su isti kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b je definiran jednakošću M = LCM (a, b) · t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Pošto su a i b relativno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da bismo pronašli najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva, potrebno je sekvencijalno pronaći LCM dva broja.

Teorema 2

Pretvarajmo se to a 1 , a 2 , … , a k su neki pozitivni cijeli brojevi. Da bi se izračunao LCM m k ove brojeve moramo sekvencijalno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Dokazi 2

Prvi zaključak iz prve teoreme o kojoj se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo valjanost druge teoreme. Obrazloženje se zasniva na sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 I a 2 poklapaju se sa višekratnicima njihovog LCM, u stvari, poklapaju se sa višekratnicima broja m 2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 I a 3 m 2 I a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1 , a 2 , … , a k poklapaju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 I a k, dakle, poklapaju se sa višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Ovako smo dokazali teoremu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM

Pronađite GCD i LOC

Pronađeno GCD i LOC: 6433

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• Ako unesete netačne znakove, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
• kliknite na dugme "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, tačkom ili zarezom
• Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Šta su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim, njihovim kombinovanjem, možete provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: Gledamo posljednju cifru: 8 - to znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Test djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa tri. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako je zbir cifara vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Test djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Test djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći gcd dva broja

Najlakši način da izračunate najveći zajednički djelitelj dva broja je da pronađete sve moguće djelitelje tih brojeva i odaberete najveći.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Faktoriramo oba broja: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 = 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik od dva broja. Prva metoda je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj se razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također možete koristiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Sličan odnos se primjenjuje na najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov proizvod će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.