Najmanji zajednički višekratnik dva broja direktno je povezan sa najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva. Ovo veza između GCD i NOC određena je sljedećom teoremom.

Teorema.

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenom sa najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, tj. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dokaz.

Neka M je neki višekratnik brojeva a i b. To jest, M je deljivo sa a, a prema definiciji deljivosti, postoji neki ceo broj k takav da je jednakost M=a·k tačna. Ali M je takođe deljiv sa b, tada je a·k deljiv sa b.

Označimo gcd(a, b) kao d. Tada možemo napisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d će biti relativno prosti brojevi. Prema tome, uslov dobijen u prethodnom paragrafu da je a · k deljivo sa b može se preformulisati na sledeći način: a 1 · d · k je podeljeno sa b 1 · d , a ovo je, zbog svojstava deljivosti, ekvivalentno uslovu da je a 1 · k djeljiv sa b 1 .

Takođe morate da zapišete dve važne posledice iz razmatrane teoreme.

Zajednički višekratnici dva broja isti su kao i višekratnici njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Ovo je zaista slučaj, budući da je svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b određen jednakošću M=LMK(a, b)·t za neku cjelobrojnu vrijednost t.

Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Obrazloženje ove činjenice je sasvim očigledno. Pošto su a i b relativno prosti, onda je gcd(a, b)=1, dakle, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika tri ili više brojeva može se svesti na sekvencijalno pronalaženje LCM dva broja. Kako se to radi prikazano je u sljedećoj teoremi: a 1 , a 2 , ..., a k se poklapaju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k-1 i a k ​​, dakle, poklapaju se sa zajedničkim višekratnicima broja m k . A pošto je najmanji pozitivni višekratnik broja m k sam broj m k, onda je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOK je jedan od glavnih, posebno se često koristi u. Tema se izučava u srednjoj školi i nije posebno teško razumjeti gradivo; osoba koja je upoznata sa potencijama i tablicom množenja neće imati poteškoća da identifikuje potrebne brojeve i otkrije rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobije množenjem originalnih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv sa oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je skraćeno ime usvojeno za oznaku, sakupljeno od prvih slova.

Načini da dobijete broj

Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a, mnogo je prikladnija za jednostavne jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Uobičajeno je da se dijeli na faktore; što je veći broj, to će biti više faktora.

Primjer #1

Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer br. 2

Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, a pronalaženje LOC-a je obavezno. Da biste riješili problem, pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Dekompozicija prvog i drugog broja na jednostavne faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad sa već dobijenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora učestvovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja se uzima iz originalnih brojeva. LCM je opšti broj, tako da se u njemu moraju ponavljati faktori brojeva, svaki pojedinačni, čak i oni koji su prisutni u jednoj kopiji. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, različitih stepena, 7 je prisutan samo u jednom slučaju.

Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od predstavljenih potencija u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor; ako je ispravno popunjen, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti tačan, jer je 300 * 1260 = 378.000.

pregled:

6300 / 300 = 21 - tačno;

6300 / 1260 = 5 - tačno.

Ispravnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a sa oba početna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor tačan.

Šta NOC znači u matematici?

Kao što znate, ne postoji nijedna beskorisna funkcija u matematici, ova nije izuzetak. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima srednje škole. Takođe je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u zadatku. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Što više brojeva, to je više akcija u zadatku, ali složenost se ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov zajednički LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Da bi se sastavio izraz potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3 - za sve ove brojeve potrebno je odrediti maksimalni stepen.

Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do tačke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponovani na nivo jednocifrenih brojeva.

pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - tačno;

2) 3000 / 600 = 5 - tačno;

3) 3000 / 1500 = 2 - tačno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti genijalnog nivoa, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je mnogo stvari povezano, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvocifrenih i jednocifrenih brojeva. Sastavlja se tabela u koju se unosi množitelj okomito, množitelj horizontalno, a proizvod je naznačen u ćelijama kolone koja se sijeku. Možete prikazati tablicu pomoću linije, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se dešava dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višestruki od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, itd.

2) Višestruki od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.

3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.

Primjetno je da se svi brojevi dosta razlikuju, jedini zajednički broj među njima je 210, tako da će to biti NOC. Među procesima koji su uključeni u ovaj proračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se računa po sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji je podijeljen svim datim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveće vrijednosti kojom se dijele originalni brojevi.

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka najveći zajednički djelitelj (GCD) ovi brojevi.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju uzajamno prime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju uzajamno prime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (GCD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se naći bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljajući na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, precrtavamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Naći najveći zajednički djelitelj

2) iz faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) naći proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najveći zajednički djelitelj date brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su svi ostali brojevi djeljivi s njim: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to uradili, razložimo 75 i 60 u proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5, i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Oni također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

To pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razvrstati ih u proste faktore;
2) zapisati faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) naći proizvod rezultujućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi učenici proučavali su pitanje deljivosti brojeva. Oni su broj jednak zbiru svih njegovih djelitelja (bez samog broja) nazvali savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. vijeku. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali naučnici još uvijek ne znaju da li postoje neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Interes starih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih ima više, u drugim - manje. Ali što se dalje krećemo duž niza brojeva, prosti brojevi su manje uobičajeni. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prost broj? Drevni grčki matematičar Euklid (3. vek pre nove ere), u svojoj knjizi „Elementi“, koja je dve hiljade godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja postoji još veći prosti broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složen broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojeve koji su višekratni od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze iza 3 (brojevi koji su višekratni od 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su precrtani. na kraju su samo prosti brojevi ostali neukršteni.

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Zajednički višekratnik dva cijela broja je cijeli broj koji je jednako djeljiv sa oba data broja bez ostavljanja ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv sa oba data broja bez ostavljanja ostatka.

Metoda 1. Možete pronaći LCM, zauzvrat, za svaki od datih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju množenjem sa 1, 2, 3, 4, itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Broj 6, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 će biti jednak 18.

Ova metoda je zgodna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvocifrene ili trocifrene brojeve, kao i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći tako što ćete originalne brojeve faktorisati u proste faktore.
Nakon dekompozicije, potrebno je precrtati identične brojeve iz rezultirajućeg niza prostih faktora. Preostali brojevi prvog broja bit će množitelj za drugi, a preostali brojevi drugog bit će množitelj za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički umnožak brojeva 75 i 60 može se naći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razdijelimo 75 i 60 u jednostavne faktore:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 se pojavljuju u oba reda. Mi ih mentalno „precrtavamo“.
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Prilikom rastavljanja broja 75 ostaje nam broj 5, a pri rastavljanju broja 60 ostaje nam 2 * 2
To znači da da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja od 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, i pomnožiti brojeve preostale od proširenja od 60 (ovo je 2 * 2) sa 75. To jest, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo „unakrsno“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredi LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom slučaju naše akcije će biti nešto složenije. Ali prvo, kao i uvijek, razložimo sve brojeve na faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i uzastopno prolazimo kroz njegove faktore, precrtavajući ih ako u barem jednom od ostalih redova brojeva naiđemo na isti faktor koji još nije je precrtano.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim serijama brojeva. Precrtajmo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiocima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali on je prisutan u prostim činiocima broja 24. Precrtavamo broj 3 iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuju nikakve radnje .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom dekomponovanja broja 12, "precrtali" smo sve brojeve. To znači da je nalaz LOC-a završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzmite preostale faktore od broja 16 (sljedeći u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda vam omogućava da to učinite brže. Međutim, obje metode pronalaženja LCM-a su ispravne.

Pogledajmo tri načina da pronađemo najmanji zajednički višekratnik.

Pronalaženje faktorizacijom

Prva metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem datih brojeva u proste faktore.

Recimo da treba da pronađemo LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to uradili, razložimo svaki od ovih brojeva u proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste činioce ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveći mogući stepen i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije djeljiv sa 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik datih brojeva, rastavite ih u njihove proste faktore, zatim uzmete svaki prosti faktor s najvećim eksponentom u kojem se pojavljuje i pomnožite te faktore zajedno.

Pošto relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su relativno prosti. Zbog toga

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Isto se mora učiniti kada se pronađe najmanji zajednički višekratnik različitih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Druga metoda je pronalaženje najmanje zajedničkog višekratnika odabirom.

Primjer 1. Kada se najveći od datih brojeva podijeli sa drugim datim brojem, tada je LCM ovih brojeva jednak najvećem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:

1. Odredite najveći broj od datih brojeva.
2. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja množenjem prirodnim brojevima u rastućem redoslijedu i provjeravanjem da li je rezultirajući proizvod djeljiv s preostalim datim brojevima.

Primjer 2. Zadata su tri broja 24, 3 i 18. Određujemo najveći od njih - to je broj 24. Zatim nalazimo brojeve koji su višestruki od 24, provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18 i 3:

24 · 1 = 24 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 2 = 48 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 3 = 72 - djeljivo sa 3 i 18.

Dakle, LCM (24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim pronalaženjem LCM

Treća metoda je pronalaženje najmanje zajedničkog višekratnika sekvencijalnim pronalaženjem LCM.

LCM dva data broja jednak je umnošku ovih brojeva podijeljen sa njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva data broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristite sljedeću proceduru:

1. Prvo, pronađite LCM bilo koja dva od ovih brojeva.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadanog broja.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
4. Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Nađimo LCM tri data broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje da se pronađe najmanji zajednički višekratnik broja 24 i trećeg datog broja - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (24, 9) = 3. Pomnožite LCM sa brojem 9:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8, 9) = 72.