Istorija pi jednostavnim i razumljivim riječima. Neke zanimljive činjenice. Čemu je Pi jednako? Metode za njegovo izračunavanje

Istorija pi

Istorija broja p, koji izražava odnos obima kruga i njegovog prečnika, započela je u starom Egiptu. Površina kruga sa prečnikom d Egipatski matematičari su to definisali kao (d-d/9) 2(ovaj unos je ovdje dat modernim simbolima). Iz gornjeg izraza možemo zaključiti da se u to vrijeme broj p smatrao jednakim razlomku (16/9) 2 , ili 256/81 , tj. p = 3,160...
U svetoj knjizi džainizma (jedna od najstarijih religija koja je postojala u Indiji i nastala u 6. veku pre nove ere) postoji naznaka iz koje sledi da je broj p u to vreme uzet jednak, što daje razlomak 3,162...
Stari Grci Eudoks, Hipokrat a drugi su mjerenje kruga sveli na konstrukciju segmenta, a mjerenje kruga na konstrukciju jednakog kvadrata. Treba napomenuti da su mnogo vekova matematičari iz različitih zemalja i naroda pokušavali da izraze odnos obima i prečnika kao racionalni broj.

Arhimed u 3. veku BC. u svom kratkom djelu “Mjerenje kruga” obrazložio je tri tvrdnje:

Svaki krug je po veličini jednak pravokutnom trokutu, čiji su kraci jednaki dužini kruga i njegovom polumjeru;

Površine kruga se odnose na kvadrat izgrađen na prečniku, as 11 do 14;

Omjer bilo kojeg kruga i njegovog prečnika je manji 3 1/7 i više 3 10/71 .

Poslednja rečenica Arhimed opravdano uzastopnim izračunavanjem perimetara pravilnih upisanih i opisanih poligona udvostručavanjem broja njihovih stranica. Prvo je udvostručio broj stranica pravilnih upisanih i upisanih šesterokuta, zatim dvanaestouglova itd., dovodeći proračune do perimetara pravilnog upisanog i upisanog mnogougla sa 96 strana. Prema tačnim proračunima Arhimed omjer obima i prečnika je zatvoren između brojeva 3*10/71 I 3*1/7 , što znači da je p = 3,1419... Pravo značenje ove veze 3,1415922653...
U 5. veku BC. Kineski matematičar Zu Chongzhi pronađena je tačnija vrijednost za ovaj broj: 3,1415927...
U prvoj polovini 15. vijeka. opservatorija Ulugbek, u blizini Samarkand, astronom i matematičar al-Kashi izračunato p sa 16 decimala. Udvostručio je broj stranica poligona 27 puta i stigao do poligona sa 3*2 28 uglova. Al-Kashi napravio jedinstvene proračune koji su bili potrebni za sastavljanje tabele sinusa u koracima od 1" . Ove tablice su imale važnu ulogu u astronomiji.
Vek i po kasnije u Evropi F. Viet pronašao broj p sa samo 9 tačnih decimalnih mjesta tako što je udvostručio broj stranica poligona 16 puta. Ali istovremeno F. Viet bio je prvi koji je primijetio da se p može naći korištenjem granica određenih serija. Ovo otkriće je bilo od velike važnosti, jer je omogućilo izračunavanje p sa bilo kojom tačnošću. Samo 250 godina kasnije al-Kashi njegov rezultat je nadmašen.
Prvi koji je uveo notaciju za omjer obima i prečnika sa modernim simbolom p bio je engleski matematičar W.Johnson 1706. Kao simbol uzeo je prvo slovo grčke riječi "periferija", što u prevodu znači "krug". Ušao W.Johnson oznaka je postala uobičajena nakon objavljivanja radova L. Euler, koji je prvi put koristio uneseni znak u 1736 G.
Krajem 18. vijeka. A.M.Lagendre na osnovu radova I.G. Lambert dokazao da je broj p iracionalan. Zatim nemački matematičar F. Lindeman na osnovu istraživanja S.Ermita, našao strogi dokaz da ovaj broj nije samo iracionalan, već i transcendentalan, tj. ne može biti korijen algebarske jednadžbe. Iz posljednjeg slijedi da koristeći samo šestar i ravnalo, konstruirajte segment jednak obima nemoguće, pa stoga nema rješenja za problem kvadrature kruga.
Potraga za tačnim izrazom za p se nastavila nakon rada F. Vieta. Početkom 17. vijeka. Holandski matematičar iz Kelna Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (neki istoričari ga zovu L.van Keulen) pronašao 32 ispravna znaka. Od tada (godina izdanja 1615.) vrijednost broja p sa 32 decimale naziva se broj Ludolph.
Krajem 19. vijeka, nakon 20 godina mukotrpnog rada, Englez William Shanks pronađeno 707 cifara broja p. Međutim, 1945. godine otkriveno je uz pomoć kompjutera koji Shanks u svojim proračunima je napravio grešku u 520. cifri i njegovi dalji proračuni su se pokazali netačnim.
Nakon razvoja metoda diferencijalnog i integralnog računa, pronađene su mnoge formule koje sadrže broj "pi". Neke od ovih formula vam omogućavaju da izračunate pi koristeći metode koje nisu metode Arhimed i racionalnije. Na primjer, možete doći do broja pi tražeći granice određenih serija. dakle, G. Leibniz(1646-1716) dobio je red 1674

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

što je omogućilo izračunavanje p na kraći način od Arhimed. Međutim, ova serija konvergira vrlo sporo i stoga zahtijeva prilično duge proračune. Za izračunavanje "pi" pogodnije je koristiti seriju dobijenu iz proširenja arctg x po vrijednosti x=1/ , u kojem je proširenje funkcije arktan 1/=p /6 u nizu daje jednakost

p /6 = 1/,
one.
str= 2

Djelomične sume ove serije mogu se izračunati pomoću formule

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

u ovom slučaju, "pi" će biti ograničeno dvostrukom nejednakošću:

Još pogodnija formula za izračunavanje str primljeno J. Machin. Koristeći ovu formulu, izračunao je str(1706. godine) sa tačnošću od 100 tačnih znakova. Dobra aproksimacija za pi je data po

Međutim, treba imati na umu da se ova jednakost mora smatrati približnom, jer njegova desna strana je algebarski broj, a lijeva strana transcendentalni, stoga ovi brojevi ne mogu biti jednaki.
Kao što je navedeno u njenim člancima E.Ya.Bakhmutskaya(60-ih godina XX veka), još u XV-XVI veku. Južnoindijski naučnici, uključujući Nilakanta, koristeći metode aproksimativnog izračunavanja broja p, pronašli smo način da dekomponujemo arktan x u niz snaga sličan pronađenom nizu Leibniz. Indijski matematičari dali su verbalnu formulaciju pravila za širenje u nizove sine I kosinus. Time su anticipirali otkriće evropskih matematičara 17. veka. Ipak, njihov računski rad, izolovan i ograničen praktičnim potrebama, nije uticao na dalji razvoj nauke.
U naše vrijeme rad kompjutera zamijenjen je kompjuterima. Uz njihovu pomoć, broj "pi" je izračunat sa tačnošću većom od milion decimalnih mjesta, a ovi proračuni su trajali svega nekoliko sati.
U modernoj matematici, broj p nije samo omjer obima i prečnika, on je uključen u veliki broj različitih formula, uključujući formule neeuklidske geometrije i formulu; L. Euler, koji uspostavlja vezu između broja p i broja e na sljedeći način:

e 2 str i = 1 , Gdje i = .

Ova i druge međuzavisnosti omogućile su matematičarima da dalje razumiju prirodu broja p.

14. marta širom sveta se obeležava veoma neobičan praznik - Dan broja Pi. Svi to znaju još od škole. Učenicima se odmah objašnjava da je broj Pi matematička konstanta, odnos obima kruga i njegovog prečnika, koji ima beskonačnu vrijednost. Ispostavilo se da postoji mnogo zanimljivih činjenica povezanih s ovim brojem.

1. Istorija brojeva seže više od hiljadu godina, skoro koliko postoji nauka matematike. Naravno, tačna vrijednost broja nije odmah izračunata. U početku se smatralo da je odnos obima i prečnika jednak 3. Ali vremenom, kada je arhitektura počela da se razvija, bilo je potrebno preciznije merenje. Inače, broj je postojao, ali je slovnu oznaku dobio tek početkom 18. vijeka (1706) i dolazi od početnih slova dvije grčke riječi koje znače „krug“ i „perimetar“. Slovo “π” je broju dao matematičar Jones, a ono se čvrsto ustalilo u matematici već 1737. godine.

2. U različitim epohama i među različitim narodima, broj Pi je imao različita značenja. Na primjer, u starom Egiptu bio je jednak 3,1604, kod Hindusa je dobio vrijednost od 3,162, a Kinezi su koristili broj jednak 3,1459. Vremenom se π sve preciznije računao, a kada se pojavila računarska tehnologija, odnosno kompjuter, počeo je da broji više od 4 milijarde znakova.

3. Postoji legenda, odnosno stručnjaci vjeruju da je broj Pi korišten u izgradnji Vavilonske kule. Međutim, nije gnjev Božji uzrokovao njegovo urušavanje, već pogrešni proračuni tokom izgradnje. Kao, stari majstori su pogriješili. Slična verzija postoji u vezi sa Solomonovim hramom.

4. Značajno je da su vrijednost Pi pokušali uvesti čak i na državnom nivou, odnosno kroz zakon. Godine 1897. država Indijana je pripremila zakon. Prema dokumentu, Pi je bio 3,2. Međutim, naučnici su na vrijeme intervenirali i tako spriječili grešku. Konkretno, profesor Perdue, koji je bio prisutan na zakonodavnom sastanku, izjasnio se protiv zakona.

5. Zanimljivo je da nekoliko brojeva u beskonačnom nizu Pi ima svoje ime. Dakle, šest devetki Pi je nazvano po američkom fizičaru. Richard Feynman je jednom održao predavanje i zapanjio publiku primjedbom. Rekao je da želi da zapamti cifre Pi do šest devetki, samo da bi rekao "devet" šest puta na kraju priče, implicirajući da je njegovo značenje racionalno. Kada je u stvari iracionalno.

6. Matematičari širom svijeta ne prestaju da sprovode istraživanja vezana za broj Pi. Doslovno je obavijen nekom misterijom. Neki teoretičari čak vjeruju da sadrži univerzalnu istinu. U cilju razmjene znanja i novih informacija o Pi, organiziran je Pi klub. Nije lako pridružiti se morate imati izvanredno pamćenje. Tako se ispituju oni koji žele da postanu član kluba: osoba mora napamet recitirati što više znakova broja Pi.

7. Čak su smislili razne tehnike za pamćenje broja Pi nakon decimalnog zareza. Na primjer, smišljaju čitave tekstove. U njima riječi imaju isti broj slova kao i odgovarajući broj iza decimalnog zareza. Da bi još lakše zapamtili tako dug broj, komponuju pjesme po istom principu. Članovi Pi kluba se često na ovaj način zabavljaju, a ujedno treniraju pamćenje i inteligenciju. Na primjer, takav hobi imao je Mike Keith, koji je prije osamnaest godina smislio priču u kojoj je svaka riječ jednaka gotovo četiri hiljade (3834) prvih cifara Pi.

8. Postoje čak i ljudi koji su postavili rekorde u pamćenju znakova Pi. Dakle, u Japanu je Akira Haraguchi zapamtio više od osamdeset tri hiljade znakova. Ali domaći rekord nije tako izvanredan. Stanovnik Čeljabinska uspio je recitovati napamet samo dvije i po hiljade brojeva nakon decimalnog zareza Pi.

"Pi" u perspektivi

9. Dan Pi se slavi više od četvrt veka, od 1988. godine. Jednog dana, Larry Shaw, fizičar iz muzeja popularne nauke u San Francisku, primijetio je da se 14. mart, kada je napisan, poklapa sa brojem Pi. U datumu, mjesecu i danu obrasca 3.14.

10. Dan Pi se slavi ne baš na originalan način, već na zabavan način. Naravno, naučnici koji se bave egzaktnim naukama to ne propuštaju. Za njih je ovo način da se ne odvoje od onoga što vole, ali da se istovremeno opuste. Na ovaj dan ljudi se okupljaju i pripremaju razne delicije sa likom Pi. Posebno ima mjesta za slastičare. Mogu praviti torte na kojima je ispisano pi i kolačiće sličnih oblika. Nakon degustacije delicija, matematičari priređuju razne kvizove.

11. Postoji zanimljiva koincidencija. 14. marta rođen je veliki naučnik Albert Ajnštajn, koji je, kao što znamo, stvorio teoriju relativnosti. Bilo kako bilo, i fizičari se mogu pridružiti proslavi Dana broja broja Pi.

Pi- matematička konstanta jednaka omjeru obima kruga i njegovog prečnika. Broj pi je digitalni prikaz koji je beskonačan neperiodični decimalni razlomak - 3,141592653589793238462643... i tako dalje do beskonačnosti.

100 decimalnih mjesta: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 78164 62 38 38 11 70679.

Istorija rafiniranja vrijednosti pi

U svakoj knjizi o zabavnoj matematici sigurno ćete pronaći priču o razjašnjavanju vrijednosti pi. U početku, u staroj Kini, Egiptu, Babilonu i Grčkoj, razlomci su korišteni za izračunavanje, na primjer, 22/7 ili 49/16. U srednjem veku i renesansi, evropski, indijski i arapski matematičari su prečistili vrednost pi na 40 cifara nakon decimalne zapete, a do početka kompjuterskog doba, trudom mnogih entuzijasta, broj pi je povećan na 500.

Takva tačnost je od čisto akademskog interesa (više o tome u nastavku), ali za praktične potrebe unutar Zemlje dovoljno je 10 decimalnih mjesta. Sa radijusom Zemlje 6400 km ili 6,4·10 9 mm, ispada da ćemo, odbacivši dvanaestu cifru pi nakon decimalne zapete, pri izračunavanju dužine meridijana pogriješiti za nekoliko milimetara. A kada se izračunava dužina Zemljine orbite oko Sunca (njegov radijus je 150 miliona km = 1,5 10 14 mm), za istu tačnost dovoljno je koristiti broj pi sa četrnaest decimala. Prosječna udaljenost od Sunca do Plutona, najudaljenije planete u Sunčevom sistemu, je 40 puta veća od prosječne udaljenosti od Zemlje do Sunca. Za izračunavanje dužine Plutonove orbite sa greškom od nekoliko milimetara, dovoljno je šesnaest cifara pi. Zašto se zamarati sitnicama, prečnik naše galaksije je oko 100 hiljada svetlosnih godina (1 svetlosna godina je otprilike jednaka 10 13 km) ili 10 19 mm, a ipak je u 17. veku dobijeno 35 znakova pi, prekomernih čak i za takve udaljenosti.

Koja je poteškoća u izračunavanju vrijednosti pi? Činjenica je da on nije samo iracionalan, odnosno da se ne može izraziti kao razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi. Takvi brojevi se ne mogu tačno zapisati, mogu se izračunati samo uzastopnim aproksimacijama, povećavajući broj koraka da bi se postigla veća tačnost. Najjednostavniji način je razmotriti pravilne mnogouglove upisane u krug sa sve većim brojem stranica i izračunati omjer opsega poligona i njegovog prečnika. Kako se broj strana povećava, ovaj omjer teži pi. Tako je 1593. Adrian van Romen izračunao obim upisanog pravilnog mnogougla sa 1073741824 (tj. 230) stranica i odredio 15 cifara pi. Godine 1596. Ludolf van Zeijlen je dobio 20 znakova računajući upisani poligon sa 60 2 33 strane. Nakon toga je izračune doveo na 35 znakova.

Drugi način izračunavanja pi je korištenje formula s beskonačnim brojem pojmova. Na primjer:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 · (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) +(1/9 - 1/11) + ...

Slične formule mogu se dobiti proširenjem, na primjer, arktangensa u Maclaurinov red, znajući da

arctan(1) = π/4(pošto tg(45°) = 1)

ili širenje arcsinusa u nizu, znajući to

arcsin(1/2) = π/6(strana koja leži nasuprot ugla od 30°).

Savremeni proračuni koriste još efikasnije metode. Uz njihovu pomoć za danas.

Pi dan

Dan Pi neki matematičari slave 14. marta u 1:59 (u američkom sistemu datuma - 3/14; prve cifre broja π = 3,14159). Obično se slavi u 13:59 (po 12-časovnom sistemu), ali oni koji se pridržavaju 24-časovnog svetlosnog sistema smatraju da je 13:59 i radije slave noću. U ovo vrijeme se čitaju pohvalni govori u čast broja pi, njegove uloge u životu čovječanstva, crtaju distopijske slike svijeta bez pi i jedu pitu ( pita), pijte piće i igrajte igrice koje počinju sa pi.

• Pi (broj) - Wikipedia

Prije nego pričamo o istorija pi , napominjemo da je broj Pi jedna od najmisterioznijih veličina u matematici. Sada ćete to i sami vidjeti, dragi moj čitaoče...

Počnimo našu priču sa definicijom. Dakle, broj Pi je apstraktni broj , koji označava omjer opsega kruga i dužine njegovog prečnika. Ova definicija nam je poznata još od škole. Ali tada počinju misterije...

Nemoguće je u potpunosti izračunati ovu vrijednost; 3,1415926535 , zatim nakon decimalnog zareza - do beskonačnosti. Naučnici smatraju da se niz brojeva ne ponavlja, a taj niz je apsolutno nasumičan...

Misterija Pi Tu se ne završava. Astronomi su uvjereni da je trideset devet decimalnih mjesta u ovom broju dovoljno da se izračuna obim koji okružuje poznate kosmičke objekte u svemiru, s greškom polumjera atoma vodika...

iracionalno , tj. ne može se izraziti kao razlomak. Ova vrijednost transcendentalno – tj. ne može se dobiti izvođenjem bilo kakvih operacija nad cijelim brojevima...

Broj Pi je usko povezan sa konceptom zlatnog preseka. Arheolozi su otkrili da je visina Velike piramide u Gizi povezana sa dužinom njene osnove, baš kao što je poluprečnik kruga sa njenom dužinom...

Istorija broja P takođe ostaje misterija. Poznato je da su graditelji koristili i ovu vrijednost za dizajn. Očuvan, star nekoliko hiljada godina, koji je sadržavao probleme čije je rješenje uključivalo korištenje broja Pi. Međutim, mišljenje o tačnoj vrijednosti ove vrijednosti među naučnicima iz različitih zemalja bilo je dvosmisleno. Tako je u gradu Susa, koji se nalazi dvjesto kilometara od Babilona, ​​pronađena ploča na kojoj je broj Pi označen kao 3¹/8 . U starom Babilonu je otkriveno da poluprečnik kruga kao tetiva ulazi u njega šest puta, i tu je prvi put predloženo da se krug podijeli na 360 stepeni. Napomenimo uzgred da je slična geometrijska akcija urađena i sa orbitom Sunca, što je drevne naučnike navelo na ideju da u godini treba da ima otprilike 360 ​​dana. Međutim, u Egiptu je broj Pi bio jednak 3,16 , au staroj Indiji - 3, 088 , u staroj Italiji - 3,125 . vjerovao da je ova količina jednaka razlomku 22/7 .

Broj Pi najpreciznije je izračunao kineski astronom Zu Chun Zhi u 5. veku nove ere. Da bi to učinio, dvaput je napisao neparne brojeve 11 33 55, zatim ih je podijelio na pola, stavio prvi dio u nazivnik razlomka, a drugi dio u brojilac i tako dobio razlomak 355/113 . Iznenađujuće, vrijednost se poklapa sa modernim proračunima do sedme cifre...

Ko je dao prvi službeni naziv ovoj količini?

Vjeruje se da 1647. godine matematičar Outtrade nazvao grčko slovo π za obim kruga, uzimajući prvo slovo grčke riječi za ovo περιφέρεια - “periferija” . Ali 1706. godine Izašao je rad nastavnika engleskog William Jones “Pregled dostignuća matematike”, u kojem je slovom Pi označio odnos obima kruga i njegovog prečnika. Ovaj simbol je konačno fiksiran u 20. veku matematičar Leonhard Euler .

Otkako su ljudi bili u stanju da broje i počeli da istražuju svojstva apstraktnih objekata zvanih brojevi, generacije radoznalih umova su došle do fascinantnih otkrića. Kako se naše znanje o brojevima povećava, neki od njih su privukli posebnu pažnju, a nekima su čak pridana mistična značenja. Was, koji ne znači ništa, i koji, kada se pomnoži sa bilo kojim brojem, daje samo sebe. Postojao je, početak svega, takođe posedujući retka svojstva, prosti brojevi. Tada su otkrili da postoje brojevi koji nisu cijeli brojevi, ali se ponekad dobiju dijeljenjem dva cijela broja – racionalni brojevi. Iracionalni brojevi koji se ne mogu dobiti kao omjer cijelih brojeva itd. Ali ako postoji broj koji je fascinirao i izazvao puno pisanja, to je (pi). Broj koji se, uprkos dugoj istoriji, nije zvao kako ga danas zovemo sve do osamnaestog veka.

Počni

Broj pi se dobija tako što se obim kruga podeli sa njegovim prečnikom. U ovom slučaju veličina kruga nije bitna. Veliki ili mali, odnos dužine i prečnika je isti. Iako je vjerovatno da je ovo svojstvo bilo poznato ranije, najraniji dokaz o ovom znanju je Moskovski matematički papirus iz 1850. godine prije Krista. i Ahmesov papirus 1650. pne. (iako je ovo kopija starijeg dokumenta). Sadrži veliki broj matematičkih problema, od kojih se neki približavaju as, što je nešto više od 0,6\% različito od tačne vrijednosti. Otprilike u to vrijeme, Babilonci su smatrali jednakima. U Starom zavetu, napisanom više od deset vekova kasnije, Jahve drži stvari jednostavnim i utvrđuje božanskom odredbom šta je tačno jednako.

Međutim, veliki istraživači ovog broja bili su stari Grci kao što su Anaksagora, Hipokrat sa Hiosa i Antifona iz Atene. Ranije je vrijednost određena gotovo sigurno eksperimentalnim mjerenjima. Arhimed je prvi shvatio kako teorijski procijeniti njegov značaj. Upotreba opisanih i upisanih poligona (veći je opisan oko kruga u koji je upisan manji) omogućila je da se odredi koji je veći i manji. Koristeći Arhimedovu metodu, drugi matematičari su dobili bolje aproksimacije, a već 480. Zu Chongzhi je utvrdio da su vrijednosti između i. Međutim, metoda poligona zahtijeva mnogo proračuna (zapamtite da je sve rađeno ručno, a ne u modernom brojevnom sistemu), tako da nije imala budućnost.

Zastupanje

Trebalo je čekati do 17. vijeka, kada se dogodila revolucija u računanju otkrićem beskonačnog niza, iako prvi rezultat nije bio u blizini, bio je to proizvod. Beskonačni nizovi su zbroji beskonačnog broja pojmova koji formiraju određeni niz (na primjer, svi brojevi oblika u kojima uzima vrijednosti od do beskonačnosti). U mnogim slučajevima zbroj je konačan i može se naći raznim metodama. Ispostavilo se da neki od ovih nizova konvergiraju ili se odnose na neku količinu Da bi se nizovi konvergirali, potrebno je (ali nije dovoljno) da zbrojene količine teže nuli kako rastu. Dakle, što više brojeva dodamo, točniju vrijednost dobijamo. Sada imamo dvije opcije da dobijemo precizniju vrijednost. Ili dodajte više brojeva, ili pronađite drugu seriju koja se brže približava, tako da možete dodati manje brojeva.

Zahvaljujući ovom novom pristupu, tačnost proračuna se dramatično povećala, a 1873. godine William Shanks je objavio rezultat dugogodišnjeg rada, dajući vrijednost sa 707 decimalnih mjesta. Srećom, nije doživio 1945. godinu, kada je otkriveno da je pogriješio i da su svi brojevi od tada bili pogrešni. Međutim, njegov pristup je bio najprecizniji prije pojave kompjutera. Ovo je bila pretposljednja revolucija u računarstvu. Matematičke operacije za koje bi bilo potrebno nekoliko minuta za ručno izvođenje sada se završavaju u djelićima sekunde, gotovo bez grešaka. John Wrench i L. R. Smith uspjeli su izračunati 2.000 cifara za 70 sati na prvom elektronskom računaru. Barijera od milion cifara dostignuta je 1973.

Najnoviji (trenutno) napredak u računarstvu je otkriće iterativnih algoritama koji konvergiraju u brže od beskonačnih serija, tako da se mnogo veća preciznost može postići sa istom računarskom snagom. Trenutni rekord je nešto više od 10 triliona tačnih cifara. Zašto računati tako precizno? S obzirom da, znajući 39 cifara ovog broja, možete izračunati zapreminu poznatog Univerzuma do najbližeg atoma, nema potrebe... još.

Neke zanimljive činjenice

Međutim, izračunavanje vrijednosti je samo mali dio njegove priče. Ovaj broj ima svojstva koja ovu konstantu čine tako zanimljivom.

Možda najveći problem povezan s ovim je dobro poznati problem kvadrature kruga, problem konstruiranja, koristeći šestar i ravnalo, kvadrat čija je površina jednaka površini date kružnice. Kvadratura kruga mučila je generacije matematičara dvadeset i četiri stoljeća sve dok von Lindemann nije dokazao da je riječ o transcendentnom broju (nije rješenje nijedne polinomske jednadžbe s racionalnim koeficijentima) i da je stoga nemoguće dokučiti neizmjernost. Sve do 1761. godine nije dokazano da je broj iracionalan, odnosno da ne postoje dva prirodna broja i to. Transcendencija je dokazana tek 1882. godine, ali još nije poznato da li su brojevi ili (ovo je još jedan iracionalni transcendentalni broj) iracionalni. Pojavljuju se mnoge veze koje nisu vezane za krugove. Ovo je dio faktora normalizacije normalne funkcije, očigledno najčešće korištenog u statistici. Kao što je ranije spomenuto, broj se pojavljuje kao zbir mnogih nizova i jednak je beskonačnim proizvodima, također je važan u proučavanju kompleksnih brojeva. U fizici se može naći (u zavisnosti od sistema jedinica koji se koristi) u kosmološkoj konstanti (najveća greška Alberta Ajnštajna) ili konstantnoj konstanti magnetnog polja. U brojevnom sistemu sa bilo kojom osnovom (decimalni, binarni...), brojevi prolaze sve testove slučajnosti, nema reda ili niza. Riemannova zeta funkcija blisko povezuje broj sa prostim brojevima. Ovaj broj ima dugu istoriju i vjerovatno još uvijek nosi mnoga iznenađenja.

Ako uporedite krugove različitih veličina, primijetit ćete sljedeće: veličine različitih krugova su proporcionalne. To znači da kada se prečnik kruga poveća za određeni broj puta, dužina ovog kruga se takođe povećava za isti broj puta. Matematički se ovo može napisati ovako:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

gdje su C1 i C2 dužine dvaju različitih krugova, a d1 i d2 su njihovi prečnici.
Ovaj odnos funkcioniše u prisustvu koeficijenta proporcionalnosti - konstante π koja nam je već poznata. Iz relacije (1) možemo zaključiti: dužina kružnice C jednaka je umnošku prečnika ove kružnice i koeficijenta proporcionalnosti π nezavisno od kružnice:

C = π d.

Ova formula se takođe može napisati u drugom obliku, izražavajući prečnik d kroz poluprečnik R date kružnice:

S = 2π R.

Ova formula je upravo vodič u svijet krugova za učenike sedmog razreda.

Od davnina ljudi su pokušavali utvrditi vrijednost ove konstante. Na primjer, stanovnici Mezopotamije izračunali su površinu kruga koristeći formulu:

Odakle dolazi π = 3?

U starom Egiptu, vrijednost za π je bila preciznija. U periodu 2000-1700 pne, pisar po imenu Ahmes sastavio je papirus u kojem nalazimo recepte za rješavanje raznih praktičnih problema. Tako, na primjer, da pronađe površinu kruga, koristi formulu:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Iz kojih razloga je došao do ove formule? – Nepoznato. Međutim, vjerovatno na osnovu njegovih zapažanja, kao što su to činili i drugi antički filozofi.

Arhimedovim stopama

Koji je od dva broja veći od 22/7 ili 3,14?
- Oni su jednaki.
- Zašto?
- Svaki od njih je jednak π.
A. A. Vlasov. Iz ispitne kartice.

Neki ljudi vjeruju da su razlomak 22/7 i broj π identično jednaki. Ali ovo je zabluda. Pored navedenog netačnog odgovora na ispitu (vidi epigraf), ovoj grupi možete dodati i jednu vrlo zabavnu slagalicu. Zadatak glasi: “složi jednu šibicu tako da jednakost postane istinita.”

Rješenje bi bilo sljedeće: trebate formirati “krov” za dvije vertikalne šibice s lijeve strane, koristeći jednu od vertikalnih šibica u nazivniku s desne strane. Dobićete vizuelnu sliku slova π.

Mnogi ljudi znaju da je aproksimaciju π = 22/7 odredio starogrčki matematičar Arhimed. U čast ovoga, ova aproksimacija se često naziva „arhimedovskim“ brojem. Arhimed je uspeo ne samo da uspostavi približnu vrednost za π, već i da pronađe tačnost ove aproksimacije, odnosno da pronađe uzak numerički interval kome pripada vrednost π. U jednom od svojih radova Arhimed dokazuje lanac nejednakosti, koji bi na moderan način izgledao ovako:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

može se napisati jednostavnije: 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Kao što možemo vidjeti iz nejednakosti, Arhimed je pronašao prilično tačnu vrijednost sa tačnošću do 0,002. Najviše iznenađuje što je pronašao prve dvije decimale: 3,14... To je vrijednost koju najčešće koristimo u jednostavnim proračunima.

Praktična upotreba

Dvije osobe putuju vozom:
- Vidi, šine su ravne, točkovi okrugli.
Odakle kuca?
- Odakle? Točkovi su okrugli, ali područje
krug pi er kvadrat, to je kvadrat koji kuca!

Po pravilu se sa ovim nevjerovatnim brojem upoznaju u 6.-7. razredu, ali ga detaljnije proučavaju do kraja 8. razreda. U ovom dijelu članka predstavit ćemo osnovne i najvažnije formule koje će vam biti korisne u rješavanju geometrijskih problema, ali za početak ćemo se složiti da π uzmemo kao 3,14 radi lakšeg izračuna.

Možda najpoznatija formula među školarcima koja koristi π je formula za dužinu i površinu kruga. Prva, formula za površinu kruga, piše se na sljedeći način:

	π D 2
S=π R 2 =
	4

gdje je S površina kruga, R je njegov polumjer, D je prečnik kruga.

Obim kruga ili, kako se to ponekad naziva, obim kruga, izračunava se po formuli:

C = 2 π R = π d,

gdje je C obim, R je polumjer, d je prečnik kruga.

Jasno je da je prečnik d jednak dva poluprečnika R.

Iz formule za obim možete lako pronaći polumjer kružnice:

gdje je D prečnik, C je obim, R je poluprečnik kružnice.

Ovo su osnovne formule koje bi svaki student trebao znati. Također, ponekad je potrebno izračunati površinu ne cijelog kruga, već samo njegovog dijela - sektora. Stoga vam ga predstavljamo - formulu za izračunavanje površine sektora kruga. izgleda ovako:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

gdje je S površina sektora, R je polumjer kružnice, α je centralni ugao u stepenima.

Tako misteriozan 3.14

Zaista, misteriozno je. Jer u čast ovih magičnih brojeva organiziraju praznike, snimaju filmove, održavaju javne događaje, pišu pjesme i još mnogo toga.

Na primjer, 1998. godine objavljen je film američkog reditelja Darena Aronofskyja pod nazivom “Pi”. Film je dobio mnoge nagrade.

Svake godine 14. marta u 1:59:26 sati, ljudi zainteresovani za matematiku slave "Dan broja broja". Za praznik ljudi pripremaju okruglu tortu, sjede za okruglim stolom i razgovaraju o broju Pi, rješavaju probleme i zagonetke vezane za Pi.

Pesnici su takođe obratili pažnju na ovaj neverovatan broj, a nepoznata osoba je napisala:
Samo treba pokušati i zapamtiti sve kako jeste - tri, četrnaest, petnaest, devedeset druga i šest.

Hajde da se zabavljamo!

Nudimo vam zanimljive zagonetke sa brojem Pi. Otkrijte riječi koje su šifrirane u nastavku.

1. π R

2. π L

3. π k

Odgovori: 1. Gozba; 2. File; 3. Squeak.

Tatiana Durimanova

Napravio sam stranicu na Facebooku pod nazivom „Jezik kao filozofija života“. Zapravo, htio sam to nazvati "Bilješke iz ludnice", jer šta drugo osim ludnice predstavlja naš savremeni život? Ne, neću da pričam o tome da svi negde beže, nemaju vremena da nešto urade, uvek im nešto nedostaje: vreme, novac itd. Da nas je zahvatio talas nerazumevanja šta se dešava oko nas, kuda ide svet...
Vrtimo se kao veverice u točku. Osjećamo se kao da trčimo u začaranom krugu. Izgubimo krug prijatelja, nađemo se u začaranom krugu... Zvuči poznato? I jutro-dan-večer-noć, i opet u krug. Proljeće-ljeto-jesen-zima, i opet u krug.
Uzgred, ko može tačno reći u koje vreme će jutro ustupiti mesto noći, zimi, proleću? Da li je uopšte moguće povući jasnu liniju između kokoške i jajeta i da li se oni mogu odvojiti? Možda bi bilo bolje prepoznati da je jaje potencijalna kokoška, ​​kokoška potencijalno jaje i da se ne mogu odvojiti. Gdje ja završavam i počinju moji problemi, problemi moje djece, prijatelja itd., koji postaju moji, samo zato što živimo u istom stanu, kući, gradu, svijetu? Da li nam je Gospod Bog rekao da Grinič treba da odredi nula sati, da se ja zovem Tatjana, a stolicu kao stolicu? Gdje prestaje stvarni (supstancijalni) svijet i počinje svijet koji smo mi izmislili?
Zemlja rotira oko svoje ose i u orbiti (krug, elipsa - u čemu je razlika?). Galaksije rotiraju. Naučnici su otkrili torziona polja, dokazali da... „prema teoriji relativnosti Alberta Ajnštajna, svet nije ustrojen baš kao [kako su nas učili i učili u školi]), u njemu postoji zakrivljenost prostora, tako da dvije ravne, koje su paralelne u datoj oblasti prostora, na nekom segmentu svoje dužine, mogu se ukrštati. Nedavno je eksperimentalno potvrđena Ajnštajnova pretpostavka o zakrivljenosti prostora” (Aleksandar Babitski).
I svi se krećemo od tačke A do tačke B, verujući da su na pravoj liniji.
A zašto je mene, lingvistu, ovo dovelo do fizike, pitate se? Da, jer je sve oko nas, i u nama samima, fizika. Jezik je fizika. Zar zvuk ne pripada oblasti fizike? Sada mi recite šta je samoglasnik? Nudim vam „slatku“ definiciju zvukova za 21. vek: „Mi izgovaramo i čujemo zvukove, pišemo i vidimo slova. Prilikom izgovaranja samoglasnika, zrak ne nailazi na prepreke: [a], [o], [u], [i], [s], [e]. Prilikom izgovaranja suglasnika, zrak nailazi na prepreku: usne, zube, jezik. Zvuk suglasnika se izgovara glasom i bukom ili samo šumom.”
U principu, sve je tačno. Možete jednostavno pjevušiti "samoglasničkim zvukom" bez otvaranja usana. Živjeli u vaše zdravlje. Ali ako otvorite usne, tada ćete dobiti zvukove koji su nam svima poznati, “a”, “e”, koji se razlikuju samo po stepenu zaokruživanja, rastezanja ili uvlačenja usana u cijev. Slažeš li se? To je kao lubenica, koja se može iseći na kriške, kockice, figure, ali i dalje ostaje lubenica!!! I u kom trenutku se zvuk "a" pretvara u "o"? Postoji li jasna granica? Naravno, na kvalitet zvuka samoglasnika može uticati položaj jezika (leđni zvuci), spuštanje vilice, opet sa odgovarajućim položajem jezika, ali to je i dalje ista lubenica, izrezana u oblike.
Zvuk suglasnika je prepreka samoglasniku. Kako se takva barijera može stvoriti? Pročitajte gore: usne, zubi, jezik. Drugim riječima, govorni alati su prilično ograničeni, ali kakvo obilje jezika!!! (Kako vam se sviđa 7 nota i tako obilje muzike?)
Sada razmislimo o tome: mačka ima ovaj set alata, pas, delfin i riba općenito, itd...
„Pa, ​​svratio sam“, kažete. Da, tu sam! Zar nije bilo vremena kada se Zemlja smatrala palačinkom? Zar struja ne postoji samo zato što je ne vidimo i ne čujemo? Ako se dokaže da vakuuma nema, onda je sve tu, ali sve se to može razlikovati, opet, u zavisnosti od alata koji koristimo za ispitivanje i proučavanje objekta. Kako se poboljšava, učimo sve više i više novih stvari koje prije nismo mogli ni zamisliti.
Jezik je formalizacija misli. Gdje je misao formalizirana? Šta znamo o našem svijetu, o sebi? Tražimo druge svjetove ne poznajući svoj! Upravo je to problem!
Šta znamo o jeziku, osim da je formalizovan u zvukovima. Molimo formalizirajte – kummmmarama. Šta je ovo? Ništa, jer samoglasnički zvuk može „nositi“ samo određeni broj suglasničkih glasova, kao što ja sa svojom težinom od 50 kg ne mogu podići teret od 150 kg. Fizika, znaš!
Sada se okrenimo zakrivljenosti prostora i krugu s kojim smo počeli. Recimo da sumnjamo da se jezik razvija ne spiralno (u smislu konteksta), već pravolinijski, a ja vam kažem da „u našem velikom gradu postoji glavna ulica koja prelazi cijeli grad na kojoj ima mnogo drveća. raste i mnogo ljudi hoda…”. Glupost, reci mi gde su znaci interpunkcije? Gdje su zarezi i tačke?
Ali šta su znaci interpunkcije? Oni su znakovi razdvajanja između subjekt-predikatske dopune (sa srodnim definicijama) jedne rečenice i početka druge. Particip nije ništa drugo do množenje: što prolazi = prolazno, dok je proširenje „prelaska“ u „koji prolazi“ već dijeljenje. A ovo je matematika! Ništa iznenađujuće. Svijet je nedjeljiv. Ovo je integritet. Jezik je takođe integritet. Samo je vrijeme da na sve sagledamo novi način. Probudi se i pogledaj okolo. Učite djecu nepravilima, poput „Postoji posebna grupa riječi - predikati (ili kategorija stanja). To su riječi koje označavaju nedinamičko stanje i djeluju kao glavni član (predikat, predikat) jednodijelne bezlične rečenice. Naučnici su još uvijek neodlučni u pogledu statusa riječi državne kategorije. Dakle, riječ POTREBA, zajedno s drugim riječima (izvini, lov, nedostatak vremena, vremena, itd.) je uključena u ovu grupu riječi.”
Shvaćate li o čemu se radi? Ja ne! Za koga je ovo napisano? Vjerovatno za studente. Jadni studenti! Ako čak ni naučnici tu nešto još uvijek nisu shvatili, kako bi djeca to trebala razumjeti? Pitam se da li su nastavnici barem naučili ovu definiciju napamet?
Zato sam napravio svoj YouTube kanal, da jednostavno (na ljudskom jeziku) pričam o glavnom - o jeziku.
Ako vam se nakon čitanja sve ovo (uzgred napisano, na brzinu) čini kao glupost, nemojte žuriti da mi kažete da sam nenormalan. Nazvao sam to beleške iz ludnice. Ako vam se ovo čini nenormalnim, onda živite u suprotnoj kući. Neću to definisati. Živimo u zemlji pobjedničke demokratije i... vrijednosti. Svako ima pravo na svoje mišljenje.

Ljubitelji matematike širom svijeta svake godine četrnaestog marta pojedu parče pite - na kraju krajeva, to je dan Pi, najpoznatijeg iracionalnog broja. Ovaj datum je direktno povezan sa brojem čije su prve cifre 3,14. Pi je omjer obima kruga i njegovog prečnika. Pošto je iracionalan, nemoguće ga je napisati kao razlomak. Ovo je beskonačno dugačak broj. Otkriven je prije više hiljada godina i od tada se neprestano proučava, ali ima li Pi još neke tajne? Od drevnog porijekla do neizvjesne budućnosti, evo nekih od najzanimljivijih činjenica o Pi.

Pamćenje Pi

Rekord u pamćenju decimalnih brojeva pripada Rajviru Meeni iz Indije, koji je uspio upamtiti 70.000 cifara - postavio je rekord 21. marta 2015. godine. Ranije je rekorder bio Chao Lu iz Kine, koji je uspio zapamtiti 67.890 cifara - ovaj rekord je postavljen 2005. godine. Nezvanični rekorder je Akira Haraguchi, koji je 2005. godine snimio sebe na snimku ponavljanja 100.000 cifara, a nedavno je objavio i video u kojem uspijeva zapamtiti 117.000 cifara. Rekord bi postao zvaničan samo da je ovaj video snimljen u prisustvu predstavnika Ginisove knjige rekorda, a bez potvrde ostaje samo impresivna činjenica, ali se ne smatra dostignućem. Ljubitelji matematike vole da pamte broj Pi. Mnogi ljudi koriste razne mnemoničke tehnike, na primjer poeziju, gdje se broj slova u svakoj riječi poklapa sa ciframa Pi. Svaki jezik ima svoje verzije sličnih fraza koje vam pomažu da zapamtite i prvih nekoliko brojeva i čitavih sto.

Postoji Pi jezik

Matematičari, strastveni za književnost, izmislili su dijalekt u kojem broj slova u svim riječima odgovara ciframa Pi tačnim redoslijedom. Pisac Mike Keith je čak napisao knjigu Not a Wake, koja je u potpunosti napisana na Pi. Zaljubljenici u takvu kreativnost pišu svoje radove u potpunosti u skladu s brojem slova i značenjem brojeva. Ovo nema praktičnu primjenu, ali je prilično česta i dobro poznata pojava u krugovima entuzijastičnih naučnika.

Eksponencijalni rast

Pi je beskonačan broj, tako da ljudi po definiciji nikada neće moći utvrditi tačne cifre ovog broja. Međutim, broj decimalnih mjesta se znatno povećao otkako je prvi put korišten Pi. Vavilonci su je takođe koristili, ali im je bio dovoljan delić tri celine i jedna osmina. Kinezi i tvorci Starog zavjeta bili su potpuno ograničeni na troje. Do 1665. Sir Isaac Newton je izračunao 16 cifara Pi. Do 1719. godine francuski matematičar Tom Fante de Lagny izračunao je 127 cifara. Pojava kompjutera je radikalno poboljšala ljudsko znanje o Pi. Od 1949. do 1967. godine, broj cifara poznatih čovjeku je naglo porastao sa 2.037 na 500.000. Trebalo je 105 dana. Naravno, ovo nije granica. Vjerovatno je da će razvojem tehnologije biti moguće uspostaviti još precizniju cifru - budući da je Pi beskonačan, jednostavno ne postoji granica tačnosti, a mogu je ograničiti samo tehničke karakteristike kompjuterske tehnologije.

Ručno izračunavanje Pi

Ako želite sami da pronađete broj, možete se poslužiti starinskom tehnikom - trebat će vam ravnalo, tegla i neki kanap, ili možete koristiti kutomjer i olovku. Nedostatak upotrebe limenke je što ona mora biti okrugla, a tačnost će biti određena koliko dobro osoba može omotati konopac oko nje. Uglomjerom možete nacrtati krug, ali to također zahtijeva vještinu i preciznost, jer neravni krug može ozbiljno izobličiti vaša mjerenja. Preciznija metoda uključuje korištenje geometrije. Podijelite krug na mnogo segmenata, poput pice na kriške, a zatim izračunajte dužinu ravne linije koja bi svaki segment pretvorila u jednakokraki trokut. Zbir strana će dati približan broj Pi. Što više segmenata koristite, to će broj biti tačniji. Naravno, u vašim proračunima nećete se moći približiti rezultatima kompjutera, međutim, ovi jednostavni eksperimenti vam omogućavaju da detaljnije shvatite šta je broj Pi i kako se koristi u matematici.

Otkriće Pi

Stari Babilonci su znali za postojanje broja Pi već prije četiri hiljade godina. Babilonske ploče izračunavaju Pi kao 3,125, a egipatski matematički papirus pokazuje broj 3,1605. U Bibliji je Pi dat u zastarjeloj dužini lakata, a grčki matematičar Arhimed je koristio Pitagorinu teoremu, geometrijski odnos između dužine stranica trokuta i površine figura unutar i izvan kruga, da opišem Pi. Dakle, možemo sa sigurnošću reći da je Pi jedan od najstarijih matematičkih koncepata, iako se tačan naziv ovog broja pojavio relativno nedavno.

Novi pogled na Pi

Čak i prije nego što je broj Pi počeo da se dovodi u korelaciju s krugovima, matematičari su već imali mnogo načina da čak i imenuju ovaj broj. Na primjer, u drevnim udžbenicima matematike može se pronaći fraza na latinskom koja se može grubo prevesti kao „količina koja pokazuje dužinu kada se s njom pomnoži prečnik“. Iracionalni broj postao je poznat kada ga je švajcarski naučnik Leonhard Euler upotrebio u svom radu o trigonometriji 1737. godine. Međutim, grčki simbol za Pi još uvijek nije korišten - to se dogodilo samo u knjizi manje poznatog matematičara Williama Jonesa. Koristio ga je već 1706. godine, ali je dugo ostao nezapažen. S vremenom su naučnici usvojili ovo ime, i sada je to najpoznatija verzija imena, iako se ranije zvalo i Ludolfov broj.

Da li je Pi normalan?

Pi je definitivno čudan broj, ali koliko prati normalne matematičke zakone? Naučnici su već riješili mnoga pitanja vezana za ovaj iracionalni broj, ali neke misterije ostaju. Na primjer, nije poznato koliko se često koriste svi brojevi - brojevi od 0 do 9 trebaju se koristiti u jednakom omjeru. Međutim, statistika se može pratiti od prvih triliona cifara, ali zbog činjenice da je broj beskonačan, nemoguće je bilo šta sa sigurnošću dokazati. Postoje i drugi problemi koji naučnicima još uvijek izmiču. Moguće je da će dalji razvoj nauke pomoći da se oni rasvetle, ali u ovom trenutku to ostaje izvan okvira ljudske inteligencije.

Pi zvuči božanstveno

Naučnici ne mogu odgovoriti na neka pitanja o broju Pi, ali svake godine sve bolje razumiju njegovu suštinu. Već u osamnaestom veku dokazana je iracionalnost ovog broja. Osim toga, dokazano je da je broj transcendentalan. To znači da ne postoji posebna formula koja vam omogućava da izračunate Pi koristeći racionalne brojeve.

Nezadovoljstvo brojem Pi

Mnogi matematičari su jednostavno zaljubljeni u Pi, ali ima i onih koji smatraju da ti brojevi nisu posebno značajni. Osim toga, oni tvrde da je Tau, koji je dvostruko veći od Pi, pogodnije koristiti kao iracionalan broj. Tau pokazuje odnos između obima i polumjera, za koji neki vjeruju da predstavlja logičniju metodu izračunavanja. Međutim, nemoguće je bilo šta nedvosmisleno utvrditi po ovom pitanju, a jedan i drugi broj će uvijek imati pristalice, oba metoda imaju pravo na život, tako da je ovo samo zanimljiva činjenica, a ne razlog da mislite da ne biste trebali koristite broj Pi.

Čemu je Pi jednako? znamo i pamtimo iz škole. Jednako je 3,1415926 i tako dalje... Obična osoba je dovoljno da zna da se ovaj broj dobija tako što se obim kruga podijeli sa njegovim prečnikom. Ali mnogi ljudi znaju da se broj Pi pojavljuje u neočekivanim područjima ne samo matematike i geometrije, već i fizike. Pa, ako se zadubite u detalje prirode ovog broja, primijetit ćete mnoge iznenađujuće stvari među beskrajnim nizovima brojeva. Da li je moguće da Pi krije najdublje tajne univerzuma?

Beskonačan broj

Sam broj Pi se u našem svijetu pojavljuje kao dužina kruga čiji je prečnik jednak jedan. Ali, uprkos činjenici da je segment jednak Pi prilično konačan, broj Pi počinje kao 3,1415926 i ide u beskonačnost u redovima brojeva koji se nikada ne ponavljaju. Prva iznenađujuća činjenica je da se ovaj broj, koji se koristi u geometriji, ne može izraziti kao razlomak cijelih brojeva. Drugim riječima, ne možete ga napisati kao omjer dva broja a/b. Osim toga, broj Pi je transcendentalan. To znači da ne postoji jednačina (polinom) sa cjelobrojnim koeficijentima čije bi rješenje bio broj Pi.

Činjenicu da je broj Pi transcendentalan dokazao je 1882. godine njemački matematičar von Lindemann. Upravo je ovaj dokaz postao odgovor na pitanje da li je moguće, koristeći šestar i ravnalo, nacrtati kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Ovaj problem je poznat kao potraga za kvadratom kruga, koji je zabrinjavao čovječanstvo od davnina. Činilo se da ovaj problem ima jednostavno rješenje i da će biti riješen. Ali upravo je neshvatljivo svojstvo broja Pi pokazalo da ne postoji rješenje za problem kvadrature kruga.

Najmanje četiri i po milenijuma čovečanstvo pokušava da dobije sve precizniju vrednost za Pi. Na primjer, u Bibliji u Trećoj knjizi o kraljevima (7:23), broj Pi se uzima kao 3.

Pi vrijednost izuzetne tačnosti može se naći u piramidama u Gizi: omjer perimetra i visine piramida je 22/7. Ovaj razlomak daje približnu vrijednost Pi jednaku 3,142... Osim ako, naravno, Egipćani slučajno nisu postavili ovaj omjer. Istu vrijednost je već dobio veliki Arhimed u odnosu na izračunavanje broja Pi u 3. vijeku prije nove ere.

U Ahmesovom papirusu, staroegipatskom udžbeniku matematike koji datira iz 1650. godine prije Krista, Pi je izračunat kao 3,160493827.

U drevnim indijskim tekstovima oko 9. veka pre nove ere, najpreciznija vrednost je bila izražena brojem 339/108, koji je bio jednak 3,1388...

Skoro dvije hiljade godina nakon Arhimeda, ljudi su pokušavali pronaći načine da izračunaju Pi. Među njima su bili i poznati i nepoznati matematičari. Na primjer, rimski arhitekta Marcus Vitruvius Pollio, egipatski astronom Klaudije Ptolomej, kineski matematičar Liu Hui, indijski mudrac Aryabhata, srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznat kao Fibonacci, arapski naučnik Al-Khwarizmi, iz čijeg je imena riječ pojavio se “algoritam”. Svi oni i mnogi drugi ljudi tražili su najtačnije metode za izračunavanje Pi, ali sve do 15. vijeka nikada nisu dobili više od 10 decimalnih mjesta zbog složenosti izračunavanja.

Konačno, 1400. godine, indijski matematičar Madhava iz Sangamagrama izračunao je Pi sa tačnošću od 13 cifara (iako je ipak pogriješio u posljednje dvije).

Broj znakova

U 17. veku, Leibniz i Newton su otkrili analizu beskonačno malih veličina, što je omogućilo progresivnije izračunavanje Pi - putem nizova stepena i integrala. Sam Newton je izračunao 16 decimalnih mjesta, ali to nije spomenuo u svojim knjigama - to je postalo poznato nakon njegove smrti. Njutn je tvrdio da je Pi izračunao čisto iz dosade.

Otprilike u isto vrijeme, javili su se i drugi manje poznati matematičari koji su predložili nove formule za izračunavanje Pi pomoću trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, ovo je formula koju je 1706. godine koristio za izračunavanje broja Pi učitelj astronomije John Machin: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Koristeći analitičke metode, Machin je iz ove formule izveo broj Pi na sto decimalnih mjesta.

Inače, iste 1706. broj Pi je dobio službenu oznaku u obliku grčkog slova: William Jones ga je koristio u svom radu o matematici, uzimajući prvo slovo grčke riječi "periferija", što znači "krug". .” Veliki Leonhard Euler, rođen 1707. godine, popularizirao je ovu oznaku, danas poznatu svakom školskom djetetu.

Prije ere kompjutera, matematičari su radili na izračunavanju što više znakova. S tim u vezi, ponekad su se javljale smiješne stvari. Matematičar amater W. Shanks izračunao je 707 cifara Pi 1875. godine. Ovih sedam stotina znakova ovjekovječeno je na zidu Palais des Discoverys u Parizu 1937. godine. Međutim, devet godina kasnije, pažljivi matematičari su otkrili da je samo prvih 527 znakova bilo ispravno izračunato. Muzej je morao da podnese značajne troškove da ispravi grešku - sada su sve brojke tačne.

Kada su se pojavili kompjuteri, broj cifara Pi je počeo da se računa potpuno nezamislivim redosledom.

Jedan od prvih elektronskih računara, ENIAC, stvoren 1946. godine, bio je ogromne veličine i generisao je toliko toplote da se prostorija zagrejala na 50 stepeni Celzijusa, izračunavši prvih 2037 cifara Pi. Ovaj proračun je mašini trajao 70 sati.

Kako su se kompjuteri poboljšavali, naše znanje o Pi se pomicalo sve dalje i dalje u beskonačnost. Godine 1958. izračunato je 10 hiljada cifara broja. Japanci su 1987. izračunali 10.013.395 znakova. Japanski istraživač Shigeru Hondo je 2011. godine premašio granicu od 10 triliona znakova.

Gdje još možete upoznati Pi?

Dakle, često naše znanje o broju Pi ostaje na nivou škole, a pouzdano znamo da je ovaj broj nezamjenjiv prvenstveno u geometriji.

Pored formula za dužinu i površinu kruga, broj Pi se koristi u formulama za elipse, kugle, stošce, cilindre, elipsoide i tako dalje: na nekim mjestima formule su jednostavne i lako pamtljive, ali u drugima sadrže vrlo složene integrale.

Tada možemo sresti broj Pi u matematičkim formulama, gdje se na prvi pogled geometrija ne vidi. Na primjer, neodređeni integral od 1/(1-x^2) jednak je Pi.

Pi se često koristi u analizi serija. Na primjer, evo jednostavnog niza koji konvergira na Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Među serijama, Pi se najneočekivanije pojavljuje u poznatoj Riemann zeta funkciji. Nemoguće je govoriti o tome ukratko, recimo da će jednog dana broj Pi pomoći u pronalaženju formule za izračunavanje prostih brojeva.

I apsolutno iznenađujuće: Pi se pojavljuje u dvije najljepše „kraljevske“ formule matematike - Stirlingovoj formuli (koja pomaže da se pronađe približna vrijednost faktorijala i gama funkcije) i Eulerovoj formuli (koja povezuje čak pet matematičkih konstanti).

Međutim, najneočekivanije otkriće čekalo je matematičare u teoriji vjerovatnoće. Broj Pi je takođe tu.

Na primjer, vjerovatnoća da će dva broja biti relativno prosta je 6/PI^2.

Pi se pojavljuje u Buffonovom problemu bacanja igle, formulisanom u 18. veku: kolika je verovatnoća da će igla bačena na obrubljen komad papira preći jednu od linija. Ako je dužina igle L, a razmak između linija L, i r > L, tada možemo približno izračunati vrijednost Pi koristeći formulu vjerovatnoće 2L/rPI. Zamislite samo - Pi možemo dobiti iz slučajnih događaja. I usput, Pi je prisutan u normalnoj raspodjeli vjerovatnoće, pojavljuje se u jednadžbi poznate Gaussove krive. Znači li to da je Pi još fundamentalniji od jednostavnog omjera obima i prečnika?

Pi možemo sresti i u fizici. Pi se pojavljuje u Coulombovom zakonu, koji opisuje silu interakcije između dva naboja, u trećem Keplerovom zakonu, koji pokazuje period okretanja planete oko Sunca, a čak se pojavljuje i u rasporedu elektronskih orbitala atoma vodika. A ono što je opet najnevjerovatnije je da se broj Pi krije u formuli Hajzenbergovog principa nesigurnosti – temeljnog zakona kvantne fizike.

Tajne Pi

U romanu Kontakt Carla Sagana, na kojem je baziran istoimeni film, vanzemaljci govore heroini da među znakovima Pi postoji tajna poruka od Boga. Sa određene pozicije, brojevi u broju prestaju biti nasumični i predstavljaju šifru u kojoj su zapisane sve tajne Univerzuma.

Ovaj roman je zapravo odražavao misteriju koja je okupirala umove matematičara širom svijeta: da li je Pi normalan broj u kojem su cifre razbacane jednakom frekvencijom ili nešto nije u redu sa ovim brojem? I iako su naučnici skloni prvoj opciji (ali to ne mogu dokazati), broj Pi izgleda vrlo misteriozno. Jedan Japanac je jednom izračunao koliko puta se brojevi od 0 do 9 pojavljuju u prvih triliona cifara broja Pi. I vidio sam da su brojevi 2, 4 i 8 češći od ostalih. Ovo može biti jedan od nagoveštaja da Pi nije sasvim normalan i da brojevi u njemu zaista nisu slučajni.

Prisjetimo se svega što smo pročitali gore i zapitajmo se, koji se drugi iracionalni i transcendentalni broj tako često nalazi u stvarnom svijetu?

A ima još neobičnih stvari. Na primjer, zbir prvih dvadeset cifara broja Pi je 20, a zbir prvih 144 cifara jednak je "broju zvijeri" 666.

Glavni lik američke TV serije "Osumnjičeni", profesor Finch, rekao je studentima da se zbog beskonačnosti broja Pi u njemu može pronaći bilo koja kombinacija brojeva, od brojeva vašeg datuma rođenja do složenijih brojeva . Na primjer, na poziciji 762 nalazi se niz od šest devetki. Ova pozicija se zove Feynmanova tačka po slavnom fizičaru koji je uočio ovu zanimljivu kombinaciju.

Takođe znamo da broj Pi sadrži niz 0123456789, ali se nalazi na 17.387.594.880.

Sve to znači da se u beskonačnosti broja Pi mogu pronaći ne samo zanimljive kombinacije brojeva, već i kodirani tekst „Rata i mira“, Biblije, pa čak i Glavne tajne svemira, ako postoji.

Usput, o Bibliji. Čuveni popularizator matematike Martin Gardner izjavio je 1966. da će milioniti broj Pi (u to vrijeme još nepoznat) biti broj 5. Svoje proračune je objasnio činjenicom da je u engleskoj verziji Biblije, u 3. knjiga, 14. poglavlje, 16. stih (3-14-16) sedma riječ sadrži pet slova. Milionita brojka je dostignuta osam godina kasnije. Bio je to broj pet.

Vrijedi li nakon ovoga tvrditi da je broj Pi slučajan?