Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije u UNT zadacima. Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija - Hipermarket znanja Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija njuške

Razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

1. Broj e Funkcija y = e x, njena svojstva, graf, diferencijacija

Razmotrimo eksponencijalnu funkcija y=a x, gdje je a > 1. Za različite baze a dobijamo različite grafove (sl. 232-234), ali možete primijetiti da svi prolaze kroz tačku (0; 1), svi imaju horizontalnu asimptotu y = 0 na , svi su konveksno okrenuti prema dolje i, konačno, svi imaju tangente u svim svojim točkama. Nacrtajmo, na primjer, tangentu na grafika funkcija y=2x u tački x = 0 (Sl. 232). Ako napravite precizne konstrukcije i mjerenja, možete osigurati da ova tangenta formira ugao od 35° (približno) sa x-osom.

Sada nacrtajmo tangentu na graf funkcije y = 3 x, takođe u tački x = 0 (Sl. 233). Ovdje će ugao između tangente i x-ose biti veći - 48°. I za eksponencijalnu funkciju y = 10 x u sličnom
situaciji dobijamo ugao od 66,5° (Sl. 234).

Dakle, ako se baza a eksponencijalne funkcije y=ax postepeno povećava od 2 do 10, tada se ugao između tangente na graf funkcije u tački x=0 i x-ose postepeno povećava od 35° do 66,5 °. Logično je pretpostaviti da postoji osnova a kojoj je odgovarajući ugao 45°. Ova baza mora biti zatvorena između brojeva 2 i 3, jer za funkciju y-2x ugao koji nas zanima iznosi 35°, što je manje od 45°, a za funkciju y=3 x je jednako 48°. , što je već nešto više od 45°. Osnovu koja nas zanima obično označavamo slovom e. Utvrđeno je da je broj e iracionalan, tj. predstavlja beskonačan decimalni neperiodični frakcija:

e = 2,7182818284590...;

u praksi se obično pretpostavlja da je e=2,7.

Komentar(nije baš ozbiljno). Jasno je da je L.N. Tolstoj nema nikakve veze sa brojem e, međutim, u pisanju broja e, imajte na umu da se broj 1828 ponavlja dva puta zaredom - godina rođenja L.N. Tolstoj.

Grafikon funkcije y=e x prikazan je na sl. 235. Ovo je eksponencijal koji se razlikuje od ostalih eksponencijala (grafova eksponencijalnih funkcija sa drugim bazama) po tome što je ugao između tangente na graf u tački x=0 i x-ose 45°.

Svojstva funkcije y = e x:

1)
2) nije ni paran ni neparan;
3) povećanja;
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo;
5) nema ni najveću ni najmanju vrednost;
6) kontinuirano;
7)
8) konveksno nadole;
9) diferencibilan.

Vratite se na § 45, pogledajte listu svojstava eksponencijalne funkcije y = a x za a > 1. Naći ćete ista svojstva 1-8 (što je sasvim prirodno), a deveto svojstvo povezano sa
tada nismo spomenuli diferencijabilnost funkcije. Hajde da razgovaramo o tome sada.

Izvedemo formulu za pronalaženje izvoda y-ex. U ovom slučaju nećemo koristiti uobičajeni algoritam, koji smo razvili u § 32 i koji je uspješno korišten više puta. U ovom algoritmu je u završnoj fazi potrebno izračunati granicu, a naše znanje o teoriji granica je i dalje vrlo, vrlo ograničeno. Stoga ćemo se osloniti na geometrijske premise, uzimajući u obzir, posebno, samu činjenicu postojanja tangente na graf eksponencijalne funkcije bez sumnje (zato smo tako samouvjereno zapisali deveto svojstvo u gornjoj listi svojstava - diferencijabilnost funkcije y = e x).

1. Imajte na umu da za funkciju y = f(x), gdje je f(x) =ex, već znamo vrijednost derivacije u tački x =0: f / = tan45°=1.

2. Uvedimo funkciju y=g(x), gdje je g(x) -f(x-a), tj. g(x)-ex" a. Slika 236 prikazuje grafik funkcije y = g(x): dobija se iz grafika funkcije y - fx) pomeranjem duž x ose za |a| jedinice skale Tangenta na grafik funkcije y = g (x) u tački x-a je paralelna sa tangentom na graf funkcije y = f(x) u tački x -0 (vidi sliku 236), što znači da je ona. formira ugao od 45° sa osom x Koristeći geometrijsko značenje derivacije, možemo ga zapisati da je g(a) =tg45°;=1.

3. Vratimo se na funkciju y = f(x). Imamo:

4. Utvrdili smo da je za bilo koju vrijednost a relacija važeća. Umjesto slova a, možete, naravno, koristiti slovo x; onda dobijamo

Iz ove formule dobijamo odgovarajuću formulu integracije:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu; Integrisane lekcije

Pregled lekcije

Predmet: Algebra

Datum: 2.04.13.

Razred: 11. razred

Nastavnik: Tyshibaeva N.Sh.

Predmet: Diferencijacija logaritamskih i eksponencijalnih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije.

Cilj:

1) formulisati formule za izvode logaritamskih i eksponencijalnih funkcija; naučiti kako pronaći antiderivat eksponencijalne funkcije

2) razvijati pamćenje, zapažanje, logičko mišljenje, matematički govor učenika, sposobnost analize i poređenja, razvijati kognitivni interes za predmet;

3) negovati komunikativnu kulturu učenika, vještine kolektivne aktivnosti, saradnje i uzajamne pomoći.

Vrsta lekcije: objašnjavanje novog gradiva i učvršćivanje stečenih znanja, vještina i sposobnosti.

Oprema : kartice, interaktivna tabla.

tehnologija: diferenciran pristup

Tokom nastave:

1.Org. trenutak .(2min) .

2. Rješavanje ukrštenice (8 min)

1. Francuski matematičar iz 17. vijeka Pierre Fermat definirao je ovu liniju kao “pravu koja je najbliža krivulji u malom susjedstvu tačke.”

Tangenta

2.Funkcija, koja je data formulom y = sjekira.

Indikativno

3. Funkcija, koja je data formulom y = log sjekira.

Logaritamski

4. Derivat pomaka

Brzina

5.Kako se zove funkcija F(x) za funkciju f(x), ako je za bilo koju tačku iz intervala I zadovoljen uslov F"(x) =f(x).

Antiderivativ

6. Kako se zove odnos između X i Y, u kojem je svaki element X povezan sa jednim elementom Y.

Funkcija

7. Ako se funkcija f(x) može predstaviti u obliku f(x)=g(t(x)), onda se ova funkcija naziva...

Kompleks

Vertikalna riječ prezime francuskog matematičara i mehaničara

Lagrange

3.Objašnjenje novog materijala: (10 min)

Eksponencijalna funkcija u bilo kojoj tački u domeni definicije ima izvod i ovaj izvod se nalazi po formuli:

(.U a u formuli zamjenjujemo broj i na e, dobijamo

(e x)" = e x_ formula derivat eksponencijala
Logaritamska funkcija ima izvod u bilo kojoj tački u svojoj domeni definicije, a ovaj izvod se nalazi po formuli:

(log a x)" = zamijenite broj u formuli i na e, dobijamo

Eksponencijalna funkcija y =(A u bilo kojoj tački u domeni definicije ima antiderivat i ovaj antiderivat se nalazi po formuli F(x) =+ C

4. Konsolidacija novog materijala (20 min)

Matematički diktat.

1. Napišite formulu za izvod eksponencijalne funkcije (a X)"

(a x)" = a x ln a

2. Zapišite formulu za izvod eksponencijala. (e X)"

(e x )" = e x

3. Zapišite formulu za izvod prirodnog logaritma

4. Zapišite formulu za izvod logaritamske funkcije (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = a X .

F(x) = + C

6. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju:, x≠0. F(x)=ln|x|+S

Radite za odborom

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D/z br. 257, br. 261 (2 min)

7. Sažetak lekcije: (3 min)

- Koja je formula za logaritamsku funkciju?

Koja formula definira eksponencijalnu funkciju?

Koja se formula koristi za pronalaženje izvoda logaritamske funkcije?

Koja se formula koristi za pronalaženje izvoda eksponencijalne funkcije

Završeni radovi

DEGREE WORKS

Mnogo toga je već prošlo i sada ste diplomirani, ako, naravno, napišete tezu na vrijeme. Ali život je takva stvar da ti tek sada postaje jasno da ćeš, prestajući da budeš student, izgubiti sve studentske radosti, od kojih mnoge nikada nisi probao, odlažući sve i odlažući za kasnije. I sada, umjesto da sustižete, radite na svojoj tezi? Postoji odlično rješenje: preuzmite tezu koja vam je potrebna s naše web stranice - i odmah ćete imati puno slobodnog vremena!
Teze su uspješno odbranjene na vodećim univerzitetima Republike Kazahstan.
Trošak rada od 20.000 tenge

RADOVI NA PREDMETU

Kursni projekat je prvi ozbiljniji praktični rad. Upravo sa pisanjem predmeta počinje priprema za izradu diplomskih projekata. Ako student nauči pravilno predstaviti sadržaj teme u predmetnom projektu i kompetentno ga formatirati, u budućnosti neće imati problema s pisanjem izvještaja, sastavljanjem teza ili obavljanjem drugih praktičnih zadataka. U cilju pomoći studentima u pisanju ovakvog studentskog rada i razjašnjenja pitanja koja se javljaju tokom njegove izrade, u stvari, kreirana je ova informativna rubrika.
Trošak rada od 2.500 tenge

MAGISTARSKE DISERTACIJE

Trenutno je u visokoškolskim ustanovama Kazahstana i zemalja ZND veoma čest nivo visokog stručnog obrazovanja koji sledi nakon diplome - master. Na master programu studenti studiraju s ciljem sticanja magistarske diplome, koja je u većini zemalja svijeta priznata više od diplome bachelor, a priznaju je i strani poslodavci. Rezultat magistarskog studija je odbrana magistarskog rada.
Obezbedićemo Vam ažuran analitički i tekstualni materijal u cenu su uključena 2 naučna članka i sažetak.
Trošak rada od 35.000 tenge

IZVJEŠTAJI O PRAKSI

Nakon završene bilo koje vrste studentske prakse (obrazovne, industrijske, preddiplomske) obavezan je izvještaj. Ovaj dokument će biti potvrda studentovog praktičnog rada i osnova za formiranje ocjene za praksu. Obično, da biste sastavili izvještaj o stažiranju, potrebno je prikupiti i analizirati podatke o preduzeću, razmotriti strukturu i radnu rutinu organizacije u kojoj se praksa obavlja, izraditi kalendarski plan i opisati svoju praktičnu aktivnosti.
Pomoći ćemo vam da napišete izvještaj o vašoj praksi, uzimajući u obzir specifičnosti djelatnosti određenog preduzeća.

Tema lekcije: „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije" u UNT zadacima

Target : razvijati vještine učenika u primjeni teorijskih znanja na temu „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije" za rješavanje UNT problema.

Zadaci

edukativni: sistematizirati teorijska znanja učenika, konsolidirati vještine rješavanja problema na ovu temu.

edukativni: razvijati pamćenje, zapažanje, logičko mišljenje, matematički govor učenika, pažnju, samopoštovanje i sposobnosti samokontrole.

edukativni: doprinijeti:

razvijanje odgovornog odnosa prema učenju kod učenika;

razvoj održivog interesovanja za matematiku;

stvaranje pozitivne unutrašnje motivacije za učenje matematike.

Nastavne metode: verbalno, vizuelno, praktično.

Oblici rada: individualno, frontalno, u paru.

Tokom nastave

Epigraf: „Um nije samo u znanju, već i u sposobnosti da se znanje primeni u praksi“ Aristotel (slajd 2)

I. Organizacioni momenat.

II. Rješavanje ukrštenice. (slajd 3-21)

Francuski matematičar iz 17. veka Pjer Fermat definisao je ovu liniju kao „pravu koja je najbliža krivoj u malom kraju tačke“.

Tangenta

Funkcija koja je data formulom y = log a x.

Logaritamski

Funkcija koja je data formulom y = A X.

Indikativno

U matematici se ovaj koncept koristi za pronalaženje brzine kretanja materijalne tačke i ugaonog koeficijenta tangente na graf funkcije u datoj tački.

Derivat

Kako se zove funkcija F(x) za funkciju f(x), ako je uslov F"(x) =f(x) zadovoljen za bilo koju tačku iz intervala I.

Antiderivativ

Kako se zove odnos između X i Y, u kojem je svaki element X povezan s jednim elementom Y.

Derivat pomaka

Brzina

Funkcija koja je data formulom y = e x.

Izlagač

Ako se funkcija f(x) može predstaviti kao f(x)=g(t(x)), tada se ova funkcija naziva...

III. Matematički diktat (slajd 22)

1. Zapišite formulu za izvod eksponencijalne funkcije. ( A x)" = A x ln a

2. Zapišite formulu za izvod eksponencijala. (e x)" = e x

3. Zapišite formulu za izvod prirodnog logaritma. (ln x)"=

4. Zapišite formulu za izvod logaritamske funkcije. (log a x)"=

5. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = A X. F(x)=

6. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Provjerite svoj rad (odgovori na slajdu 23).

IV. Rješavanje UNT problema (simulator)

A) Br. 1,2,3,6,10,36 na tabli i u svesci (slajd 24)

B) Rad u parovima br. 19,28 (simulator) (slajd 25-26)

V. 1. Pronađi greške: (slajd 27)

1) f(x)=5 e – 3h, f "(x)= – 3 e – 3h

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4h), f "(x)=
.

VI. Studentska prezentacija.

Epigraf: „Znanje je toliko dragoceno da ga nije sramota dobiti iz bilo kog izvora“ Toma Akvinski (slajd 28)

VII. Domaća zadaća br. 19,20 str.116

VIII. Test (rezervni zadatak) (slajd 29-32)

IX. Sažetak lekcije.

“Ako želite da učestvujete u velikom životu, onda napunite glavu matematikom dok imate priliku. Ona će vam tada pružiti veliku pomoć tokom vašeg života” M. Kalinjin (slajd 33)

Čas algebre u 11. razredu na temu: “Diferencijacija i integracija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija”

Ciljevi lekcije:

Sistematizirati proučeno gradivo na temu “Eksponencijalne i logaritamske funkcije”.

Razvijati sposobnost rješavanja problema koji uključuju diferencijaciju i integraciju eksponencijalnih i logaritamskih funkcija.

Koristiti mogućnosti informacione tehnologije za razvoj motivacije za proučavanje složenih tema u matematičkoj analizi.

Navedite zahtjeve za završetak probnog rada na ovu temu u sljedećoj lekciji.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat (1 – 2 minuta).

Nastavnik saopštava ciljeve časa.

Odeljenje je podeljeno u 4 grupe.

II. Blitz anketa po formulama (domaći zadatak).

Razgovor u formi dijaloga sa učenicima.

Recimo da ste deponovali 10.000 rubalja u banci uz kamatnu stopu od 12% godišnje. Za koliko godina će se vaša investicija udvostručiti?

Da bismo to učinili, moramo riješiti jednačinu: , tj Kako?

Moramo ići na bazu 10, odnosno (pomoću kalkulatora)

Dakle, udvostručenje doprinosa će se desiti za šest godina (nešto više).

Ovdje nam je bila potrebna formula za prelazak u novu bazu. Koje formule za diferencijaciju i integraciju logaritamskih i eksponencijalnih funkcija znate? (sve formule su preuzete sa stranica udžbenika, str. 81, str. 86).

Pitanja jedno drugom u lancu.

Pitanja za nastavnika.

Nastavnik traži da izvede 1–2 formule.

Na odvojenim malim komadićima papira nalazi se matematički diktat o poznavanju formula. U toku je međusobna provjera. Seniori u grupama prikazuju prosječan aritmetički rezultat i unose ga u tabelu.

Tabela aktivnosti

Vrsta aktivnosti
1. Poznavanje formula.
2. Individualno znanje. Raditi u parovima.
3. Usmeni rad.
4. Kontrolni testovi (računarska procjena).
5. Samostalni rad (obavezni nivoi zadataka).
6. Zadaci povećane složenosti.

III. Usmeni rad:

Odrediti broj rješenja jednadžbi.

A) ;

B) ;

Nakon što učenici odgovore koristeći grafoskop, na ekranu se prikazuju grafikoni.

A) 2 rješenja

B) 1 rješenje

Dodatno pitanje: Pronađite najveću vrijednost funkcije

Opadajuća funkcija ima najveću vrijednost kada indikator ima najmanju vrijednost.

(2 načina)

IV. Individualni rad.

Tokom usmenog rada, po 2 osobe iz svake grupe rade individualne zadatke.

1. grupa: Jedan istražuje funkciju, drugi ima grafikon ove funkcije na interaktivnoj ploči.

Dodatno pitanje:. Odgovor: (Br e? Vidi stranicu 86 udžbenika).

Grupa 2: Pronađite krivu koja prolazi kroz tačku n (0; 2) ako je nagib tangente u bilo kojoj tački krive jednak proizvodu koordinata tačke tangente. Jedan sastavlja diferencijalnu jednačinu i nalazi opšte rješenje, drugi pronalazi određeno rješenje koristeći početne uslove.

odgovor:

Dodatno pitanje: Koliki je ugao između tangente povučene u tački X = 0 na grafik funkcije y = e x i x-osa. (45 o)

Grafikon ove funkcije naziva se “eksponent” (Pronađite informacije o tome u udžbeniku i provjerite svoje obrazloženje s objašnjenjima u udžbeniku, stranica 86).

Grupa 3:

Uporedite

Jedan upoređuje pomoću mikrokalkulatora, a drugi bez.

Dodatno pitanje: Odrediti pri čemu je x0 jednakost ?

odgovor: x = 2 0,5.

Grupa 4: Dokaži to

Dokaz na različite načine.

Dodatno pitanje: Pronađite približnu vrijednost e 1.01. Uporedite svoju vrijednost sa odgovorom u primjeru 2 (strana 86 udžbenika).

V. Rad sa udžbenikom.

Djeca su pozvana da razmotre primjere iz primjera 1 - primjer 9 (stranice 81 - 84 udžbenika). Na osnovu ovih primjera izvršite kontrolne testove.

VI. Kontrolni testovi.

Zadatak je na ekranu. U toku je diskusija. Odabire se tačan odgovor i daje se obrazloženje. Računar daje rezultat. Najstariji u grupi beleži u tabeli aktivnost svojih drugova tokom testa.

1) Zadata funkcija f(x)= 2-e 3x . Odredi pri kojoj vrijednosti C graf njegovog antiderivata F(x)+C prolazi kroz tačku M (1/3;-e/3)

Odgovor: a) e-1 ; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.

2) Zadata funkcija f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Nađi f"(2/3)

Odgovor: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.

3) Da li funkcija zadovoljava y = e sjekira jednačina y" = ay.

Odgovor: a) da; b) ne; c) sve zavisi od oboje; d) nemoguće je reći definitivno.

VII. Samostalan rad.

Zadaci obaveznog nivoa: Pronađite ekstremne tačke funkcija.

		III grupa

Najstariji u grupi za ovaj zadatak stavlja bodove u tabelu.

U ovom trenutku po jedna osoba iz svake grupe radi za tablom sa zadacima povećane složenosti.

		III grupa

Nastavnik usput pokazuje kompletnu pisanu dokumentaciju zadataka (projicira se na ekran, što je veoma važno za završetak narednog testa).

VIII. Zadaća.

IX. Sažetak lekcije:

Dodjela ocjena uzimajući u obzir osvojene bodove. Norme ocjena za predstojeći ispitni rad na sljedećem času.