Теореми за площите на фигурите. Площ на правоъгълник

Историческа информация

В Киевска Рус не е имало мерки за площ като квадратни мерки, съдейки по оцелелите източници. Въпреки че древните руски архитекти и земемери са имали представа за тях.

Необходими са били мерки за площ, за да се определи размерът на парцелите. Парцелите не винаги са били ясно разграничени, допирали са се, имали са гранични знаци.

В древна Русия за целите на данъчното облагане са използвани чисто конвенционални единици, които характеризират труда или селскостопанските инструменти, както и мерки, основани на трудовите възможности. Оттук и такива наименования на селскостопански мерки (данъчни единици) като "къща" (семейство) или "дим", "рало", "рало", "обжа" и др. Трудовият характер на мерките "ора" и "обжа" и връзката им е ясна от оцелелия отговор на новгородците на искането на Иван III през 1478 г.: „Три обжи - плуг, и обжа - 1 човек за 1 кон викове (ора); и който е на 3 коня и третият вика, иначе е плуг.”

Въпреки несигурността в геометричния смисъл, мерките за „сеитба“ се оказаха по-удобни за фермерите, освен това размерът на данъчното облагане беше определен по-обективно и по-точно.

За сенокосите мерките за „добив“ — бали сено — бяха широко използвани. Купчините понякога са били използвани като мерки за посевни площи.

Всички мерки за „труд“, „жътва“ и „сеитба“ съдържаха елементи на субективизъм и произвол, които се проявяваха пряко в практиката на използване на тези мерки.

По време на феодалната разпокъсаност на Рус като мерки за площ се използват „къща“ (дим), „рало“ и „обжа“. Но те се различават по брой в зависимост от княжеството. Разлики имаше и в наименованията на мерките. В Новгород, например, „коробя“ (площта, върху която е засята кутия ръж - мярка за обем) се използва като мярка за сеитба.

Площта на зоните за сенокос беше оценена от купа сено (площта на ливадата, на която може да се отреже купа сено). Тези мерки позволиха да се определи добивът, но не дадоха пълна картина на формата и размера на парцелите.

В средата на 13 век татарите извършват мащабна инвентаризация на земите. Описите се основават на индивидуалното домакинство („къща“ или „дим“) като мерна единица.

В паметниците на древната писменост от края на XIV век се споменава геометрична мярка за земна площ - десятък. Първоначално се използва „кръгъл“ десятък - квадрат със страна, равна на една десета от верста (50 сажена), откъдето идва и името „десятък“. От средата на 15 век десятъкът започва да се използва и за обработваема земя, а не само за сенокоси. От този момент нататък можем да говорим за използването на истински мерки в метрологичния смисъл на думата в земемерната практика.

Преходът от тримесечие към десятък се оказа труден, тъй като тримесечието се основаваше на действително засятото зърно, това беше ясно на всички, освен това определението на земните площи в тримесечия беше записано в книгите на писарите.

формула за доказателство за измерване на площ

Площ на многоъгълник и неговите свойства

Площта на полигона е размерът на частта от равнината, която полигонът заема. Измерването на площи се извършва с помощта на избраната мерна единица по същия начин, както се измерват дължините на сегменти. Мерната единица за площи е квадрат, чиято страна е равна на мерната единица за сегменти. Квадратни сантиметърозначен с cm 2. Определено по подобен начин квадратен метър (m2), квадратен милиметър(mm 2) и др.

С избраната единица площ площта на всеки многоъгълник се изразява като положително число. Това число показва колко пъти една мерна единица и нейните части се вписват в даден многоъгълник.

Обикновено се измерват само някои от сегментите, свързани с многоъгълника, и след това площта се изчислява с помощта на определени формули.

Извеждането на тези формули се основава на свойствата на площите, които сега ще разгледаме.

На първо място, отбелязваме, че ако два полигона са равни, тогава единицата за измерване на площите и нейните части се вписват в такива полигони еднакъв брой пъти, т.е. има следното свойство:

1. Еднаквите многоъгълници имат равни повърхнини

Освен това, нека един полигон е съставен от няколко полигона, така че вътрешните области на всеки два от тези полигони да нямат общи точки. Очевидно размерът на частта от равнината, заета от целия многоъгълник, е сумата от размерите на онези части от равнината, заети от многоъгълниците, които я съставят. Така:

2. Ако многоъгълник е съставен от няколко многоъгълника, тогава неговата площ е равна на сумата от площите на тези многоъгълници

Свойствата 1 0 и 2 0 се наричат основни свойства на площите.Дължините на сегментите имат подобни свойства.

Наред с тези свойства се нуждаем от още едно свойство на площите.

3. Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна

Кратка формулировка на това свойство трябва да се разбира по следния начин: ако страната на квадрат с избраната мерна единица от сегменти се изразява с числото а,тогава площта на този квадрат се изразява с числото а 2.

Квадратна площ

Нека докажем, че площта S на квадрат със страна a е равна на a 2.

Нека започнем с факта, че a =

, където n е цяло число. Нека вземем квадрат със страна 1 и го разделим на n 2 равни квадрата, както е показано на фигура a) (на фигура n=5). Тъй като площта на големия квадрат е 1, площта на всеки малък квадрат е . Страната на всеки малък квадрат е равна, т.е. равна на А. И така, = (формула 1)

Нека сега числото Апредставлява крайна десетична дроб, съдържаща n знака след десетичната запетая (По-конкретно, числото Аможе да бъде цяло число и тогава n=0). Тогава числото m=

цяло. Нека разделим този квадрат със страна a на m 2 равни квадрата, както е показано на фигура b) (на фигура m=7)
Освен това всяка страна на даден квадрат ще бъде разделена на m равни части и следователно страната на всеки малък квадрат е равна на

Според формула 1, площта на малък квадрат е

. Следователно площта S на този квадрат е равна на

И накрая, нека броят Апредставлява безкрайна десетична дроб. Нека разгледаме числото a, получено от Ачрез изхвърляне на всички десетични знаци след десетичната запетая, като се започне от (n+1) – th. Тъй като броят Асе различава от А нне повече от

, Че , където

Ясно е, че площта S на даден квадрат се съдържа между площта на квадрат със страна

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площта на триъгълник по страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
   
2. Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
   
3. Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формула за площта на квадрат по дължината на страната
   Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
   Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.

Формули за площ на успоредник

1. Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
   Площ на успоредник
2. Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
   Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sin α

където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
   Площ на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
2. Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
   Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
   Площ на ромбравно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   Където S е площта на трапеца,
   - дължини на основите на трапеца,
   - дължини на страните на трапеца,
   

Най-древните понятия в развитието на световната геометрия са понятията за областите на много праволинейни фигури, включително: правоъгълник, успоредник, триъгълник и трапец. Още през 7 век пр. н. е. египтяните са знаели как да изчислят площта на правоъгълник. Те умножиха дължината по ширината.

Вавилонската аритметика и алгебра също са били доста развити, както свидетелстват клинописните плочки, открити при разкопки. Вавилонската геометрия имаше представа за пропорционалността на сегментите, които бяха пресечени от успоредни линии, както и теоремата на Питагор и дори изчисляването на обемите и площите на някои фигури. В същото време вавилонците приемат конкретни предмети от бита като пространствени фигури. Например, когато строят кръгли сгради, те приблизително изчисляват обиколката от трите й диаметъра. Те изчисляват площта на правоъгълника по броя на направените стъпки. Очевидно за това време подобни дефиниции на ценностите са били съвсем приемливи. Такава приложна геометрия беше характерна за много народи по света и се използваше широко при решаването на различни спорни ежедневни въпроси.

Изключителният учен на своето време Архимед използва метода на изчерпване, за да докаже теореми за площите на фигурите. Всъщност това не е нищо повече от косвено доказателство, което започва с противоречие. Основната идея на метода на Архимед е, че правилните фигури трябва да бъдат вписани във фигурата, чиято площ се търси. Използвайки варианти на метода на изчерпване, изключителният учен успя да докаже много теореми.

Теорема:Площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни.

S = аб

И така, имаме правоъгълник с две страни - а И b . Площта на правоъгълника - С . Нека докажем това S = аб .

Нека превърнем нашия правоъгълник в квадрат. За да направите това, нека увеличим страната му b до дължината на страната а

В резултат на това получихме четири квадрата. Знаем, че площта на квадрат е (a + b) 2 . В същото време тези квадрати са съставени от два правоъгълника: един правоъгълник с площ S и същия правоъгълник със същата площ, както и два квадрата с площи а 2 И б 2 . Въз основа на факта, че нашият четириъгълник се състои не от един четириъгълник, а от няколко, неговата площ ще бъде равна на сумата от всички площи на тези четириъгълници. Това идва от свойството площи.

Квадрате правилен четириъгълник, в който всички страни и ъгли са равни помежду си.
Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна:
S = a 2

Доказателство

Да започнем със случая, когато a = 1/n, където n е цяло число.
Нека вземем квадрат със страна 1 и го разделим на n 2 равни квадрата, както е показано на фигура 1.

Тъй като площта на големия квадрат е равна на единица, площта на всеки малък квадрат е равна на 1/n 2. Страната на всеки малък квадрат е 1/n, т.е. равна на a. Така,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Нека сега числото а представлява крайна десетична дроб, съдържаща n знака след десетичната запетая (по-специално, числото a може да бъде цяло число, в който случай n = 0). Тогава числото m = a · 10 n е цяло число. Нека разделим този квадрат със страна a на m 2 равни квадрата, както е показано на фигура 2.

Освен това всяка страна на даден квадрат ще бъде разделена на m равни части и следователно страната на всеки малък квадрат е равна на

a/m = a / (a ​​· 10 n) = 1/10 n.

Според формулата (1) Площта на малкия квадрат е (1/10 n) 2 . следователно Площта S на този квадрат е равна на

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

накрая нека броят апредставлява безкрайна десетична дроб. Помислете за броя a n, получен от акато изхвърлите всички десетични знаци след десетичната запетая, започвайки от (n+1) th. Тъй като броят асе различава от a nне повече от 1/10 n, Че a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n, където

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (2)

Ясно е, че района Сна даден квадрат е затворена между площта на квадрат със страна a n и площта на квадрат със страна a n + 1/10 n:

т.е. между а н 2И (a n + 1/10 n) 2:

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (3)

Ще увеличаваме броя неограничено н. След това числото 1/10 nще стане произволно малко и следователно числото (a n + 1/10 n) 2 ще се различава толкова малко, колкото желаете, от числото a n 2. Следователно от неравенствата (2) И (3) следва, че броят Ссе различава колкото желаете малко от числото a 2 . Следователно тези числа са равни: S = a 2, което трябваше да се докаже.

Площта на квадрат може да се намери и по следните формули:

S = 4r 2,
S = 2R 2,