Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Чувствате ли, че има още много време до изпита? Това месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на учениците и бъдещите кандидати да получат най-високите резултати. Трябва да се научите да преодолявате тези препятствия и освен това не е трудно да го направите. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но с подробен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да преминете Единния държавен изпит с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, което предлагаме да направим в тази статия.

Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (log)? Това е индикатор за мощността, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи определеното число. Ако не е ясно, нека да разгледаме елементарен пример.

В този случай основата в долната част трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека разгледаме втората концепция. Производната на функция във всякаква форма е понятие, което характеризира промяната на функция в дадена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, си струва да повторите темата.

Производна на логаритъм

В заданията за единен държавен изпит по тази тема можете да дадете няколко задачи като пример. Като начало най-простата логаритмична производна. Необходимо е да се намери производната на следната функция.

Трябва да намерим следващата производна

Има специална формула.

В този случай x=u, log3x=v. Заменяме стойностите от нашата функция във формулата.

Производната на х ще бъде равна на едно. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната на lg x е производната на десетичния логаритъм, а производната на ln x е производната на натуралния логаритъм (на базата на e).

Сега просто включете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след което ще проверим отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието натурален логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (още повече във висшите учебни заведения).

Производна на натурален логаритъм

В основата си то е производната на логаритъма при основа e (което е ирационално число, което е приблизително 2,7). Всъщност ln е много просто, така че често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да запомните, че производната на естествения логаритъм при основа e ще бъде равна на единица, разделена на x. Решението на следния пример ще бъде най-показателно.

Нека си го представим като сложна функция, състояща се от две прости.

Достатъчно е да конвертирате

Търсим производната на u по отношение на x

При диференциране на експоненциални степенни функции или тромави дробни изрази е удобно да се използва логаритмична производна. В тази статия ще разгледаме примери за неговото приложение с подробни решения.

По-нататъшното представяне предполага умение да се използва таблица с производни, правила за диференциране и познаване на формулата за производна на сложна функция.

Извеждане на формулата за логаритмична производна.

Първо вземаме логаритми по основа e, опростяваме формата на функцията, използвайки свойствата на логаритъма и след това намираме производната на неявно посочената функция:

Например, нека намерим производната на експоненциална степенна функция x на степен x.

Логаритмирането дава . Според свойствата на логаритъма. Диференцирането на двете страни на равенството води до резултата:

Отговор: .

Същият пример може да бъде решен без използване на логаритмична производна. Можете да извършите някои трансформации и да преминете от диференциране на експоненциална степенна функция към намиране на производната на сложна функция:

Пример.

Намерете производната на функция .

Решение.

В този пример функцията е дроб и нейната производна може да се намери с помощта на правилата за диференциране. Но поради тромавостта на израза, това ще изисква много трансформации. В такива случаи е по-разумно да се използва формулата за логаритмична производна . Защо? Сега ще разбереш.

Нека първо го намерим. При трансформациите ще използваме свойствата на логаритъма (логаритъмът на дроб е равен на разликата на логаритмите, а логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритми, а степента на израза под знака на логаритъма може да бъде взето като коефициент пред логаритъма):

Тези трансформации ни доведоха до доста прост израз, чиято производна е лесна за намиране:

Заместваме получения резултат във формулата за логаритмична производна и получаваме отговора:

За да консолидираме материала, ще дадем още няколко примера без подробни обяснения.

Пример.

Намерете производната на експоненциална степенна функция

Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x)′ =.

Производната на логаритъма по основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) (log a x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, зависеща от променлива x, която е логаритъм спрямо основата:
.
Тази функция е дефинирана в . Нека намерим неговата производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъма. Ще ни трябват следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето една функция, която има граница и тази граница е положителна.
IN)Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Нека приложим тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойство (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, прилагаме свойство (6):
.
Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм. Той се обозначава, както следва:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на натурален логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по основата a:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.

Производната на логаритъма по отношение на основата може да се намери от формула (1), ако извадите константата от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъм

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратна функция на експоненциала.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай.
.
Обратната функция на естествения логаритъм е експоненциалната:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава

Формулата е доказана. Сега доказваме формулата за производната на натуралния логаритъм, използвайкиправила за диференциране на сложни функции
.
. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
(10) .
Нека диференцираме това уравнение по отношение на променливата x:
.
Производната на x е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции:
.
Тук . Нека заместим в (10):
.

Оттук

Пример Намерете производни на В 2 пъти,В 3 пъти И.

lnnx

Решение Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx . След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производните наВ 2 пъти В 2 пъти, .

И
Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията .
И така, търсим производната на функцията
1) Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
2) Функции, зависещи от променлива: ;
Функции, зависещи от променлива: .
.

Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.

Тук го настроихме.
(11) .
Така открихме:
.
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата за логаритъм на произведението:
.

- това е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сбора, имаме:

; ; .

Отговор

Производна на логаритъм от модул x
(12) .

Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модул x:
.
Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.

Сега нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
,
Където .
Но също така намерихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
От тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъма с основа а имаме:
.

Производни от по-високи разряди на натурален логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме неговата производна от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Можете да забележите, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава когато n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че това означава, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на променливата x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-високи разряди на логаритъма по основа а

За да намерите производната от n-ти ред на логаритъм по основа a, трябва да я изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.

Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на степенно-експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме материала, който сме покрили, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производна, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решения, което ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да заемате позицията „Къде другаде? Стига!”, тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат в практиката.

Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияРазгледахме няколко примера с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други клонове на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да описвате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме да намираме производни устно. Най-подходящите „кандидати“ за това са производни на най-простите от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложни функции :

При изучаване на други матански теми в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът знае как да намира такива производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Колко е производната на тангенса на две X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за самостоятелно решение.

Пример 1

Намерете устно следните производни, в едно действие, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако още не сте го запомнили). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Следващите два примера може да изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за полезна техника: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим тази стойност в „ужасния израз“.

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешки...

(1) Вземете производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземете производната на косинуса.

(5) Вземете производната на логаритъма.

(6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а на три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е – това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Можете също така да се изкривите и да поставите нещо извън скоби, но в този случай е по-добре да оставите отговора точно в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменател и да се отървем от триетажната част:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по дългия път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятната производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на „сложен“ логаритъм, първо се опростява с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате учебна тетрадка под ръка, копирайте тези формули директно там. Ако нямате тетрадка, препишете ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде написано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намиране на производната:

Предварителното преобразуване на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера, които можете да решите сами:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори са в края на урока.

Логаритмична производна

Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът: възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Наскоро разгледахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да приложите правилото за диференциране на частното и след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че в крайна сметка получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Забележка : защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които ще изчезнат в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, като по подразбиране се взема предвид комплексзначения. Но ако в цялата строгост, тогава и в двата случая трябва да се направи уговорка, че.

Сега трябва да „разпаднете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Заключваме и двете части под прайм:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с нея уверено.

Ами лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „Y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „игра с една буква“ - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на функция, указана имплицитно). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на сложна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производна. След това, съгласно правилото за пропорцията, прехвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

А сега нека си спомним за каква функция „играч“ говорихме по време на диференциацията? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерен дизайн на пример от този тип е в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на степенно-експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Степенно-експоненциална функция е функция, за която степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или лекция:

Как да намерим производната на степенно-експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що обсъдената техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

Като правило от дясната страна степента се изважда от под логаритъма:

В резултат от дясната страна имаме произведението на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Намираме производната, заграждаме двете части под черти:

Допълнителните действия са прости:

Накрая:

Ако някое преобразуване не е напълно ясно, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример № 11.

В практическите задачи степенно-експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от дискутирания пример от лекцията.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - “x” и “логаритъм от логаритъм x” (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате, както си спомняме, е по-добре незабавно да преместите константата от производния знак, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагаме познатото правило :