Подробно обяснение на метода на Гаус. Метод на Гаус за манекени: примери за решения

Днес разглеждаме метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Можете да прочетете какви са тези системи в предишната статия, посветена на решаването на същите SLAE с помощта на метода на Cramer. Методът на Гаус не изисква специални познания, а само внимание и последователност. Въпреки факта, че от математическа гледна точка училищното обучение е достатъчно за прилагането му, учениците често срещат трудности при овладяването на този метод. В тази статия ще се опитаме да ги сведем до нищо!

Метод на Гаус

М Метод на Гаус– най-универсалният метод за решаване на SLAE (с изключение на много големи системи). За разлика от това, което беше обсъдено по-рано, той е подходящ не само за системи, които имат едно решение, но и за системи, които имат безкраен брой решения. Тук има три възможни варианта.

1. Системата има единствено решение (детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула);
2. Системата има безкраен брой решения;
3. Няма решения, системата е несъвместима.

Така че имаме система (нека има едно решение) и ще я решим с помощта на метода на Гаус. Как работи?

Методът на Гаус се състои от два етапа - прав и обратен.

Директен ход на метода на Гаус

Първо, нека напишем разширената матрица на системата. За да направите това, добавете колона с безплатни членове към основната матрица.

Цялата същност на метода на Гаус е да доведе тази матрица до стъпаловидна (или, както се казва, триъгълна) форма чрез елементарни трансформации. В тази форма трябва да има само нули под (или над) главния диагонал на матрицата.

Какво можеш да правиш:

1. Можете да пренареждате редовете на матрицата;
2. Ако има равни (или пропорционални) редове в матрица, можете да премахнете всички освен един от тях;
3. Можете да умножите или разделите низ с произволно число (с изключение на нула);
4. Нулевите редове се премахват;
5. Можете да добавите низ, умножен по число, различно от нула, към низ.

Обратен метод на Гаус

След като трансформираме системата по този начин, едно неизвестно Xn става известен и можете да намерите всички останали неизвестни в обратен ред, замествайки вече известните x в уравненията на системата, до първото.

Когато интернет е винаги под ръка, можете да решите система от уравнения по метода на Гаус на линия.Просто трябва да въведете коефициентите в онлайн калкулатора. Но трябва да признаете, много по-приятно е да осъзнаете, че примерът е решен не от компютърна програма, а от вашия собствен мозък.

Пример за решаване на система от уравнения по метода на Гаус

А сега - пример, за да стане всичко ясно и разбираемо. Нека е дадена система от линейни уравнения и трябва да я решите по метода на Гаус:

Първо записваме разширената матрица:

Сега нека направим трансформациите. Спомняме си, че трябва да постигнем триъгълен вид на матрицата. Нека умножим първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Добавете втория ред към първия и получете:

След това умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория:

Нека умножим първия ред по (6). Нека умножим втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

Voila - системата е приведена в подходящ вид. Остава да открием неизвестните:

Системата в този пример има уникално решение. Ще разгледаме решаването на системи с безкраен брой решения в отделна статия. Може би в началото няма да знаете откъде да започнете да трансформирате матрицата, но след подходяща практика ще хванете цаката и ще разбиете SLAE с помощта на метода на Гаус като ядки. И ако изведнъж попаднете на SLA, което се окаже твърде твърд орех, свържете се с нашите автори! можете като оставите заявка в Кореспондентския офис. Заедно ще решим всеки проблем!

Един от универсалните и ефективни методи за решаване на линейни алгебрични системи е Метод на Гаус , състоящ се в последователно елиминиране на неизвестни.

Припомняме, че двете системи се наричат еквивалентен (еквивалентни), ако множествата на техните решения съвпадат. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно. Еквивалентни системи се получават, когато елементарни трансформации уравнения на системата:

умножаване на двете страни на уравнението с число, различно от нула;

добавяне към дадено уравнение на съответните части от друго уравнение, умножени по число, различно от нула;

пренареждане на две уравнения.

Нека е дадена система от уравнения

Процесът на решаване на тази система с помощта на метода на Гаус се състои от два етапа. На първия етап (директно движение) системата, използвайки елементарни трансформации, се свежда до стъпаловидно , или триъгълна форма, а на втория етап (обратен) има последователно, започвайки от последното променливо число, определяне на неизвестните от получената стъпкова система.

Да приемем, че коефициентът на тази система
, в противен случай в системата първият ред може да бъде разменен с всеки друг ред, така че коефициентът при беше различно от нула.

Нека трансформираме системата, като елиминираме неизвестното във всички уравнения с изключение на първото. За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по и добавете член по член с второто уравнение на системата. След това умножете двете страни на първото уравнение по и го добавете към третото уравнение на системата. Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система

Тук
– нови стойности на коефициенти и свободни членове, които се получават след първата стъпка.

По същия начин, като се има предвид основният елемент
, изключете неизвестното от всички уравнения на системата с изключение на първото и второто. Нека продължим този процес възможно най-дълго и в резултат ще получим поетапна система

,

Където ,
,…,– основни елементи на системата
.

Ако в процеса на редуциране на системата до поетапна форма се появят уравнения, т.е. равенства на формата
, те се отхвърлят, тъй като са удовлетворени от произволен набор от числа
. Ако при
Ако се появи уравнение от формата, което няма решения, това показва несъвместимостта на системата.

По време на обратния ход първото неизвестно се изразява от последното уравнение на трансформираната стъпкова система през всички други неизвестни
които се наричат Безплатно . След това променливият израз от последното уравнение на системата се замества в предпоследното уравнение и от него се изразява променливата
. Променливите се дефинират последователно по подобен начин
. Променливи
, изразени чрез свободни променливи, се наричат основен (зависим). Резултатът е общо решение на системата от линейни уравнения.

Да намеря частно решение системи, безплатни неизвестни
в общото решение се присвояват произволни стойности и се изчисляват стойностите на променливите
.

Технически е по-удобно да се подлагат на елементарни трансформации не самите уравнения на системата, а разширената матрица на системата

.

Методът на Гаус е универсален метод, който ви позволява да решавате не само квадратни, но и правоъгълни системи, в които броят на неизвестните
не е равен на броя на уравненията
.

Предимството на този метод е също така, че в процеса на решаване ние едновременно проверяваме системата за съвместимост, тъй като след като сме дали разширената матрица
в стъпаловидна форма е лесно да се определят ранговете на матрицата и разширена матрица
и кандидатствайте Теорема на Кронекер-Капели .

Пример 2.1Решете системата по метода на Гаус

Решение. Брой уравнения
и броя на неизвестните
.

Нека създадем разширена матрица на системата, като присвоим коефициенти отдясно на матрицата колона за безплатни членове .

Нека представим матрицата към триъгълен изглед; За да направим това, ще получим "0" под елементите, разположени на главния диагонал, използвайки елементарни трансформации.

За да получите "0" във втората позиция на първата колона, умножете първия ред по (-1) и го добавете към втория ред.

Записваме тази трансформация като числото (-1) срещу първия ред и го обозначаваме със стрелка, преминаваща от първия ред към втория ред.

За да получите "0" на третата позиция на първата колона, умножете първия ред по (-3) и добавете към третия ред; Нека покажем това действие с помощта на стрелка, преминаваща от първия ред към третия.

.

В получената матрица, записана на второ място във веригата от матрици, получаваме „0“ във втората колона на трета позиция. За да направим това, умножихме втория ред по (-4) и го добавихме към третия. В получената матрица умножете втория ред по (-1) и разделете третия на (-8). Всички елементи на тази матрица, лежащи под диагоналните елементи, са нули.

защото , системата е съвместна и дефинирана.

Системата от уравнения, съответстваща на последната матрица, има триъгълна форма:

От последното (трето) уравнение
. Заместете във второто уравнение и получете
.

Да заместим
И
в първото уравнение, намираме


.

В тази статия методът се разглежда като метод за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение в обща форма и след това да замените стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с такива, които имат безкраен брой решения. Или изобщо го нямат.

Какво означава да се реши по метода на Гаус?

Първо, трябва да напишем нашата система от уравнения в. Тя изглежда така. Вземете системата:

Коефициентите са изписани под формата на таблица, а свободните термини са изписани в отделна колона вдясно. Колоната със свободните термини е отделена за удобство, която включва тази колона, се нарича разширена.

След това основната матрица с коефициенти трябва да се редуцира до горна триъгълна форма. Това е основната точка при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, че долната лява част да съдържа само нули:

След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, която след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.

Това е най-общо описание на решението по метода на Гаус. Какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или те са безкрайно много? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани при решаването на метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

В матрицата няма скрит смисъл. Това е просто удобен начин за запис на данни за последващи операции с тях. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до конструиране на матрица с триъгълна форма, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите може да не са написани, но се подразбират.

Матрицата има размер. Неговата „ширина“ е броят на редовете (m), „дължината“ е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (обикновено се използват главни латински букви за тяхното означаване) ще бъде означен като A m×n. Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна и m=n е нейният ред. Съответно, всеки елемент от матрицата A може да бъде означен с номерата на неговите редове и колони: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.

Б не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще бъде много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Няма нужда да откривате значението му сега; можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин да намерите детерминантата е чрез диагонали. Въображаеми диагонали се изчертават в матрицата; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават, а след това получените продукти се събират: диагонали с наклон надясно - със знак плюс, с наклон наляво - със знак минус.

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкото от броя на редовете и броя на колоните (нека бъде k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите в пресечната точка на избраните колони и редове ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е ненулево число, тя се нарича базов минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да започнете да решавате система от уравнения, използвайки метода на Гаус, няма да навреди да изчислите детерминантата. Ако се окаже, че е нула, тогава веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Системна класификация

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния ненулев детерминант (ако си спомним за основния минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).

Въз основа на ситуацията с ранга, SLAE може да бъде разделен на:

• Става. UВ съвместните системи рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената матрица (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно едно, следователно съвместните системи се разделят допълнително на:
• - определени- има едно единствено решение. В определени системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
• - неопределен -с безкраен брой решения. Рангът на матриците в такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
• Несъвместим. UВ такива системи ранговете на основната и разширената матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.

Методът на Гаус е добър, защото по време на решението позволява да се получи или недвусмислено доказателство за непоследователността на системата (без да се изчисляват детерминантите на големи матрици), или решение в обща форма за система с безкраен брой решения.

Елементарни трансформации

Преди да продължите директно към решаването на системата, можете да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации – такива, че изпълнението им по никакъв начин не променя крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от дадените елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е SLAE. Ето списък на тези трансформации:

1. Пренареждане на редове. Очевидно е, че ако промените реда на уравненията в системния запис, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно редовете в матрицата на тази система също могат да се разменят, без да се забравя, разбира се, колоната със свободни термини.
2. Умножаване на всички елементи на низ с определен коефициент. Много полезно! Може да се използва за намаляване на големи числа в матрица или премахване на нули. Много решения, както обикновено, няма да се променят, но по-нататъшните операции ще станат по-удобни. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
3. Премахване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предходния параграф. Ако два или повече реда в една матрица имат пропорционални коефициенти, тогава когато един от редовете се умножи/дели на коефициента на пропорционалност, се получават два (или отново повече) абсолютно еднакви реда, а допълнителните могат да бъдат премахнати, оставяйки само един.
4. Премахване на нулев ред. Ако по време на трансформацията някъде се получи ред, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв ред може да се нарече нула и да бъде изхвърлен от матрицата.
5. Добавяне към елементите на един ред на елементите на друг (в съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-неочевидната и най-важна трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.

Добавяне на низ, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да разбиете този процес стъпка по стъпка. От матрицата се вземат два реда:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да речем, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

След това вторият ред в матрицата се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавяне на два реда един от елементите на новия ред да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в система, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се направи отново и да получите уравнение, което ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път, когато обръщате един коефициент на всички редове, които са под първоначалния, на нула, тогава можете, като стълби, да слезете надолу до самото дъно на матрицата и да получите уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корена. Можете да го напишете по следния начин:

Основната матрица се съставя от системните коефициенти. Колона със свободни термини се добавя към разширената матрица и за удобство се разделя с линия.

• първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 /a 11);
• добавени са първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
• вместо втория ред в матрицата се вмъква резултатът от добавянето от предходния параграф;
• сега първият коефициент в новия втори ред е a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата поредица от трансформации, участват само първият и третият ред. Съответно на всяка стъпка от алгоритъма елемент a 21 се заменя с 31. След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, в която първият елемент в редовете е нула. Сега трябва да забравите за ред номер едно и да изпълните същия алгоритъм, като започнете от ред втори:

• коефициент k = (-a 32 /a 22);
• вторият модифициран ред се добавя към „текущия“ ред;
• резултатът от добавянето се замества в трети, четвърти и т.н. редове, докато първият и вторият остават непроменени;
• в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че последният път, когато алгоритъмът е бил изпълнен, е само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. В долния ред има равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и свободният член са известни и чрез тях се изразява коренът: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и след като достигнете „върха“ на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единственият.

Когато няма решения

Ако в един от редовете на матрицата всички елементи с изключение на свободния член са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. Няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава множеството от решения на цялата система е празно, тоест е изродено.

Когато има безкраен брой решения

Може да се случи в дадената триъгълна матрица да няма редове с един коефициентен елемент от уравнението и един свободен член. Има само редове, които, когато бъдат пренаписани, биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направим?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни са тези, които стоят “на ръба” на редовете в матрицата на стъпките. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи се записват чрез свободни.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където точно остава само една базова променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля от другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това, в останалите уравнения, където е възможно, изразът, получен за него, се замества вместо основната променлива. Ако резултатът отново е израз, съдържащ само една основна променлива, той отново се изразява оттам и така нататък, докато всяка основна променлива бъде написана като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.

Можете също да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкраен брой конкретни решения, които могат да бъдат дадени.

Решение с конкретни примери

Ето една система от уравнения.

За удобство е по-добре веднага да създадете неговата матрица

Известно е, че когато се решава по метода на Гаус, уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи на останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в съставената матрица ще бъде изгодно да поставите втория ред на мястото на първия.

втори ред: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Сега, за да не се объркате, трябва да напишете матрица с междинните резултати от трансформациите.

Очевидно такава матрица може да бъде направена по-удобна за възприемане с помощта на определени операции. Например, можете да премахнете всички „минуси“ от втория ред, като умножите всеки елемент по „-1“.

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да съкратите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - в същото време, за да премахнете отрицателните стойности).

Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред сам и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножен по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ако по време на някои трансформации отговорът не се окаже цяло число, се препоръчва да се поддържа точността на изчисленията, за да оставите то „както е“, под формата на обикновени дроби и едва тогава, когато отговорите бъдат получени, решете дали да закръглите и преобразувате в друга форма на запис)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими по-нататъшни трансформации на системата с помощта на метода на Гаус. Това, което можете да направите тук, е да премахнете общия коефициент "-1/7" от третия ред.

Сега всичко е красиво. Всичко, което остава да направите, е да напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и да изчислите корените

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И първото уравнение ни позволява да намерим x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ние имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест имаща уникално решение. Отговорът се записва в следната форма:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример за несигурна система

Анализиран е вариантът за решаване на определена система с помощта на метода на Гаус; сега е необходимо да се разгледа случаят, когато системата е несигурна, т.е. за нея могат да бъдат намерени безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самият външен вид на системата вече е тревожен, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на системната матрица вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-високият ред на детерминанта-квадрат е 4. Това означава, че има безкраен брой решения и трябва да търсите общия му вид. Методът на Гаус за линейни уравнения ви позволява да направите това.

Първо, както обикновено, се компилира разширена матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 /a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да докосвате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Като умножим последователно елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти и ги добавим към необходимите редове, получаваме матрица със следния вид:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са идентични, така че единият от тях може да бъде премахнат веднага, а останалият може да се умножи по коефициента „-1“ и да се получи ред номер 3. И отново, от два еднакви реда, оставете един.

Резултатът е матрица като тази. Докато системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - тези, които стоят при коефициенти a 11 = 1 и a 22 = 1, и свободните - всички останали.

Във второто уравнение има само една основна променлива - x 2. Това означава, че може да се изрази оттам, като се запише чрез променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са свободни.

Заместваме получения израз в първото уравнение.

Резултатът е уравнение, в което единствената основна променлива е x 1 . Нека направим с него същото като с x 2.

Всички основни променливи, от които има две, се изразяват чрез три свободни; сега можем да напишем отговора в общ вид.

Можете също така да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи обикновено се избират нули като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за некооперативна система

Най-бързо е решаването на несъвместими системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът на изчисляване на корените, който е доста дълъг и досаден, отпада. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, матрицата се компилира:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до поетапна форма:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение на формата

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът ще бъде празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод за решаване на SLAE на хартия с химикалка, тогава методът, който беше обсъден в тази статия, изглежда най-привлекателен. Много по-трудно е да се объркате в елементарните трансформации, отколкото ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, второстепенни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешки, по-препоръчително е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляването на детерминанти и обратни матрици .

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство „за манекени“, трябва да се каже, че най-лесното място за въвеждане на метода са електронни таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), умножение по число, умножение на матрици (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминантата. Ако тази трудоемка задача се замени с една команда, е възможно да се определи ранга на матрицата много по-бързо и следователно да се установи нейната съвместимост или несъвместимост.

Тук можете да решите безплатно система от линейни уравнения Метод на Гаус онлайнголеми размери в сложни числа с много детайлно решение. Нашият калкулатор може да решава онлайн както обичайните определени, така и неопределени системи от линейни уравнения, като използва метода на Гаус, който има безкраен брой решения. В този случай в отговора ще получите зависимостта на някои променливи чрез други, безплатни. Можете също така да проверите системата от уравнения за последователност онлайн, като използвате решението на Гаус.

Размер на матрицата: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 99 100 101

За метода

При онлайн решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус се изпълняват следните стъпки.

1. Записваме разширената матрица.
2. Всъщност решението е разделено на стъпки напред и назад на метода на Гаус. Директният подход на метода на Гаус е редуцирането на матрица до поетапна форма. Обратното на метода на Гаус е редуцирането на матрица до специална стъпаловидна форма. Но на практика е по-удобно незабавно да се нулира това, което се намира над и под въпросния елемент. Нашият калкулатор използва точно този подход.
3. Важно е да се отбележи, че при решаване по метода на Гаус, наличието в матрицата на поне един нулев ред с НЕнулева дясна страна (колона от свободни членове) показва несъответствието на системата. В този случай решение на линейната система не съществува.

За да разберете най-добре как алгоритъмът на Гаус работи онлайн, въведете произволен пример, изберете „много подробно решение“ и вижте решението му онлайн.

Нека е дадена система от линейни алгебрични уравнения, които трябва да бъдат решени (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете неставни).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имате едно решение.

Както си спомняме, правилото на Крамър и матричният метод не са подходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и многофункционален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, който във всеки случайще ни доведе до отговора! Самият алгоритъм на метода работи еднакво и в трите случая. Ако методите на Крамер и матричните методи изискват познаване на детерминантите, тогава за прилагането на метода на Гаус са необходими само познания за аритметичните операции, което го прави достъпен дори за ученици от началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните плюс колона от свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус:

1) с trokiматрици Мога пренареждамна някои места.

2) ако в матрицата се появяват (или съществуват) пропорционални (като специален случай – еднакви) редове, тогава трябва ИзтрийВсички тези редове са от матрицата с изключение на един.

3) ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий.

4) ред от матрицата може да бъде умножавам (делям)до всяко число, различно от нула.

5) към ред от матрицата можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула.

В метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Методът на Гаус се състои от два етапа:

1. „Директно преместване“ - използвайки елементарни трансформации, приведете разширената матрица на система от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпкова форма: елементите на разширената матрица, разположени под главния диагонал, са равни на нула (преместване отгоре надолу). Например към този тип:

За да направите това, изпълнете следните стъпки:

1) Нека разгледаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът за x 1 е равен на K. Второто, третото и т.н. трансформираме уравненията по следния начин: разделяме всяко уравнение (коефициенти на неизвестните, включително свободните членове) на коефициента на неизвестното x 1, което е във всяко уравнение, и умножаваме по K. След това изваждаме първото от второ уравнение (коефициенти на неизвестни и свободни членове). За x 1 във второто уравнение получаваме коефициента 0. От третото трансформирано уравнение изваждаме първото уравнение, докато всички уравнения с изключение на първото, за неизвестно x 1, имат коефициент 0.

2) Да преминем към следващото уравнение. Нека това е второто уравнение и коефициентът за x 2 е равен на M. Продължаваме с всички „по-ниски“ уравнения, както е описано по-горе. Така „под“ неизвестното x 2 ще има нули във всички уравнения.

3) Преминете към следващото уравнение и така нататък, докато остане едно последно неизвестно и трансформираният свободен член.

1. „Обратното движение“ на метода на Гаус е да се получи решение на система от линейни алгебрични уравнения (движението „отдолу нагоре“). От последното „долно“ уравнение получаваме едно първо решение – неизвестното x n. За да направим това, решаваме елементарното уравнение A * x n = B. В примера, даден по-горе, x 3 = 4. Заместваме намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решаваме по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 – 4 = 1, т.е. x 2 = 5. И така нататък, докато намерим всички неизвестни.

Пример.

Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както съветват някои автори:

Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Да го направим:
1 стъпка . Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Това означава, че мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: да умножи първия ред по –1 (промени знака му).

Стъпка 2 . Първият ред, умножен по 5, беше добавен към първия ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Стъпка 3 . Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.

Стъпка 4 . Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по 2.

Стъпка 5 . Третият ред беше разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като (0 0 11 |23) по-долу и съответно 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е направена грешка по време на елементарно трансформации.

Нека направим обратното; при проектирането на примери самата система често не се пренаписва, а уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. В този пример резултатът беше подарък:

х 3 = 1
х 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следователно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Отговор:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Нека решим същата система, използвайки предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножавайки второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение по 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Изваждайки второто от третото уравнение, получаваме „стъпаловидна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Така, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 = 0,96 или приблизително 1.

x 2 = 3 и x 1 = –1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесно програмируем и не отчита особеностите на коефициентите за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) трябва да се работи с нецелочислени коефициенти.

Пожелавам ти успех! Ще се видим в клас! Учител Дмитрий Айстраханов.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.