Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Първоизводна на експоненциалната функция в UNT задачи. Диференциране на експоненциални и логаритмични функции - Хипермаркет на знанието. Диференциране на експоненциални и логаритмични функции на муцуни

Диференциране на експоненциални и логаритмични функции

1. Число e. Функция y = e x, нейни свойства, графика, диференциране

Нека разгледаме експоненциала функция y=a x, където a > 1. За различните основи a получаваме различни графики (фиг. 232-234), но можете да забележите, че всички те минават през точката (0; 1), всички имат хоризонтална асимптота y = 0 при , всички те са изпъкнали надолу и накрая всички имат допирателни във всичките си точки. Нека начертаем, например, допирателна към графикифункция y=2x в точка x = 0 (фиг. 232). Ако правите точни конструкции и измервания, можете да се уверите, че тази допирателна образува ъгъл от 35° (приблизително) с оста x.

Сега нека начертаем допирателна към графиката на функцията y = 3 x, също в точката x = 0 (фиг. 233). Тук ъгълът между тангентата и оста x ще бъде по-голям - 48°. И за експоненциалната функция y = 10 x по подобен начин
положение получаваме ъгъл от 66,5° (фиг. 234).

Така че, ако основата a на експоненциалната функция y=ax постепенно нараства от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката x=0 и оста x постепенно се увеличава от 35° до 66,5 °. Логично е да приемем, че има основа a, за която съответният ъгъл е 45°. Тази основа трябва да бъде затворена между числата 2 и 3, тъй като за функцията y-2x ъгълът, който ни интересува, е 35°, което е по-малко от 45°, а за функцията y=3 x той е равен на 48° , което вече е малко повече от 45 °. Базата, която ни интересува, обикновено се обозначава с буквата e. Установено е, че числото e е ирационално, т.е. представлява безкрайна десетична непериодична фракция:

e = 2,7182818284590...;

на практика обикновено се приема, че e=2,7.

Коментирайте(не много сериозно). Става ясно, че Л.Н. Толстой няма нищо общо с числото e, но при писане на числото e, моля, имайте предвид, че числото 1828 се повтаря два пъти подред - годината на раждане на L.N. Толстой.

Графиката на функцията y=e x е показана на фиг. 235. Това е експоненциал, който се различава от другите експоненциали (графики на експоненциални функции с други бази) по това, че ъгълът между допирателната към графиката в точка x=0 и оста x е 45°.

Свойства на функцията y = e x:

1)
2) не е нито четен, нито нечетен;
3) нараства;
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма нито най-големи, нито най-малки стойности;
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу;
9) диференцируеми.

Върнете се към § 45, погледнете списъка със свойства на експоненциалната функция y = a x за a > 1. Ще намерите същите свойства 1-8 (което е съвсем естествено) и деветото свойство, свързано с
тогава не споменахме диференцируемостта на функцията. Нека го обсъдим сега.

Нека изведем формула за намиране на производната y-ex. В този случай няма да използваме обичайния алгоритъм, който разработихме в § 32 и който успешно е използван повече от веднъж. В този алгоритъм на последния етап е необходимо да се изчисли границата, а познанията ни за теорията на границите все още са много, много ограничени. Следователно ще разчитаме на геометрични предпоставки, като вземем предвид по-специално самия факт на съществуването на допирателна към графиката на експоненциалната функция без съмнение (ето защо толкова уверено записахме деветото свойство в горния списък със свойства - диференцируемостта на функцията y = e x).

1. Забележете, че за функцията y = f(x), където f(x) =ex, вече знаем стойността на производната в точката x =0: f / = tan45°=1.

2. Нека въведем функцията y=g(x), където g(x) -f(x-a), т.е. g(x)-ex" a. На фиг. 236 е показана графиката на функцията y = g(x): тя се получава от графиката на функцията y - fx) чрез преместване по оста x с |a| мащабни единици , Допирателната към графиката на функцията y = g (x) в точка x-a е успоредна на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точка x -0 (виж фиг. 236), което означава, че тя образува ъгъл от 45° с оста x. Използвайки геометричния смисъл на производната, можем да го запишем, че g(a) =tg45°;=1.

3. Да се ​​върнем към функцията y = f(x). Ние имаме:

4. Установихме, че за всяка стойност на a е валидна релацията. Вместо буквата a можете, разбира се, да използвате буквата x; тогава получаваме

От тази формула получаваме съответната формула за интегриране:

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината; методически препоръки; Интегрирани уроци

Конспект на урока

Предмет: Алгебра

Дата: 02.04.13.

Клас: 11 клас

Учител: Тишибаева Н.Ш.

Предмет: Диференциране на логаритмични и експоненциални функции. Първопроизводна на експоненциалната функция.

Мишена:

1) формулира формули за производни на логаритмични и експоненциални функции; научите как да намерите първоизводната на експоненциална функция

2) развиват паметта, наблюдателността, логическото мислене, математическата реч на учениците, способността за анализ и сравнение, развиват познавателния интерес към темата;

3) да култивира комуникативната култура на учениците, умения за колективна дейност, сътрудничество и взаимопомощ.

Тип урок: обяснение на нов материал и затвърдяване на придобитите знания, умения и способности.

Оборудване : карти, интерактивна дъска.

технология: диференциран подход

По време на часовете:

1.Org. момент .(2мин) .

2. Решаване на кръстословица (8 минути)

1. Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точката“.

Допирателна

2.Функция, която е дадена с формулата y = a x.

Показателно

3. Функция, която се дава по формулата y = logбрадва

Логаритмичен

4. Производна на преместване

Скорост

5. Как се нарича функцията F(x) за функцията f(x), ако условието F"(x) =f(x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.

Антипроизводно

6. Как се нарича връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.

функция

7. Ако функцията f(x) може да бъде представена като f(x)=g(t(x)), тогава тази функция се нарича...

Комплекс

Фамилно име с вертикална дума на френски математик и механик

Лагранж

3. Обяснение на нов материал: (10 минути)

Експоненциалната функция във всяка точка от областта на дефиницията има производна и тази производна се намира по формулата:

(.ln a във формулата заместваме числотои на e, получаваме

(e x)" = e x_ формула производна на експонента
Логаритмичната функция има производна във всяка точка от своята област на дефиниция и тази производна се намира по формулата:

(log a x)" = заменете числото във формулатаи на e, получаваме

Експоненциална функция y =(А във всяка точка от областта на дефиницията има антипроизводно и това антипроизводно се намира по формулата F(x) =+ C

4. Консолидиране на нов материал (20 мин.)

Математическа диктовка.

1. Напишете формулата за производната на експоненциалната функция (aХ )"

(a x)" = a x ln a

2. Запишете формулата за производната на степенната степен. (напрХ )"

(e x )" = e x

3. Запишете формулата за производната на натурален логаритъм

4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Запишете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = aХ .

F(x) = + C

6. Запишете общата форма на първоизводните за функцията:, x≠0. F(x)=ln|x|+С

Работа на дъската

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.Д/з № 257, № 261 (2 мин.)

7. Обобщение на урока: (3 мин.)

- Каква е формулата за логаритмична функция?

Каква формула определя експоненциалната функция?

Каква формула се използва за намиране на производната на логаритмична функция?

Каква формула се използва за намиране на производната на експоненциална функция

Завършени работи

ДИПЛОМНИ РАБОТИ

Много вече е минало и сега сте дипломиран, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да бъдете студент, ще загубите всички студентски радости, много от които никога не сте опитвали, отлагайки всичко и го отлагайки за по-късно. И сега, вместо да наваксваш, работиш върху дипломната си работа? Има отлично решение: изтеглете дисертацията, от която се нуждаете, от нашия уебсайт - и веднага ще имате много свободно време!
Тези дисертации са успешно защитени във водещи университети на Република Казахстан.
Цената на работата от 20 000 тенге

КУРСОВИ РАБОТИ

Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. Именно с писането на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи правилно да представя съдържанието на дадена тема в курсов проект и да го форматира компетентно, тогава в бъдеще той няма да има проблеми с писането на доклади, съставянето на тезиси или изпълнението на други практически задачи. За да подпомогне студентите при писането на този тип студентски работи и да изясни въпросите, които възникват по време на подготовката им, всъщност беше създадена тази информационна секция.
Разходи за работа от 2500 тенге

МАГИСТЪРСКИ ДИСЕРТАЦИИ

В момента във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД нивото на висше професионално образование, което следва след бакалавърската степен, е много често - магистърска степен. В магистърската програма студентите учат с цел получаване на магистърска степен, която се признава в повечето страни по света повече от бакалавърска степен, а също така се признава от чуждестранни работодатели. Резултатът от магистърското обучение е защитата на магистърска теза.
Ще ви предоставим актуални аналитични и текстови материали, в цената са включени 2 научни статии и резюме.
Разходи за работа от 35 000 тенге

ДОКЛАДИ ОТ ПРАКТИКАТА

След завършване на всякакъв вид студентски стаж (образователен, индустриален, преддипломен) се изисква отчет. Този документ ще бъде потвърждение за практическата работа на студента и основа за формиране на оценка за практиката. Обикновено, за да съставите отчет за стаж, трябва да съберете и анализирате информация за предприятието, да разгледате структурата и режима на работа на организацията, в която се провежда стажът, да съставите календарен план и да опишете практическите си дейности.
Ще ви помогнем да напишете доклад за вашия стаж, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.

Тема на урока: „Диференциране на показателни и логаритмични функции. Първопроизводна на експоненциалната функция" в заданията на UNT

Мишена : развиват уменията на учениците за прилагане на теоретичните знания по темата „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Първопроизводна на експоненциалната функция“ за решаване на UNT задачи.

Задачи

Образователни: систематизирайте теоретичните знания на учениците, консолидирайте уменията за решаване на проблеми по тази тема.

Образователни:развиват паметта, наблюдателността, логическото мислене, математическата реч на учениците, вниманието, самочувствието и уменията за самоконтрол.

Образователни:допринасям:

формиране на отговорно отношение към ученето у учениците;

развитие на устойчив интерес към математиката;

създаване на положителна вътрешна мотивация за изучаване на математика.

Методи на обучение: словесно, визуално, практично.

Форми на работа:индивидуално, фронтално, по двойки.

По време на часовете

Епиграф: „Умът се крие не само в знанието, но и в способността да се прилагат знанията на практика“ Аристотел (слайд 2)

I. Организационен момент.

II. Решаване на кръстословицата. (слайд 3-21)

Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точката“.

Допирателна

Функция, която се дава по формулата y = log ах.

Логаритмичен

Функция, която е дадена с формулата y = АХ.

Показателно

В математиката това понятие се използва за намиране на скоростта на движение на материална точка и ъгловия коефициент на допирателната към графиката на функция в дадена точка.

Производна

Как се нарича функцията F(x) за функцията f(x), ако условието F"(x) =f(x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.

Антипроизводно

Как се нарича връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.

Производна на изместване

Скорост

Функция, която е дадена с формулата y = e x.

Изложител

Ако функция f(x) може да бъде представена като f(x)=g(t(x)), тогава тази функция се нарича...

III. Математическа диктовка (слайд 22)

1. Запишете формулата за производната на експоненциалната функция. ( А x)" = А x ln а

2. Запишете формулата за производната на степенната степен. (e x)" = e x

3. Запишете формулата за производната на натурален логаритъм. (ln x)"=

4. Запишете формулата за производната на логаритмична функция. (дневник а x)"=

5. Запишете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = АХ. F(x)=

6. Запишете общия вид на първоизводните за функцията f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Проверете работата си (отговори на слайд 23).

IV. Решаване на UNT проблеми (симулатор)

А) № 1,2,3,6,10,36 на дъската и в тетрадката (слайд 24)

Б) Работа по двойки № 19,28 (симулатор) (слайд 25-26)

V. 1. Намерете грешки: (слайд 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Ученическа презентация.

Епиграф: „Знанието е толкова ценно нещо, че не е срамно да се получи от какъвто и да е източник“ Тома Аквински (слайд 28)

VII. Домашна работа No19,20 стр.116

VIII. Тест (резервна задача) (слайд 29-32)

IX. Обобщение на урока.

„Ако искате да участвате в голям живот, тогава напълнете главата си с математика, докато имате възможност. Тогава тя ще ви окаже голяма помощ през целия ви живот” М. Калинин (слайд 33)

Урок по алгебра в 11 клас на тема: "Диференциране и интегриране на показателни и логаритмични функции"

Цели на урока:

Систематизирайте изучения материал по темата „Експоненциални и логаритмични функции“.

Да развие способността за решаване на задачи, включващи диференциране и интегриране на експоненциални и логаритмични функции.

Използвайте възможностите на информационните технологии, за да развиете мотивация за изучаване на сложни теми в математическия анализ.

Посочете изискванията за попълване на тестовата работа по тази тема в следващия урок.

По време на часовете

I. Организационен момент (1 – 2 минути).

Учителят съобщава целите на урока.

Класът е разделен на 4 групи.

II. Блиц анкета по формули (домашна работа).

Разговор под формата на диалог с учениците.

Да приемем, че сте депозирали 10 000 рубли в банка при лихвен процент от 12% годишно. След колко години вашата инвестиция ще се удвои?

За да направим това, трябва да решим уравнението: , т.е как?

Трябва да отидем до основа 10, тоест (с помощта на калкулатор)

Така удвояването на вноската ще се случи след шест години (малко повече).

Тук ни трябваше формула за преместване в нова база. Какви формули, свързани с диференциране и интегриране на логаритмични и експоненциални функции, знаете? (всички формули са взети от страниците на учебника, стр. 81, стр. 86).

Въпроси един към друг във верига.

Въпроси към учителя.

Учителят иска да изведе 1–2 формули.

На отделни малки листчета има математическа диктовка за познаване на формули. Тече взаимна проверка. Старшите в групите извеждат средноаритметичния резултат и го вписват в таблицата.

Таблица на активността

Вид дейност
1. Познаване на формули.
2. Индивидуални знания. Работете по двойки.
3. Устна работа.
4. Контролни работи (компютърно оценяване).
5. Самостоятелна работа (задачи от задължителна степен).
6. Задачи с повишена сложност.

III. Устна работа:

Определете броя на решенията на уравненията.

а) ;

б) ;

След като учениците отговорят с помощта на шрайбпроектора, на екрана се показват графики.

а) 2 решения

б) 1 решение

Допълнителен въпрос:Намерете най-голямата стойност на функция

Намаляващата функция има най-голяма стойност, когато индикаторът има най-малка стойност.

(2 начина)

IV. Индивидуална работа.

При устната работа по 2 човека от всяка група работят с индивидуални задачи.

1-ва група:Единият изследва функцията, вторият има графика на тази функция на интерактивната дъска.

Допълнителен въпрос:. Отговор: (Число д? Вижте стр. 86 от учебника).

Група 2:Намерете крива, минаваща през точка n (0; 2), ако наклонът на допирателната във всяка точка от кривата е равен на произведението на координатите на точката на допиране. Единият съставя диференциално уравнение и намира общо решение, вторият намира конкретно решение, използвайки началните условия.

Отговор:

Допълнителен въпрос:Какъв е ъгълът между допирателната, прекарана в точка X=0 към графиката на функцията y = д x и x-ос. (45 o)

Графиката на тази функция се нарича „експонента“ (Намерете информация за това в учебника и проверете обосновката си с обясненията в учебника, стр. 86).

Група 3:

Сравнете

Единият сравнява с микрокалкулатор, а другият без.

Допълнителен въпрос:Определете при какво x0 е равенството ?

Отговор:х = 2 0,5.

Група 4:Докажи това

Доказване по различни начини.

Допълнителен въпрос:Намерете приблизителна стойност д 1.01. Сравнете своята стойност с отговора от пример 2 (стр. 86 от учебника).

V. Работа с учебника.

На децата се предлага да разгледат примери от пример 1 - пример 9 (стр. 81 - 84 от учебника). Въз основа на тези примери направете контролни тестове.

VI. Контролни тестове.

Задача на екрана. Води се дискусия. Избира се правилният отговор и се дава обосновка. Компютърът дава резултат. Най-възрастният в групата отбелязва в таблицата активността на своите другари по време на теста.

1) Дадена функция f(x)= 2-е 3х. Определете при каква стойност на C графиката на неговата първоизводна F(x)+C минава през точката М (1/3;-д/3)

Отговор: а) д-1; б) 5/8; в) -2/3; г) 2.

2) Дадена функция f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). намирам е"(2/3)

Отговор: а) -1; б) 45/13; в) 1/3; г) 2.

3) Функцията удовлетворява ли y = e брадвауравнение y" = ay.

Отговор: а) да; б) не; в) всичко зависи и от двамата; г) не може да се каже определено.

VII. Самостоятелна работа.

Задачи за задължително ниво: Намерете точки на екстремуми на функции.

		III група

Най-големият в групата поставя точки за тази задача в таблицата.

По това време по един човек от всяка група работи на дъската със задачи с повишена сложност.

		III група

Учителят показва пълната писмена документация на задачите по пътя (прожектира се на екрана, това е много важно за изпълнение на последващата контролна работа).

VIII. Домашна работа.

IX. Обобщение на урока:

Поставяне на оценки с оглед на получените норми на оценките за предстоящата контролна работа в следващия урок.