Vector kvantiteter och skalärer

I matematik är en vektor ett riktat segment av en viss längd. Inom fysiken förstås en vektorkvantitet som en fullständig egenskap hos någon fysisk storhet som har en modul och verkningsriktning. Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna hos vektorer, såväl som exempel på fysiska storheter som är vektorer.

Skalärer och vektorer

Skalära storheter i fysiken är parametrar som kan mätas och representeras av ett enda tal. Till exempel är temperatur, massa och volym skalärer eftersom de mäts i grader, kilogram respektive kubikmeter.

I de flesta fall visar det sig att numret som definierar en skalär kvantitet inte innehåller heltäckande information. Till exempel, när man överväger en sådan fysisk egenskap som acceleration, räcker det inte att säga att det är lika med 5 m/s 2, eftersom du behöver veta vart det är riktat, mot kroppens hastighet, i någon vinkel till denna hastighet eller på annat sätt. Förutom acceleration är ett exempel på en vektorkvantitet i fysiken hastighet. Denna kategori inkluderar även kraft, elektrisk fältstyrka och mycket mer.

Enligt definitionen av en vektorkvantitet som ett segment riktat i rymden kan den representeras som en uppsättning tal (vektorkomponenter) om den beaktas i ett visst koordinatsystem. Oftast inom fysik och matematik uppstår problem som, för att beskriva en vektor, kräver kunskap om dess två (problem på ett plan) eller tre (problem i rymden) komponenter.

Definition av en vektor i n-dimensionell rymd

I n-dimensionellt rymd, där n är ett heltal, kommer en vektor att bestämmas unikt om dess n komponenter är kända. Varje komponent representerar koordinaten för slutet av vektorn längs den motsvarande koordinataxeln, förutsatt att början av vektorn är vid ursprunget för koordinatsystemet för n-dimensionellt rymd. Som ett resultat kan vektorn representeras enligt följande: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), där a 1 är det skalära värdet för den första komponenten av vektorn v. Följaktligen kommer vektorn att skrivas i 3-dimensionellt rum som v = (a 1, a 2, a 3), och i 2-dimensionellt rum - v = (a 1, a 2).

Hur betecknas en vektorkvantitet? Vilken vektor som helst i 1-dimensionella, 2-dimensionella och 3-dimensionella rum kan representeras som ett riktat segment som ligger mellan punkterna A och B. I detta fall betecknas det som AB →, där pilen indikerar att vi talar om en vektorkvantitet. Bokstäversekvensen anges vanligtvis från början av vektorn till dess slut. Detta betyder att om koordinaterna för punkterna A och B, till exempel i ett 3-dimensionellt rum, är lika med (x 1, y 1, z 1) respektive (x 2, y 2, z 2), då komponenter i vektorn AB → kommer att vara lika (x 2 -x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1).

Grafisk representation av vektor

I ritningar är det vanligt att avbilda en vektorkvantitet som ett segment; vid dess ände finns en pil som indikerar verkningsriktningen för den fysiska kvantitet som den är en representation av. Detta segment är vanligtvis signerat till exempel v → eller F →, så att det är tydligt vilken egenskap vi pratar om.

En grafisk representation av en vektor hjälper till att förstå var den fysiska kvantiteten tillämpas och i vilken riktning den verkar. Dessutom är det bekvämt att utföra många matematiska operationer på vektorer med hjälp av deras bilder.

Matematiska operationer på vektorer

Vektorkvantiteter, precis som vanliga tal, kan adderas, subtraheras och multipliceras med varandra och med andra tal.

Summan av två vektorer förstås som den tredje vektorn, som erhålls om de summerade parametrarna är ordnade så att slutet av den första sammanfaller med början av den andra vektorn, och sedan kopplar början av den första och slutet av den andra. För att utföra denna matematiska operation har tre huvudmetoder utvecklats:

1. Parallellogrammetoden består i att konstruera en geometrisk figur på två vektorer som härstammar från samma punkt i rymden. Diagonalen för detta parallellogram, som sträcker sig från den gemensamma ursprungspunkten för vektorerna, blir deras summa.
2. Polygonmetoden, vars kärna är att början av varje efterföljande vektor ska vara placerad i slutet av den föregående, då kommer den totala vektorn att ansluta början av den första och slutet av den sista.
3. En analysmetod som består av parvis addition av motsvarande komponenter i kända vektorer.

När det gäller skillnaden i vektorkvantiteter kan den ersättas genom att lägga till den första parametern med den som är motsatt i riktning mot den andra.

Att multiplicera en vektor med ett visst tal A utförs enligt en enkel regel: varje komponent i vektorn ska multipliceras med detta tal. Resultatet är också en vektor vars modul är A gånger större än den ursprungliga, och riktningen är antingen densamma eller motsatt till den ursprungliga, allt beror på tecknet för talet A.

Du kan inte dividera en vektor eller ett tal med det, men att dividera en vektor med talet A liknar att multiplicera med talet 1/A.

Prick och kors produkt

Vektormultiplikation kan göras på två olika sätt: skalär och vektor.

Den skalära produkten av vektorkvantiteter är en metod för att multiplicera dem, vars resultat är ett tal, det vill säga en skalär. I matrisform skrivs den skalära produkten som raderna av komponenten i den 1:a vektorn per kolumnen för komponenterna i den 2:a. Som ett resultat får vi formeln i n-dimensionell rymd: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .

I 3-dimensionellt utrymme kan punktprodukten definieras annorlunda. För att göra detta måste du multiplicera modulerna för motsvarande vektorer med cosinus för vinkeln mellan dem, det vill säga (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Av denna formel följer att om vektorerna är riktade i samma riktning, så är skalärprodukten lika med multiplikationen av deras moduler, och om vektorerna är vinkelräta mot varandra, visar det sig att det är noll. Observera att modulen för en vektor i ett rektangulärt koordinatsystem definieras som kvadratroten av summan av kvadraterna av komponenterna i denna vektor.

Vektorprodukten förstås som multiplikationen av en vektor med en vektor, vars resultat också är en vektor. Dess riktning visar sig vara vinkelrät mot var och en av de multiplicerade parametrarna, och längden är lika med produkten av modulerna för vektorerna och sinus för vinkeln mellan dem, det vill säga A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), där tecknet "x" anger vektorprodukten. I matrisform representeras denna typ av produkt som en determinant, vars rader är de elementära vektorerna för ett givet koordinatsystem och komponenterna i varje vektor.

Både skalära och tvärgående produkter används inom matematik och fysik för att bestämma många kvantiteter, till exempel arean och volymen av figurer.

Hastighet och acceleration

Inom fysiken förstås hastighet som förändringshastigheten i läget för en given materialpunkt. Hastigheten mäts i SI-enheter i meter per sekund (m/s), och betecknas med symbolen v → . Acceleration avser den hastighet med vilken hastigheten ändras. Accelerationen mäts i meter per kvadratsekund (m/s2), och betecknas vanligtvis med symbolen a →. Värdet på 1 m/s2 betyder att kroppen för varje sekund ökar sin hastighet med 1 m/s.

Hastighet och acceleration är vektorkvantiteter som deltar i formlerna för Newtons andra lag och förskjutningen av en kropp som en materiell punkt. Hastigheten är alltid riktad längs rörelseriktningen, men accelerationen kan riktas på vilket sätt som helst i förhållande till den rörliga kroppen.

Fysisk kvantitetskraft

Kraft är en vektorfysisk kvantitet som återspeglar intensiteten av interaktion mellan kroppar. Den betecknas med symbolen F → och mäts i newton (N). Per definition är 1 N en kraft som kan ändra hastigheten på en kropp med en massa på 1 kg med 1 m/s för varje sekund av tiden.

Denna fysiska kvantitet används i stor utsträckning inom fysiken, eftersom energiegenskaperna hos interaktionsprocesser är förknippade med den. Kraftens natur kan vara mycket olika, till exempel planeternas gravitationskrafter, kraften som får en bil att röra sig, de elastiska krafterna hos fasta medier, elektriska krafter som beskriver beteendet hos elektriska laddningar, magnetiska, kärnkrafter som bestämmer atomkärnors stabilitet och så vidare.

Vektor kvantitet tryck

En annan storhet som är nära relaterad till kraftbegreppet är tryck. Inom fysiken förstås det som den normala kraftprojektionen på det område som den verkar på. Eftersom kraft är en vektor, kommer trycket, enligt regeln att multiplicera ett tal med en vektor, också att vara en vektorstorhet: P → = F → /S, där S är arean. Trycket mäts i pascal (Pa), 1 Pa är parametern vid vilken en vinkelrät kraft på 1 N verkar på en yta på 1 m2. Baserat på definitionen är tryckvektorn riktad i samma riktning som kraftvektorn.

Inom fysiken används ofta begreppet tryck i studiet av fenomen i vätskor och gaser (till exempel Pascals lag eller den ideala gasekvationen för tillstånd). Trycket är nära relaterat till en kropps temperatur, eftersom den kinetiska energin hos atomer och molekyler, vars representation är temperatur, förklarar karaktären av existensen av själva trycket.

Elektrisk fältstyrka

Det finns ett elektriskt fält runt vilken laddad kropp som helst, vars kraft är dess intensitet. Denna intensitet definieras som kraften som verkar vid en given punkt i det elektriska fältet på en enhetsladdning placerad vid denna punkt. Den elektriska fältstyrkan betecknas med bokstaven E → och mäts i newton per coulomb (N/C). Intensitetsvektorn riktas längs den elektriska fältlinjen i dess riktning om laddningen är positiv, och mot den om laddningen är negativ.

Den elektriska fältstyrkan som skapas av en punktladdning kan bestämmas när som helst med hjälp av Coulombs lag.

Magnetisk induktion

Magnetfältet, som forskarna Maxwell och Faraday visade på 1800-talet, är nära besläktat med det elektriska fältet. Således genererar ett föränderligt elektriskt fält ett magnetfält och vice versa. Därför beskrivs båda typerna av fält i termer av elektromagnetiska fysikaliska fenomen.

Magnetisk induktion beskriver kraftegenskaperna hos ett magnetfält. Är magnetisk induktion en skalär eller vektormängd? Detta kan förstås genom att veta att det bestäms av kraften F → som verkar på en laddning q, som flyger med en hastighet v → i ett magnetfält, enligt följande formel: F → = q*|v → x B → |, där B → - magnetisk induktion. För att svara på frågan om magnetisk induktion är en skalär eller vektorkvantitet, kan vi säga att det är en vektor som är riktad från den nordliga magnetiska polen till söder. B mäts → i tesla (T).

Fysisk mängd candela

Ett annat exempel på en vektorkvantitet är candela, som introduceras i fysiken som ljusflödet, mätt i lumen, som passerar genom en yta som begränsas av en vinkel på 1 steradian. Candela reflekterar ljusets ljusstyrka eftersom det indikerar ljusflödets täthet.

Inom fysiken finns det flera kategorier av kvantiteter: vektor och skalär.

Vad är en vektorkvantitet?

En vektorkvantitet har två huvudsakliga egenskaper: riktning och modul. Två vektorer kommer att vara lika om deras absoluta värde och riktning är samma. För att beteckna en vektorkvantitet används oftast bokstäver med en pil ovanför. Ett exempel på en vektorkvantitet är kraft, hastighet eller acceleration.

För att förstå essensen av en vektorkvantitet bör man överväga den ur en geometrisk synvinkel. En vektor är ett segment som har en riktning. Längden på ett sådant segment korrelerar med värdet på dess modul. Ett fysiskt exempel på en vektorkvantitet är förskjutningen av en materialpunkt som rör sig i rymden. Parametrar som accelerationen av denna punkt, hastigheten och krafterna som verkar på den, det elektromagnetiska fältet kommer också att visas som vektorstorheter.

Om vi ​​betraktar en vektorkvantitet oavsett riktning, så kan ett sådant segment mätas. Men det resulterande resultatet kommer att återspegla endast partiella egenskaper hos kvantiteten. För att helt mäta det bör värdet kompletteras med andra parametrar för riktningssegmentet.

I vektoralgebra finns ett begrepp noll vektor. Detta koncept betyder en poäng. När det gäller nollvektorns riktning anses den vara osäker. För att beteckna nollvektorn används den aritmetiska nollan, skrivs med fet stil.

Om vi ​​analyserar allt ovan kan vi dra slutsatsen att alla riktade segment definierar vektorer. Två segment kommer att definiera en vektor endast om de är lika. Vid jämförelse av vektorer gäller samma regel som vid jämförelse av skalära storheter. Jämlikhet innebär fullständig överenskommelse i alla avseenden.

Vad är en skalär kvantitet?

Till skillnad från en vektor har en skalär storhet bara en parameter - denna dess numeriska värde. Det är värt att notera att det analyserade värdet kan ha både ett positivt numeriskt värde och ett negativt.

Exempel inkluderar massa, spänning, frekvens eller temperatur. Med sådana kvantiteter kan du utföra olika aritmetiska operationer: addition, division, subtraktion, multiplikation. En skalär storhet har inte en sådan egenskap som riktning.

En skalär kvantitet mäts med ett numeriskt värde, så den kan visas på en koordinataxel. Till exempel konstrueras mycket ofta axeln för tillryggalagd sträcka, temperatur eller tid.

Huvudsakliga skillnader mellan skalära och vektorkvantiteter

Från beskrivningarna ovan är det tydligt att huvudskillnaden mellan vektorkvantiteter och skalära kvantiteter är deras egenskaper. En vektorstorhet har en riktning och storlek, medan en skalär kvantitet endast har ett numeriskt värde. Naturligtvis kan en vektorkvantitet, som en skalär kvantitet, mätas, men en sådan egenskap kommer inte att vara komplett, eftersom det inte finns någon riktning.

För att tydligare föreställa sig skillnaden mellan en skalär kvantitet och en vektorkvantitet bör ett exempel ges. För att göra detta, låt oss ta ett sådant kunskapsområde som klimatologi. Om vi ​​säger att vinden blåser med en hastighet av 8 meter per sekund, kommer en skalär kvantitet att introduceras. Men om vi säger att nordanvinden blåser med en hastighet av 8 meter per sekund, då talar vi om ett vektorvärde.

Vektorer spelar en stor roll i modern matematik, såväl som inom många områden inom mekanik och fysik. De flesta fysiska storheter kan representeras som vektorer. Detta gör att vi kan generalisera och avsevärt förenkla formlerna och resultaten som används. Ofta identifieras vektorvärden och vektorer med varandra. Till exempel kan du i fysiken höra att hastighet eller kraft är en vektor.

Vektorer är ett kraftfullt verktyg för matematik och fysik. Mekanikens och elektrodynamikens grundläggande lagar är formulerade på vektorspråk. För att förstå fysik måste du lära dig att arbeta med vektorer.

Detta kapitel innehåller en detaljerad presentation av det material som behövs för att börja studera mekanik:

! Vektortillägg

! Multiplicera en skalär med en vektor

! Vinkel mellan vektorer

! Projektion av en vektor på en axel

! Vektorer och koordinater på planet

! Vektorer och koordinater i rymden

! Punktprodukt av vektorer

Det kommer att vara användbart att återgå till texten i denna ansökan under det första året när man studerar analytisk geometri och linjär algebra för att till exempel förstå varifrån axiomen för linjärt och euklidiskt rum kommer.

7.1 Skalära och vektorkvantiteter

I processen att studera fysik möter vi två typer av kvantiteter: skalär och vektor.

Definition. En skalär kvantitet, eller skalär, är en fysisk storhet för vilken (i lämpliga måttenheter) ett tal är tillräckligt.

Det finns många skalärer inom fysiken. Kroppsvikten är 3 kg, lufttemperaturen är 10 C, nätverksspänningen är 220 V. . . I alla dessa fall ges den kvantitet vi är intresserade av av ett enda nummer. Därför är massa, temperatur och elektrisk spänning skalärer.

Men en skalär inom fysik är inte bara en siffra. En skalär är ett tal utrustat med dimension 1. Så när vi anger massan kan vi inte skriva m = 3; Du måste ange måttenheten, till exempel m = 3 kg. Och om vi i matematik kan lägga till siffrorna 3 och 220, så kan vi i fysiken inte lägga till 3 kilogram och 220 volt: vi har rätt att bara lägga till de skalärer som har samma dimension (massa med massa, spänning med spänning, etc. ) .

Definition. En vektorkvantitet, eller vektor, är en fysisk storhet som kännetecknas av: 1) en icke-negativ skalär; 2) riktning i rymden. I detta fall kallas skalären vektorns modul, eller dess absoluta värde.

Låt oss anta att bilen rör sig med en hastighet av 60 km/h. Men detta är ofullständig information om rörelsen, eller hur? Det kan också vara viktigt vart bilen är på väg, åt vilket håll. Därför är det viktigt att inte bara känna till modulen (absolutvärde) för bilens hastighet, i det här fallet är den 60 km/h, utan också dess riktning i rymden. Det betyder att hastighet är en vektor.

Ett annat exempel. Låt oss säga att det ligger en tegelsten som väger 1 kg på golvet. En kraft på 100 N verkar på tegelstenen (detta är kraftens modul, eller dess absoluta värde). Hur kommer tegelstenen att röra sig? Frågan är meningslös tills kraftens riktning är specificerad. Om kraften verkar uppåt, kommer tegelstenen att röra sig uppåt. Om kraften verkar horisontellt, kommer tegelstenen att röra sig horisontellt. Och om kraften verkar vertikalt nedåt, kommer tegelstenen inte att röra sig alls, den kommer bara att pressas in i golvet. Vi ser därför att kraft också är en vektor.

En vektorkvantitet i fysiken har också dimension. Dimensionen av en vektor är dimensionen av dess modul.

Vi kommer att beteckna vektorer med bokstäver med en pil. Således kan hastighetsvektorn betecknas

genom ~v, och kraftvektorn genom F. Egentligen är en vektor en pil eller, som de också säger, ett riktat segment (fig. 7.1).

Ris. 7.1. Vektor ~v

Pilens startpunkt kallas början av vektorn och pilens slutpunkt (spets).

slutet av vektorn. Inom matematiken betecknas en vektor som börjar i punkt A och slutar i punkt B

även AB; Vi kommer också ibland att behöva en sådan notation.

En vektor vars början och slut sammanfaller kallas en nollvektor (eller noll) och

betecknas med ~. Nollvektorn är helt enkelt en punkt; den har ingen bestämd riktning.

Längden på nollvektorn är naturligtvis noll.

1 Det finns även dimensionslösa skalärer: friktionskoefficient, effektivitet, brytningsindex för mediet. . . Sålunda är vattnets brytningsindex 1,33; detta är omfattande information; detta nummer har ingen dimension.

Att rita pilar löser helt problemet med att grafiskt representera vektorkvantiteter. Pilens riktning indikerar riktningen för en given vektor, och längden på pilen i lämplig skala är storleken på den vektorn.

Antag till exempel att två bilar rör sig mot varandra med hastigheterna u = 30 km/h och v = 60 km/h. Då kommer vektorerna ~u och ~v för bilhastigheterna att ha motsatta riktningar, och längden på vektorn ~v är dubbelt så stor (fig. 7.2).

Ris. 7.2. Vektor ~v är dubbelt så lång

Som du redan har förstått indikerar en bokstav utan pil (till exempel u eller v i föregående stycke) storleken på motsvarande vektor. Inom matematiken betecknas vanligtvis modulen för en vektor ~v j~vj, men fysiker, om situationen tillåter, kommer att föredra bokstaven v utan pil.

Vektorer kallas kolinjära om de är placerade på samma linje eller på parallella linjer.

Låt det finnas två kolinjära vektorer. Om deras riktningar sammanfaller, kallas vektorerna för samriktning; om deras riktningar är olika, så kallas vektorerna för motsatt riktade. Så ovan i fig. 7.2 vektorer ~u och ~v är motsatt riktade.

Två vektorer kallas lika om de är samriktade och har lika stora moduler (Fig. 7.3).

Ris. 7.3. Vektorerna ~a och b är lika: ~a = b

Likhet mellan vektorer betyder alltså inte nödvändigtvis att deras början och slut sammanfaller: vi kan flytta en vektor parallellt med sig själv, och detta kommer att resultera i en vektor lika med den ursprungliga. Denna överföring används ständigt i fall där det är önskvärt att reducera början av vektorer till en punkt, till exempel när man hittar summan eller skillnaden av vektorer. Vi går nu vidare till att överväga operationer på vektorer.

Vektorkvantitet (vektor)är en fysisk storhet som har två egenskaper - modul och riktning i rymden.

Exempel på vektorstorheter: hastighet (), kraft (), acceleration (), etc.

Geometriskt avbildas en vektor som ett riktat segment av en rät linje, vars längd på en skala är vektorns absoluta värde.

Radie vektor(vanligtvis betecknad eller helt enkelt) - en vektor som specificerar positionen för en punkt i rymden i förhållande till någon prefixerad punkt, kallad origo.

För en godtycklig punkt i rymden är radievektorn vektorn som går från origo till den punkten.

Längden på radievektorn, eller dess modul, bestämmer det avstånd på vilket punkten är belägen från origo, och pilen indikerar riktningen till denna punkt i rymden.

På ett plan är radievektorns vinkel den vinkel med vilken radievektorn roteras i förhållande till x-axeln i moturs riktning.

linjen längs vilken en kropp rör sig kallas rörelsebana. Beroende på banans form kan alla rörelser delas in i rätlinjiga och kurvlinjära.

Beskrivningen av rörelse börjar med ett svar på frågan: hur har kroppens position i rymden förändrats under en viss tidsperiod? Hur bestäms en förändring av en kropps position i rymden?

Rör på sig- ett riktat segment (vektor) som förbinder kroppens initiala och slutliga position.

Fart(ofta betecknad från engelska. hastighet eller fr. vitesse) är en fysisk vektorstorhet som kännetecknar rörelsehastigheten och rörelseriktningen för en materialpunkt i rymden i förhållande till det valda referenssystemet (till exempel vinkelhastighet). Samma ord kan användas för att referera till en skalär kvantitet, eller mer exakt, modulen för derivatan av radievektorn.

Inom vetenskapen används hastighet också i vid mening, som förändringshastigheten för en viss kvantitet (inte nödvändigtvis radievektorn) beroende på en annan (vanligtvis förändringar i tid, men också i rymden eller någon annan). Till exempel talar de om hastigheten för temperaturförändringar, hastigheten för en kemisk reaktion, grupphastigheten, en förenings hastighet, vinkelhastigheten etc. En funktions derivata karakteriseras matematiskt.

Acceleration(vanligtvis betecknad i teoretisk mekanik), derivatan av hastighet med avseende på tid är en vektorkvantitet som visar hur mycket hastighetsvektorn för en punkt (kropp) förändras när den rör sig per tidsenhet (dvs acceleration tar inte bara hänsyn till förändringen i hastighetens storlek, men också dess riktning).

Till exempel, nära jorden, ökar en kropp som faller på jorden, i det fall där luftmotståndet kan försummas, sin hastighet med cirka 9,8 m/s varje sekund, det vill säga dess acceleration är lika med 9,8 m/s².

Den gren av mekaniken som studerar rörelse i det tredimensionella euklidiska rummet, dess registrering, samt registrering av hastigheter och accelerationer i olika referenssystem, kallas kinematik.

Accelerationsenheten är meter per sekund per sekund ( m/s 2, m/s 2), det finns också en icke-systemenhet Gal (Gal), som används inom gravimetri och lika med 1 cm/s 2.

Derivat av acceleration med avseende på tid dvs. den kvantitet som kännetecknar hastigheten för förändring av accelerationen över tiden kallas ryck.

Den enklaste rörelsen av en kropp är en där alla punkter på kroppen rör sig lika, vilket beskriver samma banor. Denna rörelse kallas progressiv. Vi får denna typ av rörelse genom att flytta splittern så att den förblir parallell med sig själv hela tiden. Under framåtrörelse kan banor vara antingen raka (fig. 7, a) eller krökta (fig. 7, b) linjer.
Det kan bevisas att under translationsrörelse förblir varje rak linje som ritas i kroppen parallell med sig själv. Det är bekvämt att använda denna karakteristiska egenskap för att svara på frågan om en given kroppsrörelse är translationell. Till exempel, när en cylinder rullar längs ett plan, förblir inte raka linjer som skär axeln parallella med sig själva: rullning är inte en translationsrörelse. När tvärstången och fyrkanten rör sig längs ritbordet, förblir alla räta linjer som dras i dem parallella med sig själv, vilket innebär att de rör sig framåt (fig. 8). Nålen på en symaskin, kolven i cylindern på en ångmaskin eller förbränningsmotor, karossen på en bil (men inte hjulen!) rör sig framåt när man kör på en rak väg osv.

En annan enkel typ av rörelse är rotationsrörelse kropp eller rotation. Under rotationsrörelse rör sig alla punkter på kroppen i cirklar vars centrum ligger på en rak linje. Denna räta linje kallas rotationsaxeln (rät linje 00" i fig. 9). Cirklarna ligger i parallella plan vinkelräta mot rotationsaxeln. De punkter på kroppen som ligger på rotationsaxeln förblir stationära. Rotation är inte en translationsrörelse: när axeln roterar OO" . De visade banorna förblir parallella endast raka linjer parallella med rotationsaxeln.

Absolut solid kropp- mekanikens andra stödjande föremål tillsammans med materialpunkten.

Det finns flera definitioner:

1. En absolut stel kropp är ett modellkoncept av klassisk mekanik, som betecknar en uppsättning materialpunkter, vars avstånd upprätthålls under alla rörelser som utförs av denna kropp. Med andra ord, en absolut solid kropp ändrar inte bara sin form, utan bibehåller också fördelningen av massa inuti oförändrad.

2. En absolut stel kropp är ett mekaniskt system som endast har translationella och roterande frihetsgrader. "Hårdhet" betyder att kroppen inte kan deformeras, det vill säga ingen annan energi kan överföras till kroppen förutom den kinetiska energin av translations- eller rotationsrörelse.

3. En absolut stel kropp är en kropp (system) vars relativa position för alla punkter inte förändras, oavsett vilka processer den deltar i.

I tredimensionellt utrymme och i frånvaro av anslutningar har en absolut stel kropp 6 frihetsgrader: tre translationella och tre roterande. Undantaget är en diatomisk molekyl eller, på klassisk mekaniks språk, en solid stång med noll tjocklek. Ett sådant system har endast två rotationsfrihetsgrader.

Slut på arbetet -

Detta ämne hör till avsnittet:

En obevisad och obestridd hypotes kallas ett öppet problem.

Fysik är nära besläktad med matematik, matematik tillhandahåller en apparat med hjälp av vilken fysikaliska lagar kan formuleras exakt.. teori Grekisk betraktelse.. standardmetod för att testa teorier direkt experimentell verifiering experiment sanningskriterium hur ofta som helst..

Om du behöver ytterligare material om detta ämne, eller om du inte hittade det du letade efter, rekommenderar vi att du använder sökningen i vår databas med verk:

Vad ska vi göra med det mottagna materialet:

Om detta material var användbart för dig kan du spara det på din sida på sociala nätverk:

Tweet

Alla ämnen i detta avsnitt:

Relativitetsprincipen i mekanik
Tröghetsreferenssystem och relativitetsprincipen. Galileos förvandlingar. Transformationsinvarianter. Absoluta och relativa hastigheter och accelerationer. Postulat av speciell teknik

Rotationsrörelse av en materialpunkt.
Rotationsrörelse för en materialpunkt är rörelsen av en materialpunkt i en cirkel. Rotationsrörelse är en typ av mekanisk rörelse. På

Samband mellan vektorerna för linjära och vinkelhastigheter, linjära och vinkelaccelerationer.
Ett mått på rotationsrörelse: vinkeln φ genom vilken radievektorn för en punkt roterar i ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln. Enhetlig rotationsrörelse

Hastighet och acceleration under böjd rörelse.
Kurvilinjär rörelse är en mer komplex typ av rörelse än rätlinjig rörelse, eftersom även om rörelsen sker på ett plan förändras två koordinater som kännetecknar kroppens position. Hastighet och

Acceleration under böjd rörelse.
Med tanke på en kropps kurvlinjära rörelse ser vi att dess hastighet är olika vid olika ögonblick. Även i fallet när storleken på hastigheten inte ändras, finns det fortfarande en förändring i hastighetens riktning

Newtons rörelseekvation
(1) där kraften F i det allmänna fallet

Masscentrum
tröghetscentrum, en geometrisk punkt vars position kännetecknar fördelningen av massor i en kropp eller ett mekaniskt system. Koordinaterna för den centrala massan bestäms av formlerna

Masscentrums rörelselag.
Med hjälp av momentumförändringens lag får vi massacentrums rörelselag: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Systemets masscentrum rör sig på samma sätt som de två

Galileos relativitetsprincip
· Tröghetsreferenssystem Galileos tröghetsreferenssystem

Plastdeformation
Låt oss böja stålplåten (till exempel en bågfil) lite och sedan efter ett tag släppa den. Vi kommer att se att bågfilen helt (åtminstone vid första anblicken) kommer att återställa sin form. Om vi ​​tar

YTTRE OCH INRE KRAFTER
. Inom mekanik, yttre krafter i förhållande till ett givet system av materialpunkter (dvs. en sådan uppsättning materialpunkter där varje punkts rörelse beror på positionerna eller rörelserna för alla axlar

Rörelseenergi
energin i ett mekaniskt system, beroende på rörelsehastigheten för dess punkter. K.e. T för en materialpunkt mäts med hälften av produkten av massan m av denna punkt med kvadraten på dess hastighet

Rörelseenergi.
Kinetisk energi är energin hos en kropp i rörelse.(Från det grekiska ordet kinema - rörelse). Per definition den kinetiska energin för något i vila inom en given referensram

Ett värde lika med halva produkten av en kropps massa och kvadraten på dess hastighet.
=J. Kinetisk energi är en relativ storhet, beroende på valet av CO, eftersom kroppens hastighet beror på valet av CO. Den där.

Maktens ögonblick
· Maktögonblick. Ris. Maktens ögonblick. Ris. Kraftmoment, kvantiteter

Kinetisk energi hos en roterande kropp
Kinetisk energi är en additiv kvantitet. Därför är den kinetiska energin för en kropp som rör sig på ett godtyckligt sätt lika med summan av de kinetiska energierna för alla n material

Arbete och kraft under rotation av en stel kropp.
Arbete och kraft under rotation av en stel kropp. Låt oss hitta ett uttryck för arbete på vikarie

Grundläggande ekvation för rotationsrörelsens dynamik
Enligt ekvation (5.8), Newtons andra lag för rotationsrörelse P

Vektorkvantitet

Vektorkvantitet- fysisk kvantitet, som är en vektor (tensor av rang 1). Å ena sidan kontrasteras det med skalära kvantiteter (tensorer av rang 0), och å andra sidan med tensorkvantiteter (strängt taget, med tensorer av rang 2 eller mer). Det kan också ställas i kontrast till vissa objekt av en helt annan matematisk karaktär.

I de flesta fall används termen vektor inom fysiken för att beteckna en vektor i det så kallade ”fysiska rummet”, d.v.s. i vanligt tredimensionellt rum i klassisk fysik eller i fyrdimensionellt rum-tid i modern fysik (i det senare fallet sammanfaller begreppet vektor och vektorkvantitet med begreppet en 4-vektor och en 4-vektorstorhet ).

Användningen av frasen "vektorkvantitet" är praktiskt taget uttömd av detta. När det gäller användningen av termen "vektor", trots dess standardbenägenhet till samma tillämplighetsområde, går det i ett stort antal fall fortfarande mycket långt utanför sådana gränser. Se nedan för detaljer.

Användning av termer vektor Och vektorkvantitet i fysik

Generellt sett sammanfaller konceptet med en vektor nästan helt i fysiken med det i matematik. Det finns dock en terminologisk specificitet förknippad med det faktum att i modern matematik är detta begrepp något överdrivet abstrakt (i förhållande till fysikens behov).

När man uttalar "vektor" menar man i matematik snarare en vektor i allmänhet, dvs. vilken vektor som helst av godtyckligt abstrakt linjärt utrymme av vilken dimension och natur som helst, som, om inte särskilda ansträngningar görs, till och med kan leda till förvirring (inte så mycket, naturligtvis, i huvudsak, utan i termer av användarvänlighet). Om det är nödvändigt att vara mer specifik, i den matematiska stilen måste man antingen tala ganska långt ("vektor för ett sådant och ett sådant utrymme") eller hålla i minnet vad som antyds av det explicit beskrivna sammanhanget.

Inom fysiken talar vi dock nästan alltid inte om matematiska objekt (som har vissa formella egenskaper) i allmänhet, utan om deras specifika (”fysiska”) samband. Om man tar hänsyn till dessa specificitetsöverväganden med hänsyn till korthet och bekvämlighet, kan det förstås att terminologisk praktik i fysiken skiljer sig markant från matematikens. Det står dock inte i uppenbar motsägelse med det senare. Detta kan uppnås med några enkla "trick". Först och främst inkluderar dessa avtalet om användning av termen som standard (när sammanhanget inte är specifikt specificerat). Sålunda, i fysiken, till skillnad från matematik, betyder ordet vektor utan ytterligare förtydligande vanligtvis inte "någon vektor av något linjärt rymd i allmänhet", utan i första hand en vektor som är associerad med "vanligt fysiskt rum" (det tredimensionella rummet i klassisk fysik eller fyrdimensionell rymd-tid av relativistisk fysik). För vektorer av rum som inte är direkt och direkt relaterade till "fysiskt rum" eller "rum-tid" används speciella namn (ibland inklusive ordet "vektor", men med förtydligande). Om en vektor av något rum som inte är direkt och direkt relaterad till "fysiskt rum" eller "rum-tid" (och som är svår att omedelbart karakterisera på något sätt definitivt) introduceras i teorin, beskrivs den ofta specifikt som en "abstrakt vektor ”.

Allt som har sagts gäller begreppet "vektorkvantitet" ännu mer än begreppet "vektor". Tystnaden i detta fall innebär ännu mer strikt en bindning till "vanligt rum" eller rum-tid, och användningen av abstrakta vektorrum i förhållande till element av abstrakta vektorrum påträffas nästan aldrig, åtminstone tycks en sådan tillämpning vara det sällsynta undantaget (om inte en reservation alls).

Inom fysiken kallas vektorer oftast och vektorkvantiteter - nästan alltid - vektorer av två klasser som liknar varandra:

Exempel på vektorfysiska storheter: hastighet, kraft, värmeflöde.

Uppkomst av vektorkvantiteter

Hur är fysiska "vektormängder" relaterade till rymden? Först och främst är det slående att dimensionen av vektorkvantiteter (i den vanliga betydelsen av användningen av denna term, vilket förklaras ovan) sammanfaller med dimensionen av samma "fysiska" (och "geometriska") utrymme, för Exempelvis är ett tredimensionellt utrymme och ett elektriskt vektorfält tredimensionella. Intuitivt kan man också märka att vilken fysisk vektorkvantitet som helst, oavsett vilket vaga samband den har med vanlig rumslig utsträckning, ändå har en mycket bestämd riktning i detta vanliga rum.

Det visar sig dock att mycket mer kan uppnås genom att direkt "reducera" hela uppsättningen av vektorkvantiteter av fysiken till de enklaste "geometriska" vektorerna, eller snarare till en vektor - vektorn för elementär förskjutning, och det skulle vara mer korrekt att säga - genom att härleda dem alla från det.

Denna procedur har två olika (även om de i huvudsak upprepar varandra i detalj) implementeringar för det tredimensionella fallet med klassisk fysik och för den fyrdimensionella rum-tidsformuleringen som är vanlig för modern fysik.

Klassiskt 3D-fodral

Vi kommer att utgå från det vanliga tredimensionella "geometriska" utrymmet där vi lever och kan röra oss.

Låt oss ta vektorn för infinitesimal förskjutning som initial- och referensvektor. Det är ganska uppenbart att detta är en vanlig "geometrisk" vektor (precis som en ändlig förskjutningsvektor).

Låt oss nu omedelbart notera att multiplicering av en vektor med en skalär alltid ger en ny vektor. Detsamma kan sägas om summan och skillnaden av vektorer. I det här kapitlet kommer vi inte att göra någon skillnad mellan polära och axiella vektorer, så vi noterar att korsprodukten av två vektorer också ger en ny vektor.

Den nya vektorn ger också differentieringen av vektorn med avseende på skalären (eftersom en sådan derivata är gränsen för förhållandet mellan skillnaden mellan vektorer och skalären). Detta kan sägas vidare om derivat av alla högre ordningar. Detsamma gäller för integration över skalärer (tid, volym).

Notera nu att, baserat på radievektorn r eller från elementär förskjutning d r, förstår vi lätt att vektorer är (eftersom tiden är en skalär) sådana kinematiska storheter som

Från hastighet och acceleration, multiplicerat med en skalär (massa), får vi

Eftersom vi nu är intresserade av pseudovektorer, noterar vi det

• Med hjälp av Lorentz kraftformel kopplas den elektriska fältstyrkan och den magnetiska induktionsvektorn till kraft- och hastighetsvektorerna.

Genom att fortsätta denna procedur upptäcker vi att alla vektorkvantiteter som vi känner till nu inte bara är intuitivt, utan också formellt, bundna till det ursprungliga rummet. Nämligen alla av dem, i en mening, är dess element, eftersom uttrycks i huvudsak som linjära kombinationer av andra vektorer (med skalära faktorer, kanske dimensionella, men skalära, och därför formellt sett ganska lagliga).

Modernt fyrdimensionellt fodral

Samma procedur kan göras baserat på fyrdimensionell rörelse. Det visar sig att alla 4-vektorskvantiteter "kommer" från 4-förskjutning, och är därför i viss mening samma vektorer av rum-tid som själva 4-förskjutningen.

Typer av vektorer i relation till fysik

• En polär eller sann vektor är en vanlig vektor.
• En axiell vektor (pseudovektor) är faktiskt inte en reell vektor, men formellt skiljer den sig nästan inte från den senare, förutom att den ändrar riktning till motsatt när orienteringen av koordinatsystemet ändras (till exempel när koordinatsystemet speglas ). Exempel på pseudovektorer: alla kvantiteter definierade genom korsprodukten av två polära vektorer.
• Det finns flera olika ekvivalensklasser för krafter.

Anteckningar

Wikimedia Foundation. 2010.

Se vad "Vektorkvantitet" är i andra ordböcker:

vektorkvantitet- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-rysk ordbok för elektroteknik och kraftteknik, Moskva, 1999] Ämnen inom elektroteknik, grundläggande begrepp EN vektorkvantitet ... Teknisk översättarguide

vektorkvantitet- vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. vektorkvantitet vektoriell kvantitet vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektor kvantitet, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatisk terminų žodynas

vektorkvantitet- vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. vektorkvantitet vektoriell kvantitet vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektor kvantitet, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Grafisk representation av storheter som förändras enligt sinuslagen (cosinus) och relationerna mellan dem med hjälp av riktade segment av vektorer. Vektordiagram används ofta inom elektroteknik, akustik, optik, vibrationsteori och så vidare.... ... Wikipedia

Frågan "styrka" omdirigerar hit; se även andra betydelser. Force Dimension LMT−2 SI-enheter ... Wikipedia

Denna artikel eller avsnitt behöver revideras. Vänligen förbättra artikeln i enlighet med reglerna för att skriva artiklar. Fysisk... Wikipedia

Detta är en storhet som, som ett resultat av experiment, antar ett av många värden, och utseendet av ett eller annat värde av denna kvantitet kan inte exakt förutsägas före mätningen. Den formella matematiska definitionen är som följer: låt probabilistiska... ... Wikipedia

Vektor- och skalära funktioner av koordinater och tid, som är egenskaper hos det elektromagnetiska fältet. Vektor P.e. kallad vektorkvantitet A, rotorn är lika med vektor B för magnetfältsinduktionen; rotA V. Skalär P. e. kallad skalär kvantitet f, … … Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

Värdet som kännetecknar rotationen. effekten av kraft när den verkar på TV. kropp. Det finns M. s. i förhållande till mitten (punkten) och i förhållande till huvudet. Fröken. i förhållande till centrum O (Fig. a) en vektorkvantitet numeriskt lika med produkten av kraftmodulen F med... ... Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

En vektorkvantitet som kännetecknar förändringshastigheten i en punkts numeriska värde och riktning. När en punkt rör sig i en rät linje, när dess hastighet υ ökar (eller minskar) jämnt, numeriskt V. i tiden: ... ... Stora sovjetiska encyklopedien