Ekvationer och olikheter med modul. Intervallmetoden är en universell metod för att lösa ojämlikheter med en modul

Matematik är en symbol för vetenskapens visdom,

ett exempel på vetenskaplig stringens och enkelhet,

standarden för perfektion och skönhet inom vetenskapen.

Rysk filosof, professor A.V. Voloshinov

Modulo ojämlikheter

De svåraste problemen att lösa i skolmatematiken är ojämlikheterna, som innehåller variabler under modultecknet. För att framgångsrikt lösa sådana ojämlikheter är det nödvändigt att känna till modulens egenskaper väl och ha kompetens att använda dem.

Grundläggande begrepp och egenskaper

Modul (absolut värde) för ett reellt tal betecknas och definieras enligt följande:

Modulens enkla egenskaper inkluderar följande relationer:

OCH .

Notera, att de två sista fastigheterna håller för någon jämn grad.

Dessutom, om , var , då och

Mer komplexa modulegenskaper, som effektivt kan användas för att lösa ekvationer och ojämlikheter med moduler, formuleras med hjälp av följande satser:

Sats 1.För alla analytiska funktioner Och ojämlikheten.

Sats 2. Jämlikhet motsvarar ojämlikheten.

Sats 3. Jämlikhet motsvarar ojämlikheten.

De vanligaste ojämlikheterna i skolmatematiken, som innehåller okända variabler under modulotecknet, är formens ojämlikheter och var någon positiv konstant.

Sats 4. Olikhet motsvarar dubbel ojämlikhet, och lösningen på ojämlikhetenreducerar till att lösa uppsättningen av ojämlikheter Och .

Denna sats är ett särskilt fall av satser 6 och 7.

Mer komplexa ojämlikheter, som innehåller modulen är ojämlikheter i formen, Och .

Metoder för att lösa sådana ojämlikheter kan formuleras med hjälp av följande tre satser.

Sats 5. Olikhet är ekvivalent med kombinationen av två system av ojämlikheter

OCH (1)

Bevis. Sedan dess

Detta innebär giltigheten av (1).

Sats 6. Olikhet är likvärdigt med systemet med ojämlikheter

Bevis. Därför att , då från ojämlikheten följer det . Under detta villkor, ojämlikhetenoch i detta fall visar sig det andra systemet av ojämlikheter (1) vara inkonsekvent.

Teoremet har bevisats.

Sats 7. Olikhet är ekvivalent med kombinationen av en ojämlikhet och två system av ojämlikhet

OCH (3)

Bevis. Sedan , då ojämlikheten alltid avrättad, Om .

Låt, sedan ojämlikhetenkommer att vara liktydigt med ojämlikhet, från vilken uppsättningen av två ojämlikheter följer Och .

Teoremet har bevisats.

Tänk på typiska exempel på problemlösning i ämnet "Ojämlikheter, som innehåller variabler under modultecknet.

Lösa ojämlikheter med modul

Den enklaste metoden för att lösa ojämlikheter med modul är metoden, baserat på modulexpansion. Denna metod är generisk, dock i det allmänna fallet kan dess tillämpning leda till mycket krångliga beräkningar. Därför bör eleverna också känna till andra (effektivare) metoder och tekniker för att lösa sådana ojämlikheter. Särskilt, måste ha kompetens att tillämpa satser, ges i den här artikeln.

Exempel 1Lös ojämlikheten

. (4)

Lösning.Ojämlikhet (4) kommer att lösas med den "klassiska" metoden - modulexpansionsmetoden. För detta ändamål bryter vi den numeriska axeln prickar och intervaller och överväg tre fall.

1. Om , då , , , och ojämlikhet (4) tar formen eller .

Eftersom fallet behandlas här, är , en lösning på ojämlikhet (4).

2. Om , då erhåller vi av ojämlikhet (4). eller . Sedan skärningspunkten av intervaller Och är tom, då finns det inga lösningar på ojämlikhet (4) på ​​det betraktade intervallet.

3. Om , då tar olikhet (4) formen eller . Det är uppenbart är också en lösning på ojämlikhet (4).

Svar: , .

Exempel 2 Lös ojämlikheten.

Lösning. Låt oss anta det. Därför att , då tar den givna ojämlikheten formen eller . För då och därav följer eller .

Men därför eller .

Exempel 3 Lös ojämlikheten

. (5)

Lösning. Därför att , då är ojämlikhet (5) ekvivalent med ojämlikheterna eller . Härifrån, enligt sats 4, vi har en uppsättning ojämlikheter Och .

Svar: , .

Exempel 4Lös ojämlikheten

. (6)

Lösning. Låt oss beteckna . Sedan får vi från ojämlikhet (6) ojämlikheterna , , eller .

Härifrån, med intervallmetoden, vi får . Därför att , då har vi här ett system av ojämlikheter

Lösningen på den första olikheten i systemet (7) är föreningen av två intervall och , och lösningen av den andra ojämlikheten är den dubbla ojämlikheten. Detta innebär , att lösningen på systemet av ojämlikheter (7) är föreningen av två intervall Och .

Svar: ,

Exempel 5Lös ojämlikheten

. (8)

Lösning. Vi transformerar ojämlikhet (8) enligt följande:

Eller .

Använder intervallmetoden, vi får en lösning på ojämlikhet (8).

Svar: .

Notera. Om vi ​​sätter och i tillståndet för sats 5, så får vi .

Exempel 6 Lös ojämlikheten

. (9)

Lösning. Av ojämlikhet (9) följer. Vi transformerar ojämlikhet (9) enligt följande:

Eller

Sedan , då eller .

Svar: .

Exempel 7Lös ojämlikheten

. (10)

Lösning. Sedan och , då eller .

I detta sammanhang och ojämlikhet (10) tar formen

Eller

. (11)

Av detta följer att eller . Eftersom ojämlikhet (11) innebär också eller .

Svar: .

Notera. Om vi ​​tillämpar sats 1 på den vänstra sidan av ojämlikhet (10), då får vi . Härifrån och av ojämlikhet (10) följer det, det eller . Därför att , då tar olikhet (10) formen eller .

Exempel 8 Lös ojämlikheten

. (12)

Lösning. Sedan dess och ojämlikhet (12) innebär eller . Men därför eller . Härifrån får vi eller .

Svar: .

Exempel 9 Lös ojämlikheten

. (13)

Lösning. Enligt sats 7 är lösningarna på ojämlikhet (13) eller .

Låt nu. I detta fall och ojämlikhet (13) tar formen eller .

Om vi ​​slår ihop intervaller och , då får vi en lösning på formens ojämlikhet (13)..

Exempel 10 Lös ojämlikheten

. (14)

Lösning. Låt oss skriva om ojämlikhet (14) i en likvärdig form: . Om vi ​​tillämpar sats 1 på den vänstra sidan av denna ojämlikhet, får vi olikheten .

Härifrån och från sats 1 följer det, att ojämlikhet (14) är uppfylld för alla värden.

Svar: valfritt nummer.

Exempel 11. Lös ojämlikheten

. (15)

Lösning. Tillämpa sats 1 på den vänstra sidan av ojämlikhet (15), vi får . Härifrån och från ojämlikhet (15) följer ekvationen, som ser ut.

Enligt sats 3, ekvationen motsvarar ojämlikheten. Härifrån får vi.

Exempel 12.Lös ojämlikheten

. (16)

Lösning. Från ojämlikhet (16) får vi enligt sats 4 systemet med ojämlikheter

När man löser ojämlikhetenvi använder sats 6 och erhåller systemet med ojämlikhetervarav följer.

Tänk på ojämlikheten. Enligt sats 7, vi får en uppsättning ojämlikheter Och . Den andra ojämlikheten i befolkningen gäller för någon verklig.

Därav , lösningen av ojämlikhet (16) är.

Exempel 13Lös ojämlikheten

. (17)

Lösning. Enligt sats 1 kan vi skriva

(18)

Med hänsyn till ojämlikhet (17) drar vi slutsatsen att båda ojämlikheterna (18) övergår i jämlikheter, dvs. det finns ett ekvationssystem

Enligt sats 3 är detta ekvationssystem ekvivalent med systemet av ojämlikheter

eller

Exempel 14Lös ojämlikheten

. (19)

Lösning. Sedan dess . Låt oss multiplicera båda delarna av ojämlikhet (19) med uttrycket , som för alla värden bara tar positiva värden. Då får vi en olikhet som är likvärdig med olikhet (19), av formen

Härifrån får vi eller , var . Sedan och då är lösningarna på ojämlikhet (19). Och .

Svar: , .

För en djupare studie av metoder för att lösa ojämlikheter med en modul, är det lämpligt att hänvisa till handledningar, listas i listan över rekommenderade avläsningar.

1. Samling av uppgifter i matematik för sökande till tekniska högskolor / Ed. MI. Scanavi. - M .: Värld och utbildning, 2013. - 608 sid.

2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: metoder för att lösa och bevisa ojämlikheter. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 sid.

3. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: icke-standardiserade metoder för att lösa problem. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 sid.

Har du några frågor?

För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

modulnummer detta tal i sig kallas om det är icke-negativt, eller samma tal med motsatt tecken om det är negativt.

Till exempel är modulen för 6 6, och modulen för -6 är också 6.

Det vill säga, modulen för ett tal förstås som ett absolut värde, det absoluta värdet av detta tal utan att ta hänsyn till dess tecken.

Betecknas enligt följande: |6|, | X|, |A| etc.

(För mer information, se avsnittet "Module of Number").

Modulo ekvationer.

Exempel 1 . lösa ekvationen|10 X - 5| = 15.

Lösning.

I enlighet med regeln är ekvationen ekvivalent med kombinationen av två ekvationer:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Vi bestämmer:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Svar: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exempel 2 . lösa ekvationen|2 X + 1| = X + 2.

Lösning.

Eftersom modulen är ett icke-negativt tal, alltså X+ 2 ≥ 0. Följaktligen:

X ≥ -2.

Vi gör två ekvationer:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Vi bestämmer:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Båda siffrorna är större än -2. Så båda är rötter till ekvationen.

Svar: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exempel 3 . lösa ekvationen

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Lösning.

Ekvationen är vettig om nämnaren inte är lika med noll - så om X≠ 1. Låt oss ta hänsyn till detta villkor. Vår första åtgärd är enkel - vi blir inte bara av med bråkdelen, utan vi transformerar den på ett sådant sätt att vi får modulen i sin renaste form:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Nu har vi bara uttrycket under modulen på vänster sida av ekvationen. Varsågod.
Modulen för ett tal är ett icke-negativt tal - det vill säga den måste vara större än eller lika med noll. Följaktligen löser vi ojämlikheten:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Således har vi ett andra villkor: roten till ekvationen måste vara minst 3/4.

I enlighet med regeln komponerar vi en uppsättning av två ekvationer och löser dem:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Vi fick två svar. Låt oss kontrollera om de är rötterna till den ursprungliga ekvationen.

Vi hade två villkor: roten till ekvationen kan inte vara lika med 1, och den måste vara minst 3/4. Det är X ≠ 1, X≥ 3/4. Båda dessa villkor motsvarar endast ett av de två mottagna svaren - talet 2. Därför är det bara det som är roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar: X = 2.

Ojämlikheter med modulen.

Exempel 1 . Lös ojämlikheten| X - 3| < 4

Lösning.

Modulregeln säger:

|A| = A, Om A ≥ 0.

|A| = -A, Om A < 0.

Modulen kan ha både ett icke-negativt och ett negativt tal. Så vi måste överväga båda fallen: X- 3 ≥ 0 och X - 3 < 0.

1) När X- 3 ≥ 0 vår ursprungliga ojämlikhet förblir som den är, bara utan modulotecknet:
X - 3 < 4.

2) När X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

När vi öppnar fästena får vi:

-X + 3 < 4.

Från dessa två förhållanden har vi alltså kommit till föreningen av två system av ojämlikhet:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Låt oss lösa dem:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Så i vårt svar har vi föreningen av två uppsättningar:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Bestäm de minsta och största värdena. Dessa är -1 och 7. Samtidigt X större än -1 men mindre än 7.
Förutom, X≥ 3. Lösningen på ojämlikheten är därför hela uppsättningen av tal från -1 till 7, exklusive dessa extrema tal.

Svar: -1 < X < 7.

Eller: X ∈ (-1; 7).

Tillägg.

1) Det finns ett enklare och kortare sätt att lösa vår ojämlikhet – grafiskt. För att göra detta, rita en horisontell axel (Fig. 1).

Uttryck | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X till punkt 3 mindre än fyra enheter. Vi markerar siffran 3 på axeln och räknar 4 divisioner till vänster och höger om den. Till vänster kommer vi till punkt -1, till höger - till punkt 7. Alltså punkterna X vi såg bara utan att beräkna dem.

Dessutom, enligt ojämlikhetsvillkoret, ingår inte -1 och 7 själva i uppsättningen av lösningar. Därmed får vi svaret:

1 < X < 7.

2) Men det finns en annan lösning som är ännu enklare än det grafiska sättet. För att göra detta måste vår ojämlikhet presenteras i följande form:

4 < X - 3 < 4.

Det är trots allt så här det är enligt modulens regel. Det icke-negativa talet 4 och det liknande negativa talet -4 är gränserna för lösningen till ojämlikheten.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exempel 2 . Lös ojämlikheten| X - 2| ≥ 5

Lösning.

Detta exempel skiljer sig markant från det föregående. Den vänstra sidan är större än 5 eller lika med 5. Ur geometrisk synvinkel är lösningen på ojämlikheten alla siffror som ligger på ett avstånd av 5 enheter eller mer från punkt 2 (Fig. 2). Grafen visar att alla dessa är siffror som är mindre än eller lika med -3 och större än eller lika med 7. Så vi har redan fått svaret.

Svar: -3 ≥ X ≥ 7.

På vägen löser vi samma ojämlikhet genom att ordna om den fria termen till vänster och höger med motsatt tecken:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Svaret är detsamma: -3 ≥ X ≥ 7.

Eller: X ∈ [-3; 7]

Exempel löst.

Exempel 3 . Lös ojämlikheten 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Lösning.

siffra X kan vara positiv, negativ eller noll. Därför måste vi ta hänsyn till alla tre omständigheterna. Som ni vet beaktas de i två ojämlikheter: X≥ 0 och X < 0. При X≥ 0, vi skriver helt enkelt om vår ursprungliga olikhet som den är, bara utan modulotecknet:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Nu till det andra fallet: if X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Utöka parenteserna:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Vi har alltså fått två ekvationssystem:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Vi måste lösa ojämlikheter i system – vilket innebär att vi måste hitta rötterna till två andragradsekvationer. För att göra detta likställer vi de vänstra sidorna av ojämlikheterna med noll.

Låt oss börja med den första:

6X 2 - X - 2 = 0.

Hur man löser en andragradsekvation - se avsnittet "Kvadratisk ekvation". Vi kommer omedelbart att namnge svaret:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Från det första systemet av ojämlikheter får vi att lösningen på den ursprungliga ojämlikheten är hela uppsättningen av tal från -1/2 till 2/3. Vi skriver förbundet av lösningar för X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Låt oss nu lösa den andra andragradsekvationen:

6X 2 + X - 2 = 0.

Dess rötter:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Slutsats: när X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Låt oss kombinera de två svaren och få det slutliga svaret: lösningen är hela uppsättningen siffror från -2/3 till 2/3, inklusive dessa extrema tal.

Svar: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Eller: X ∈ [-2/3; 2/3].

Metoder (regler) för att avslöja ojämlikheter med moduler består i sekventiell avslöjande av moduler, samtidigt som man använder intervall med konstant tecken för submodulfunktioner. I den slutliga versionen erhålls flera ojämlikheter från vilka de hittar intervall eller intervall som uppfyller problemets tillstånd.

Låt oss gå vidare till att lösa exempel som är vanliga i praktiken.

Linjära ojämlikheter med moduler

Med linjär menar vi ekvationer där variabeln kommer in i ekvationen linjärt.

Exempel 1. Hitta en lösning på ojämlikheten

Lösning:
Det följer av problemets tillstånd att modulerna blir noll vid x=-1 och x=-2. Dessa punkter delar upp den numeriska axeln i intervall

I vart och ett av dessa intervall löser vi den givna ojämlikheten. För att göra detta, först och främst, ritar vi grafiska ritningar av områdena med konstant tecken på submodulära funktioner. De är avbildade som områden med tecken på var och en av funktionerna.

eller intervaller med tecken på alla funktioner.

Vid det första intervallet öppnar du modulerna

Vi multiplicerar båda delarna med minus ett, medan tecknet i olikheten ändras till det motsatta. Om det är svårt för dig att vänja dig vid denna regel, kan du flytta var och en av delarna bortom tecknet för att bli av med minus. I slutändan kommer du att få

Skärningspunkten mellan mängden x>-3 och arean på vilken ekvationerna löstes blir intervallet (-3;-2) . För den som har lättare att leta efter lösningar grafiskt kan man rita skärningspunkten mellan dessa områden

Allmän skärning av områden blir lösningen. Vid strikta ojämnheter ingår inte kanterna. Om nonstrict kontrolleras genom substitution.

På den andra intervallen får vi

Sektionen kommer att vara intervallet (-2; -5/3). Grafiskt kommer lösningen att se ut

På den tredje intervallen får vi

Detta tillstånd ger inga lösningar på det område som krävs.

Eftersom de två hittade lösningarna (-3;-2) och (-2;-5/3) gränsar till punkten x=-2 , kontrollerar vi det också.

Således är punkten x=-2 lösningen. Den allmänna lösningen med detta i åtanke kommer att se ut (-3;5/3).

Exempel 2. Hitta en lösning på ojämlikheten
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Lösning:
Nollorna för submodulfunktionerna kommer att vara punkterna x=2, x=3, x=4 . När värdena på argumenten är mindre än dessa punkter är submodulfunktionerna negativa, och när värdena är stora är de positiva.

Punkterna delar upp den reella axeln i fyra intervall. Vi öppnar modulerna enligt teckenkonstansintervallen och löser ojämlikheterna.

1) På det första intervallet är alla submodulära funktioner negativa, därför ändrar vi tecknet till det motsatta när vi utökar modulerna.

Skärningen av de hittade x-värdena med det övervägda intervallet kommer att vara uppsättningen av punkter

2) I intervallet mellan punkterna x=2 och x=3 är den första submodulfunktionen positiv, den andra och tredje negativa. Att utöka modulerna får vi

en olikhet som i skärning med intervallet som vi löser ger en lösning - x=3.

3) I intervallet mellan punkterna x=3 och x=4 är den första och andra submodulfunktionen positiva och den tredje är negativ. Utifrån detta får vi

Detta villkor visar att hela intervallet kommer att tillfredsställa ojämlikheten med moduler.

4) För värden x>4 är alla funktioner teckenpositiva. Vid utbyggnad av moduler ändrar vi inte deras tecken.

Det hittade tillståndet i skärningspunkten med intervallet ger följande uppsättning lösningar

Eftersom olikheten löses på alla intervall återstår att hitta det gemensamma värdet för alla hittade x-värden. Lösningen är två intervaller

Detta exempel är löst.

Exempel 3. Hitta en lösning på ojämlikheten
||x-1|-5|>3-2x

Lösning:
Vi har en ojämlikhet med en modul från en modul. Sådana ojämlikheter avslöjas när moduler kapslas, börja med de som är placerade djupare.

Undermodulfunktionen x-1 omvandlas till noll i punkten x=1. För mindre värden utöver 1 är det negativt och positivt för x>1 . Utifrån detta öppnar vi den inre modulen och överväger ojämlikheten på vart och ett av intervallen.

Tänk först på intervallet från minus oändlighet till ett

Undermodulfunktionen är noll i punkten x=-4 . För mindre värden är det positivt, för större värden är det negativt. Expandera modulen för x<-4:

I korsningen med det område som vi överväger får vi en uppsättning lösningar

Nästa steg är att utöka modulen på intervallet (-4; 1)

Med hänsyn till modulens expansionsområde får vi intervallet av lösningar

KOM IHÅG: om du får två intervaller i sådana oegentligheter med moduler, på gränsen till en gemensam punkt, så är detta som regel också en lösning.

För att göra detta behöver du bara kontrollera.

I det här fallet ersätter vi punkten x=-4.

Så x=-4 är lösningen.
Expandera den inre modulen för x>1

Undermodulfunktionen är negativ för x<6.
Att utöka modulen får vi

Detta tillstånd i avsnittet med intervallet (1;6) ger en tom uppsättning lösningar.

För x>6 får vi ojämlikheten

Också lösa vi fick en tom uppsättning.
Med tanke på allt ovanstående kommer den enda lösningen på ojämlikheten med moduler att vara följande intervall.

Ojämlikheter med moduler som innehåller andragradsekvationer

Exempel 4. Hitta en lösning på ojämlikheten
|x^2+3x|>=2-x^2

Lösning:
Undermodulfunktionen försvinner vid punkterna x=0, x=-3. Genom enkel substitution minus ett

vi ställer in att det är mindre än noll på intervallet (-3; 0) och positivt bortom det.
Expandera modulen i områden där submodulfunktionen är positiv

Det återstår att bestämma de områden där kvadratfunktionen är positiv. För att göra detta bestämmer vi rötterna till andragradsekvationen

För enkelhetens skull ersätter vi punkten x=0, som hör till intervallet (-2;1/2). Funktionen är negativ i detta intervall, så lösningen blir följande uppsättningar x

Här indikerar parentes kanterna på områdena med lösningar; detta gjordes medvetet med hänsyn till följande regel.

KOM IHÅG: Om ojämlikheten med moduler, eller en enkel olikhet är strikt, så är kanterna på de hittade områdena inte lösningar, men om ojämlikheterna inte är strikta (), så är kanterna lösningar (anges med hakparenteser).

Denna regel används av många lärare: om en strikt olikhet ges och du skriver en hakparentes ([,]) i lösningen under beräkningar, kommer de automatiskt att betrakta detta som ett felaktigt svar. Vid testning, om en icke-strikt olikhet med moduler är specificerad, leta efter områden med hakparenteser bland lösningarna.

På intervallet (-3; 0), expanderar modulen, ändrar vi tecknet för funktionen till det motsatta

Med hänsyn till omfattningen av ojämlikhetsavslöjandet kommer lösningen att ha formen

Tillsammans med det tidigare området kommer detta att ge två halvintervaller

Exempel 5. Hitta en lösning på ojämlikheten
9x^2-|x-3|>=9x-2

Lösning:
En icke-strikt olikhet ges, vars submodulfunktion är lika med noll i punkten x=3. Vid mindre värden är det negativt, vid större värden är det positivt. Vi utökar modulen på intervallet x<3.

Hitta ekvationens diskriminant

och rötter

Genom att ersätta nollpunkten får vi reda på att på intervallet [-1/9; 1] är kvadratfunktionen negativ, därför är intervallet en lösning. Öppna sedan modulen för x>3

Ju mer en person förstår, desto starkare är hans önskan att förstå

Thomas av Aquino

Intervallmetoden låter dig lösa alla ekvationer som innehåller modulen. Kärnan i denna metod är att dela upp den numeriska axeln i flera sektioner (intervall), och det är nödvändigt att dela axeln med nollorna i uttrycken i modulerna. Sedan, på var och en av de resulterande sektionerna, är varje submoduluttryck antingen positivt eller negativt. Därför kan var och en av modulerna utökas antingen med ett minustecken eller med ett plustecken. Efter dessa åtgärder återstår det bara att lösa var och en av de erhållna enkla ekvationerna på det aktuella intervallet och kombinera de erhållna svaren.

Låt oss överväga denna metod på ett specifikt exempel.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) Hitta nollorna för uttrycken i modulerna. För att göra detta likställer vi dem till noll och löser de resulterande ekvationerna.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Ordna de resulterande punkterna i önskad ordning på koordinatlinjen. De kommer att dela upp hela axeln i fyra sektioner.

3) Låt oss bestämma för var och en av de resulterande avsnitten tecknen på uttrycken i modulerna. För att göra detta, ersätter vi i dem alla siffror från de intervall som är intressanta för oss. Om resultatet av beräkningen är ett positivt tal sätter vi "+" i tabellen, och om talet är negativt sätter vi "-". Detta kan avbildas så här:

4) Nu ska vi lösa ekvationen på vart och ett av de fyra intervallen, öppna modulerna med tecknen som finns i tabellen. Så, överväg det första intervallet:

I-intervall (-∞; -3). På den öppnas alla moduler med ett "-"-tecken. Vi får följande ekvation:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Vi presenterar liknande termer, efter att tidigare ha öppnat parenteserna i den resulterande ekvationen:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Det mottagna svaret ingår inte i det övervägda intervallet, så det är inte nödvändigt att skriva det i det slutliga svaret.

II-intervall [-3; -1). Vid detta intervall i tabellen finns tecken "-", "-", "+". Så här avslöjar vi modulerna i den ursprungliga ekvationen:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Förenkla genom att utöka parenteserna:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Vi presenterar i den resulterande ekvationen följande:

x = 6/5. Det resulterande talet tillhör inte det aktuella intervallet, så det är inte roten till den ursprungliga ekvationen.

III-intervall [-1; 2). Vi öppnar modulerna i den ursprungliga ekvationen med tecknen som finns i figuren i den tredje kolumnen. Vi får:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Bli av med parenteserna, flytta termerna som innehåller variabeln x till vänster sida av ekvationen och inte innehåller x till höger. Kommer att ha:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Siffran 2 ingår inte i det beaktade intervallet.

IV intervall

Enkelt uttryckt är modulen "ett tal utan minus". Och det är i denna dualitet (någonstans behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men någonstans måste du ta bort några minus där) och alla svårigheter för nybörjare ligger.

Det finns också en geometrisk definition. Det är också användbart att känna till det, men vi kommer bara att referera till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).

Definition. Låt punkten $a$ markeras på den verkliga linjen. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkten $x$ till punkten $a$ på denna linje.

Om du ritar en bild får du något sånt här:

Grafisk moduldefinition

På ett eller annat sätt följer dess nyckelegenskap omedelbart från definitionen av modulen: modulen för ett tal är alltid ett icke-negativt värde. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.

Lösning av ojämlikheter. Avståndsmetod

Låt oss nu ta itu med ojämlikheter. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som reduceras till linjära ojämlikheter, såväl som till intervallmetoden.

Jag har två stora tutorials om detta ämne (förresten, väldigt, MYCKET användbara - jag rekommenderar att du studerar):

1. Intervallmetoden för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
2. Bråk-rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor kvar alls.

Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att vagt vilja ta livet av dig mot väggen, då är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne. :)

1. Ojämlikheter i formen "Modul mindre än funktion"

Detta är en av de vanligaste uppgifterna med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:

\[\vänster| f\höger| \ltg\]

Vad som helst kan fungera som funktionerna $f$ och $g$, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\höger| \ltx+7; \\ & \vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0; \\ & \vänster| ((x)^(2))-2\vänster| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alla löses bokstavligen på en rad enligt schemat:

\[\vänster| f\höger| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right. \right)\]

Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men istället får vi en dubbel olikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut alla möjliga problem: om numret under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.

Naturligtvis uppstår frågan: är det inte lättare? Tyvärr kan du inte. Detta är hela poängen med modulen.

Men nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 2x+3\höger| \ltx+7\]

Lösning. Så vi har en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre än" - det finns inte ens något att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3\höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Skynda dig inte för att öppna parenteserna som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du på grund av brådskan kommer att göra ett offensivt misstag.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet har reducerats till två elementära ojämlikheter. Vi noterar deras lösningar på parallella reella linjer:

Skärning av många

Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]

Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Till att börja med isolerar vi modulen genom att flytta den andra termen till höger:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen enligt den redan kända algoritmen:

\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men jag påminner dig än en gång om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har perfekt bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen, kan du pervertera dig själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.

Och till att börja med blir vi bara av med det dubbla minuset till vänster:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right)=3\left(x+1 \right)\]

Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:

Låt oss gå vidare till dubbel ojämlikhet. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x-3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end(align) \right.\]

Båda ojämlikheterna är kvadratiska och löses med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad det är, är det bättre att inte ta på sig moduler ännu). Vi går över till ekvationen i den första ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se visade sig utdata vara en ofullständig kvadratisk ekvation, som löses elementärt. Låt oss nu ta itu med den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas sats:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerar de erhållna talen på två parallella linjer (separata för den första olikheten och separera för den andra):

Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jag tror att lösningsschemat efter dessa exempel är mycket tydligt:

1. Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
2. Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt beskrivningen ovan. Vid någon tidpunkt kommer det att bli nödvändigt att gå från en dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som var och en redan kan lösas separat.
3. Slutligen återstår bara att korsa lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutgiltiga svaret.

En liknande algoritm finns för olikheter av följande typ, när modulen är större än funktionen. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi kommer att prata om dessa "men" nu.

2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"

De ser ut så här:

\[\vänster| f\höger| \gt g\]

Liknar den förra? Det verkar. Ändå löses sådana uppgifter på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:

\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Med andra ord, vi överväger två fall:

1. Först ignorerar vi helt enkelt modulen - vi löser den vanliga ojämlikheten;
2. Sedan öppnar vi faktiskt modulen med minustecknet, och sedan multiplicerar vi båda delarna av olikheten med −1, med ett tecken.

I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har en kombination av två krav.

Var uppmärksam igen: framför oss ligger inte ett system, utan därför ett aggregat i svaret kombineras uppsättningarna, inte skärs. Detta är en grundläggande skillnad från föregående stycke!

I allmänhet har många studenter mycket förvirring med fackföreningar och korsningar, så låt oss titta på den här frågan en gång för alla:

• "∪" är ett sammanlänkningstecken. I själva verket är detta en stiliserad bokstav "U", som kom till oss från det engelska språket och är en förkortning för "Union", d.v.s. "Föreningar".
• "∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte någonstans ifrån, utan framstod bara som en opposition till "∪".

För att göra det ännu lättare att komma ihåg, lägg bara ben till dessa tecken för att göra glasögon (anklaga mig bara inte för att främja drogberoende och alkoholism nu: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):

Skillnad mellan korsning och förening av uppsättningar

Översatt till ryska betyder detta följande: fackföreningen (samlingen) innehåller element från båda uppsättningarna, därför inte mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som finns både i den första uppsättningen och i den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.

Så det blev tydligare? Det är toppen. Låt oss gå vidare till praktiken.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösning. Vi agerar enligt schemat:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \right.\]

Vi löser varje befolkningsojämlikhet:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:

Union av uppsättningar

Uppenbarligen är svaret $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Lösning. Väl? Nej, det är likadant. Vi går från en ojämlikhet med en modul till en uppsättning av två olikheter:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi löser varje ojämlikhet. Tyvärr kommer rötterna inte att vara särskilt bra där:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

I den andra ojämlikheten finns det också lite spel:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nu måste vi markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Du måste dock markera punkterna i rätt ordning: ju större nummer, desto längre skiftar punkten åt höger.

Och här väntar vi på ett setup. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för det första bråket är mindre än termerna i täljaren för det andra, så summan är också mindre), med talen $-\frac) \c(rt) $-\frac) \c(rt) +\sqrt(21))(2)$, för svårigheter (ett positivt tal är uppenbarligen större än ett negativt), men med det sista paret är allt inte så enkelt. Vilket är större: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Arrangemanget av punkter på tallinjerna och i själva verket svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.

Så låt oss jämföra:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt (13)\t](sqrt(13)\t)\t

Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \\ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt\vee(1\sqrt)\e(1\sqrt)\e(3)\sqrt

Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21))(2)$, slutligen kommer punkterna på axlarna att ordnas så här:

Fall av fula rötter

Låt mig påminna dig om att vi löser en uppsättning, så svaret blir föreningen och inte skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2);+\infty \right)$

Som du kan se fungerar vårt schema utmärkt både för enkla uppgifter och för mycket svåra. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra irrationella tal korrekt (och tro mig: det här är inte bara rötter). Men en separat (och mycket allvarlig lektion) kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.

3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"

Så vi kom till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:

\[\vänster| f\höger| \gt\vänster| g\right|\]

Generellt sett gäller algoritmen som vi ska prata om nu endast för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:

Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:

I ojämlikheter med icke-negativa svansar kan båda sidor höjas till vilken naturlig kraft som helst. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.

Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Förväxla inte detta med att ta roten från kvadraten:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]

Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det här är en helt annan historia (detta är liksom irrationella ekvationer), så vi ska inte gå in på det nu. Låt oss bättre lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \höger|\ge \vänster| 1-2x \right|\]

Lösning. Vi märker direkt två saker:

1. Detta är en icke strikt ojämlikhet. Punkter på nummerraden kommer att stansas ut.
2. Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

I det sista steget fuskade jag lite: jag ändrade sekvensen av termer med hjälp av modulens paritet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!

Att bli av med modulskylten

Låt mig påminna dig för de särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är detta $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK det är över nu. Problemet löst.

Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]

Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.

Låt oss kvadrera det:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left| ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \times \left(((x)^(2))+x+1+((x)^(2)))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Avståndsmetod:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det finns bara en rot på tallinjen:

Svaret är en hel rad

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submoduluttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.

Men detta är redan en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om honom - i en separat lektion. Och låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och överväga en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa. :)

4. Metod för uppräkning av alternativ

Tänk om alla dessa knep inte fungerar? Om ojämlikheten inte minskar till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om alls smärta-sorg-längtan?

Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik in på scenen - uppräkningsmetoden. När det gäller olikheter med modulen ser det ut så här:

1. Skriv ut alla undermoduluttryck och likställ dem med noll;
2. Lös de resulterande ekvationerna och markera de hittade rötterna på en tallinje;
3. Den räta linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför entydigt expanderar;
4. Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga gränsrötter som erhålls i punkt 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - det här kommer att vara svaret. :)

Tja, hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right| \lt\vänster| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt\vänster| g \right|$, så låt oss gå vidare.

Vi skriver ut submoduluttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:

\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:

Dela tallinjen med nollor av submodulära funktioner

Låt oss överväga varje avsnitt separat.

1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submoduluttrycken negativa, och den ursprungliga olikheten skrivs om enligt följande:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det ursprungliga antagandet att $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 men större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.

1.1. Låt oss betrakta gränsfallet separat: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: stämmer det?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2)) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Uppenbarligen har kedjan av beräkningar lett oss till fel ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.

2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen kommer redan att öppnas med ett "plus", men den högra har fortfarande ett "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt -2.5 \\\end(align)\]

Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Och återigen, den tomma uppsättningen av lösningar, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.

2.1. Och återigen ett specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\höger| \lt\vänster| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

På samma sätt som i det tidigare "specialfallet" är siffran $x=1$ uppenbarligen inte inkluderad i svaret.

3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här utökas alla moduler med ett plustecken:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\\end(align)\]

Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \right)\]

Till sist! Vi har hittat intervallet som blir svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Slutligen, en anteckning som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:

Lösningar av ojämlikheter med moduler är vanligtvis kontinuerliga uppsättningar på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket ovanligare. Och ännu mer sällan händer det att lösningens gränser (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella intervallet.

Därför, om gränserna (de där "särskilda fallen") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster-höger om dessa gränser nästan säkert inte heller att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in som svar, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.

Tänk på detta när du kontrollerar dina lösningar.