Funktioner av en komplex variabel.
Differentiering av funktioner hos en komplex variabel.

Den här artikeln öppnar en serie lektioner där jag kommer att överväga typiska problem relaterade till teorin om funktioner för en komplex variabel. För att framgångsrikt bemästra exemplen måste du ha grundläggande kunskaper om komplexa tal. För att konsolidera och upprepa materialet räcker det att besöka sidan. Du kommer också att behöva färdigheter för att hitta andra ordningens partiella derivator. Här är de, dessa partiella derivator ... även nu blev jag lite förvånad över hur ofta de förekommer ...

Ämnet som vi börjar analysera är inte särskilt svårt, och i funktionerna hos en komplex variabel är i princip allt tydligt och tillgängligt. Det viktigaste är att hålla sig till den grundläggande regeln, som härleds av mig empiriskt. Läs vidare!

Begreppet en funktion av en komplex variabel

Låt oss först uppdatera vår kunskap om skolfunktionen för en variabel:

Funktion för en variabelär en regel enligt vilken varje värde på den oberoende variabeln (från definitionsdomänen) motsvarar ett och endast ett värde på funktionen . Naturligtvis är "x" och "y" reella tal.

I det komplexa fallet ges det funktionella beroendet på liknande sätt:

Envärdig funktion av en komplex variabelär regeln att alla integrerad värdet på den oberoende variabeln (från domänen) motsvarar en och endast en omfattande funktionsvärde. I teorin övervägs också flervärdiga och vissa andra typer av funktioner, men för enkelhetens skull kommer jag att fokusera på en definition.

Vilken funktion har en komplex variabel?

Den största skillnaden är att siffror är komplexa. Jag är inte ironisk. Från sådana frågor faller de ofta i stupor, i slutet av artikeln kommer jag att berätta en cool historia. På lektionen Komplexa siffror för dummies vi betraktade ett komplext tal i formen . Sedan nu har bokstaven "Z" blivit variabel, då kommer vi att beteckna det på följande sätt: , medan "x" och "y" kan ta olika giltig värden. Grovt sett beror funktionen hos en komplex variabel på variablerna och , som tar "vanliga" värden. Följande punkt följer logiskt av detta faktum:

Funktionen av en komplex variabel kan skrivas som:
, där och är två funktioner av två giltig variabler.

Funktionen kallas riktig del funktioner.
Funktionen kallas imaginär del funktioner.

Det vill säga, funktionen hos en komplex variabel beror på två reella funktioner och . För att slutligen förtydliga allt, låt oss titta på praktiska exempel:

Exempel 1

Lösning: Den oberoende variabeln "z", som du minns, skrivs som , därför:

(1) Ersätts med den ursprungliga funktionen.

(2) För den första termen användes formeln för reducerad multiplikation. I terminen öppnades parenteserna.

(3) Försiktigt kvadratiskt, att inte glömma det

(4) Omarrangemang av termer: skriv först om termerna , där det inte finns någon imaginär enhet(första gruppen), sedan termer, där det finns (andra gruppen). Det bör noteras att det inte är nödvändigt att blanda villkoren, och det här steget kan hoppas över (i själva verket genom att utföra det muntligt).

(5) Den andra gruppen tas ur parentes.

Som ett resultat visade sig vår funktion vara representerad i formuläret

Svar:
är den verkliga delen av funktionen.
är den imaginära delen av funktionen .

Vilka är dessa funktioner? De vanligaste funktionerna av två variabler, från vilka man kan hitta så populära partiella derivat. Utan nåd - vi kommer att finna. Men lite senare.

Kortfattat kan algoritmen för det lösta problemet skrivas på följande sätt: vi ersätter den ursprungliga funktionen, utför förenklingar och delar upp alla termer i två grupper - utan en imaginär enhet (reell del) och med en imaginär enhet (imaginär del).

Exempel 2

Hitta den verkliga och imaginära delen av en funktion

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Innan du kastar dig ut i strid på det komplexa planet med pjäser nakna, låt mig ge dig de viktigaste råden i ämnet:

VAR FÖRSIKTIG! Du måste naturligtvis vara försiktig överallt, men i komplexa tal bör du vara försiktig mer än någonsin! Kom ihåg att, försiktigt expandera fästena, inte förlora något. Enligt mina observationer är det vanligaste misstaget förlusten av tecken. Skynda inte!

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Nu kub. Med hjälp av den förkortade multiplikationsformeln härleder vi:
.

Formler är mycket bekväma att använda i praktiken, eftersom de avsevärt påskyndar lösningsprocessen.

Differentiering av funktioner hos en komplex variabel.

Jag har två nyheter: bra och dåliga. Jag börjar med en bra. För en funktion av en komplex variabel är reglerna för differentiering och tabellen över derivator av elementära funktioner giltiga. Således tas derivatan på exakt samma sätt som i fallet med en funktion av en reell variabel.

Den dåliga nyheten är att för många funktioner i en komplex variabel finns det ingen derivata alls, och du måste räkna ut är differentierbar en eller annan funktion. Och att "räkna ut" hur ditt hjärta känns är förknippat med ytterligare problem.

Betrakta en funktion av en komplex variabel. För att denna funktion ska vara differentierbar är det nödvändigt och tillräckligt att:

1) För att det ska finnas partiella derivator av första ordningen. Glöm dessa notationer direkt, eftersom i teorin om funktionen av en komplex variabel används en annan version av notationen traditionellt: .

2) Att utföra den sk Cauchy-Riemann förhållanden:

Endast i detta fall kommer derivatan att existera!

Exempel 3

Lösning delas upp i tre på varandra följande stadier:

1) Hitta de verkliga och imaginära delarna av funktionen. Denna uppgift analyserades i tidigare exempel, så jag kommer att skriva ner den utan kommentarer:

Sedan dess:

Således:

är den imaginära delen av funktionen .

Jag kommer att uppehålla mig vid ytterligare en teknisk punkt: i vilken ordning skriva termer i verkliga och imaginära delar? Ja, i princip spelar det ingen roll. Till exempel kan den verkliga delen skrivas så här: , och imaginära - så här: .

2) Låt oss kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda. Det finns två av dem.

Låt oss börja med att kontrollera tillståndet. Vi hittar partiella derivat:

Därmed är villkoret uppfyllt.

Utan tvekan är den goda nyheten att partiella derivat nästan alltid är väldigt enkla.

Vi kontrollerar att det andra villkoret är uppfyllt:

Det visade sig samma sak, men med motsatta tecken, det vill säga att villkoret också är uppfyllt.

Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda, därför är funktionen differentierbar.

3) Hitta derivatan av funktionen. Derivaten är också mycket enkel och hittas enligt de vanliga reglerna:

Den imaginära enheten i differentiering anses vara en konstant.

Svar: - verklig del är den imaginära delen.
Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda, .

Det finns ytterligare två sätt att hitta derivatan, de används naturligtvis mindre ofta, men informationen kommer att vara användbar för att förstå den andra lektionen - Hur hittar man funktionen hos en komplex variabel?

Derivaten kan hittas med formeln:

I detta fall:

Således

Det är nödvändigt att lösa det omvända problemet - i det resulterande uttrycket måste du isolera . För att göra detta är det nödvändigt i termer och att ta ut ur parentes:

Den omvända åtgärden, som många har märkt, är något svårare att utföra, för verifiering är det alltid bättre att ta uttrycket och på utkastet eller verbalt öppna parentesen tillbaka, se till att det kommer att bli exakt

Spegelformel för att hitta derivatan:

I detta fall: , Det är därför:

Exempel 4

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av en funktion . Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda. Om Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda, hitta derivatan av funktionen.

En kort lösning och ett ungefärligt exempel på efterbehandling i slutet av lektionen.

Är Cauchy-Riemann-villkoren alltid uppfyllda? Teoretiskt är de oftare inte uppfyllda än vad de är. Men i praktiska exempel kommer jag inte ihåg ett fall där de inte utfördes =) Så om dina partiella derivator "inte konvergerade", så kan vi med mycket hög sannolikhet säga att du gjorde ett misstag någonstans.

Låt oss komplicera våra funktioner:

Exempel 5

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av en funktion . Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda. Beräkna

Lösning: Lösningsalgoritmen är helt bevarad, men i slutet läggs en ny modefluga till: att hitta derivatan vid en punkt. För kuben har den nödvändiga formeln redan härletts:

Låt oss definiera de verkliga och imaginära delarna av denna funktion:

Uppmärksamhet och igen uppmärksamhet!

Sedan dess:


Således:
är den verkliga delen av funktionen;
är den imaginära delen av funktionen .

Kontrollera det andra villkoret:

Det visade sig samma sak, men med motsatta tecken, det vill säga att villkoret också är uppfyllt.

Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda, därför är funktionen differentierbar:

Beräkna värdet på derivatan vid den nödvändiga punkten:

Svar:, , Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda,

Funktioner med kuber är vanliga, så ett exempel att konsolidera:

Exempel 6

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av en funktion . Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda. Beräkna .

Beslut och provavslutning i slutet av lektionen.

I teorin om komplex analys definieras också andra funktioner i ett komplext argument: exponentiell, sinus, cosinus, etc. Dessa funktioner har ovanliga och till och med bisarra egenskaper - och det är verkligen intressant! Jag vill verkligen berätta för dig, men här hände det, inte en uppslagsbok eller en lärobok, utan en lösning, så jag kommer att överväga samma uppgift med några vanliga funktioner.

Först om den sk Eulers formler:

För vem som helst giltig siffror, är följande formler giltiga:

Du kan också kopiera den till din anteckningsbok som referens.

Strängt taget finns det bara en formel, men vanligtvis skriver de för enkelhetens skull också ett specialfall med ett minus i indikatorn. Parametern behöver inte vara en enda bokstav, den kan vara ett komplext uttryck, en funktion, det är bara viktigt att de tar endast giltig värden. Egentligen kommer vi att se det just nu:

Exempel 7

Hitta derivat.

Lösning: Partiets allmänna linje förblir orubblig - det är nödvändigt att peka ut de verkliga och imaginära delarna av funktionen. Jag kommer att ge en detaljerad lösning och kommentera varje steg nedan:

Sedan dess:

(1) Ersätt "z".

(2) Efter substitution är det nödvändigt att separera de verkliga och imaginära delarna först i exponent utställare. För att göra detta, öppna fästena.

(3) Vi grupperar den imaginära delen av indikatorn och sätter den imaginära enheten utanför parentes.

(4) Använd skolans åtgärder med befogenheter.

(5) För multiplikatorn använder vi Euler-formeln , medan .

(6) Vi öppnar parenteserna, som ett resultat:

är den verkliga delen av funktionen;
är den imaginära delen av funktionen .

Ytterligare åtgärder är standard, låt oss kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda:

Exempel 9

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av en funktion . Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda. Så var det så, vi kommer inte att hitta derivatan.

Lösning: Lösningsalgoritmen är mycket lik de två föregående exemplen, men det finns mycket viktiga punkter, så jag kommer återigen kommentera det inledande steget steg för steg:

Sedan dess:

1) Vi ersätter istället för "z".

(2) Välj först de verkliga och imaginära delarna inne i sinus. För detta ändamål, öppna fästena.

(3) Vi använder formeln , while .

(4) Användning paritet för hyperbolisk cosinus: Och hyperbolisk sinusuddlighet: . Hyperboler, även om de inte är av denna värld, men på många sätt liknar liknande trigonometriska funktioner.

Så småningom:
är den verkliga delen av funktionen;
är den imaginära delen av funktionen .

Uppmärksamhet! Minustecknet hänvisar till den imaginära delen, och i inget fall bör vi förlora det! För en visuell illustration kan resultatet ovan skrivas om enligt följande:

Låt oss kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda:

Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda.

Svar:, , Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda.

Med cosinus, mina damer och herrar, förstår vi på egen hand:

Exempel 10

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av funktionen. Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda.

Jag tog medvetet upp mer komplicerade exempel, eftersom alla kan hantera något som skalade jordnötter. Träna samtidigt din uppmärksamhet! Nötknäppare i slutet av lektionen.

Tja, avslutningsvis kommer jag att överväga ett annat intressant exempel när det komplexa argumentet finns i nämnaren. Vi träffades ett par gånger i praktiken, låt oss analysera något enkelt. Åh, jag börjar bli gammal...

Exempel 11

Bestäm de verkliga och imaginära delarna av funktionen. Kontrollera att Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda.

Lösning:Återigen är det nödvändigt att separera de verkliga och imaginära delarna av funktionen.
Om då

Frågan uppstår, vad ska man göra när "Z" står i nämnaren?

Allt är enkelt - standarden kommer att hjälpa metod för att multiplicera täljaren och nämnaren med det konjugerade uttrycket, den har redan använts i lektionens exempel Komplexa siffror för dummies. Låt oss komma ihåg skolformeln. I nämnaren har vi redan , så det konjugerade uttrycket blir . Därför måste du multiplicera täljaren och nämnaren med: