Summan av de motsatta sidorna av en trapets. Omskriven cirkel och trapets

I den här artikeln kommer vi att försöka återspegla trapetsens egenskaper så fullständigt som möjligt. I synnerhet kommer vi att prata om de allmänna tecknen och egenskaperna hos en trapets, samt om egenskaperna hos en inskriven trapets och om en cirkel inskriven i en trapets. Vi kommer också att beröra egenskaperna hos en likbent och rektangulär trapets.

Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av de övervägda egenskaperna hjälper dig att reda ut saker i huvudet och komma ihåg materialet bättre.

Trapes och allt-allt-allt

Till att börja med, låt oss kort komma ihåg vad en trapets är och vilka andra begrepp som är förknippade med den.

Så en trapets är en fyrsidig figur, vars två sidor är parallella med varandra (dessa är baserna). Och två är inte parallella - det här är sidorna.

I en trapets kan höjden utelämnas - vinkelrätt mot baserna. Mittlinjen och diagonalerna är ritade. Och även från valfri vinkel på trapetsen är det möjligt att rita en bisektor.

Om de olika egenskaperna som är förknippade med alla dessa element och deras kombinationer kommer vi nu att prata.

Egenskaper för diagonalerna i en trapets

För att göra det tydligare, under läsning, skissa upp ACME-trapetsen på ett papper och rita diagonaler i den.

1. Om du hittar mittpunkterna för var och en av diagonalerna (låt oss kalla dessa punkter X och T) och kopplar ihop dem får du ett segment. En av egenskaperna hos diagonalerna i en trapets är att segmentet XT ligger på mittlinjen. Och dess längd kan erhållas genom att dividera skillnaden mellan baserna med två: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Före oss är samma ACME trapets. Diagonalerna skär varandra i punkt O. Låt oss betrakta trianglarna AOE och IOC som bildas av segmenten av diagonalerna tillsammans med trapetsens baser. Dessa trianglar liknar varandra. Likhetskoefficienten för k trianglar uttrycks i termer av förhållandet mellan baserna för trapets: k = AE/KM.
   Förhållandet mellan ytorna för trianglarna AOE och IOC beskrivs av koefficienten k 2 .
3. Alla samma trapets, samma diagonaler som skär varandra i punkt O. Endast den här gången kommer vi att överväga trianglar som de diagonala segmenten bildade tillsammans med trapetsens sidor. Arean av trianglarna AKO och EMO är lika - deras ytor är desamma.
4. En annan egenskap hos en trapets inkluderar konstruktionen av diagonaler. Så, om vi fortsätter sidorna av AK och ME i riktning mot den mindre basen, kommer de förr eller senare att skära varandra till någon punkt. Dra sedan en rak linje genom mittpunkterna på trapetsens baser. Den skär baserna i punkterna X och T.
   Om vi ​​nu förlänger linjen XT, kommer den att sammanfoga skärningspunkten för diagonalerna för trapets O, punkten där sidornas förlängningar och mittpunkterna för X och T:s baser skär varandra.
5. Genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment som kommer att förbinda trapetsens baser (T ligger på den mindre basen av KM, X - på den större AE). Skärningspunkten för diagonalerna delar detta segment i följande förhållande: TO/OH = KM/AE.
6. Och nu genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment parallellt med trapetsens baser (a och b). Skärningspunkten kommer att dela den i två lika delar. Du kan hitta längden på ett segment med hjälp av formeln 2ab/(a + b).

Egenskaper för mittlinjen av en trapets

Rita mittlinjen i trapetsen parallellt med dess baser.

1. Längden på mittlinjen för en trapets kan beräknas genom att lägga till längderna på baserna och dela dem på mitten: m = (a + b)/2.
2. Om du ritar ett segment (till exempel höjd) genom trapetsens båda baser, kommer mittlinjen att dela upp det i två lika delar.

Egenskapen för bisektrisen av en trapets

Välj valfri vinkel på trapetsen och rita en bisektrik. Ta till exempel vinkeln KAE på vår trapetsformade ACME. Efter att ha slutfört konstruktionen på egen hand kan du enkelt se att bisektrisen skär av från basen (eller dess fortsättning på en rak linje utanför själva figuren) ett segment av samma längd som sidan.

Trapetsvinkelegenskaper

1. Oavsett vilket av de två paren av vinklar som gränsar till sidan du väljer, är summan av vinklarna i ett par alltid 180 0: α + β = 180 0 och γ + δ = 180 0 .
2. Anslut mittpunkterna på trapetsens baser med ett segment TX. Låt oss nu titta på vinklarna vid trapetsens baser. Om summan av vinklarna för någon av dem är 90 0, är ​​längden på TX-segmentet lätt att beräkna baserat på skillnaden i längderna på baserna, delat på hälften: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Om parallella linjer dras genom sidorna av vinkeln på en trapets, kommer de att dela upp sidorna av vinkeln i proportionella segment.

Egenskaper hos en likbent (likbent) trapets

1. I en likbent trapets är vinklarna vid någon av baserna lika.
2. Bygg nu en trapets igen för att göra det lättare att föreställa sig vad det handlar om. Titta noga på basen av AE - spetsen på den motsatta basen av M projiceras till en viss punkt på linjen som innehåller AE. Avståndet från vertex A till projektionspunkten för vertex M och mittlinjen för en likbent trapets är lika.
3. Några ord om egenskapen hos diagonalerna hos en likbent trapets - deras längder är lika. Och även lutningsvinklarna för dessa diagonaler till basen av trapetsen är desamma.
4. Endast nära en likbent trapets kan en cirkel beskrivas, eftersom summan av de motsatta vinklarna på en fyrhörning 180 0 är en förutsättning för detta.
5. Egenskapen för en likbent trapets följer av föregående stycke - om en cirkel kan beskrivas nära en trapets är den likbent.
6. Från egenskaperna hos en likbent trapets, följer egenskapen för höjden av en trapets: om dess diagonaler skär varandra i räta vinklar, är höjdens längd lika med halva summan av baserna: h = (a + b)/2.
7. Dra linjen TX igen genom mittpunkterna på trapetsens baser - i en likbent trapets är den vinkelrät mot baserna. Och samtidigt är TX symmetriaxeln för en likbent trapets.
8. Denna gång sänk till den större basen (låt oss kalla det a) höjden från trapetsens motsatta vertex. Du kommer att få två snitt. Längden på en kan hittas om längderna på baserna läggs till och delas på mitten: (a+b)/2. Vi får den andra när vi subtraherar den mindre från den större basen och dividerar den resulterande skillnaden med två: (a – b)/2.

Egenskaper för en trapets inskriven i en cirkel

Eftersom vi redan pratar om en trapets som är inskriven i en cirkel, låt oss uppehålla oss i denna fråga mer i detalj. I synnerhet var är cirkelns mittpunkt i förhållande till trapetsen. Även här rekommenderas det att inte vara för lat för att ta upp en penna och rita det som kommer att diskuteras nedan. Så du kommer att förstå snabbare och komma ihåg bättre.

1. Placeringen av cirkelns centrum bestäms av lutningsvinkeln för trapetsens diagonal mot dess sida. Till exempel kan en diagonal dyka upp från toppen av en trapets i rät vinkel mot sidan. I detta fall skär den större basen mitten av den omskrivna cirkeln exakt i mitten (R = ½AE).
2. Diagonalen och sidan kan också mötas i en spetsig vinkel - då är cirkelns mitt innanför trapetsen.
3. Den omskrivna cirkelns centrum kan vara utanför trapetsen, bortom dess stora bas, om det finns en trubbig vinkel mellan trapetsens diagonal och sidosidan.
4. Vinkeln som bildas av diagonalen och den stora basen av trapets ACME (inskriven vinkel) är hälften av den centrala vinkeln som motsvarar den: MAE = ½MY.
5. Kortfattat om två sätt att hitta radien för den omskrivna cirkeln. Metod ett: titta noga på din ritning - vad ser du? Du kommer lätt att märka att diagonalen delar trapetsen i två trianglar. Radien kan hittas genom förhållandet mellan sidan av triangeln och sinus för den motsatta vinkeln, multiplicerat med två. Till exempel, R \u003d AE / 2 * sinAME. På samma sätt kan formeln skrivas för vilken som helst av sidorna i båda trianglarna.
6. Metod två: vi hittar radien för den omskrivna cirkeln genom arean av triangeln som bildas av diagonalen, sidan och basen av trapetsen: R \u003d AM * JAG * AE / 4 * SAMMA.

Egenskaper hos en trapets omskriven kring en cirkel

Du kan skriva in en cirkel i en trapets om ett villkor är uppfyllt. Mer om det nedan. Och tillsammans har denna kombination av figurer ett antal intressanta egenskaper.

1. Om en cirkel är inskriven i en trapets, kan längden på dess mittlinje lätt hittas genom att lägga till längderna på sidorna och dela den resulterande summan på mitten: m = (c + d)/2.
2. För en trapetsformad ACME, omskriven kring en cirkel, är summan av längderna på baserna lika med summan av längderna på sidorna: AK + MIG = KM + AE.
3. Från denna egenskap hos baserna i en trapets, följer det omvända uttalandet: en cirkel kan inskrivas i den trapetsen, vars bassumma är lika med summan av sidorna.
4. Tangentpunkten för en cirkel med radien r inskriven i en trapetsoid delar sidosidan i två segment, låt oss kalla dem a och b. Radien för en cirkel kan beräknas med formeln: r = √ab.
5. Och en fastighet till. För att inte bli förvirrad, rita detta exempel själv. Vi har den gamla goda ACME-trapetsen, omskriven runt en cirkel. Diagonaler ritas i den, som skär varandra i punkten O. Trianglarna AOK och EOM som bildas av segmenten av diagonalerna och sidorna är rektangulära.
   Höjden på dessa trianglar, sänkta till hypotenuserna (d.v.s. sidorna av trapetsen), sammanfaller med radierna för den inskrivna cirkeln. Och höjden på trapetsen är densamma som diametern på den inskrivna cirkeln.

Egenskaper hos en rektangulär trapets

En trapets kallas rektangulär, vars ena hörn är rätt. Och dess egenskaper härrör från denna omständighet.

1. En rektangulär trapets har en av sidorna vinkelrät mot baserna.
2. Höjden och sidan av trapetsen intill den räta vinkeln är lika. Detta låter dig beräkna arean av en rektangulär trapets (allmän formel S = (a + b) * h/2) inte bara genom höjden, utan också genom sidan som gränsar till rät vinkel.
3. För en rektangulär trapets är de allmänna egenskaperna hos de trapetsformade diagonalerna som redan beskrivits ovan relevanta.

Bevis på vissa egenskaper hos en trapets

Lika vinklar vid basen av en likbent trapets:

• Du har förmodligen redan gissat att här behöver vi återigen ACME-trapetsen - rita en likbent trapets. Rita en linje MT från vertex M parallell med sidan av AK (MT || AK).

Den resulterande fyrsidiga AKMT är ett parallellogram (AK || MT, KM || AT). Eftersom ME = KA = MT är ∆ MTE likbent och MET = MTE.

AK || MT, därför MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Där AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nu, baserat på egenskapen hos en likbent trapets (lika diagonaler), bevisar vi det trapezium ACME är likbent:

• Till att börja med, låt oss rita en rak linje МХ – МХ || KE. Vi får ett parallellogram KMHE (bas - MX || KE och KM || EX).

∆AMH är likbent, eftersom AM = KE = MX och MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, därför MAE = MXE.

Det visade sig att trianglarna AKE och EMA är lika med varandra, eftersom AM \u003d KE och AE är den gemensamma sidan av de två trianglarna. Och även MAE \u003d MXE. Vi kan dra slutsatsen att AK = ME, och därav följer att trapetsformen AKME är likbent.

Uppgift att upprepa

Baserna på trapets ACME är 9 cm och 21 cm, sidan av KA, lika med 8 cm, bildar en vinkel på 150 0 med en mindre bas. Du måste hitta området för trapetsen.

Lösning: Från vertex K sänker vi höjden till trapetsens större bas. Och låt oss börja titta på trapetsens vinklar.

Vinklarna AEM och KAN är ensidiga. Vilket betyder att de summerar till 1800. Därför är KAN = 30 0 (baserat på egenskaperna hos trapetsvinklarna).

Betrakta nu den rektangulära ∆ANK (jag tror att denna punkt är uppenbar för läsare utan ytterligare bevis). Från den hittar vi höjden på trapetsen KH - i en triangel är det ett ben, som ligger mitt emot vinkeln på 30 0. Därför KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Arean av trapetsen hittas av formeln: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Efterord

Om du noggrant och eftertänksamt studerade den här artikeln, inte var för lat för att rita trapetser för alla ovanstående egenskaper med en penna i dina händer och analysera dem i praktiken, borde du ha bemästrat materialet väl.

Naturligtvis finns det mycket information här, varierande och ibland till och med förvirrande: det är inte så svårt att blanda ihop egenskaperna hos den beskrivna trapetsen med egenskaperna hos den inskrivna. Men du såg själv att skillnaden är enorm.

Nu har du en detaljerad sammanfattning av alla allmänna egenskaper hos en trapets. Samt specifika egenskaper och egenskaper hos likbenta och rektangulära trapetser. Det är mycket bekvämt att använda för att förbereda sig för prov och tentor. Prova själv och dela länken med dina vänner!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

I den här artikeln kommer vi att försöka återspegla trapetsens egenskaper så fullständigt som möjligt. I synnerhet kommer vi att prata om de allmänna tecknen och egenskaperna hos en trapets, samt om egenskaperna hos en inskriven trapets och om en cirkel inskriven i en trapets. Vi kommer också att beröra egenskaperna hos en likbent och rektangulär trapets.

Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av de övervägda egenskaperna hjälper dig att reda ut saker i huvudet och komma ihåg materialet bättre.

Trapes och allt-allt-allt

Till att börja med, låt oss kort komma ihåg vad en trapets är och vilka andra begrepp som är förknippade med den.

Så en trapets är en fyrsidig figur, vars två sidor är parallella med varandra (dessa är baserna). Och två är inte parallella - det här är sidorna.

I en trapets kan höjden utelämnas - vinkelrätt mot baserna. Mittlinjen och diagonalerna är ritade. Och även från valfri vinkel på trapetsen är det möjligt att rita en bisektor.

Om de olika egenskaperna som är förknippade med alla dessa element och deras kombinationer kommer vi nu att prata.

Egenskaper för diagonalerna i en trapets

För att göra det tydligare, under läsning, skissa upp ACME-trapetsen på ett papper och rita diagonaler i den.

1. Om du hittar mittpunkterna för var och en av diagonalerna (låt oss kalla dessa punkter X och T) och kopplar ihop dem får du ett segment. En av egenskaperna hos diagonalerna i en trapets är att segmentet XT ligger på mittlinjen. Och dess längd kan erhållas genom att dividera skillnaden mellan baserna med två: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Före oss är samma ACME trapets. Diagonalerna skär varandra i punkt O. Låt oss betrakta trianglarna AOE och IOC som bildas av segmenten av diagonalerna tillsammans med trapetsens baser. Dessa trianglar liknar varandra. Likhetskoefficienten för k trianglar uttrycks i termer av förhållandet mellan baserna för trapets: k = AE/KM.
   Förhållandet mellan ytorna för trianglarna AOE och IOC beskrivs av koefficienten k 2 .
3. Alla samma trapets, samma diagonaler som skär varandra i punkt O. Endast den här gången kommer vi att överväga trianglar som de diagonala segmenten bildade tillsammans med trapetsens sidor. Arean av trianglarna AKO och EMO är lika - deras ytor är desamma.
4. En annan egenskap hos en trapets inkluderar konstruktionen av diagonaler. Så, om vi fortsätter sidorna av AK och ME i riktning mot den mindre basen, kommer de förr eller senare att skära varandra till någon punkt. Dra sedan en rak linje genom mittpunkterna på trapetsens baser. Den skär baserna i punkterna X och T.
   Om vi ​​nu förlänger linjen XT, kommer den att sammanfoga skärningspunkten för diagonalerna för trapets O, punkten där sidornas förlängningar och mittpunkterna för X och T:s baser skär varandra.
5. Genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment som kommer att förbinda trapetsens baser (T ligger på den mindre basen av KM, X - på den större AE). Skärningspunkten för diagonalerna delar detta segment i följande förhållande: TO/OH = KM/AE.
6. Och nu genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment parallellt med trapetsens baser (a och b). Skärningspunkten kommer att dela den i två lika delar. Du kan hitta längden på ett segment med hjälp av formeln 2ab/(a + b).

Egenskaper för mittlinjen av en trapets

Rita mittlinjen i trapetsen parallellt med dess baser.

1. Längden på mittlinjen för en trapets kan beräknas genom att lägga till längderna på baserna och dela dem på mitten: m = (a + b)/2.
2. Om du ritar ett segment (till exempel höjd) genom trapetsens båda baser, kommer mittlinjen att dela upp det i två lika delar.

Egenskapen för bisektrisen av en trapets

Välj valfri vinkel på trapetsen och rita en bisektrik. Ta till exempel vinkeln KAE på vår trapetsformade ACME. Efter att ha slutfört konstruktionen på egen hand kan du enkelt se att bisektrisen skär av från basen (eller dess fortsättning på en rak linje utanför själva figuren) ett segment av samma längd som sidan.

Trapetsvinkelegenskaper

1. Oavsett vilket av de två paren av vinklar som gränsar till sidan du väljer, är summan av vinklarna i ett par alltid 180 0: α + β = 180 0 och γ + δ = 180 0 .
2. Anslut mittpunkterna på trapetsens baser med ett segment TX. Låt oss nu titta på vinklarna vid trapetsens baser. Om summan av vinklarna för någon av dem är 90 0, är ​​längden på TX-segmentet lätt att beräkna baserat på skillnaden i längderna på baserna, delat på hälften: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Om parallella linjer dras genom sidorna av vinkeln på en trapets, kommer de att dela upp sidorna av vinkeln i proportionella segment.

Egenskaper hos en likbent (likbent) trapets

1. I en likbent trapets är vinklarna vid någon av baserna lika.
2. Bygg nu en trapets igen för att göra det lättare att föreställa sig vad det handlar om. Titta noga på basen av AE - spetsen på den motsatta basen av M projiceras till en viss punkt på linjen som innehåller AE. Avståndet från vertex A till projektionspunkten för vertex M och mittlinjen för en likbent trapets är lika.
3. Några ord om egenskapen hos diagonalerna hos en likbent trapets - deras längder är lika. Och även lutningsvinklarna för dessa diagonaler till basen av trapetsen är desamma.
4. Endast nära en likbent trapets kan en cirkel beskrivas, eftersom summan av de motsatta vinklarna på en fyrhörning 180 0 är en förutsättning för detta.
5. Egenskapen för en likbent trapets följer av föregående stycke - om en cirkel kan beskrivas nära en trapets är den likbent.
6. Från egenskaperna hos en likbent trapets, följer egenskapen för höjden av en trapets: om dess diagonaler skär varandra i räta vinklar, är höjdens längd lika med halva summan av baserna: h = (a + b)/2.
7. Dra linjen TX igen genom mittpunkterna på trapetsens baser - i en likbent trapets är den vinkelrät mot baserna. Och samtidigt är TX symmetriaxeln för en likbent trapets.
8. Denna gång sänk till den större basen (låt oss kalla det a) höjden från trapetsens motsatta vertex. Du kommer att få två snitt. Längden på en kan hittas om längderna på baserna läggs till och delas på mitten: (a+b)/2. Vi får den andra när vi subtraherar den mindre från den större basen och dividerar den resulterande skillnaden med två: (a – b)/2.

Egenskaper för en trapets inskriven i en cirkel

Eftersom vi redan pratar om en trapets som är inskriven i en cirkel, låt oss uppehålla oss i denna fråga mer i detalj. I synnerhet var är cirkelns mittpunkt i förhållande till trapetsen. Även här rekommenderas det att inte vara för lat för att ta upp en penna och rita det som kommer att diskuteras nedan. Så du kommer att förstå snabbare och komma ihåg bättre.

1. Placeringen av cirkelns centrum bestäms av lutningsvinkeln för trapetsens diagonal mot dess sida. Till exempel kan en diagonal dyka upp från toppen av en trapets i rät vinkel mot sidan. I detta fall skär den större basen mitten av den omskrivna cirkeln exakt i mitten (R = ½AE).
2. Diagonalen och sidan kan också mötas i en spetsig vinkel - då är cirkelns mitt innanför trapetsen.
3. Den omskrivna cirkelns centrum kan vara utanför trapetsen, bortom dess stora bas, om det finns en trubbig vinkel mellan trapetsens diagonal och sidosidan.
4. Vinkeln som bildas av diagonalen och den stora basen av trapets ACME (inskriven vinkel) är hälften av den centrala vinkeln som motsvarar den: MAE = ½MY.
5. Kortfattat om två sätt att hitta radien för den omskrivna cirkeln. Metod ett: titta noga på din ritning - vad ser du? Du kommer lätt att märka att diagonalen delar trapetsen i två trianglar. Radien kan hittas genom förhållandet mellan sidan av triangeln och sinus för den motsatta vinkeln, multiplicerat med två. Till exempel, R \u003d AE / 2 * sinAME. På samma sätt kan formeln skrivas för vilken som helst av sidorna i båda trianglarna.
6. Metod två: vi hittar radien för den omskrivna cirkeln genom arean av triangeln som bildas av diagonalen, sidan och basen av trapetsen: R \u003d AM * JAG * AE / 4 * SAMMA.

Egenskaper hos en trapets omskriven kring en cirkel

Du kan skriva in en cirkel i en trapets om ett villkor är uppfyllt. Mer om det nedan. Och tillsammans har denna kombination av figurer ett antal intressanta egenskaper.

1. Om en cirkel är inskriven i en trapets, kan längden på dess mittlinje lätt hittas genom att lägga till längderna på sidorna och dela den resulterande summan på mitten: m = (c + d)/2.
2. För en trapetsformad ACME, omskriven kring en cirkel, är summan av längderna på baserna lika med summan av längderna på sidorna: AK + MIG = KM + AE.
3. Från denna egenskap hos baserna i en trapets, följer det omvända uttalandet: en cirkel kan inskrivas i den trapetsen, vars bassumma är lika med summan av sidorna.
4. Tangentpunkten för en cirkel med radien r inskriven i en trapetsoid delar sidosidan i två segment, låt oss kalla dem a och b. Radien för en cirkel kan beräknas med formeln: r = √ab.
5. Och en fastighet till. För att inte bli förvirrad, rita detta exempel själv. Vi har den gamla goda ACME-trapetsen, omskriven runt en cirkel. Diagonaler ritas i den, som skär varandra i punkten O. Trianglarna AOK och EOM som bildas av segmenten av diagonalerna och sidorna är rektangulära.
   Höjden på dessa trianglar, sänkta till hypotenuserna (d.v.s. sidorna av trapetsen), sammanfaller med radierna för den inskrivna cirkeln. Och höjden på trapetsen är densamma som diametern på den inskrivna cirkeln.

Egenskaper hos en rektangulär trapets

En trapets kallas rektangulär, vars ena hörn är rätt. Och dess egenskaper härrör från denna omständighet.

1. En rektangulär trapets har en av sidorna vinkelrät mot baserna.
2. Höjden och sidan av trapetsen intill den räta vinkeln är lika. Detta låter dig beräkna arean av en rektangulär trapets (allmän formel S = (a + b) * h/2) inte bara genom höjden, utan också genom sidan som gränsar till rät vinkel.
3. För en rektangulär trapets är de allmänna egenskaperna hos de trapetsformade diagonalerna som redan beskrivits ovan relevanta.

Bevis på vissa egenskaper hos en trapets

Lika vinklar vid basen av en likbent trapets:

• Du har förmodligen redan gissat att här behöver vi återigen ACME-trapetsen - rita en likbent trapets. Rita en linje MT från vertex M parallell med sidan av AK (MT || AK).

Den resulterande fyrsidiga AKMT är ett parallellogram (AK || MT, KM || AT). Eftersom ME = KA = MT är ∆ MTE likbent och MET = MTE.

AK || MT, därför MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Där AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nu, baserat på egenskapen hos en likbent trapets (lika diagonaler), bevisar vi det trapezium ACME är likbent:

• Till att börja med, låt oss rita en rak linje МХ – МХ || KE. Vi får ett parallellogram KMHE (bas - MX || KE och KM || EX).

∆AMH är likbent, eftersom AM = KE = MX och MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, därför MAE = MXE.

Det visade sig att trianglarna AKE och EMA är lika med varandra, eftersom AM \u003d KE och AE är den gemensamma sidan av de två trianglarna. Och även MAE \u003d MXE. Vi kan dra slutsatsen att AK = ME, och därav följer att trapetsformen AKME är likbent.

Uppgift att upprepa

Baserna på trapets ACME är 9 cm och 21 cm, sidan av KA, lika med 8 cm, bildar en vinkel på 150 0 med en mindre bas. Du måste hitta området för trapetsen.

Lösning: Från vertex K sänker vi höjden till trapetsens större bas. Och låt oss börja titta på trapetsens vinklar.

Vinklarna AEM och KAN är ensidiga. Vilket betyder att de summerar till 1800. Därför är KAN = 30 0 (baserat på egenskaperna hos trapetsvinklarna).

Betrakta nu den rektangulära ∆ANK (jag tror att denna punkt är uppenbar för läsare utan ytterligare bevis). Från den hittar vi höjden på trapetsen KH - i en triangel är det ett ben, som ligger mitt emot vinkeln på 30 0. Därför KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Arean av trapetsen hittas av formeln: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Efterord

Om du noggrant och eftertänksamt studerade den här artikeln, inte var för lat för att rita trapetser för alla ovanstående egenskaper med en penna i dina händer och analysera dem i praktiken, borde du ha bemästrat materialet väl.

Naturligtvis finns det mycket information här, varierande och ibland till och med förvirrande: det är inte så svårt att blanda ihop egenskaperna hos den beskrivna trapetsen med egenskaperna hos den inskrivna. Men du såg själv att skillnaden är enorm.

Nu har du en detaljerad sammanfattning av alla allmänna egenskaper hos en trapets. Samt specifika egenskaper och egenskaper hos likbenta och rektangulära trapetser. Det är mycket bekvämt att använda för att förbereda sig för prov och tentor. Prova själv och dela länken med dina vänner!

blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

FGKOU "MKK" internatskola vid Ryska federationens försvarsministerium "

"GODKÄNNA"

Chef för en separat disciplin

(matematik, informatik och IKT)

Yu. V. Krylova _____________

"__" _____________ 2015

« Trapets och dess egenskaper»

Metodisk utveckling

matematiklärare

Shatalina Elena Dmitrievna

Anses och

vid PMO-mötet daterat _______________

Protokoll nr.______

Moskva

2015

Innehållsförteckning

Inledning 2

Definitioner 3

Egenskaper hos en likbent trapets 4

Inskrivna och omskrivna cirklar 7

Egenskaper hos inskrivna och omskrivna trapetser 8

Medelvärden i en trapets 12

Egenskaper för en godtycklig trapets 15

Tecken på en trapets 18

Ytterligare konstruktioner i en trapets 20

Trapetsområdet 25

10. Slutsats

Bibliografi

Ansökan

Bevis på vissa egenskaper hos en trapets 27

Arbetsuppgifter för självständigt arbete

Uppgifter på ämnet "Trapezium" av ökad komplexitet

Verifieringstest på ämnet "Trapets"

Introduktion

Detta arbete ägnas åt en geometrisk figur som kallas en trapets. "En vanlig figur", säger du, men det är det inte. Den innehåller många hemligheter och mysterier, om du tittar noga och fördjupar dig i dess studie kommer du att upptäcka många nya saker i geometrins värld, uppgifter som inte har lösts tidigare kommer att verka lätta för dig.

Trapes - det grekiska ordet trapezion - "bord". Lån. på 1700-talet från lat. lang., där trapezion är grekiska. Det är en fyrhörning med två motsatta sidor parallella. Trapetet hittas för första gången av den antika grekiska vetenskapsmannen Posidonius (2:a århundradet f.Kr.). Det finns många olika figurer i vårt liv. I 7:an lärde vi känna triangeln på nära håll, i 8:an började vi enligt skolans läroplan studera trapets. Denna figur intresserade oss, och i läroboken skrivs omöjligt lite om den. Därför bestämde vi oss för att ta denna fråga i egna händer och hitta information om trapetsen. dess egenskaper.

Uppsatsen diskuterar de egenskaper som eleverna känner till från det material som tas upp i läroboken, men i större utsträckning okända egenskaper som är nödvändiga för att lösa komplexa problem. Ju fler uppgifter som ska lösas, desto fler frågor uppstår när man löser dem. Svaret på dessa frågor verkar ibland som ett mysterium, att lära oss nya egenskaper hos trapetsen, ovanliga metoder för att lösa problem, såväl som tekniken för ytterligare konstruktioner, vi upptäcker gradvis trapetsens hemligheter. På Internet, om du gör poäng i en sökmotor, finns det väldigt lite litteratur om metoder för att lösa problem på ämnet "trapezium". Under arbetet med projektet har en stor mängd information hittats som kommer att hjälpa eleverna i en djupgående studie av geometri.

Trapets.

Definitioner

Trapets En fyrhörning med bara ett par sidor parallella (och det andra paret av sidor inte parallella).

De parallella sidorna av en trapets kallas grunder. De andra två är sidorna .
Om sidorna är lika, kallas en trapets likbent.

En trapets som har räta vinklar på sin sida kallas rektangulär .

Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter kallastrapetsets mittlinje.

Avståndet mellan baserna kallas trapetsens höjd.

2 . Egenskaper hos en likbent trapets

3. Diagonalerna för en likbent trapets är lika.

4

1
0. Projektionen av den laterala sidan av en likbent trapetsoid på den större basen är lika med halva skillnaden mellan baserna, och projektionen av diagonalen är lika med summan av baserna.

3. Inskriven och omskriven cirkel

Om summan av baserna i en trapets är lika med summan av sidorna, kan en cirkel inskrivas i den.

E
Om trapetsen är likbent, kan en cirkel omskrivas runt den.

4 . Egenskaper hos inskrivna och omskrivna trapetser

2. Om en cirkel kan skrivas in i en likbent trapets, då

summan av basernas längder är lika med summan av sidornas längder. Därför är längden på den laterala sidan lika med längden på trapetsens mittlinje.

4 . Om en cirkel är inskriven i en trapets, är sidorna från dess centrum synliga i en vinkel på 90 °.

E om en cirkel är inskriven i en trapets, som vidrör en av sidorna, delar den i segment m och n , då är radien för den inskrivna cirkeln lika med det geometriska medelvärdet för dessa segment.

1

0 . Om cirkeln är byggd på trapetsens mindre bas som en diameter, passerar genom diagonalernas mittpunkter och berör den nedre basen, då är trapetsens vinklar 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Medelvärden i en trapets

geometriskt medelvärde

I valfri trapets med baser a Och b För a > bojämlikheten :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Egenskaper hos en godtycklig trapets

1
. Mittpunkterna på trapetsens diagonaler och sidornas mittpunkter ligger på samma räta linje.

2. Vinklarnas bisektorer som gränsar till en av trapets sidor är vinkelräta och skär varandra i en punkt som ligger på trapetsens mittlinje, d.v.s. när de skär varandra bildas en rätvinklig triangel med en hypotenusa lika med sidan.

3. Segmenten av en rät linje parallellt med baserna på en trapets, som skär trapetsens sidor och diagonaler, inneslutna mellan sidan av diagonalen, är lika.

Skärningspunkten för förlängningen av sidorna av en godtycklig trapets, skärningspunkten för dess diagonaler och mittpunkterna för baserna ligger på en rät linje.

5. När diagonalerna för en godtycklig trapets skär varandra, bildas fyra trianglar med en gemensam vertex, och trianglarna intill baserna är lika, och trianglarna intill sidorna är lika (dvs. har lika stora arealer).

6. Summan av kvadraterna av diagonalerna i en godtycklig trapets är lika med summan av kvadraterna på sidorna, adderat till två gånger produkten av baserna.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. I en rektangulär trapets är skillnaden mellan diagonalernas kvadrater lika med skillnaden mellan basernas kvadrater d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Raka linjer som skär vinkelns sidor skär av proportionella segment från vinkelns sidor.

9. Ett segment som är parallellt med baserna och som går genom skärningspunkten för diagonalerna delas med det senare på mitten.

7. Tecken på en trapets

8 . Ytterligare konstruktioner i trapets

1. Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter är trapetsens mittlinje.

2
. Ett segment parallellt med en av sidorna av en trapets, vars ena ände sammanfaller med mittpunkten på den andra sidan, den andra tillhör linjen som innehåller basen.

3
. Med tanke på alla sidor av en trapets, dras en rak linje genom spetsen på den mindre basen, parallellt med den laterala sidan. Det visar sig en triangel med sidor lika med trapetsens sidor och skillnaden mellan baserna. Enligt Herons formel hittas triangelns yta, sedan triangelns höjd, som är lika med trapetsens höjd.

4

. Höjden på en likbent trapets, ritad från spetsen på den mindre basen, delar upp den större basen i segment, varav ett är lika med halva skillnaden mellan baserna och det andra med halvsumman av baserna i basen. trapets, det vill säga trapetsens mittlinje.

5. Höjden på trapetsen, sänkt från hörnen på en bas, skärs på en rak linje som innehåller den andra basen, ett segment lika med den första basen.

6
. Ett segment parallellt med en av diagonalerna i en trapets dras genom en vertex - en punkt som är slutet på en annan diagonal. Resultatet är en triangel med två sidor lika med trapetsens diagonaler, och den tredje - lika med summan av baserna

7
.Segmentet som förbinder diagonalernas mittpunkter är lika med halva skillnaden mellan trapetsens baser.

8. Vinklarnas bisektorer som gränsar till en av sidorna av trapetsen, de är vinkelräta och skär varandra i en punkt som ligger på trapetsens mittlinje, d.v.s. när de skär varandra bildas en rätvinklig triangel med en hypotenusa lika med sida.

9. Bisekturen av vinkeln på en trapets skär av en likbent triangel.

1
0. Diagonalerna för en godtycklig trapets i skärningspunkten bildar två lika trianglar med en likhetskoefficient lika med förhållandet mellan baserna och två lika trianglar intill sidorna.

1
1. Diagonalerna för en godtycklig trapets i skärningspunkten bildar två lika trianglar med en likhetskoefficient lika med förhållandet mellan baserna och två lika trianglar intill sidorna.

1
2. Fortsättningen av trapetsens sidor till korsningen gör det möjligt att överväga liknande trianglar.

13. Om en cirkel är inskriven i en likbent trapets, så ritas trapetsens höjd - den geometriska medelprodukten av trapetsens baser eller två gånger den geometriska medelprodukten av sidosegmenten i vilka den delas med spetsen på Kontakt.

9. Arean av en trapets

1 . Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av baserna och höjden S = ½( a + b) h eller

P

Arean av en trapets är lika med produkten av trapetsens mittlinje och höjden S = m h .

2. Arean av en trapets är lika med produkten av en sida och en vinkelrät ritad från mitten av den andra sidan till linjen som innehåller den första sidan.

Arean av en likbent trapets med en inskriven cirkelradie lika med roch vinkel vid basenα :

10. Slutsats

VAR, HUR OCH VAD ANVÄNDS EN TRAPEZE TILL?

Trapes i sport: Trapes är verkligen en progressiv uppfinning av mänskligheten. Den är designad för att avlasta våra händer, göra det bekvämt och enkelt att gå på en vindsurfare. Att gå på en kort bräda är inte alls vettigt utan en trapets, eftersom det utan den är omöjligt att korrekt fördela dragkraft mellan stegen och benen och effektivt accelerera.

Trapes i mode: Trapes i kläder var populärt under medeltiden, under den romanska eran på 900-1100-talen. På den tiden var grunden för kvinnors kläder golvlånga tunikor, tunikan expanderade kraftigt mot botten, vilket skapade effekten av en trapets. Återupplivandet av siluetten ägde rum 1961 och blev hymnen för ungdom, självständighet och sofistikering. En stor roll i populariseringen av trapetsen spelades av den ömtåliga modellen Leslie Hornby, känd som Twiggy. En kort tjej med en anorektisk kroppsbyggnad och stora ögon blev en symbol för eran, och hennes favoritkläder var korta trapetsklänningar.

Trapes i naturen: Trapets finns också i naturen. En person har en trapeziusmuskel, hos vissa har ansiktet formen av en trapets. Blomblad, stjärnbilder och naturligtvis Mount Kilimanjaro har också formen av en trapets.

Trapets i vardagen: Trapets används också i vardagen, eftersom dess form är praktisk. Det finns i sådana föremål som: grävskopa, bord, skruv, maskin.

Trapets är en symbol för inkaarkitektur. Den dominerande stilistiska formen i inkaarkitekturen är enkel men ändå graciös, trapets. Den har inte bara ett funktionellt värde, utan också en strikt begränsad konstnärlig design. Trapetsformade dörröppningar, fönster och väggnischer finns i byggnader av alla slag, både i tempel och i mindre betydande byggnader, råare, så att säga, byggnader. Trapets finns också i modern arkitektur. Denna form av byggnader är ovanlig, så sådana byggnader lockar alltid förbipasserandes ögon.

Trapets inom teknik: Trapes används vid design av delar inom rymdteknik och inom flyg. Till exempel är vissa rymdstationers solarrayer trapetsformade eftersom de har en stor yta, vilket innebär att de samlar på sig mer solenergi.

Under 2000-talet tänker folk nästan inte på betydelsen av geometriska former i sina liv. De bryr sig inte alls vilken form deras bord, glasögon eller telefon har. De väljer helt enkelt den form som är praktisk. Men användningen av föremålet, dess syfte, resultatet av arbetet kan bero på formen på den eller den saken. Idag presenterade vi dig för en av mänsklighetens största prestationer - trapetsen. Vi öppnade dörren till figurernas underbara värld, berättade trapetsens hemligheter och visade att geometri finns runt omkring oss.

Bibliografi

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematik teori och problem. Bok 1 Lärobok för sökande M.1998 MPEI Publishing House.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., fakulteten för förskoleutbildning. Matematik. Läromedel 4 del М2004

Gordin R.K. Planimetri. Uppgiftsbok.

Ivanov A.A.,. Ivanov A.P., Mathematics: A guide for preparing for the Unified State Examination and into universities-M: MIPT Publishing House, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ryska federationens utbildnings- och vetenskapsministerium, Federal State Budgetary Education Institute of Extra Education for Children "ZFTSh of the Moscow Institute of Physics and Technology (State University)". Matematik. Planimetri. Uppgifter nr 2 för årskurserna 10 (läsåret 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetri (del 1). Mathematical Encyclopedia of the Entrant. M., förlag vid det ryska öppna universitetet 1992.

Sharygin I.F. Utvalda problem i geometrin för konkurrensutsatta prov vid universitet (1987-1990) Lvov Quantor magazine 1991.

Encyclopedia "Avanta plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Ansökan

1. Bevis på några egenskaper hos en trapets.

1. En rät linje som går genom skärningspunkten för en trapets diagonaler parallellt med dess baser skär trapetsens sidor vid punkterK Och L . Bevisa att om baserna för en trapets är lika A Och b , Den där segmentets längd KL lika med det geometriska medelvärdet av trapetsens baser. Bevis

LåtaHANDLA OM - skärningspunkten för diagonalerna,AD = en sol = b . Direkt KL parallellt med basenAD , därav,K HANDLA OM║ AD , trianglarI K HANDLA OM Ochdålig liknande alltså

(1)

(2)

Ersätter (2) i (1), vi får KO=

Liknande LO= Då K L = KO + LO =

I ungefär vilken trapets som helst, ligger basernas mittpunkter, diagonalernas skärningspunkt och skärningspunkten för sidornas förlängning på samma räta linje.

Bevis: Låt sidornas förlängningar skära varandra vid en punktTILL. Genom prickenTILL och pekaHANDLA OM diagonala skärningardra en rak linje KO.

K

Låt oss visa att denna linje delar baserna på mitten.

HANDLA OM betecknaVM = x, MS = y, EN = Och, ND = v . Vi har:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Designarbete "Intressanta egenskaper hos en trapets" Färdigställd av: 10:e klass elever Kudzaeva Elina Bazzaeva Diana MKOU gymnasieskola sid. N.Batako Chef: Gagieva A.O. 2015-11-20

Syfte med arbetet: Att beakta trapetsens egenskaper, som inte studeras i skolans geometrikurs, men när man löser Unified State Examens geometriska problem från den utökade delen C 4, kan det vara nödvändigt att känna till och kunna att tillämpa just dessa egenskaper.

Egenskaper för en trapets: Om en trapets delas av en rät linje parallell med dess baser, lika med a och b, i två lika stora trapetser. Då är segmentet till denna raka linje, inneslutet mellan sidorna, lika med en B k

Egenskapen för ett segment som passerar genom skärningspunkten för diagonalerna i en trapets. Segmentet parallellt med baserna, som passerar genom skärningspunkten för diagonalerna är: a i c

Egenskaper hos en trapets: Ett segment av en rät linje parallellt med trapetsens baser, inneslutet inuti trapetsen, delas av sina diagonaler i tre delar. Då är segmenten som gränsar till sidorna lika med varandra. MP=OK R M O K

Egenskaper för en likbent trapets: Om en cirkel kan skrivas in i en trapets, så är cirkelns radie medelvärdet proportionellt mot segmenten i vilka tangentpunkten delar sidan. O S W A D. E O

Egenskaper för en likbent trapets: Om centrum av den omskrivna cirkeln ligger på basen av trapetsen, är dess diagonal vinkelrät mot sidan O A B C D

Egenskaper för en likbent trapets: En cirkel kan inskrivas i en likbent trapets om sidosidan är lika med dess mittlinje. C V A D h

1) Om problemets tillstånd säger att en cirkel är inskriven i en rektangulär trapets kan följande egenskaper användas: 1. Summan av trapetsens baser är lika med summan av sidorna. 2. Avstånden från trapetsens spets till tangentpunkterna för den inskrivna cirkeln är lika. 3. Höjden på en rektangulär trapets är lika med dess mindre laterala sida och lika med diametern på den inskrivna cirkeln. 4. Mitten av den inskrivna cirkeln är skärningspunkten för bisektrarna för trapetsvinklarna. 5. Om tangentpunkten delar sidosidan i segment m och n, är radien för den inskrivna cirkeln lika med

Egenskaper för en rektangulär trapets i vilken en cirkel är inskriven: 1) En fyrkant som bildas av den inskrivna cirkelns centrum, tangentpunkterna och trapetsens vertex är en kvadrat vars sida är lika med radien. (AMOE och BKOM är rutor med sidan r). 2) Om en cirkel är inskriven i en rektangulär trapets, är arean av trapetsen lika med produkten av dess baser: S=AD*BC

Bevis: Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av dess baser och dess höjd: Beteckna CF=m , FD=n . Eftersom avstånden från hörnen till kontaktpunkterna är lika, är trapetsens höjd lika med två radier i den inskrivna cirkeln, och

I. Vinklarnas halvled på trapetsens laterala sida skär varandra i en vinkel av 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (som intern ensidig med AD∥BC och sekant AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (eftersom halveringslinjerna delar vinklarna). 3) Eftersom summan av vinklarna i en triangel är 180º, har vi i triangel ABK: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, därav ∠AKB=180-90=90º. Slutsats: Vinklarnas halvled på trapetsens laterala sida skär varandra i räta vinklar. Detta påstående används för att lösa problem på en trapets där en cirkel är inskriven.

jag jag Låt bisektrisen av vinkeln ABC skära sidan AD i punkt S. Då är triangeln ABS likbent med basen BS. Därför är dess bisektrik AK också en median, det vill säga punkt K är mittpunkten av BS. Om M och N är mittpunkterna på trapetsens sidor, så är MN mittlinjen för trapetsen och MN∥AD. Eftersom M och K är mittpunkterna för AB och BS, är MK mittlinjen i triangeln ABS och MK∥AS. Eftersom endast en linje kan dras genom punkten M och parallell med den givna, ligger punkten K på trapetsens mittlinje.

III. Skärningspunkten för bisektorerna av spetsiga vinklar vid basen av trapetsen tillhör en annan bas. I detta fall är trianglarna ABK och DCK likbenta trianglar med basen AK respektive DK. Således, BC=BK+KC=AB+CD. Slutsats: Om halvledarna för de spetsiga vinklarna på en trapets skär varandra i en punkt som hör till den mindre basen, så är den mindre basen lika med summan av trapetsens sidor. I en likbent trapets, i detta fall, är den mindre basen dubbelt så stor som den laterala sidan.

I V. Skärningspunkten för bisektorerna för trubbiga vinklar vid basen av trapetsen tillhör en annan bas. I detta fall är trianglarna ABF och DCF likbenta trianglar med basen BF respektive CF. Därför AD=AF+FD=AB+CD. Slutsats: Om halvledarna för de trubbiga vinklarna på en trapets skär varandra i en punkt som hör till den större basen, så är den större basen lika med summan av trapetsens sidor. En likbent trapets i det här fallet har en större bas två gånger sidan.

Om en likbent trapets med sidorna a, b, c, d kan inskrivas och cirklar kan omskrivas runt den, så är trapetsens yta

En trapets är en geometrisk figur med fyra hörn. När man konstruerar en trapets är det viktigt att tänka på att två motsatta sidor är parallella, medan de andra två, tvärtom, inte är parallella med varandra. Detta ord kom in i modern tid från antikens Grekland och lät som "trapezion", vilket betydde "bord", "matbord".

Den här artikeln talar om egenskaperna hos en trapets som är omskriven kring en cirkel. Vi kommer också att överväga typerna och elementen i denna figur.

Element, typer och tecken på en geometrisk figur trapets

Parallella sidor i denna figur kallas baser, och de som inte är parallella kallas sidor. Förutsatt att sidorna är lika långa anses trapetsen vara likbent. En trapets, vars sidor ligger vinkelrätt mot basen i en vinkel på 90 °, kallas en rektangulär trapets.

Denna till synes okomplicerade figur har ett stort antal egenskaper som är inneboende i den, vilket betonar dess egenskaper:

1. Om du ritar en mittlinje längs sidorna, kommer den att vara parallell med baserna. Detta segment kommer att vara lika med 1/2 av basdifferensen.
2. När man konstruerar en bisektrik från valfri vinkel av en trapets, bildas en liksidig triangel.
3. Från egenskaperna hos en trapets omskriven kring en cirkel är det känt att summan av de parallella sidorna måste vara lika med summan av baserna.
4. När man konstruerar diagonala segment, där en av sidorna är basen på trapetsen, kommer de resulterande trianglarna att vara lika.
5. När man konstruerar diagonala segment, där en av sidorna är lateral, kommer de resulterande trianglarna att ha en lika stor yta.
6. Om du fortsätter sidolinjerna och bygger ett segment från mitten av basen, kommer den bildade vinkeln att vara lika med 90 °. Segmentet som förbinder baserna kommer att vara lika med 1/2 av deras skillnad.

Egenskaper hos en trapets omskriven kring en cirkel

Att innesluta en cirkel i en trapets är endast möjligt under ett villkor. Detta villkor är att summan av sidorna måste vara lika med summan av baserna. Till exempel, när man konstruerar en trapetsformad AFDM, är AF + DM = FD + AM tillämpligt. Endast i detta fall kan en cirkel inneslutas i en trapets.

Så, mer om egenskaperna hos en trapets omskriven om en cirkel:

1. Om en cirkel är innesluten i en trapets, måste du hitta 1/2 av summan av längderna på sidorna för att hitta längden på dess linje som skär figuren på mitten.
2. När man konstruerar en trapets omskriven kring en cirkel är den bildade hypotenusan identisk med cirkelns radie, och trapetsens höjd är också cirkelns diameter.
3. En annan egenskap hos en likbent trapets omskriven kring en cirkel är att dess laterala sida är omedelbart synlig från cirkelns mitt i en vinkel på 90°.

Lite mer om egenskaperna hos en trapets som är innesluten i en cirkel

Endast en likbent trapets kan inskrivas i en cirkel. Detta innebär att det är nödvändigt att uppfylla villkoren under vilka den konstruerade AFDM-trapetsen kommer att uppfylla följande krav: AF + DM = FD + MA.

Ptolemaios sats säger att i en trapets som är innesluten i en cirkel är produkten av diagonalerna identisk och lika med summan av de multiplicerade motsatta sidorna. Detta betyder att när man konstruerar en cirkel som är omskriven kring trapetsen AFDM är den tillämplig: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

I skolprov finns det ganska ofta problem som kräver att man löser problem med en trapets. Ett stort antal satser måste memoreras, men om du inte lyckas lära dig direkt spelar det ingen roll. Det är bäst att med jämna mellanrum ta till tips i läroböcker så att denna kunskap i sig själv, utan större svårighet, passar in i ditt huvud.