Faktorisering. Komplexa fall av faktorisering av polynom

Mycket ofta är täljaren och nämnaren för en bråkdel algebraiska uttryck som först måste delas upp i faktorer, och sedan, efter att ha hittat samma bland dem, dela upp både täljaren och nämnaren i dem, det vill säga minska bråkdelen. Ett helt kapitel i en lärobok om algebra i årskurs 7 ägnas åt uppgifter för att faktorisera ett polynom. Factoring kan göras 3 sätt, såväl som en kombination av dessa metoder.

1. Tillämpning av förkortade multiplikationsformler

Som bekant multiplicera ett polynom med ett polynom, måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i det andra polynomet och lägga till de resulterande produkterna. Det finns minst 7 (sju) vanliga fall av multiplikation av polynom som ingår i konceptet. Till exempel,

Tabell 1. Faktorisering på 1:a sättet

2. Att ta ut den gemensamma faktorn ur fästet

Denna metod är baserad på tillämpningen av den distributiva lagen för multiplikation. Till exempel,

Vi dividerar varje term i det ursprungliga uttrycket med faktorn som vi tar ut, och samtidigt får vi uttrycket inom parentes (det vill säga resultatet av att dividera det som var med det vi tar ut förblir inom parentes). Först och främst behöver du bestäm multiplikatorn korrekt, som måste vara inom parentes.

Polynomet inom parentes kan också vara en vanlig faktor:

När man utför uppgiften "faktorisera" måste man vara särskilt försiktig med tecknen när man tar ut den gemensamma faktorn ur parentes. För att ändra tecknet för varje term inom en parentes (b - a), tar vi ut den gemensamma faktorn -1 , medan varje term inom parentes delas med -1: (b - a) = - (a - b).

I händelse av att uttrycket inom parentes är kvadratiskt (eller till någon jämn potens), då siffror inom parentes kan bytas ut helt gratis, eftersom minusen som tas ut från parentes fortfarande kommer att förvandlas till ett plus när de multipliceras: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 och så vidare…

3. Grupperingsmetod

Ibland har inte alla termer i uttrycket en gemensam faktor, utan bara några. Då kan du prova gruppvillkor inom parentes så att någon faktor kan tas ur varje. Grupperingsmetodär dubbelparentes av gemensamma faktorer.

4. Använda flera metoder samtidigt

Ibland behöver du inte tillämpa ett, utan flera sätt att faktorisera ett polynom till faktorer samtidigt.

Detta är en sammanfattning av ämnet. "Faktorisering". Välj nästa steg:

• Gå till nästa abstrakt:

Med tanke på multiplikationen av polynom memorerade vi flera formler, nämligen: formler för (a + b)², för (a - b)², för (a + b) (a - b), för (a + b)³ och för (a – b)³.

Om ett givet polynom visar sig sammanfalla med en av dessa formler, kommer det att vara möjligt att faktorisera det. Till exempel är polynomet a² - 2ab + b², vi vet, lika med (a - b)² [eller (a - b) (a - b), det vill säga vi lyckades faktorisera a² - 2ab + b² till 2 faktorer]; Också

Betrakta det andra av dessa exempel. Vi ser att polynomet som ges här passar formeln som erhålls genom att kvadrera skillnaden mellan två tal (kvadraten på det första talet, minus produkten av två med det första talet och det andra, plus kvadraten på det andra talet): x 6 är kvadraten på det första talet, och därför är det första talet i sig x 3, kvadraten på det andra talet är den sista termen i det givna polynomet, dvs 1, det andra talet i sig är därför också 1; produkten av två med det första talet och det andra är termen -2x 3, eftersom 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Därför erhölls vårt polynom genom att kvadrera skillnaden mellan talen x 3 och 1, dvs det är lika till (x 3 - 12 . Tänk på ett annat 4:e exempel. Vi ser att detta polynom a 2 b 2 - 25 kan betraktas som skillnaden mellan kvadraterna av två tal, nämligen kvadraten på det första talet är a 2 b 2, därför är det första talet i sig ab, kvadraten på det andra talet är 25, varför det andra talet i sig är 5. Därför kan vårt polynom anses erhållet genom att multiplicera summan av två tal med deras skillnad, d.v.s.

(ab + 5) (ab - 5).

Ibland händer det att termerna i ett givet polynom inte är i den ordning vi är vana vid t.ex.

9a 2 + b 2 + 6ab - mentalt kan vi ordna om de andra och tredje termerna, och då kommer det att bli klart för oss att vårt trinomial = (3a + b) 2.

... (ordna om den första och andra termen mentalt).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 osv.

Tänk på ett annat polynom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vi ser att dess första term är kvadraten på talet a och den tredje termen är kvadraten på talet 2b, men den andra termen är inte produkten av två gånger det första talet och den andra, en sådan produkt skulle vara lika med 2 a 2b = 4ab. Därför är det omöjligt att tillämpa formeln för kvadraten av summan av två tal på detta polynom. Om någon skrev att a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, skulle detta vara fel - du måste noggrant överväga alla termer i polynomet innan du tillämpar faktorisering på det med formler.

40. Kombinationen av båda metoderna. Ibland, när man sönderdelar polynom i faktorer, är det nödvändigt att kombinera både tekniken att ta den gemensamma faktorn ur parentes och tekniken att tillämpa formler. Här är några exempel:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Först tar vi ut den gemensamma faktorn 2a från parentes, och vi får 2a (a 2 - b 2). Faktorn a 2 - b 2 delas i sin tur upp enligt formeln i faktorer (a + b) och (a - b).

Ibland är det nödvändigt att tillämpa expansionsmetoden med formler upprepade gånger:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Vi ser att den första faktorn a 2 + b 2 inte passar någon av de välbekanta formlerna; Dessutom, med tanke på de speciella fallen av division (avsnitt 37), kommer vi att fastställa att a 2 + b 2 (summan av kvadraterna av två tal) inte alls påverkar. Den andra av de erhållna faktorerna a 2 - b 2 (skillnaden med kvadraten av två tal) delas upp i faktorer (a + b) och (a - b). Så,

41. Tillämpning av särskilda fall av delning. Utifrån punkt 37 kan vi direkt skriva att t.ex.

Att faktorisera en ekvation är processen att hitta termer eller uttryck som, när de multipliceras, leder till den initiala ekvationen. Faktorering är en användbar färdighet för att lösa grundläggande algebraiska problem, och blir en praktisk nödvändighet när man arbetar med andragradsekvationer och andra polynom. Factoring används för att förenkla algebraiska ekvationer för att göra dem lättare att lösa. Factoring kan hjälpa dig att utesluta vissa möjliga svar snabbare än du kan genom att manuellt lösa ekvationen.

Steg

Faktorisering av tal och grundläggande algebraiska uttryck

1. Faktorisering av siffror. Konceptet med factoring är enkelt, men i praktiken kan factoring vara knepigt (med en komplex ekvation). Så låt oss börja med konceptet att faktorisera med siffror som exempel, fortsätta med enkla ekvationer och sedan gå vidare till komplexa ekvationer. Faktorerna för ett givet tal är de tal som, när de multipliceras, ger det ursprungliga talet. Till exempel är faktorerna för talet 12 talen: 1, 12, 2, 6, 3, 4, eftersom 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • På samma sätt kan du tänka på faktorerna för ett tal som dess divisorer, det vill säga talen som det givna talet är delbart med.
   • Hitta alla faktorer för talet 60. Vi använder ofta talet 60 (till exempel 60 minuter på en timme, 60 sekunder på en minut etc.) och detta tal har ett ganska stort antal faktorer.
     • 60 multiplikatorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.

2. Kom ihåg: termer av ett uttryck som innehåller en koefficient (tal) och en variabel kan också faktoriseras. För att göra detta, hitta multiplikatorerna för koefficienten vid variabeln. Genom att veta hur man faktoriserar termerna i ekvationerna kan du enkelt förenkla denna ekvation.

   • Till exempel kan termen 12x skrivas som produkten av 12 och x. Du kan också skriva 12x som 3(4x), 2(6x), etc. genom att faktorisera 12 i de faktorer som fungerar bäst för dig.
     • Du kan lägga ut 12x flera gånger i rad. Med andra ord, du bör inte stanna vid 3(4x) eller 2(6x); fortsätt expansion: 3(2(2x)) eller 2(3(2x)) (uppenbarligen 3(4x)=3(2(2x)) osv.)

3. Tillämpa den fördelande egenskapen för multiplikation för att faktorisera algebraiska ekvationer. Genom att veta hur man faktoriserar tal och termer i ett uttryck (koefficienter med variabler), kan du förenkla enkla algebraiska ekvationer genom att hitta den gemensamma faktorn för ett tal och en term för ett uttryck. Vanligtvis, för att förenkla ekvationen, måste du hitta den största gemensamma divisorn (gcd). En sådan förenkling är möjlig på grund av multiplikationens fördelningsegenskap: för alla tal a, b, c är likheten a (b + c) = ab + ac sann.

   • Exempel. Faktorisera ekvationen 12x + 6. Hitta först gcd för 12x och 6. 6 är det största talet som delar både 12x och 6, så du kan faktorisera denna ekvation till: 6(2x+1).
   • Denna process gäller även för ekvationer som har negativa termer och bråktal. Till exempel kan x/2+4 delas upp i 1/2(x+8); till exempel kan -7x+(-21) brytas upp till -7(x+3).

   Faktorisering av andragradsekvationer

   1. Se till att ekvationen är i kvadratisk form (ax 2 + bx + c = 0). Andragradsekvationer är: ax 2 + bx + c = 0, där a, b, c är andra numeriska koefficienter än 0. Om du får en ekvation med en variabel (x) och denna ekvation har en eller flera termer med en andra ordningens variabel kan du flytta alla termer i ekvationen till ena sidan av ekvationen och likställa den till noll.

      • Till exempel, givet ekvationen: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Den kan konverteras till ekvationen x 2 + 6x + 9 = 0, som är en andragradsekvation.
      • Ekvationer med en variabel x av stora ordrar, till exempel x 3 , x 4 , etc. är inte andragradsekvationer. Dessa är kubikekvationer, fjärde ordningens ekvationer och så vidare (endast om sådana ekvationer inte kan förenklas till andragradsekvationer med variabeln x i 2 potens).

   2. Andragradsekvationer, där a \u003d 1, delas upp i (x + d) (x + e), där d * e \u003d c och d + e \u003d b. Om den andragradsekvation som ges till dig har formen: x 2 + bx + c \u003d 0 (det vill säga koefficienten vid x 2 är lika med 1), så kan en sådan ekvation (men inte garanteras) brytas upp i ovanstående faktorer. För att göra detta måste du hitta två tal som, när de multipliceras, ger "c", och när de läggs till - "b". När du har hittat dessa två siffror (d och e), ersätt dem med följande uttryck: (x+d)(x+e), som, när parentesen öppnas, leder till den ursprungliga ekvationen.

      • Till exempel, givet andragradsekvationen x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 och 3+2=5, så att du kan expandera ekvationen till (x+3)(x+2).
      • För negativa termer, gör följande mindre ändringar i faktoriseringsprocessen:
        • Om andragradsekvationen har formen x 2 -bx + c, sönderfaller den till: (x-_) (x-_).
        • Om andragradsekvationen har formen x 2 -bx-c, sönderfaller den till: (x + _) (x-_).
      • Obs: mellanslag kan ersättas med bråktal eller decimaler. Till exempel bryts ekvationen x 2 + (21/2)x + 5 = 0 upp i (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorisering genom försök och misstag. Enkla andragradsekvationer kan faktoriseras genom att helt enkelt ersätta siffror med möjliga lösningar tills du hittar rätt lösning. Om ekvationen har formen ax 2 +bx+c, där a>1, skrivs de möjliga lösningarna som (dx +/- _)(ex +/- _), där d och e är andra numeriska koefficienter än noll, som multiplicerat ger a. Antingen d eller e (eller båda koefficienterna) kan vara lika med 1. Om båda koefficienterna är lika med 1, använd metoden som beskrivs ovan.

      • Till exempel, givet ekvationen 3x 2 - 8x + 4. Här har 3 bara två faktorer (3 och 1), så de möjliga lösningarna skrivs som (3x +/- _)(x +/- _). I det här fallet, genom att ersätta mellanslag med -2, hittar du det korrekta svaret: -2*3x=-6x och -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x och -2*-2=4, det vill säga en sådan expansion när man öppnar parenteserna kommer att leda till termerna i den ursprungliga ekvationen.

Faktoriseringen av polynom är en identisk transformation, som ett resultat av vilken ett polynom omvandlas till en produkt av flera faktorer - polynom eller monomial.

Det finns flera sätt att faktorisera polynom.

Metod 1. Inställning av den gemensamma faktorn.

Denna transformation är baserad på multiplikationens distributiva lag: ac + bc = c(a + b). Kärnan i transformationen är att peka ut den gemensamma faktorn i de två komponenterna som övervägs och "sätta ut den" från parentesen.

Låt oss faktorisera polynomet 28x 3 - 35x 4.

Lösning.

1. Vi hittar en gemensam divisor för elementen 28x3 och 35x4. För 28 och 35 blir det 7; för x 3 och x 4 - x 3. Med andra ord är vår gemensamma faktor 7x3.

2. Vi representerar vart och ett av elementen som en produkt av faktorer, varav en
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Vi tar ut den gemensamma faktorn
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metod 2. Använda förkortade multiplikationsformler. "Behärskning" av att bemästra denna metod är att i uttrycket lägga märke till en av formlerna för förkortad multiplikation.

Låt oss faktorisera polynomet x 6 - 1.

Lösning.

1. Vi kan tillämpa formeln för skillnaden mellan kvadrater på detta uttryck. För att göra detta representerar vi x 6 som (x 3) 2 och 1 som 1 2, dvs. 1. Uttrycket kommer att ha formen:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. På det resulterande uttrycket kan vi tillämpa formeln för summan och skillnaden av kuber:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Så,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metod 3. Gruppering. Grupperingsmetoden består i att kombinera komponenterna i ett polynom på ett sådant sätt att det är lätt att utföra operationer på dem (addition, subtraktion, ta ut en gemensam faktor).

Vi faktoriserar polynomet x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Lösning.

1. Gruppera komponenterna på detta sätt: 1:an med 2:an och 3:an med 4:an
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. I det resulterande uttrycket tar vi de gemensamma faktorerna utanför parentes: x 2 i det första fallet och 5 i det andra.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Vi tar ut den gemensamma faktorn x - 3 och får:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Så,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Låt oss fixa materialet.

Faktorisera polynomet a 2 - 7ab + 12b 2 .

Lösning.

1. Vi representerar monomialen 7ab som summan 3ab + 4ab. Uttrycket kommer att ha formen:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b2.

Låt oss öppna parenteserna och få:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Gruppera komponenterna i polynomet på detta sätt: 1:an med 2:an och 3:an med 4:an. Vi får:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Låt oss ta bort de vanliga faktorerna:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Låt oss ta ut den gemensamma faktorn (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Så,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Begreppen "polynom" och "faktorisering av ett polynom" i algebra är mycket vanliga, eftersom du behöver känna till dem för att enkelt kunna utföra beräkningar med stora flervärdiga tal. Den här artikeln kommer att beskriva flera nedbrytningsmetoder. Alla är ganska enkla att använda, du behöver bara välja rätt i varje fall.

Begreppet polynom

Ett polynom är summan av monomer, det vill säga uttryck som endast innehåller multiplikationsoperationen.

Till exempel är 2 * x * y ett monomial, men 2 * x * y + 25 är ett polynom, som består av 2 monomer: 2 * x * y och 25. Sådana polynom kallas binomial.

Ibland, för att lösa exempel med flervärdiga värden, måste uttrycket omvandlas, till exempel dekomponeras till ett visst antal faktorer, det vill säga tal eller uttryck mellan vilka multiplikationsoperationen utförs. Det finns ett antal sätt att faktorisera ett polynom. Det är värt att överväga dem från de mest primitiva, som används även i primärklasser.

Gruppering (allmän post)

Formeln för att faktorisera ett polynom till faktorer med grupperingsmetoden ser i allmänhet ut så här:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Det är nödvändigt att gruppera monomierna så att en gemensam faktor uppträder i varje grupp. I den första parentesen är detta faktorn c, och i den andra - d. Detta måste göras för att sedan ta ut det ur fästet och därigenom förenkla beräkningarna.

Nedbrytningsalgoritm på ett specifikt exempel

Det enklaste exemplet på att faktorisera ett polynom till faktorer med hjälp av grupperingsmetoden ges nedan:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

I den första parentesen måste du ta termerna med faktorn a, som kommer att vara vanlig, och i den andra - med faktorn b. Var uppmärksam på + och - tecknen i det färdiga uttrycket. Vi sätter före monomialen tecknet som fanns i det initiala uttrycket. Det vill säga, du behöver inte arbeta med uttrycket 25a, utan med uttrycket -25. Minustecknet är så att säga "limmat" på uttrycket bakom det och tar alltid hänsyn till det i beräkningar.

I nästa steg måste du ta ut faktorn, som är vanlig, ur fästet. Det är vad gruppering är till för. Att ta det ur parentesen innebär att skriva ut före parentesen (om man utelämnar multiplikationstecknet) alla de faktorer som upprepas exakt i alla termer som finns inom parentes. Om det inte finns 2, utan 3 eller fler termer i parentesen, måste den gemensamma faktorn finnas i var och en av dem, annars kan den inte tas ut ur parentesen.

I vårt fall endast 2 termer inom parentes. Den totala multiplikatorn är omedelbart synlig. Den första parentesen är a, den andra är b. Här måste du vara uppmärksam på de digitala koefficienterna. I den första parentesen är båda koefficienterna (10 och 25) multiplar av 5. Detta betyder att inte bara a, utan även 5a kan placeras inom parentes. Före parentes, skriv ut 5a, och dividera sedan var och en av termerna inom parentes med den gemensamma faktorn som togs ut, och skriv även ner kvoten inom parentes, utan att glömma + och - tecknen. Gör samma sak med den andra parentesen , ta ut 7b, eftersom 14 och 35 multipel av 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Det blev 2 termer: 5a (2c - 5) och 7b (2c - 5). Var och en av dem innehåller en gemensam faktor (hela uttrycket inom parentes här är detsamma, vilket betyder att det är en gemensam faktor): 2c - 5. Det måste också tas ut ur parentesen, det vill säga termerna 5a och 7b stå kvar i den andra parentesen:

5a(2c-5) + 7b(2c-5) = (2c-5)*(5a + 7b).

Så det fullständiga uttrycket är:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Således bryts polynomet 10ac + 14bc - 25a - 35b upp i 2 faktorer: (2c - 5) och (5a + 7b). Multiplikationstecknet mellan dem kan utelämnas när du skriver

Ibland finns det uttryck av den här typen: 5a 2 + 50a 3, här kan du inte bara ha parentes a eller 5a, utan även 5a 2. Du bör alltid försöka ta ut största möjliga gemensamma faktor ur fästet. I vårt fall, om vi delar varje term med en gemensam faktor, får vi:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(vid beräkning av kvoten av flera potenser med lika baser bevaras basen och exponenten subtraheras). Således stannar man inom parentes (glöm inte i något fall att skriva en om du tar en av termerna ur parentesen helt) och divisionskvoten: 10a. Det visar sig att:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratiska formler

För att underlätta beräkningarna har flera formler tagits fram. De kallas reducerade multiplikationsformler och används ganska ofta. Dessa formler hjälper till att faktorisera polynom som innehåller potenser. Detta är ett annat kraftfullt sätt att faktorisera. Så här är de:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formeln, som kallas "kvadraten av summan", eftersom som ett resultat av expansionen till en kvadrat tas summan av siffrorna inom parentes, det vill säga värdet av denna summa multipliceras med sig själv 2 gånger, vilket betyder att det är en faktor.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formeln för kvadraten på skillnaden, den liknar den föregående. Resultatet är en skillnad inom parentes, inkluderad i en kvadratisk potens.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- detta är formeln för skillnaden mellan kvadrater, eftersom polynomet initialt består av 2 kvadrater av tal eller uttryck mellan vilka subtraktion utförs. Det är kanske den mest använda av de tre.

Exempel för beräkning med kvadratformler

Beräkningar på dem görs helt enkelt. Till exempel:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - använd formeln "kvadrat på summan".
2. 25x 2 är kvadraten på 5x. 20xy är två gånger produkten av 2*(5x*2y), och 4y 2 är kvadraten på 2y.
3. Så 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Detta polynom är uppdelat i 2 faktorer (faktorerna är desamma, därför skrivs det som ett uttryck med en kvadratpotens).

Operationer enligt formeln för kvadraten av skillnaden utförs på liknande sätt som dessa. Det som återstår är skillnaden mellan kvadraters formel. Exempel på denna formel är mycket lätta att identifiera och hitta bland andra uttryck. Till exempel:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Sedan 25a 2 \u003d (5a) 2 och 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Sedan 36x 2 \u003d (6x) 2 och 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Sedan 169b 2 = (13b) 2

Det är viktigt att var och en av termerna är kvadraten på något uttryck. Sedan ska detta polynom faktoriseras med formeln för skillnaden mellan kvadrater. För detta är det inte nödvändigt att den andra potensen är över siffran. Det finns polynom som innehåller stora potenser, men som fortfarande är lämpliga för dessa formler.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

I det här exemplet kan en 8:a representeras som (a 4) 2 , det vill säga kvadraten på ett visst uttryck. 25 är 5 2 och 10a är 4 - detta är dubbelprodukten av termerna 2*a 4 *5. Det vill säga att detta uttryck, trots närvaron av grader med stora exponenter, kan delas upp i 2 faktorer för att kunna arbeta med dem senare.

Kubformler

Samma formler finns för faktorisering av polynom som innehåller kuber. De är lite mer komplicerade än de med rutor:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- denna formel kallas summan av kuber, eftersom polynomet i sin initiala form är summan av två uttryck eller tal inneslutna i en kub.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - en formel som är identisk med den föregående betecknas som skillnaden mellan kuber.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - summakub, som ett resultat av beräkningar, erhålls summan av siffror eller uttryck, omgiven av parentes och multiplicerad med sig själv 3 gånger, det vill säga placerad i kuben
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formeln, sammanställd i analogi med den föregående med en förändring i endast några tecken på matematiska operationer (plus och minus), kallas "skillnadskuben".

De två sista formlerna används praktiskt taget inte i syfte att faktorisera ett polynom, eftersom de är komplexa, och det är ganska sällsynt att hitta polynom som helt motsvarar just en sådan struktur så att de kan dekomponeras enligt dessa formler. Men du måste fortfarande känna till dem, eftersom de kommer att krävas för åtgärder i motsatt riktning - när du öppnar parentes.

Exempel på kubformler

Tänk på ett exempel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Vi har tagit ganska primtal här, så du kan direkt se att 64a 3 är (4a) 3 och 8b 3 är (2b) 3 . Således expanderas detta polynom med formelskillnaden för kuber till 2 faktorer. Åtgärder på formeln för summan av kuber utförs analogt.

Det är viktigt att förstå att inte alla polynom kan dekomponeras på åtminstone ett av sätten. Men det finns sådana uttryck som innehåller större potenser än en kvadrat eller en kub, men de kan också utökas till förkortade multiplikationsformer. Till exempel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Detta exempel innehåller så många som 12 grader. Men även det kan faktoriseras med hjälp av summan av kuberformeln. För att göra detta måste du representera x 12 som (x 4) 3, det vill säga som en kub av något uttryck. Nu, istället för a, måste du ersätta det i formeln. Tja, uttrycket 125y 3 är kuben av 5y. Nästa steg är att skriva formeln och göra beräkningarna.

Till en början, eller när du är osäker, kan du alltid kontrollera med invers multiplikation. Du behöver bara öppna parenteserna i det resulterande uttrycket och utföra åtgärder med liknande termer. Denna metod gäller för alla ovanstående metoder för reduktion: både att arbeta med en gemensam faktor och gruppering, och för operationer på formlerna för kuber och kvadratpotenser.