Flera rötter från ett antal. Extrahera kvadratroten ur ett flersiffrigt tal

Inom matematiken anses frågan om hur man slår rot som relativt lätt. Om vi ​​kvadrerar tal från den naturliga serien: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, får vi följande kvadratserier: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Serien av kvadrater är oändlig, och om du tittar noga på den kommer du att se att det inte finns särskilt många heltal i den. Varför det är så kommer att förklaras lite senare.

Roten till talet: beräkningsregler och exempel

Så vi kvadrerade talet 2, det vill säga vi multiplicerade det med sig självt och fick 4. Men hur tar man roten av talet 4? Låt oss säga direkt att rötterna kan vara kvadratiska, kubiska och alla grader till oändlighet.

Rotens grad är alltid ett naturligt tal, det vill säga det är omöjligt att lösa en sådan ekvation: roten i styrkan 3,6 av n.

Roten ur

Låt oss återgå till frågan om hur man extraherar kvadratroten ur 4. Eftersom vi kvadrerat talet 2 kommer vi också att extrahera kvadratroten. För att korrekt ta roten av 4 behöver du bara välja rätt tal som, i kvadrat, skulle ge talet 4. Och detta är naturligtvis 2. Titta på exemplet:

• 2 2 =4
• Roten av 4 = 2

Det här exemplet är ganska enkelt. Låt oss försöka extrahera kvadratroten ur 64. Vilket tal, multiplicerat med sig självt, ger 64? Klart det är 8.

• 8 2 =64
• Roten av 64=8

kubikroten

Som nämnts ovan är rötterna inte bara kvadratiska, med hjälp av ett exempel kommer vi att försöka förklara tydligare hur man extraherar en kubrot eller en rot av tredje graden. Principen för att extrahera en kubrot är densamma som för en kvadratrot, den enda skillnaden är att det önskade talet initialt multiplicerades med sig självt inte en, utan två gånger. Så låt oss säga att vi tar följande exempel:

• 3x3x3=27
• Naturligtvis kommer kubroten av talet 27 att vara tre:
• Rot 3 av 27 = 3

Anta att du behöver hitta kubroten av 64. För att lösa denna ekvation räcker det med att hitta ett tal som, när det höjs till tredje potens, skulle ge 64.

• 4 3 =64
• Rot 3 av 64 = 4

Extrahera roten av ett tal på en miniräknare

Naturligtvis är det bäst att lära sig att extrahera kvadrat, kub och andra potenser genom att öva, genom att lösa många exempel och memorera en tabell med kvadrater och kuber med små tal. I framtiden kommer detta att avsevärt underlätta och minska tiden för att lösa ekvationer. Det bör dock noteras att det ibland krävs att man extraherar roten till ett så stort tal att det kommer att kosta mycket arbete, om överhuvudtaget, att hitta det korrekta kvadrattalet. En vanlig miniräknare kommer till undsättning när man tar ut kvadratroten. Hur slår man rot på en miniräknare? Det är väldigt enkelt att ange numret från vilket du vill hitta resultatet. Ta nu en närmare titt på räknarens knappar. Även på den enklaste av dem finns en nyckel med en rotikon. Genom att klicka på den får du omedelbart det färdiga resultatet.

Inte alla tal kan tas som en hel rot, tänk på följande exempel:

Roten av 1859 = 43,116122...

Du kan försöka lösa detta exempel på en miniräknare parallellt. Som du kan se är det resulterande talet inte ett heltal; dessutom är uppsättningen siffror efter decimalkomma inte ändlig. Ett mer exakt resultat kan ges av speciella tekniska kalkylatorer, men det fullständiga resultatet passar helt enkelt inte på displayen av vanliga. Och om du fortsätter serien av rutor som du startade tidigare, kommer du inte att hitta talet 1859 i den, just för att talet som du kvadrerade för att få det inte är ett heltal.

Om du behöver extrahera roten av tredje graden på en enkel miniräknare, måste du dubbelklicka på knappen med rottecknet. Låt oss till exempel ta talet 1859 som används ovan och extrahera kubroten från det:

Rot 3 av 1859 = 6,5662867...

Det vill säga, om talet 6,5662867 ... höjs till tredje potens, kommer vi att få ungefär 1859. Det är alltså inte svårt att extrahera rötter från siffror, kom bara ihåg ovanstående algoritmer.

Beräkningen (eller extraktionen) av kvadratroten kan göras på flera sätt, men alla är inte särskilt enkla. Det är förstås lättare att ta hjälp av en miniräknare. Men om detta inte är möjligt (eller om du vill förstå kärnan i kvadratroten), kan jag råda dig att gå på följande sätt, dess algoritm är som följer:

Om du inte har styrkan, lusten eller tålamodet för så långa beräkningar kan du ta till grovt urval, dess plus är att det är otroligt snabbt och, med vederbörlig uppfinningsrikedom, exakt. Exempel:

När jag gick i skolan (i början av 60-talet) fick vi lära oss att ta kvadratroten av vilket tal som helst. Tekniken är enkel, utåt liknar division med en kolumn, men för att ange det här tar det en halvtimmes tid och 4-5 tusen tecken text. Men varför behöver du det? Har du en telefon eller annan pryl finns en miniräknare i nm. Det finns en miniräknare i varje dator. Personligen föredrar jag att göra den här typen av beräkningar i Excel.

Ofta krävs det i skolan att man hittar kvadratrötterna av olika tal. Men om vi är vana vid att använda en miniräknare hela tiden för detta, kommer det inte att finnas någon sådan möjlighet i tentor, så du måste lära dig hur du letar efter roten utan hjälp av en miniräknare. Och det är i princip möjligt att göra det.

Algoritmen är:

Titta först på den sista siffran i ditt nummer:

Till exempel,

Nu måste du bestämma ungefär värdet för roten från gruppen längst till vänster

I fallet när numret har mer än två grupper, måste du hitta roten så här:

Men nästa nummer borde vara exakt det största, du måste plocka upp det så här:

Nu måste vi bilda ett nytt nummer A genom att lägga till nästa grupp till resten som erhölls ovan.

I våra exempel:

En kolumn med najna, och när det behövs mer än femton tecken, då vilar oftast datorer och telefoner med miniräknare. Det återstår att kontrollera om beskrivningen av metoden kommer att ta 4-5 tusen tecken.

Berm vilket nummer som helst, från ett kommatecken räknar vi par av siffror till höger och vänster

Till exempel 1234567890.098765432100

Ett par siffror är som ett tvåsiffrigt tal. Roten till en tvåsiffrig är en-till-en. Vi väljer en envärdig, vars kvadrat är mindre än det första siffrorna. I vårt fall är det 3.

Som när vi dividerar med en kolumn, under det första paret skriver vi ut denna kvadrat och subtraherar från det första paret. Resultatet är understruket. 12 - 9 = 3. Lägg till ett andra par siffror till denna skillnad (det blir 334). Till vänster om antalet berms kompletteras det dubbla värdet av den del av resultatet som redan har hittats med en siffra (vi har 2 * 6 = 6), så att när det multipliceras med det inte mottagna talet inte överstiga antalet med det andra siffrorna. Vi får att siffran som hittades är fem. Återigen hittar vi skillnaden (9), river nästa siffrapar, får 956, skriver igen den dubblerade delen av resultatet (70), lägger till den nödvändiga siffran igen, och så vidare tills det stannar. Eller till den nödvändiga noggrannheten i beräkningarna.

För det första, för att beräkna kvadratroten, måste du känna till multiplikationstabellen väl. De enklaste exemplen är 25 (5 gånger 5 = 25) och så vidare. Om vi ​​tar siffror mer komplicerade kan vi använda den här tabellen, där det finns enheter horisontellt och tiotals vertikalt.



Det finns ett bra sätt att hitta roten till ett tal utan hjälp av miniräknare. För att göra detta behöver du en linjal och en kompass. Summan av kardemumman är att du hittar på linjalen värdet som du har under roten. Sätt till exempel ett märke nära 9. Din uppgift är att dela upp detta nummer i lika många segment, det vill säga i två linjer på 4,5 cm vardera, och i ett jämnt segment. Det är lätt att gissa att du i slutändan får 3 segment på 3 centimeter.

Metoden är inte lätt och kommer inte att fungera för stora siffror, men den anses utan en miniräknare.

utan hjälp av en miniräknare lärdes metoden att extrahera kvadratroten ut på sovjettiden i skolan i 8:an.

För att göra detta måste du bryta ett flersiffrigt nummer från höger till vänster i ansikten med två siffror :

Den första siffran i roten är hela roten på vänster sida, i det här fallet 5.

Subtrahera 5 i kvadrat från 31, 31-25=6 och lägg till nästa sida till sexan, vi har 678.

Nästa siffra x väljs för att dubbla de fem så att

10x*x var det maximala, men mindre än 678.

x=6 eftersom 106*6=636,

nu beräknar vi 678 - 636 = 42 och lägger till nästa sida 92, vi har 4292.

Återigen letar vi efter det maximala x, så att 112x*x lt; 4292.

Svar: roten är 563

Så du kan fortsätta så länge du vill.

I vissa fall kan du försöka utöka rottalet till två eller flera kvadratfaktorer.

Det är också användbart att komma ihåg tabellen (eller åtminstone en del av den) - kvadraterna av naturliga tal från 10 till 99.



Jag föreslår en variant av att extrahera kvadratroten till en kolumn som jag uppfann. Det skiljer sig från det välkända, förutom valet av nummer. Men som jag fick reda på senare så fanns denna metod redan många år innan min födsel. Den store Isaac Newton beskrev det i sin bok General Arithmetic eller en bok om aritmetisk syntes och analys. Så här presenterar jag min vision och motivering för Newtonmetodens algoritm. Du behöver inte memorera algoritmen. Du kan helt enkelt använda diagrammet i figuren som ett visuellt hjälpmedel vid behov.







Med hjälp av tabeller kan du inte räkna ut, utan hitta, kvadratrötterna endast från talen som finns i tabellerna. Det enklaste sättet att beräkna rötterna är inte bara kvadrat, utan också andra grader, genom metoden för successiva approximationer. Till exempel, vi beräknar kvadratroten av 10739, ersätter de tre sista siffrorna med nollor och extraherar roten av 10000, vi får 100 med en nackdel, så vi tar talet 102 och kvadrerar det, vi får 10404, vilket också är mindre än den angivna tar vi 103*103=10609 igen med en nackdel, vi tar 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, vi tar ännu mer 103,6 * 103,6 \u003d 10732, vi tar 103, \u003d 103, 9, som 103. är redan inne överskott. Du kan ta kvadratroten av 10739 för att vara ungefär lika med 103,6. Närmare bestämt 10739=103.629... . . På samma sätt beräknar vi kubroten, först från 10 000 får vi ungefär 25 * 25 * 25 = 15625, vilket är i överskott, vi tar 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, vi tar lite mer än 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, vilket är mycket nära den givna.

Vad är en kvadratrot?

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Detta koncept är väldigt enkelt. Naturligt, skulle jag säga. Matematiker försöker hitta en reaktion för varje handling. Det finns addition och det finns subtraktion. Det finns multiplikation och det finns division. Det finns kvadratur ... Så det finns också extrahera kvadratroten! Det är allt. denna åtgärd ( tar kvadratroten) i matematik betecknas med denna ikon:

Själva ikonen kallas det vackra ordet " radikal".

Hur extraherar man roten? Det är bättre att överväga exempel.

Vad är kvadratroten ur 9? Och vilket tal i kvadrat ger oss 9? 3 kvadrat ger oss 9! De där:

Vad är kvadratroten ur noll? Inga problem! Vilket tal med noll i kvadrat ger? Ja, själv ger han noll! Betyder att:

Fångad vad är en kvadratrot? Då överväger vi exempel:

Svar (i oordning): 6; 1; 4; 9; 5.

Bestämt? Verkligen, det är mycket lättare!

Men... Vad gör en person när han ser någon uppgift med rötter?

En person börjar längta ... Han tror inte på rötternas enkelhet och lätthet. Även om han verkar veta vad är kvadratrot...

Detta beror på att en person har ignorerat flera viktiga punkter när han studerar rötterna. Sedan tar dessa modeflugor brutalt hämnd på prov och tentor ...

Punkt ett. Rötter måste kännas igen på synen!

Vad är kvadratroten ur 49? Sju? Höger! Hur visste du att det fanns sju? Kvadratade sju och fick 49? Höger! Vänligen notera att extrahera roten av 49 var vi tvungna att göra den omvända operationen - ruta 7! Och se till att vi inte missar. Eller så kan de missa...

Däri ligger svårigheten rotextraktion. Kvadrering vilket nummer som helst är möjligt utan problem. Multiplicera talet med sig självt i en kolumn - och det är allt. Men för rotextraktion det finns ingen sådan enkel och problemfri teknik. räkna med plocka upp svara och kontrollera att den träffas av kvadrat.

Denna komplexa kreativa process - att välja ett svar - förenklas avsevärt om du kom ihåg kvadrater av populära siffror. Som en multiplikationstabell. Om du till exempel behöver multiplicera 4 med 6 - du lägger inte ihop de fyra 6 gånger, eller hur? Svaret dyker genast upp 24. Även om inte alla har det, ja ...

För fritt och framgångsrikt arbete med rötter räcker det att känna till kvadraterna på tal från 1 till 20. Dessutom, där Och tillbaka. De där. du bör enkelt kunna namnge både, säg, 11 i kvadrat och kvadratroten av 121. För att uppnå denna memorering finns det två sätt. Det första är att lära sig tabellen med kvadrater. Detta kommer att hjälpa mycket med exempel. Det andra är att lösa fler exempel. Det är bra att komma ihåg tabellen med rutor.

Och inga miniräknare! Endast för verifiering. Annars kommer du att sakta ner skoningslöst under provet ...

Så, vad är kvadratrot Och hur extrahera rötter– Jag tycker att det är förståeligt. Låt oss nu ta reda på FRÅN VAD du kan extrahera dem från.

Punkt två. Root, jag känner dig inte!

Vilka tal kan du ta kvadratrötter från? Ja, nästan vilken som helst. Det är lättare att förstå vad det är förbjudet extrahera dem.

Låt oss försöka beräkna denna rot:

För att göra detta måste du plocka upp ett tal som kvadrat ger oss -4. Vi väljer.

Vad är inte valt? 2 2 ger +4. (-2) 2 ger +4 igen! Det är allt ... Det finns inga tal som, när de kvadreras, ger oss ett negativt tal! Även om jag kan siffrorna. Men jag ska inte berätta för dig.) Gå på college och ta reda på det själv.

Samma historia kommer att vara med valfritt negativt tal. Därav slutsatsen:

Ett uttryck där ett negativt tal står under kvadratrottecknet - inte vettigt! Detta är en förbjuden operation. Lika förbjudet som att dividera med noll. Ha detta i åtanke! Eller med andra ord:

Du kan inte extrahera kvadratrötter från negativa tal!

Men av allt annat - du kan. Det går till exempel att räkna

Vid första anblicken är detta mycket svårt. Plocka upp bråk, men ruta upp... Oroa dig inte. När vi behandlar rötternas egenskaper kommer sådana exempel att reduceras till samma kvadrattabell. Livet kommer att bli lättare!

Okej bråkdelar. Men vi stöter fortfarande på uttryck som:

Det är ok. Alla likadana. Kvadratroten ur två är det tal som i kvadrat ger oss en tvåa. Bara siffran är helt ojämn ... Här är den:

Intressant nog tar denna bråkdel aldrig slut... Sådana tal kallas irrationella. I kvadratrötter är detta det vanligaste. Det är förresten därför uttryck med rötter kallas irrationell. Det är klart att det är obekvämt att skriva en sådan oändlig bråkdel hela tiden. Därför, istället för en oändlig bråkdel, lämnar de det så här:

Om du när du löser exemplet får något som inte går att extrahera, till exempel:

då lämnar vi det så. Detta kommer att vara svaret.

Du måste tydligt förstå vad som står under ikonerna

Naturligtvis, om roten av talet tas slät, du måste göra det. Svaret på uppgiften i formuläret, till exempel

ganska komplett svar.

Och naturligtvis måste du känna till de ungefärliga värdena från minnet:

Denna kunskap hjälper mycket för att bedöma situationen i komplexa uppgifter.

Punkt tre. Den mest listiga.

Den största förvirringen i arbetet med rötterna orsakas bara av denna modefluga. Det är han som ger självtvivel ... Låt oss ta itu med denna modefluga ordentligt!

Till att börja med extraherar vi igen kvadratroten av deras fyra. Vadå, har jag redan fått dig med den här roten?) Ingenting, nu ska det bli intressant!

Vilket tal ger i kvadraten av 4? Tja, två, två - jag hör missnöjda svar ...

Höger. Två. Men också minus två kommer att ge 4 i kvadrat ... Under tiden, svaret

rätt och svaret

grövsta misstaget. Så här.

Så vad är affären?

Ja, (-2) 2 = 4. Och enligt definitionen av kvadratroten ur fyra minus två ganska passande ... Detta är också kvadratroten ur fyra.

Men! I skolkursen matematik är det vanligt att beakta kvadratrötter endast icke-negativa tal! Dvs noll och allt positivt. Till och med en speciell term myntades: från numret A- Det här icke-negativ nummer vars kvadrat är A. Negativa resultat när man extraherar den aritmetiska kvadratroten kasseras helt enkelt. I skolan, alla kvadratrötter - aritmetisk. Även om det inte nämns specifikt.

Okej, det är förståeligt. Det är ännu bättre att inte bråka med negativa resultat... Det är ingen förvirring än.

Förvirringen börjar när man löser andragradsekvationer. Till exempel måste du lösa följande ekvation.

Ekvationen är enkel, vi skriver svaret (som vi lärt oss):

Detta svar (helt korrekt, förresten) är bara en förkortad notation två svarar:

Stopp stopp! Lite högre skrev jag att kvadratroten är ett tal Alltid icke-negativ! Och här är ett av svaren - negativ! Oordning. Detta är det första (men inte det sista) problemet som orsakar misstro mot rötterna ... Låt oss lösa det här problemet. Låt oss skriva ner svaren (enbart för att förstå!) så här:

Parentesen ändrar inte kärnan i svaret. Jag separerade bara med parentes tecken från rot. Nu syns det tydligt att själva roten (inom parentes) fortfarande är ett icke-negativt tal! Och tecknen är resultatet av att lösa ekvationen. När allt kommer omkring, när vi löser en ekvation måste vi skriva Allt x, som, när den sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger det korrekta resultatet. Roten av fem (positiv!) är lämplig för vår ekvation med både plus och minus.

Så här. Om du ta bara kvadratroten från allt du Alltid skaffa sig en icke-negativ resultat. Till exempel:

Därför det - aritmetisk kvadratrot.

Men om du löser någon andragradsekvation som:

Den där Alltid det visar sig två svar (med plus och minus):

För det är lösningen på en ekvation.

Hoppas, vad är kvadratrot du har rätt med dina poäng. Nu återstår att ta reda på vad som kan göras med rötterna, vad är deras egenskaper. Och vad är modeflugorna och undervattenslådorna ... ursäkta mig, stenar!)

Allt detta - i nästa lektion.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Rotformler. egenskaper hos kvadratrötter.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

I förra lektionen kom vi på vad en kvadratrot är. Det är dags att ta reda på vad det är formler för rötter, vad är rotegenskaper och vad kan man göra åt det hela.

Rotformler, rotegenskaper och regler för åtgärder med rötter- Det är i princip samma sak. Det finns förvånansvärt få formler för kvadratrötter. Vilket såklart gläder! Snarare kan du skriva en massa alla möjliga formler, men bara tre räcker för praktiskt och tryggt arbete med rötter. Allt annat kommer från dessa tre. Även om många avviker i rötternas tre formler, ja ...

Låt oss börja med det enklaste. Här är hon:

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

När man löser olika problem från kursen matematik och fysik ställs elever och studenter ofta inför behovet av att utvinna rötter från andra, tredje eller n:e graden. Naturligtvis, i en tid av informationsteknologi kommer det inte att vara svårt att lösa ett sådant problem med en miniräknare. Det finns dock situationer då det är omöjligt att använda en elektronisk assistent.

Det är till exempel förbjudet att ta med elektronik till många tentor. Dessutom kanske räknaren inte finns till hands. I sådana fall är det användbart att känna till åtminstone några metoder för att manuellt beräkna radikaler.

Ett av de enklaste sätten att beräkna rötter är att med hjälp av ett speciellt bord. Vad är det och hur man använder det korrekt?

Med hjälp av tabellen kan du hitta kvadraten på valfritt tal från 10 till 99. Samtidigt innehåller tabellens rader tiotalsvärden, och kolumnerna innehåller enhetsvärden. Cellen i skärningspunkten mellan en rad och en kolumn innehåller kvadraten på ett tvåsiffrigt tal. För att kunna beräkna kvadraten på 63 måste du hitta en rad med värdet 6 och en kolumn med värdet 3. I skärningspunkten hittar vi en cell med numret 3969.

Eftersom att extrahera roten är den omvända operationen av kvadrering, för att utföra denna åtgärd måste du göra motsatsen: först hitta cellen med talet vars radikal du vill beräkna, bestäm sedan svaret från kolumn- och radvärdena. Som ett exempel, överväga beräkningen av kvadratroten av 169.

Vi hittar en cell med detta tal i tabellen, horisontellt bestämmer vi tiotalet - 1, vertikalt hittar vi enheterna - 3. Svar: √169 = 13.

På samma sätt kan du beräkna rötterna av kubik och n:te graden med hjälp av lämpliga tabeller.

Fördelen med metoden är dess enkelhet och frånvaron av ytterligare beräkningar. Nackdelarna är uppenbara: metoden kan endast användas för ett begränsat antal nummer (talet som roten hittas för måste vara mellan 100 och 9801). Dessutom kommer det inte att fungera om det givna numret inte finns i tabellen.

primtalsfaktorisering

Om tabellen med kvadrater inte är till hands eller med dess hjälp var det omöjligt att hitta roten, kan du försöka dekomponera talet under roten i primtalsfaktorer. Primära faktorer är de som kan delas helt (utan återstod) endast med sig själv eller med en. Exempel skulle vara 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Tänk på beräkningen av roten med hjälp av exemplet √576. Låt oss bryta ner det i enkla faktorer. Vi får följande resultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Med hjälp av rötternas huvudegenskap √a² = a blir vi av med rötterna och kvadraterna, varefter vi beräknar svaret: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Vad ska man göra om någon av faktorerna inte har sitt eget par? Tänk till exempel på beräkningen av √54. Efter factoring får vi resultatet i följande form: Den ej löstagbara delen kan lämnas under roten. För de flesta problem inom geometri och algebra kommer ett sådant svar att räknas som det sista. Men om det finns ett behov av att beräkna ungefärliga värden kan du använda de metoder som kommer att diskuteras senare.

Herons metod

Vad ska man göra när man åtminstone behöver veta ungefär vad den extraherade roten är (om det är omöjligt att få ett heltalsvärde)? Ett snabbt och ganska exakt resultat erhålls genom att tillämpa Heron-metoden.. Dess essens ligger i användningen av en ungefärlig formel:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

där R är det tal vars rot ska beräknas, a är det närmaste tal vars rotvärde är känt.

Låt oss se hur metoden fungerar i praktiken och utvärdera hur korrekt den är. Låt oss räkna ut vad √111 är lika med. Det närmaste talet till 111, vars rot är känd, är 121. Således är R = 111, a = 121. Ersätt värdena i formeln:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Låt oss nu kontrollera metodens noggrannhet:

10,55² = 111,3025.

Metodens fel var ungefär 0,3. Om metodens noggrannhet behöver förbättras kan du upprepa stegen som beskrivits tidigare:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Låt oss kontrollera noggrannheten i beräkningen:

10,536² = 111,0073.

Efter upprepad tillämpning av formeln blev felet ganska obetydligt.

Beräkning av roten genom uppdelning i en kolumn

Denna metod för att hitta kvadratrotsvärdet är lite mer komplicerad än de tidigare. Det är dock den mest exakta bland andra beräkningsmetoder utan miniräknare..

Låt oss säga att du måste hitta kvadratroten med en noggrannhet på 4 decimaler. Låt oss analysera beräkningsalgoritmen med hjälp av exemplet med ett godtyckligt nummer 1308.1912.

1. Dela pappersarket i 2 delar med en vertikal linje och dra sedan en annan linje från det till höger, något under den övre kanten. Vi skriver numret på vänster sida, delar upp det i grupper med 2 siffror, flyttar till höger och vänster om decimalkomma. Den allra första siffran till vänster kan vara utan ett par. Om tecknet saknas på höger sida av siffran ska 0 läggas till. I vårt fall får vi 13 08.19 12.
2. Låt oss välja det största talet vars kvadrat kommer att vara mindre än eller lika med den första gruppen av siffror. I vårt fall är detta 3. Låt oss skriva det längst upp till höger; 3 är den första siffran i resultatet. Längst ner till höger anger vi 3 × 3 = 9; detta kommer att behövas för efterföljande beräkningar. Subtrahera 9 från 13 i en kolumn, vi får resten 4.
3. Låt oss lägga till nästa nummerpar till de återstående 4; vi får 408.
4. Multiplicera talet uppe till höger med 2 och skriv det längst ner till höger, lägg till _ x _ = till det. Vi får 6_ x _ =.
5. Istället för bindestreck måste du ersätta samma nummer, mindre än eller lika med 408. Vi får 66 × 6 \u003d 396. Låt oss skriva 6 längst upp till höger, eftersom detta är den andra siffran i resultatet. Subtrahera 396 från 408, vi får 12.
6. Låt oss upprepa steg 3-6. Eftersom siffrorna som bärs ner är i bråkdelen av talet, är det nödvändigt att sätta en decimalpunkt överst till höger efter 6. Låt oss skriva det dubbla resultatet med bindestreck: 72_ x _ =. Ett lämpligt tal skulle vara 1: 721 × 1 = 721. Låt oss skriva ner det som ett svar. Låt oss subtrahera 1219 - 721 = 498.
7. Låt oss utföra sekvensen av åtgärder som anges i föregående stycke tre gånger till för att få det nödvändiga antalet decimaler. Om det inte finns tillräckligt med tecken för vidare beräkningar måste två nollor läggas till det aktuella talet till vänster.

Som ett resultat får vi svaret: √1308.1912 ≈ 36.1689. Om du kontrollerar åtgärden med en miniräknare kan du se till att alla tecken fastställdes korrekt.

Bitvis beräkning av kvadratrotsvärdet

Metoden är mycket exakt. Dessutom är det ganska förståeligt och det kräver inte att memorera formler eller en komplex algoritm för åtgärder, eftersom essensen av metoden är att välja rätt resultat.

Låt oss extrahera roten från numret 781. Låt oss i detalj överväga sekvensen av åtgärder.

1. Ta reda på vilken siffra i kvadratrotsvärdet som är högst. För att göra detta, låt oss kvadraten 0, 10, 100, 1000, etc. och ta reda på mellan vilka av dem rotnumret ligger. Vi får de där 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Låt oss ta värdet av tiotals. För att göra detta turas vi om att höja till potensen 10, 20, ..., 90, tills vi får ett tal större än 781. I vårt fall får vi 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Värdet på resultatet n kommer att vara inom 20< n <30.
3. På samma sätt som i föregående steg väljs värdet för enhetssiffran. Vi kvadrerar växelvis 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28,² = 7< n < 28.
4. Varje efterföljande siffra (tiondelar, hundradelar, etc.) beräknas på samma sätt som visas ovan. Beräkningar utförs tills den erforderliga noggrannheten uppnås.