Hitta noden av tre siffror html. Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal

För att förstå hur man beräknar LCM bör du först bestämma innebörden av termen "multipel".

En multipel av A är ett naturligt tal som är delbart med A utan rest. Således kan 15, 20, 25 och så vidare betraktas som multiplar av 5.

Det kan finnas ett begränsat antal divisorer av ett visst tal, men det finns ett oändligt antal multiplar.

En gemensam multipel av naturliga tal är ett tal som är delbart med dem utan rest.

Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tal (två, tre eller fler) är det minsta naturliga talet som är jämnt delbart med alla dessa tal.

För att hitta NOC kan du använda flera metoder.

För små tal är det bekvämt att skriva ut alla multipler av dessa tal på en rad tills en gemensam finns bland dem. Multipler betecknas i posten med stor bokstav K.

Till exempel kan multiplar av 4 skrivas så här:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Så du kan se att den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 4 och 6 är talet 24. Denna inmatning utförs enligt följande:

LCM(4, 6) = 24

Om talen är stora, hitta den gemensamma multipeln av tre eller fler tal, då är det bättre att använda ett annat sätt att beräkna LCM.

För att slutföra uppgiften är det nödvändigt att dekomponera de föreslagna talen i primtalsfaktorer.

Först måste du skriva ut expansionen av det största av siffrorna på en rad, och under det - resten.

I expansionen av varje nummer kan det finnas ett annat antal faktorer.

Låt oss till exempel faktorisera talen 50 och 20 till primtalsfaktorer.

I expansionen av det mindre talet bör man understryka de faktorer som saknas i expansionen av det första största talet och sedan lägga till dem. I det presenterade exemplet saknas en tvåa.

Nu kan vi beräkna den minsta gemensamma multipeln av 20 och 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Således kommer produkten av primfaktorerna för det större talet och faktorerna för det andra talet, som inte ingår i sönderdelningen av det större talet, att vara den minsta gemensamma multipeln.

För att hitta LCM för tre eller fler tal bör alla delas upp i primtalsfaktorer, som i föregående fall.

Som ett exempel kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Således inkluderades endast två tvåor från sönderdelningen av sexton i faktoriseringen av ett större antal (en är i sönderdelningen av tjugofyra).

Således måste de läggas till nedbrytningen av ett större antal.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det finns speciella fall för att bestämma den minsta gemensamma multipeln. Så om ett av talen kan delas utan en rest med ett annat, kommer det största av dessa tal att vara den minsta gemensamma multipeln.

Till exempel skulle NOC på tolv och tjugofyra vara tjugofyra.

Om det är nödvändigt att hitta den minsta gemensamma multipeln av coprimtal som inte har samma divisorer, kommer deras LCM att vara lika med deras produkt.

Till exempel, LCM(10; 11) = 110.

Låt oss fortsätta diskussionen om den minsta gemensamma multipeln som vi startade i avsnittet LCM - Minsta gemensamma multipel, definition, exempel. I det här ämnet kommer vi att titta på sätt att hitta LCM för tre tal eller fler, vi kommer att analysera frågan om hur man hittar LCM för ett negativt tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beräkning av minsta gemensamma multipel (LCM) till gcd

Vi har redan etablerat förhållandet mellan den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn. Låt oss nu lära oss hur man definierar LCM genom GCD. Låt oss först ta reda på hur man gör detta för positiva siffror.

Definition 1

Du kan hitta den minsta gemensamma multipeln genom den största gemensamma divisorn med formeln LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exempel 1

Det är nödvändigt att hitta LCM för siffrorna 126 och 70.

Lösning

Låt oss ta a = 126 , b = 70 . Ersätt värdena i formeln för att beräkna den minsta gemensamma multipeln genom den största gemensamma divisorn LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Hittar GCD för talen 70 och 126. För detta behöver vi Euklids algoritm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , därav gcd (126 , 70) = 14 .

Låt oss beräkna LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM (126, 70) = 630.

Exempel 2

Hitta nok för siffrorna 68 och 34.

Lösning

GCD i det här fallet är lätt att hitta, eftersom 68 är delbart med 34. Beräkna den minsta gemensamma multipeln med formeln: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I det här exemplet använde vi regeln för att hitta den minsta gemensamma multipeln av positiva heltal a och b: om det första talet är delbart med det andra, så kommer LCM för dessa tal att vara lika med det första talet.

Hitta LCM genom att faktorisera siffror till primära faktorer

Låt oss nu titta på ett sätt att hitta LCM, som är baserat på sönderdelningen av tal till primtalsfaktorer.

Definition 2

För att hitta den minsta gemensamma multipeln måste vi utföra ett antal enkla steg:

• vi gör upp produkten av alla primtalsfaktorer av tal för vilka vi behöver hitta LCM;
• vi utesluter alla primära faktorer från deras erhållna produkter;
• produkten som erhålls efter eliminering av de vanliga primfaktorerna kommer att vara lika med LCM för de givna talen.

Detta sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln bygger på likheten LCM (a , b) = a · b: GCM (a , b) . Om du tittar på formeln kommer det att bli tydligt: ​​produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa två tal. I det här fallet är GCD för två tal lika med produkten av alla primtalsfaktorer som är närvarande samtidigt i faktoriseringarna av dessa två tal.

Exempel 3

Vi har två nummer 75 och 210 . Vi kan räkna ut dem så här: 75 = 3 5 5 Och 210 = 2 3 5 7. Om du gör produkten av alla faktorer av de två ursprungliga talen får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Om vi ​​exkluderar de faktorer som är gemensamma för både siffrorna 3 och 5 får vi en produkt av följande form: 2 3 5 5 7 = 1050. Denna produkt kommer att vara vår LCM för nummer 75 och 210.

Exempel 4

Hitta LCM för siffror 441 Och 700 , nedbrytning av båda talen i primtalsfaktorer.

Lösning

Låt oss hitta alla primtalsfaktorer för talen som ges i villkoret:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får två talkedjor: 441 = 3 3 7 7 och 700 = 2 2 5 5 7 .

Produkten av alla faktorer som deltog i expansionen av dessa siffror kommer att se ut så här: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Låt oss hitta de gemensamma faktorerna. Detta nummer är 7 . Vi utesluter det från den allmänna produkten: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det visar sig att NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Låt oss ge ytterligare en formulering av metoden för att hitta LCM genom att sönderdela tal i primtalsfaktorer.

Definition 3

Tidigare har vi uteslutit från det totala antalet faktorer som är gemensamma för båda siffrorna. Nu ska vi göra det annorlunda:

• Låt oss dekomponera båda talen i primtalsfaktorer:
• lägg till produkten av primtalsfaktorerna för det första talet de saknade faktorerna för det andra talet;
• vi får produkten, som kommer att vara den önskade LCM av två nummer.

Exempel 5

Låt oss gå tillbaka till siffrorna 75 och 210, för vilka vi redan letade efter LCM i ett av de tidigare exemplen. Låt oss dela upp dem i enkla faktorer: 75 = 3 5 5 Och 210 = 2 3 5 7. Till produkten av faktorerna 3, 5 och 5 nummer 75 lägg till de saknade faktorerna 2 Och 7 nummer 210 . Vi får: 2 3 5 5 7 . Detta är LCM för siffrorna 75 och 210.

Exempel 6

Det är nödvändigt att beräkna LCM för siffrorna 84 och 648.

Lösning

Låt oss dekomponera talen från villkoret till primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 Och 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lägg till produkten av faktorerna 2 , 2 , 3 och 7 nummer 84 saknar faktorer 2 , 3 , 3 och
3 nummer 648 . Vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Detta är den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

Svar: LCM (84, 648) = 4536.

Hitta LCM för tre eller fler nummer

Oavsett hur många siffror vi har att göra med, kommer algoritmen för våra handlingar alltid att vara densamma: vi kommer konsekvent att hitta LCM för två siffror. Det finns ett teorem för detta fall.

Sats 1

Anta att vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k av dessa tal finns i sekventiell beräkning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Låt oss nu titta på hur teoremet kan tillämpas på specifika problem.

Exempel 7

Du måste beräkna den minsta gemensamma multipeln av de fyra talen 140 , 9 , 54 och 250 .

Lösning

Låt oss presentera notationen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.

Låt oss börja med att beräkna m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Låt oss använda den euklidiska algoritmen för att beräkna GCD för talen 140 och 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Därför är m 2 = 1 260 .

Låt oss nu beräkna enligt samma algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Under beräkningarna får vi m 3 = 3 780.

Det återstår för oss att beräkna m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi agerar enligt samma algoritm. Vi får m 4 \u003d 94 500.

LCM för de fyra talen från exempelvillkoret är 94500.

Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se är beräkningarna enkla, men ganska mödosamma. För att spara tid kan du gå åt andra hållet.

Definition 4

Vi erbjuder dig följande algoritm för åtgärder:

• dekomponera alla tal i primtalsfaktorer;
• till produkten av faktorerna för det första talet, lägg till de saknade faktorerna från produkten av det andra talet;
• lägg till de saknade faktorerna för det tredje numret till produkten som erhållits i föregående steg, etc.;
• den resulterande produkten kommer att vara den minsta gemensamma multipeln av alla tal från villkoret.

Exempel 8

Det är nödvändigt att hitta LCM för fem siffror 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Lösning

Låt oss dekomponera alla fem talen i primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primtal, som är talet 7, kan inte räknas in i primtalsfaktorer. Sådana tal sammanfaller med deras nedbrytning i primtalsfaktorer.

Låt oss nu ta produkten av primfaktorerna 2, 2, 3 och 7 av talet 84 och lägga till de saknade faktorerna för det andra talet. Vi har dekomponerat talet 6 till 2 och 3. Dessa faktorer finns redan i produkten av det första talet. Därför utelämnar vi dem.

Vi fortsätter att lägga till de saknade multiplikatorerna. Vi vänder oss till talet 48, från produkten av primtalsfaktorer som vi tar 2 och 2 av. Sedan lägger vi till en enkel faktor 7 från det fjärde talet och faktorerna 11 och 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Detta är den minsta gemensamma multipeln av de fem ursprungliga talen.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal måste dessa tal först ersättas med tal med motsatt tecken, och sedan ska beräkningarna utföras enligt ovanstående algoritmer.

Exempel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) och LCM(−622,−46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Sådana åtgärder är tillåtna på grund av det faktum att om det accepteras att a Och − a- motsatta siffror
sedan uppsättningen av multiplar a sammanfaller med mängden multiplar av ett tal − a.

Exempel 10

Det är nödvändigt att beräkna LCM för negativa tal − 145 Och − 45 .

Lösning

Låt oss ändra siffrorna − 145 Och − 45 till deras motsatta nummer 145 Och 45 . Nu, med hjälp av algoritmen, beräknar vi LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, efter att tidigare ha bestämt GCD med Euklid-algoritmen.

Vi får att LCM för siffror − 145 och − 45 lika 1 305 .

Svar: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Definition. Det största naturliga talet med vilket talen a och b är delbara utan rest kallas största gemensamma delaren (gcd) dessa siffror.

Låt oss hitta den största gemensamma delaren av talen 24 och 35.
Divisorerna för 24 kommer att vara talen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, och divisorerna för 35 kommer att vara talen 1, 5, 7, 35.
Vi ser att talen 24 och 35 bara har en gemensam divisor - talet 1. Sådana tal kallas coprime.

Definition. De naturliga talen kallas coprime om deras största gemensamma delare (gcd) är 1.

Största gemensamma delare (GCD) kan hittas utan att skriva ut alla divisorer för de givna talen.

Om vi ​​tar hänsyn till siffrorna 48 och 36 får vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Från de faktorer som ingår i expansionen av det första av dessa nummer, tar vi bort de som inte ingår i expansionen av det andra numret (dvs två tvåor).
Faktorerna 2 * 2 * 3 kvarstår. Deras produkt är 12. Detta tal är den största gemensamma delaren av talen 48 och 36. Den största gemensamma delaren av tre eller flera tal finns också.

Att hitta största gemensamma delaren

2) från de faktorer som ingår i expansionen av ett av dessa nummer, stryk över de som inte ingår i expansionen av andra nummer;
3) hitta produkten av de återstående faktorerna.

Om alla givna tal är delbara med ett av dem, så är detta tal största gemensamma delaren givna siffror.
Till exempel är den största gemensamma delaren för 15, 45, 75 och 180 15, eftersom den delar alla andra tal: 45, 75 och 180.

Minsta gemensamma multipel (LCM)

Definition. Minsta gemensamma multipel (LCM) naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet som är en multipel av både a och b. Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. För att göra detta delar vi upp 75 och 60 i enkla faktorer: 75 \u003d 3 * 5 * 5 och 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vi skriver ut faktorerna som ingår i expansionen av det första av dessa siffror och lägger till dem de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det andra talet (det vill säga vi kombinerar faktorerna).
Vi får fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, vars produkt är 300. Detta tal är den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

Hitta också den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal.

Till hitta den minsta gemensamma multipeln flera naturliga tal, du behöver:
1) sönderdela dem i primära faktorer;
2) skriv ut faktorerna som ingår i expansionen av ett av talen;
3) lägg till dem de saknade faktorerna från expansionerna av de återstående siffrorna;
4) hitta produkten av de resulterande faktorerna.

Observera att om ett av dessa tal är delbart med alla andra tal, så är detta tal den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.
Till exempel skulle den minsta gemensamma multipeln av 12, 15, 20 och 60 vara 60, eftersom den är delbar med alla givna tal.

Pythagoras (VI-talet f.Kr.) och hans elever studerade frågan om delbarhet av tal. Ett tal lika med summan av alla dess divisorer (utan själva talet), kallade de det perfekta talet. Till exempel är siffrorna 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekta. Nästa perfekta siffror är 496, 8128, 33 550 336. Pytagoreerna kände bara till de tre första perfekta talen. Den fjärde - 8128 - blev känd på 1:a århundradet. n. e. Den femte - 33 550 336 - hittades på 1400-talet. År 1983 var 27 perfekta siffror redan kända. Men hittills vet forskarna inte om det finns udda perfekta tal, om det finns det största perfekta talet.
Forntida matematikers intresse för primtal beror på att vilket tal som helst är antingen primtal eller kan representeras som en produkt av primtal, det vill säga primtal är som tegelstenar som resten av de naturliga talen är byggda av.
Du har säkert märkt att primtal i serien av naturliga tal förekommer ojämnt - i vissa delar av serien finns det fler av dem, i andra - färre. Men ju längre vi går längs talserien, desto sällsyntare blir primtalen. Frågan uppstår: finns det sista (största) primtalet? Den antika grekiske matematikern Euclid (3:e århundradet f.Kr.), i sin bok "Beginnings", som under två tusen år var den huvudsakliga läroboken i matematik, bevisade att det finns oändligt många primtal, det vill säga bakom varje primtal finns det ett jämnt tal. större primtal.
För att hitta primtal kom en annan grekisk matematiker från samma tid, Eratosthenes, på en sådan metod. Han skrev ner alla siffror från 1 till något tal, och strök sedan över enheten, som varken är ett primtal eller ett sammansatt tal, och strök sedan över alla talen efter 2 (tal som är multiplar av 2, dvs. 4, 6, 8, etc.). Det första återstående talet efter 2 var 3. Sedan, efter två, ströks alla siffror efter 3 över (tal som är multiplar av 3, dvs. 6, 9, 12, etc.). i slutändan förblev bara primtalen oöverstrukna.

Låt oss börja studera den minsta gemensamma multipeln av två eller flera tal. I avsnittet kommer vi att ge en definition av begreppet, överväga ett teorem som fastställer ett samband mellan den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn och ge exempel på att lösa problem.

Gemensamma multiplar - definition, exempel

I det här ämnet kommer vi bara att vara intresserade av gemensamma multipler av heltal andra än noll.

Definition 1

Gemensam multipel av heltalär ett heltal som är en multipel av alla givna tal. Faktum är att det är vilket heltal som helst som kan delas med vilket som helst av de givna talen.

Definitionen av gemensamma multipler hänvisar till två, tre eller fler heltal.

Exempel 1

Enligt definitionen ovan för talet 12 är de gemensamma multiplerna 3 och 2. Även talet 12 kommer att vara en gemensam multipel av talen 2 , 3 och 4 . Siffrorna 12 och -12 är gemensamma multiplar av talen ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Samtidigt kommer den gemensamma multipeln för talen 2 och 3 att vara talen 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 och ett antal andra.

Om vi ​​tar tal som är delbara med det första talet i ett par och inte är delbara med det andra, så kommer sådana tal inte att vara gemensamma multiplar. Så för talen 2 och 3 kommer talen 16 , − 27 , 5009 , 27001 inte att vara gemensamma multipler.

0 är en gemensam multipel av en uppsättning heltal som inte är noll.

Om vi ​​minns egenskapen delbarhet med avseende på motsatta tal, så visar det sig att något heltal k kommer att vara en gemensam multipel av dessa tal på samma sätt som talet - k. Detta innebär att gemensamma delare kan vara antingen positiva eller negativa.

Är det möjligt att hitta en LCM för alla nummer?

Den gemensamma multipeln kan hittas för alla heltal.

Exempel 2

Antag att vi är givna k heltal a 1 , a 2 , … , a k. Talet som vi får under multiplikationen av tal a 1 a 2 … a k enligt delbarhetsegenskapen kommer den att delas med var och en av de faktorer som ingick i den ursprungliga produkten. Det betyder att produkten av siffrorna a 1 , a 2 , … , a kär den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

Hur många gemensamma multiplar kan dessa heltal ha?

En grupp heltal kan ha ett stort antal gemensamma multipler. Faktum är att deras antal är oändligt.

Exempel 3

Antag att vi har något nummer k . Då blir produkten av talen k · z , där z är ett heltal, en gemensam multipel av talen k och z . Med tanke på att antalet tal är oändligt, så är antalet gemensamma multiplar oändligt.

Minsta gemensamma multipel (LCM) - definition, symbol och exempel

Kom ihåg konceptet med det minsta talet från en given uppsättning tal, som vi övervägde i avsnittet Jämförelse av heltal. Med detta koncept i åtanke, låt oss formulera definitionen av den minsta gemensamma multipeln, som har det största praktiska värdet av alla gemensamma multiplar.

Definition 2

Minsta gemensamma multipel av givna heltalär den minst positiva gemensamma multipeln av dessa tal.

Den minsta gemensamma multipeln finns för valfritt antal givna tal. Förkortningen NOK är den vanligaste för att beteckna ett begrepp i referenslitteraturen. Stenografi för minsta gemensamma multipel för tal a 1 , a 2 , … , a k kommer att se ut som LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Exempel 4

Den minsta gemensamma multipeln av 6 och 7 är 42. De där. LCM(6, 7) = 42. Den minsta gemensamma multipeln av fyra tal - 2 , 12 , 15 och 3 kommer att vara lika med 60 . Stenografi kommer att vara LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Inte för alla grupper av givna tal, den minsta gemensamma multipeln är uppenbar. Ofta måste det räknas ut.

Förhållandet mellan NOC och NOD

Den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn är relaterade. Relationen mellan begreppen fastställs av satsen.

Sats 1

Den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal a och b är lika med produkten av talen a och b dividerat med den största gemensamma divisorn av talen a och b , det vill säga LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Bevis 1

Anta att vi har något tal M som är en multipel av talen a och b . Om talet M är delbart med a , finns det också något heltal z , under vilken jämlikheten M = a k. Enligt definitionen av delbarhet, om M också är delbart med b, dåså ett k delat med b.

Om vi ​​introducerar en ny notation för gcd (a , b) som d, då kan vi använda jämlikheterna a = a 1 d och b = bi-d. I det här fallet kommer båda likheterna att vara coprimtal.

Det har vi redan fastställt ovan ett k delat med b. Nu kan detta villkor skrivas så här:
a 1 d k delat med b 1 d, vilket motsvarar tillståndet en 1 k delat med b 1 efter delbarhetens egenskaper.

Enligt egenskapen hos relativt primtal, om en 1 Och b 1är inbördes primtal, en 1 ej delbart med b 1 trots att en 1 k delat med b 1, Den där b 1 bör dela k.

I det här fallet skulle det vara lämpligt att anta att det finns en siffra t, för vilka k = b 1 t, och sedan b1=b:d, Den där k = b: d t.

Nu istället för k sätta i jämställdhet M = a k formens uttryck b:d t. Det gör att vi kan komma till jämställdhet M = a b: d t. På t=1 vi kan få den minst positiva gemensamma multipeln av a och b , likvärdig a b:d, förutsatt att siffrorna a och b positiv.

Så vi har bevisat att LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Genom att upprätta en koppling mellan LCM och GCD kan du hitta den minsta gemensamma multipeln genom den största gemensamma divisorn av två eller flera givna tal.

Definition 3

Teoremet har två viktiga konsekvenser:

• multiplar av den minsta gemensamma multipeln av två tal är samma som gemensamma multiplar av dessa två tal;
• den minsta gemensamma multipeln av positiva samprimtal a och b är lika med deras produkt.

Det är inte svårt att underbygga dessa två fakta. Varje gemensam multipel av M-tal a och b definieras av likheten M = LCM (a, b) t för något heltalsvärde t. Eftersom a och b är coprime, är gcd (a, b) = 1, därför är LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Minsta gemensamma multipel av tre eller fler tal

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av flera tal måste du successivt hitta LCM för två tal.

Sats 2

Låt oss låtsas som det a 1 , a 2 , … , a kär några positiva heltal. För att beräkna LCM m k dessa siffror måste vi sekventiellt beräkna m2 = LCM(a1, a2), m3 = NOC(m2, a3), …, mk = NOC(m k-1, a k).

Bevis 2

Den första följden av den första satsen som diskuteras i detta ämne kommer att hjälpa oss att bevisa riktigheten av den andra satsen. Resonemang byggs enligt följande algoritm:

• gemensamma multiplar av tal en 1 Och en 2 sammanfaller med multiplar av deras LCM, i själva verket sammanfaller de med multiplar av talet m2;
• gemensamma multiplar av tal en 1, en 2 Och en 3 m2 Och en 3 m 3;
• gemensamma multiplar av tal a 1 , a 2 , … , a k sammanfaller med gemensamma multiplar av tal m k - 1 Och ett k, därför sammanfaller med multiplar av talet m k;
• på grund av det faktum att den minsta positiva multipeln av talet m kär själva numret m k, sedan den minsta gemensamma multipeln av talen a 1 , a 2 , … , a kär m k.

Så vi har bevisat satsen.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Online-kalkylatorn låter dig snabbt hitta den största gemensamma divisorn och minsta gemensamma multipeln av två eller något annat antal tal.

Kalkylator för att hitta GCD och NOC

Hitta GCD och NOC

GCD och NOC hittades: 6433

Hur man använder kalkylatorn

• Ange siffror i inmatningsfältet
• Vid inmatning av felaktiga tecken kommer inmatningsfältet att markeras med rött
• tryck på knappen "Hitta GCD och NOC"

Hur man anger siffror

• Siffror skrivs in avgränsade med mellanslag, punkter eller kommatecken
• Längden på de inmatade numren är inte begränsad, så att hitta gcd och lcm för långa tal kommer inte att vara svårt

Vad är NOD och NOK?

Största gemensamma delare av flera tal är det största naturliga heltal med vilket alla ursprungliga tal är delbara utan rest. Den största gemensamma divisorn förkortas som GCD.
Minsta gemensamma nämnare flera tal är det minsta tal som är delbart med vart och ett av de ursprungliga talen utan rest. Den minsta gemensamma multipeln förkortas som NOC.

Hur kontrollerar man om ett tal är delbart med ett annat tal utan rest?

För att ta reda på om ett tal är delbart med ett annat utan en rest, kan du använda några egenskaper för delbarhet av tal. Sedan kan man, genom att kombinera dem, kontrollera delbarheten med några av dem och deras kombinationer.

Några tecken på delbarhet av tal

1. Tecken på delbarhet för ett tal med 2
För att avgöra om ett tal är delbart med två (om det är jämnt), räcker det att titta på den sista siffran i detta tal: om det är lika med 0, 2, 4, 6 eller 8, är talet jämnt, vilket betyder att det är delbart med 2.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 2.
Lösning: titta på den sista siffran: 8 betyder att talet är delbart med två.

2. Tecken på delbarhet för ett tal med 3
Ett tal är delbart med 3 när summan av dess siffror är delbart med 3. För att avgöra om ett tal är delbart med 3 måste du alltså beräkna summan av siffrorna och kontrollera om det är delbart med 3. Även om summan av siffrorna visade sig vara mycket stor, kan du upprepa samma process igen.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 3.
Lösning: vi räknar summan av siffrorna: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 3, vilket betyder att talet är delbart med tre.

3. Tecken på delbarhet för ett tal med 5
Ett tal är delbart med 5 när dess sista siffra är noll eller fem.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 5.
Lösning: titta på den sista siffran: 8 betyder att talet INTE är delbart med fem.

4. Tecken på delbarhet för ett tal med 9
Detta tecken är mycket likt tecknet för delbarhet med tre: ett tal är delbart med 9 när summan av dess siffror är delbart med 9.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 9.
Lösning: vi räknar ut summan av siffrorna: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 9, vilket betyder att talet är delbart med nio.

Hur man hittar GCD och LCM med två nummer

Hur man hittar GCD för två siffror

Det enklaste sättet att beräkna den största gemensamma divisorn av två tal är att hitta alla möjliga divisorer för dessa tal och välja den största av dem.

Överväg den här metoden med exemplet att hitta GCD(28, 36):

1. Vi faktoriserar båda siffrorna: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Vi hittar gemensamma faktorer, det vill säga de som båda talen har: 1, 2 och 2.
3. Vi beräknar produkten av dessa faktorer: 1 2 2 \u003d 4 - detta är den största gemensamma divisorn av siffrorna 28 och 36.

Hur man hittar LCM för två siffror

Det finns två vanligaste sätt att hitta den minsta multipeln av två tal. Det första sättet är att du kan skriva ut de första multiplerna av två tal, och sedan välja bland dem ett sådant tal som kommer att vara gemensamt för båda talen och samtidigt det minsta. Och det andra är att hitta GCD för dessa siffror. Låt oss bara överväga det.

För att beräkna LCM måste du beräkna produkten av de ursprungliga talen och sedan dividera den med den tidigare hittade GCD. Låt oss hitta LCM för samma nummer 28 och 36:

1. Hitta produkten av talen 28 och 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) är redan känt för att vara 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Hitta GCD och LCM för flera nummer

Den största gemensamma divisorn kan hittas för flera tal, och inte bara för två. För detta sönderdelas talen som ska hittas för den största gemensamma divisorn i primtalsfaktorer, sedan hittas produkten av de gemensamma primtalsfaktorerna för dessa tal. För att hitta GCD för flera nummer kan du också använda följande relation: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

En liknande relation gäller också för den minsta gemensamma multipeln av tal: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exempel: hitta GCD och LCM för nummer 12, 32 och 36.

1. Låt oss först faktorisera siffrorna: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Låt oss hitta gemensamma faktorer: 1, 2 och 2 .
3. Deras produkt kommer att ge gcd: 1 2 2 = 4
4. Låt oss nu hitta LCM: för detta hittar vi först LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. För att hitta LCM för alla tre talen måste du hitta GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .