Formler för rötterna till en andragradsekvation. Fallen med verkliga, multipla och komplexa rötter beaktas. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium. Geometrisk tolkning. Exempel på bestämning av rötter och faktorisering.

Grundläggande formler

Tänk på andragradsekvationen:
(1) .
Rötterna till en andragradsekvation(1) bestäms av formlerna:
; .
Dessa formler kan kombineras så här:
.
När rötterna till andragradsekvationen är kända, kan polynomet av andra graden representeras som en produkt av faktorer (faktoriserat):
.

Vidare antar vi att det är reella tal.
Överväga diskriminant av en andragradsekvation:
.
Om diskriminanten är positiv har andragradsekvationen (1) två olika reella rötter:
; .
Då har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Om diskriminanten är noll, har andragradsekvationen (1) två multipla (lika) reella rötter:
.
Faktorisering:
.
Om diskriminanten är negativ har andragradsekvationen (1) två komplexa konjugerade rötter:
;
.
Här är den tänkta enheten, ;
och är de verkliga och imaginära delarna av rötterna:
; .
Sedan

.

Grafisk tolkning

Om vi ​​plottar funktionen
,
som är en parabel, då kommer skärningspunkterna för grafen med axeln att vara rötterna till ekvationen
.
När , skär grafen abskissaxeln (axeln) vid två punkter.
När , vidrör grafen x-axeln vid en punkt.
När , korsar grafen inte x-axeln.

Nedan finns exempel på sådana grafer.

Användbara formler relaterade till kvadratiska ekvation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Vi utför transformationer och tillämpar formler (f.1) och (f.3):




,
Var
; .

Så vi fick formeln för polynomet av andra graden i formen:
.
Av detta kan man se att ekvationen

uppträdde kl
Och .
Det vill säga, och är rötterna till andragradsekvationen
.

Exempel på att bestämma rötterna till en andragradsekvation

Exempel 1

(1.1) .

Lösning

.
Jämför vi med vår ekvation (1.1) hittar vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är positiv har ekvationen två reella rötter:
;
;
.

Härifrån får vi nedbrytningen av kvadrattrinomialet i faktorer:

.

Graf över funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 korsar x-axeln i två punkter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar x-axeln (axeln) vid två punkter:
Och .
Dessa punkter är rötterna till den ursprungliga ekvationen (1.1).

Svar

;
;
.

Exempel 2

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(2.1) .

Lösning

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
.
Jämför vi med den ursprungliga ekvationen (2.1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är noll har ekvationen två multipla (lika) rötter:
;
.

Då har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf för funktionen y = x 2 - 4 x + 4 vidrör x-axeln vid en punkt.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den berör x-axeln (axeln) vid en punkt:
.
Denna punkt är roten till den ursprungliga ekvationen (2.1). Eftersom denna rot är faktoriserad två gånger:
,
då kallas en sådan rot en multipel. Det vill säga, de anser att det finns två lika rötter:
.

Svar

;
.

Exempel 3

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(3.1) .

Lösning

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
(1) .
Låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen (3.1):
.
Jämför vi med (1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Diskriminanten är negativ, . Därför finns det inga riktiga rötter.

Du kan hitta komplexa rötter:
;
;
.

Sedan


.

Grafen för funktionen korsar inte x-axeln. Det finns inga riktiga rötter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar inte abskissan (axeln). Därför finns det inga riktiga rötter.

Svar

Det finns inga riktiga rötter. Komplexa rötter:
;
;
.

Andragradsekvationer dyker ofta upp när man löser olika problem inom fysik och matematik. I den här artikeln kommer vi att överväga hur man löser dessa jämlikheter på ett universellt sätt "genom diskriminanten". Exempel på hur de förvärvade kunskaperna används ges också i artikeln.

Vilka ekvationer pratar vi om?

Figuren nedan visar en formel där x är en okänd variabel och de latinska tecknen a, b, c representerar några kända tal.

Var och en av dessa symboler kallas en koefficient. Som du kan se är talet "a" framför den kvadratiska variabeln x. Detta är den maximala styrkan för det representerade uttrycket, vilket är anledningen till att det kallas en andragradsekvation. Ett annat namn används ofta: en andra ordningens ekvation. Värdet a i sig är en kvadratkoefficient (kvadraterar variabeln), b är en linjär koefficient (den är bredvid variabeln upphöjd till första potens), och slutligen är talet c en fri term.

Observera att formen på ekvationen som visas i figuren ovan är ett allmänt klassiskt andragradsuttryck. Utöver det finns det andra ordningens ekvationer där koefficienterna b, c kan vara noll.

När uppgiften är inställd på att lösa den aktuella likheten betyder det att sådana värden av variabeln x måste hittas som skulle tillfredsställa den. Det första att komma ihåg här är följande: eftersom den maximala potensen av x är 2, kan denna typ av uttryck inte ha fler än 2 lösningar. Detta betyder att om man hittade 2 x-värden som uppfyller ekvationen när man löser ekvationen, kan du vara säker på att det inte finns något 3:e tal, som istället för x ersätter likheten också. Lösningar på en ekvation i matematik kallas dess rötter.

Metoder för att lösa andra ordningens ekvationer

Att lösa ekvationer av denna typ kräver kunskap om någon teori om dem. I skolkursen i algebra övervägs 4 olika lösningsmetoder. Låt oss lista dem:

• med hjälp av faktorisering;
• använda formeln för den perfekta kvadraten;
• tillämpa grafen för motsvarande kvadratiska funktion;
• med hjälp av diskriminantekvationen.

Fördelen med den första metoden är dess enkelhet, men den kan inte tillämpas på alla ekvationer. Den andra metoden är universell, men något besvärlig. Den tredje metoden kännetecknas av sin tydlighet, men den är inte alltid bekväm och användbar. Och slutligen, att använda diskriminantekvationen är ett universellt och ganska enkelt sätt att hitta rötterna till absolut alla andra ordningens ekvationer. Därför kommer vi bara att överväga det i artikeln.

Formel för att få rötterna till ekvationen

Låt oss gå över till den allmänna formen av andragradsekvationen. Låt oss skriva ner det: a*x²+ b*x + c =0. Innan man använder metoden att lösa det "genom diskriminanten", bör jämlikheten alltid reduceras till den skriftliga formen. Det vill säga, den måste bestå av tre termer (eller mindre om b eller c är 0).

Till exempel, om det finns ett uttryck: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², bör du först överföra alla dess medlemmar till en sida av likheten och lägga till termerna som innehåller variabeln x i samma befogenheter.

I det här fallet kommer denna operation att leda till följande uttryck: -6*x²-4*x+8=0, vilket motsvarar ekvationen 6*x²+4*x-8=0 (här har vi multiplicerat vänster och högra sidan av ekvationen med -1) .

I exemplet ovan är a = 6, b=4, c=-8. Observera att alla termer av den betraktade likheten alltid summeras sinsemellan, så om tecknet "-" visas betyder det att motsvarande koefficient är negativ, som talet c i det här fallet.

Efter att ha analyserat denna punkt vänder vi oss nu till själva formeln, som gör det möjligt att få rötterna till en andragradsekvation. Det ser ut som på bilden nedan.

Som kan ses från detta uttryck låter det dig få två rötter (du bör vara uppmärksam på "±"-tecknet). För att göra detta räcker det att ersätta koefficienterna b, c och a i den.

Begreppet diskriminant

I föregående stycke gavs en formel som gör att du snabbt kan lösa alla andra ordningens ekvationer. I den kallas det radikala uttrycket diskriminanten, det vill säga D \u003d b²-4 * a * c.

Varför utpekas denna del av formeln och har den ens ett eget namn? Faktum är att diskriminanten kopplar alla tre koefficienterna i ekvationen till ett enda uttryck. Det sista faktumet betyder att det helt innehåller information om rötterna, vilket kan uttryckas med följande lista:

1. D>0: likheten har 2 olika lösningar, som båda är reella tal.
2. D<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D=0: Ekvationen har bara en rot, och det är ett reellt tal.

Uppgiften att fastställa diskriminant

Här är ett enkelt exempel på hur man hittar diskriminanten. Låt följande likhet ges: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Låt oss ta det till standardformen, vi får: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, varifrån vi kommer till likhet : -2*x² +2*x-11 = 0. Här är a=-2, b=2, c=-11.

Nu kan du använda den namngivna formeln för diskriminanten: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Det resulterande numret är svaret på uppgiften. Eftersom diskriminanten i exemplet är mindre än noll kan vi säga att denna andragradsekvation inte har några reella rötter. Dess lösning kommer endast att vara tal av komplex typ.

Ett exempel på ojämlikhet genom diskriminanten

Låt oss lösa problem av en något annan typ: likheten -3*x²-6*x+c = 0. Det är nödvändigt att hitta sådana värden på c för vilka D>0.

I det här fallet är endast 2 av 3 koefficienter kända, så det kommer inte att vara möjligt att beräkna det exakta värdet på diskriminanten, men det är känt att det är positivt. Vi använder det sista faktumet när vi kompilerar olikheten: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Lösningen av den erhållna ojämlikheten leder till resultatet: c>-3.

Låt oss kontrollera det resulterande numret. För att göra detta, beräknar vi D för 2 fall: c=-2 och c=-4. Siffran -2 uppfyller resultatet (-2>-3), motsvarande diskriminant kommer att ha värdet: D = 12>0. I sin tur uppfyller talet -4 inte ojämlikheten (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Således kommer alla tal c som är större än -3 att uppfylla villkoret.

Ett exempel på att lösa en ekvation

Här finns ett problem som inte bara består i att hitta diskriminanten, utan också i att lösa ekvationen. Det är nödvändigt att hitta rötterna för likheten -2*x²+7-9*x = 0.

I det här exemplet är diskriminanten lika med följande värde: D = 81-4*(-2)*7= 137. Då bestäms rötterna till ekvationen enligt följande: x = (9±√137)/(- 4). Det här är de exakta värdena på rötterna, om du beräknar roten ungefär, får du siffrorna: x \u003d -5.176 och x \u003d 0.676.

geometriska problem

Låt oss lösa ett problem som kommer att kräva inte bara förmågan att beräkna diskriminanten, utan också användningen av abstrakt tänkande och kunskap om hur man skriver andragradsekvationer.

Bob hade ett 5 x 4 meter täcke. Pojken ville sy en sammanhängande remsa av vackert tyg runt hela omkretsen. Hur tjock blir den här remsan om man vet att Bob har 10 m² tyg.

Låt remsan ha en tjocklek på x m, då blir tygets yta längs filtens långsida (5 + 2 * x) * x, och eftersom det finns 2 långsidor har vi: 2 * x * (5 + 2 * x). På kortsidan kommer arean av det sydda tyget att vara 4*x, eftersom det finns 2 av dessa sidor får vi värdet 8*x. Observera att 2*x har lagts till på långsidan eftersom längden på täcket har ökat med det antalet. Den totala ytan av tyg som sys till filten är 10 m². Därför får vi likheten: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

För det här exemplet är diskriminanten: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Dess rot är 22. Med hjälp av formeln hittar vi de önskade rötterna: x = (-18±22)/(2* 4) = (-5; 0,5). Av de två rötterna är det uppenbarligen endast talet 0,5 som är lämpligt för problemets tillstånd.

Därmed blir tygremsan som Bob syr till sin filt 50 cm bred.

Det här ämnet kan tyckas komplicerat till en början på grund av de många inte så enkla formlerna. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa poster, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Det finns tre nya formler totalt. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter den frekventa lösningen av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän bild av andragradsekvationen

Här föreslås deras explicita notation, när den största graden skrivs först, och sedan - i fallande ordning. Ofta finns det situationer när villkoren skiljer sig åt. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

Låt oss introducera notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.

När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter som kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• lösningen kommer att ha två rötter;
• svaret blir ett nummer;
• Ekvationen har inga rötter alls.

Och även om beslutet inte avslutas, är det svårt att förstå vilket av alternativen som kommer att falla ut i ett visst fall.

Typer av poster av andragradsekvationer

Uppgifter kan ha olika poster. De kommer inte alltid att se ut som den allmänna formeln för en andragradsekvation. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är den fullständiga ekvationen. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.

Dessutom kan endast de termer för vilka koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet förvandlas formeln till en linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationerna kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer, förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra nummer tre.

Diskriminanten och antalet rötters beroende av dess värde

Detta antal måste vara känt för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att beräkna diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt värdena för koefficienterna i denna formel kan du få tal med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Med ett negativt tal kommer rötterna till andragradsekvationen att saknas. Om det är lika med noll blir svaret ett.

Hur löses en komplett andragradsekvation?

Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta diskriminanten. Efter att det har klargjorts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter, måste du tillämpa en sådan formel.

Eftersom den innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Uttrycket under kvadratrottecknet är diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.

Formel fem. Från samma post kan man se att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.

Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?

Allt är mycket enklare här. Inte ens det behövs ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har skrivits för diskriminerande och okända.

Tänk först på den ofullständiga ekvationen nummer två. I denna likhet är det meningen att det ska ta det okända värdet ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som kommer att finnas kvar inom parentesen. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Den ofullständiga ekvationen vid nummer tre löses genom att överföra talet från vänster sida av ekvationen till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och glöm inte att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Följande är några åtgärder som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister är orsaken till dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadric Equations (Betyg 8)". Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. För det blir en stabil vana.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara en siffra.

• Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.

• På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.

Exempel

Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den första ekvationen: x 2 - 7x \u003d 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.

Efter bracketing visar det sig: x (x - 7) \u003d 0.

Den första roten får värdet: x 1 \u003d 0. Den andra kommer att hittas från den linjära ekvationen: x - 7 \u003d 0. Det är lätt att se att x 2 \u003d 7.

Andra ekvationen: 5x2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha överfört 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Här och nedan börjar lösningen av andragradsekvationer med att skriva om dem till en standardform: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nu är det dags att använda den andra användbart tips och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det är en Positivt nummer. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas enligt den femte formeln. Enligt det visar det sig att x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 omvandlas till detta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Detta betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer, innan du öppnar parenteserna. I stället för den första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likhet kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blivit ofullständig . Liknande det har redan ansetts vara lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

Första nivån

Kvadratisk ekvation. Omfattande guide (2019)

I termen "kvadratisk ekvation" är nyckelordet "kvadratiskt". Det betyder att ekvationen nödvändigtvis måste innehålla en variabel (samma X) i kvadraten, och samtidigt ska det inte finnas X i tredje (eller högre) graden.

Lösningen av många ekvationer reduceras till lösningen av andragradsekvationer.

Låt oss lära oss att bestämma att vi har en andragradsekvation och inte någon annan.

Exempel 1

Gör dig av med nämnaren och multiplicera varje led i ekvationen med

Låt oss flytta allt till vänster och ordna termerna i fallande ordning av potenser av x

Nu kan vi med tillförsikt säga att denna ekvation är kvadratisk!

Exempel 2

Multiplicera vänster och höger sida med:

Denna ekvation, även om den ursprungligen fanns i den, är inte en kvadrat!

Exempel 3

Låt oss multiplicera allt med:

Skrämmande? Den fjärde och andra graden ... Men om vi gör en ersättning kommer vi att se att vi har en enkel andragradsekvation:

Exempel 4

Det verkar vara så, men låt oss ta en närmare titt. Låt oss flytta allt till vänster sida:

Du förstår, den har krympt – och nu är det en enkel linjär ekvation!

Försök nu att själv avgöra vilka av följande ekvationer som är kvadratiska och vilka som inte är det:

Exempel:

Svar:

1. fyrkant;
2. fyrkant;
3. inte kvadratisk;
4. inte kvadratisk;
5. inte kvadratisk;
6. fyrkant;
7. inte kvadratisk;
8. fyrkant.

Matematiker delar villkorligt in alla andragradsekvationer i följande typer:

• Komplettera andragradsekvationer- ekvationer där koefficienterna och, samt den fria termen c, inte är lika med noll (som i exemplet). Dessutom, bland de kompletta andragradsekvationerna, finns det givenär ekvationer där koefficienten (ekvationen från exempel ett inte bara är komplett utan också reducerad!)

• Ofullständiga andragradsekvationer- ekvationer där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

  De är ofullständiga eftersom något element saknas i dem. Men ekvationen måste alltid innehålla x i kvadrat !!! Annars blir det inte längre en kvadratisk, utan någon annan ekvation.

Varför kom de på en sådan uppdelning? Det verkar som att det finns ett X i kvadrat, och okej. En sådan uppdelning beror på lösningsmetoderna. Låt oss överväga var och en av dem mer i detalj.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss först fokusera på att lösa ofullständiga andragradsekvationer - de är mycket enklare!

Ofullständiga andragradsekvationer är av typer:

1. , i denna ekvation är koefficienten lika.
2. , i denna ekvation är den fria termen lika med.
3. , i denna ekvation är koefficienten och den fria termen lika.

1. i. Eftersom vi vet hur man tar kvadratroten, låt oss uttrycka från denna ekvation

Uttrycket kan vara antingen negativt eller positivt. Ett kvadratiskt tal kan inte vara negativt, för när man multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal, så: om, då har ekvationen inga lösningar.

Och om, då får vi två rötter. Dessa formler behöver inte memoreras. Huvudsaken är att du alltid ska veta och komma ihåg att det inte kan vara mindre.

Låt oss försöka lösa några exempel.

Exempel 5:

Lös ekvationen

Nu återstår att extrahera roten från vänster och höger del. Kommer du trots allt ihåg hur man extraherar rötterna?

Svar:

Glöm aldrig rötter med negativt tecken!!!

Exempel 6:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 7:

Lös ekvationen

åh! Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter!

För sådana ekvationer där det inte finns några rötter kom matematiker på en speciell ikon - (tom uppsättning). Och svaret kan skrivas så här:

Svar:

Således har denna andragradsekvation två rötter. Det finns inga begränsningar här, eftersom vi inte extraherade roten.
Exempel 8:

Lös ekvationen

Låt oss ta den gemensamma faktorn utanför parentes:

Således,

Denna ekvation har två rötter.

Svar:

Den enklaste typen av ofullständiga andragradsekvationer (även om de alla är enkla, eller hur?). Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Här kommer vi att klara oss utan exempel.

Lösa kompletta andragradsekvationer

Vi påminner dig om att den fullständiga andragradsekvationen är en ekvation av formen ekvation där

Att lösa hela andragradsekvationer är lite mer komplicerat (bara lite) än de givna.

Kom ihåg, vilken andragradsekvation som helst kan lösas med hjälp av diskriminanten! Till och med ofullständig.

Resten av metoderna hjälper dig att göra det snabbare, men om du har problem med andragradsekvationer, behärska först lösningen med diskriminant.

1. Lösa andragradsekvationer med diskriminant.

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är väldigt enkelt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler.

Om, så har ekvationen en rot. Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt steget. Diskriminanten () talar om för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, då kommer formeln i steget att reduceras till. Således kommer ekvationen bara att ha en rot.
• Om, då kommer vi inte att kunna extrahera roten till diskriminanten vid steget. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Låt oss gå tillbaka till våra ekvationer och titta på några exempel.

Exempel 9:

Lös ekvationen

Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Så ekvationen har två rötter.

Steg 3

Svar:

Exempel 10:

Lös ekvationen

Ekvationen är i standardform, så Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Så ekvationen har en rot.

Svar:

Exempel 11:

Lös ekvationen

Ekvationen är i standardform, så Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Det betyder att vi inte kommer att kunna utvinna roten från diskriminanten. Det finns inga rötter till ekvationen.

Nu vet vi hur man skriver ner sådana svar korrekt.

Svar: inga rötter

2. Lösning av andragradsekvationer med hjälp av Vieta-satsen.

Om du kommer ihåg, så finns det en sådan typ av ekvationer som kallas reducerade (när koefficienten a är lika med):

Sådana ekvationer är mycket lätta att lösa med hjälp av Vietas sats:

Summan av rötterna given andragradsekvationen är lika, och produkten av rötterna är lika.

Exempel 12:

Lös ekvationen

Denna ekvation är lämplig för lösning med hjälp av Vieta-satsen, eftersom .

Summan av ekvationens rötter är, d.v.s. vi får den första ekvationen:

Och produkten är:

Låt oss skapa och lösa systemet:

• Och. Summan är;
• Och. Summan är;
• Och. Beloppet är lika.

och är lösningen på systemet:

Svar: ; .

Exempel 13:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 14:

Lös ekvationen

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Svar:

KVADRATISK EKVATION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Vad är en andragradsekvation?

Med andra ord, en andragradsekvation är en ekvation av formen, där - okänt, - dessutom några tal.

Numret kallas det högsta eller första koefficienten andragradsekvation, - andra koefficienten, A - gratis medlem.

Varför? För om, kommer ekvationen omedelbart att bli linjär, eftersom kommer försvinna.

I detta fall kan och vara lika med noll. I denna avföring kallas ekvationen ofullständig. Om alla termer är på plats, det vill säga, är ekvationen komplett.

Lösningar på olika typer av andragradsekvationer

Metoder för att lösa ofullständiga andragradsekvationer:

Till att börja med kommer vi att analysera metoderna för att lösa ofullständiga andragradsekvationer - de är enklare.

Följande typer av ekvationer kan särskiljas:

I. , i denna ekvation är koefficienten och den fria termen lika.

II. , i denna ekvation är koefficienten lika.

III. , i denna ekvation är den fria termen lika med.

Överväg nu lösningen för var och en av dessa undertyper.

Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Ett tal i kvadrat kan inte vara negativt, för när man multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal. Det är därför:

om, då har ekvationen inga lösningar;

om vi har två rötter

Dessa formler behöver inte memoreras. Det viktigaste att komma ihåg är att det inte kan vara mindre.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Glöm aldrig rötter med negativt tecken!

Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter.

För att kort skriva att problemet inte har några lösningar använder vi den tomma uppsättningsikonen.

Svar:

Så den här ekvationen har två rötter: och.

Svar:

Låt oss ta den gemensamma faktorn utanför parentes:

Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Det betyder att ekvationen har en lösning när:

Så denna andragradsekvation har två rötter: och.

Exempel:

Lös ekvationen.

Lösning:

Vi faktoriserar vänster sida av ekvationen och hittar rötterna:

Svar:

Metoder för att lösa fullständiga andragradsekvationer:

1. Diskriminerande

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är enkelt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler. Kom ihåg att vilken andragradsekvation som helst kan lösas med hjälp av diskriminanten! Till och med ofullständig.

Har du märkt roten till diskriminanten i rotformeln? Men diskriminanten kan vara negativ. Vad ska man göra? Vi måste ägna särskild uppmärksamhet åt steg 2. Diskriminanten talar om för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, så har ekvationen en rot:
• Om, då har ekvationen samma rot, men i själva verket en rot:

  Sådana rötter kallas dubbelrötter.

• Om, då är roten till diskriminanten inte extraherad. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Varför finns det olika antal rötter? Låt oss gå över till den geometriska betydelsen av den andragradsekvationen. Grafen för funktionen är en parabel:

I ett särskilt fall, som är en andragradsekvation, . Och detta betyder att rötterna till andragradsekvationen är skärningspunkterna med x-axeln (axeln). Parabeln kanske inte korsar axeln alls, eller så kan den skära den vid en (när parabelns topp ligger på axeln) eller två punkter.

Dessutom är koefficienten ansvarig för riktningen av parabelns grenar. Om, då är parabelns grenar riktade uppåt, och om - då nedåt.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Svar: .

Svar:

Det betyder att det inte finns några lösningar.

Svar: .

2. Vietas sats

Att använda Vieta-satsen är mycket lätt: du behöver bara välja ett par tal vars produkt är lika med ekvationens fria term, och summan är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken.

Det är viktigt att komma ihåg att Vietas teorem endast kan tillämpas på givna andragradsekvationer ().

Låt oss titta på några exempel:

Exempel #1:

Lös ekvationen.

Lösning:

Denna ekvation är lämplig för lösning med hjälp av Vieta-satsen, eftersom . Andra koefficienter: ; .

Summan av rötterna till ekvationen är:

Och produkten är:

Låt oss välja sådana par av tal, vars produkt är lika, och kontrollera om deras summa är lika:

• Och. Summan är;
• Och. Summan är;
• Och. Beloppet är lika.

och är lösningen på systemet:

Alltså och är rötterna till vår ekvation.

Svar: ; .

Exempel #2:

Lösning:

Vi väljer sådana nummerpar som ger i produkten och kontrollerar sedan om deras summa är lika:

och: ge totalt.

och: ge totalt. För att få det behöver du bara ändra tecknen på de påstådda rötterna: och trots allt produkten.

Svar:

Exempel #3:

Lösning:

Ekvationens fria term är negativ, och därför är produkten av rötterna ett negativt tal. Detta är möjligt endast om en av rötterna är negativ och den andra är positiv. Så summan av rötterna är skillnader i sina moduler.

Vi väljer sådana par av siffror som ger i produkten, och skillnaden är lika med:

och: deras skillnad är - inte lämplig;

och: - inte lämplig;

och: - inte lämplig;

och: - lämplig. Det återstår bara att komma ihåg att en av rötterna är negativ. Eftersom deras summa måste vara lika, måste roten, som är mindre i absolut värde, vara negativ: . Vi kontrollerar:

Svar:

Exempel #4:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Den fria termen är negativ, och därför är produkten av rötterna negativ. Och detta är möjligt endast när en rot av ekvationen är negativ och den andra är positiv.

Vi väljer sådana siffror vars produkt är lika, och bestämmer sedan vilka rötter som ska ha ett negativt tecken:

Uppenbarligen bara rötter och är lämpliga för det första tillståndet:

Svar:

Exempel #5:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Summan av rötterna är negativ, vilket betyder att minst en av rötterna är negativ. Men eftersom deras produkt är positiv betyder det att båda rötterna är minus.

Vi väljer sådana par av nummer, vars produkt är lika med:

Uppenbarligen är rötterna siffrorna och.

Svar:

Håller med, det är väldigt bekvämt - att uppfinna rötter oralt, istället för att räkna denna otäcka diskriminant. Försök att använda Vietas sats så ofta som möjligt.

Men Vieta-satsen behövs för att underlätta och påskynda att hitta rötterna. För att göra det lönsamt för dig att använda det måste du föra åtgärderna till automatism. Och för detta, lös ytterligare fem exempel. Men fuska inte: du kan inte använda diskriminanten! Endast Vietas teorem:

Lösningar för uppgifter för självständigt arbete:

Uppgift 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Enligt Vietas teorem:

Som vanligt börjar vi urvalet med produkten:

Inte lämplig eftersom mängden;

: mängden är vad du behöver.

Svar: ; .

Uppgift 2.

Och återigen, vårt favorit-Vieta-teorem: summan borde fungera, men produkten är lika.

Men eftersom det inte borde vara det, men, vi ändrar tecken på rötterna: och (totalt).

Svar: ; .

Uppgift 3.

Hmm... Var är det?

Det är nödvändigt att överföra alla villkor till en del:

Summan av rötterna är lika med produkten.

Ja, sluta! Ekvationen är inte given. Men Vietas teorem är endast tillämplig i de givna ekvationerna. Så först måste du ta med ekvationen. Om du inte kan ta upp det, släpp den här idén och lös den på ett annat sätt (till exempel genom diskriminanten). Låt mig påminna dig om att att ta med en andragradsekvation innebär att göra den ledande koefficienten lika med:

Bra. Då är summan av rötterna lika, och produkten.

Det är lättare att plocka upp här: trots allt - ett primtal (förlåt för tautologin).

Svar: ; .

Uppgift 4.

Fritiden är negativ. Vad är så speciellt med det? Och det faktum att rötterna kommer att vara av olika tecken. Och nu, under urvalet, kontrollerar vi inte summan av rötterna, utan skillnaden mellan deras moduler: denna skillnad är lika, men produkten.

Så, rötterna är lika och, men en av dem är med ett minus. Vietas sats säger att summan av rötterna är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, det vill säga. Detta betyder att den mindre roten kommer att ha ett minus: och, sedan.

Svar: ; .

Uppgift 5.

Vad behöver göras först? Det stämmer, ge ekvationen:

Återigen: vi väljer faktorerna för antalet, och deras skillnad ska vara lika med:

Rötterna är lika och, men en av dem är minus. Som? Deras summa måste vara lika, vilket betyder att med ett minus blir det en större rot.

Svar: ; .

Låt mig sammanfatta:

1. Vietas sats används endast i de givna andragradsekvationerna.
2. Med hjälp av Vieta-satsen kan du hitta rötterna genom urval, muntligt.
3. Om ekvationen inte ges eller inget lämpligt par av faktorer för den fria termen hittades, så finns det inga heltalsrötter, och du måste lösa det på annat sätt (till exempel genom diskriminanten).

3. Hel kvadratisk urvalsmetod

Om alla termer som innehåller det okända representeras som termer från formlerna för förkortad multiplikation - kvadraten på summan eller skillnaden - så efter förändringen av variabler kan ekvationen representeras som en ofullständig andragradsekvation av typen.

Till exempel:

Exempel 1:

Lös ekvationen: .

Lösning:

Svar:

Exempel 2:

Lös ekvationen: .

Lösning:

Svar:

Generellt sett kommer transformationen att se ut så här:

Detta innebär: .

Påminner det dig inte om något? Det är diskriminanten! Det var precis så den diskriminerande formeln erhölls.

KVADRATISK EKVATION. KORT OM HUVUDSAKTEN

Andragradsekvationär en ekvation av formen, där är det okända, är koefficienterna för andragradsekvationen, är den fria termen.

Komplett andragradsekvation- en ekvation där koefficienterna inte är lika med noll.

Reducerad andragradsekvation- en ekvation där koefficienten, det vill säga: .

Ofullständig andragradsekvation- en ekvation där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

• om koefficienten har ekvationen formen: ,
• om en fri term har ekvationen formen: ,
• om och, har ekvationen formen: .

1. Algoritm för att lösa ofullständiga andragradsekvationer

1.1. En ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Uttryck det okända: ,

2) Kontrollera uttryckets tecken:

• om, då ekvationen inte har några lösningar,
• om, då har ekvationen två rötter.

1.2. En ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentes: ,

2) Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Därför har ekvationen två rötter:

1.3. En ofullständig kvadratisk ekvation av formen, där:

Denna ekvation har alltid bara en rot: .

2. Algoritm för att lösa fullständiga andragradsekvationer av formen var

2.1. Lösning med diskriminant

1) Låt oss ta ekvationen till standardformen: ,

2) Beräkna diskriminanten med formeln: , som anger antalet rötter i ekvationen:

3) Hitta rötterna till ekvationen:

• om, så har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen inga rötter.

2.2. Lösning med hjälp av Vietas teorem

Summan av rötterna i den reducerade andragradsekvationen (en ekvation av formen, där) är lika, och produkten av rötterna är lika, d.v.s. , A.

2.3. Hel fyrkantig lösning

Om en andragradsekvation av formen har rötter, kan den skrivas i formen: .

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrikt godkänt prov, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport – du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (ej nödvändigt) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få hjälp med våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

1. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - 499 rub.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teorin.

”Förstå” och ”Jag vet hur man löser” är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!

Andragradsekvationer studeras i årskurs 8, så det är inget komplicerat här. Förmågan att lösa dem är avgörande.

En andragradsekvation är en ekvation av formen ax 2 + bx + c = 0, där koefficienterna a , b och c är godtyckliga tal, och a ≠ 0.

Innan vi studerar specifika lösningsmetoder, noterar vi att alla andragradsekvationer kan delas in i tre klasser:

1. Har inga rötter;
2. De har exakt en rot;
3. De har två olika rötter.

Detta är en viktig skillnad mellan kvadratiska och linjära ekvationer, där roten alltid finns och är unik. Hur avgör man hur många rötter en ekvation har? Det finns en underbar sak för detta - diskriminerande.

Diskriminerande

Låt andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Då är diskriminanten helt enkelt talet D = b 2 − 4ac .

Denna formel måste vara känd utantill. Var det kommer ifrån är inte viktigt nu. En annan sak är viktig: genom diskriminantens tecken kan du bestämma hur många rötter en andragradsekvation har. Nämligen:

1. Om D< 0, корней нет;
2. Om D = 0, finns det exakt en rot;
3. Om D > 0 kommer det att finnas två rötter.

Observera: diskriminanten indikerar antalet rötter, och inte alls deras tecken, som många av någon anledning tror. Ta en titt på exemplen så förstår du allt själv:

Uppgift. Hur många rötter har andragradsekvationer:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koefficienterna för den första ekvationen och hittar diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten är positiv, så ekvationen har två olika rötter. Vi analyserar den andra ekvationen på samma sätt:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten är negativ, det finns inga rötter. Den sista ekvationen kvarstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten är lika med noll - roten kommer att vara en.

Observera att koefficienter har skrivits ut för varje ekvation. Ja, det är långt, ja, det är tråkigt - men du kommer inte att blanda ihop oddsen och inte göra dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "fyller din hand", efter ett tag behöver du inte längre skriva ut alla koefficienter. Du kommer att utföra sådana operationer i ditt huvud. De flesta börjar göra detta någonstans efter 50-70 lösta ekvationer - i allmänhet inte så många.

Rötterna till en andragradsekvation

Låt oss nu gå vidare till lösningen. Om diskriminanten D > 0, kan rötterna hittas med formlerna:

Grundformeln för rötterna till en andragradsekvation

När D = 0 kan du använda någon av dessa formler - du får samma tal, vilket blir svaret. Slutligen, om D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Första ekvationen:
x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekvationen har två rötter. Låt oss hitta dem:

Andra ekvationen:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekvationen har återigen två rötter. Låt oss hitta dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Slutligen den tredje ekvationen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekvationen har en rot. Vilken formel som helst kan användas. Till exempel den första:

Som du kan se från exemplen är allt väldigt enkelt. Om du kan formlerna och kan räkna blir det inga problem. Oftast uppstår fel när negativa koefficienter ersätts i formeln. Här, återigen, kommer tekniken som beskrivs ovan att hjälpa: titta på formeln bokstavligen, måla varje steg - och bli av med misstag mycket snart.

Ofullständiga andragradsekvationer

Det händer att andragradsekvationen skiljer sig något från vad som anges i definitionen. Till exempel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Det är lätt att se att en av termerna saknas i dessa ekvationer. Sådana andragradsekvationer är ännu lättare att lösa än standardekvationer: de behöver inte ens beräkna diskriminanten. Så låt oss introducera ett nytt koncept:

Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 kallas en ofullständig andragradsekvation om b = 0 eller c = 0, d.v.s. koefficienten för variabeln x eller det fria elementet är lika med noll.

Naturligtvis är ett mycket svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är lika med noll: b \u003d c \u003d 0. I det här fallet tar ekvationen formen ax 2 \u003d 0. Uppenbarligen har en sådan ekvation en enda rot: x \u003d 0.

Låt oss överväga andra fall. Låt b \u003d 0, då får vi en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c \u003d 0. Låt oss omvandla det något:

Eftersom den aritmetiska kvadratroten endast existerar från ett icke-negativt tal, är den sista likheten vettig endast när (−c / a ) ≥ 0. Slutsats:

1. Om en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c = 0 uppfyller olikheten (−c / a) ≥ 0, kommer det att finnas två rötter. Formeln ges ovan;
2. Om (−c/a)< 0, корней нет.

Som du kan se krävdes inte diskriminanten - det finns inga komplicerade beräkningar alls i ofullständiga andragradsekvationer. I själva verket är det inte ens nödvändigt att komma ihåg olikheten (−c / a ) ≥ 0. Det räcker med att uttrycka värdet på x 2 och se vad som finns på andra sidan likhetstecknet. Om det finns ett positivt tal kommer det att finnas två rötter. Om det är negativt kommer det inte att finnas några rötter alls.

Låt oss nu ta itu med ekvationer av formen ax 2 + bx = 0, där det fria elementet är lika med noll. Allt är enkelt här: det kommer alltid att finnas två rötter. Det räcker att faktorisera polynomet:

Att ta den gemensamma faktorn ur fästet

Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Det är härifrån rötterna kommer. Avslutningsvis kommer vi att analysera flera av dessa ekvationer:

Uppgift. Lös andragradsekvationer:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det finns inga rötter, eftersom kvadraten kan inte vara lika med ett negativt tal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.