Den minsta gemensamma multipeln av två tal är direkt relaterad till den största gemensamma divisorn av dessa tal. Detta länk mellan GCD och NOC definieras av följande teorem.

Sats.

Den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal a och b är lika med produkten av a och b dividerat med den största gemensamma divisorn av a och b, dvs. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Bevis.

Låta M är någon multipel av talen a och b. Det vill säga, M är delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det något heltal k så att likheten M=a·k är sann. Men M är också delbart med b, då är a k delbart med b.

Beteckna gcd(a, b) som d . Sedan kan vi skriva ner likheterna a=a 1 ·d och b=b 1 ·d, och a 1 =a:d och b 1 =b:d blir coprimtal. Därför kan villkoret som erhållits i föregående stycke att a k är delbart med b omformuleras på följande sätt: a 1 d k är delbart med b 1 d , och detta, på grund av delbarhetens egenskaper, är ekvivalent med villkoret att a 1 k är delbart med b 1 .

Vi behöver också skriva ner två viktiga följder från den övervägda satsen.

Gemensamma multipler av två tal är desamma som multiplar av deras minsta gemensamma multipel.

Detta är sant, eftersom varje gemensam multipel av M tal a och b definieras av likheten M=LCM(a, b) t för något heltalsvärde t .

Den minsta gemensamma multipeln av positiva samprimtal a och b är lika med deras produkt.

Skälet till detta faktum är ganska uppenbart. Eftersom a och b är coprime, då gcd(a, b)=1 , därför, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Minsta gemensamma multipel av tre eller fler tal

Att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal kan reduceras till att successivt hitta LCM för två tal. Hur detta går till anges i följande sats: a 1 , a 2 , …, a k sammanfaller med gemensamma multiplar av tal m k-1 och a k sammanfaller därför med multiplar av m k . Och eftersom den minsta positiva multipeln av talet m k är talet m k själv, så är den minsta gemensamma multipeln av talen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matematik. Årskurs 6: lärobok för läroanstalter.
• Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin.
• Mikhelovich Sh.Kh. Talteori.
• Kulikov L.Ya. m.fl. Samling av problem i algebra och talteori: Lärobok för elever i fiz.-mat. pedagogiska institutens specialiteter.

Matematiska uttryck och uppgifter kräver mycket ytterligare kunskap. NOC är en av de viktigaste, särskilt ofta används i ämnet. Ämnet studeras i gymnasiet, även om det inte är särskilt svårt att förstå material, kommer det inte att vara svårt för en person som är bekant med makter och multiplikationstabellen att välja de nödvändiga siffrorna och hitta resultatet.

Definition

En gemensam multipel är ett tal som kan delas helt upp i två tal samtidigt (a och b). Oftast erhålls detta tal genom att multiplicera de ursprungliga talen a och b. Talet måste vara delbart med båda talen samtidigt, utan avvikelser.

NOC är ett kort namn, som är hämtat från de första bokstäverna.

Sätt att få ett nummer

För att hitta LCM är metoden att multiplicera tal inte alltid lämplig, den är mycket bättre lämpad för enkla ensiffriga eller tvåsiffriga tal. Det är brukligt att dela upp i faktorer, ju större antal, desto fler faktorer kommer det att finnas.

Exempel #1

För det enklaste exemplet tar skolor vanligtvis enkla, ensiffriga eller tvåsiffriga tal. Till exempel måste du lösa följande uppgift, hitta den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 7 och 3, lösningen är ganska enkel, multiplicera dem bara. Som ett resultat finns det siffran 21, det finns helt enkelt inget mindre antal.

Exempel #2

Det andra alternativet är mycket svårare. Siffrorna 300 och 1260 anges, att hitta LCM är obligatoriskt. För att lösa uppgiften antas följande åtgärder:

Nedbrytning av de första och andra talen till de enklaste faktorerna. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Den första etappen är klar.

Det andra steget innebär att arbeta med redan erhållna data. Vart och ett av de mottagna numren måste delta i beräkningen av slutresultatet. För varje faktor tas det största antalet förekomster från de ursprungliga siffrorna. LCM är ett vanligt tal, så faktorerna från siffrorna måste upprepas i det till det sista, även de som finns i en instans. Båda initialtalen har i sin sammansättning talen 2, 3 och 5, i olika grader, 7 är bara i ett fall.

För att beräkna slutresultatet måste du ta med varje tal i den största av deras representerade potenser, in i ekvationen. Det återstår bara att multiplicera och få svaret, med rätt fyllning passar uppgiften i två steg utan förklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Det är hela uppgiften, om du försöker beräkna önskat antal genom att multiplicera, så kommer svaret definitivt inte att vara korrekt, eftersom 300 * 1260 = 378 000.

Undersökning:

6300 / 300 = 21 - sant;

6300 / 1260 = 5 är korrekt.

Riktigheten av resultatet bestäms genom att kontrollera - dividera LCM med båda ursprungliga talen, om talet är ett heltal i båda fallen är svaret korrekt.

Vad betyder NOC i matematik

Som ni vet finns det inte en enda värdelös funktion i matematik, den här är inget undantag. Det vanligaste syftet med detta tal är att få bråk till en gemensam nämnare. Vad man brukar läsa i årskurs 5-6 på gymnasiet. Det är också en gemensam divisor för alla multiplar, om sådana förhållanden är i problemet. Ett sådant uttryck kan hitta en multipel inte bara av två tal, utan också av ett mycket större tal - tre, fem och så vidare. Ju fler siffror - desto fler åtgärder i uppgiften, men komplexiteten i detta ökar inte.

Till exempel, givet siffrorna 250, 600 och 1500, måste du hitta deras totala LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - detta exempel beskriver faktoriseringen i detalj, utan reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

För att komponera ett uttryck krävs det att man nämner alla faktorer, i det här fallet ges 2, 5, 3 - för alla dessa siffror krävs det att bestämma den maximala graden.

Observera: alla multiplikatorer måste föras till fullständig förenkling, om möjligt, nedbrytning till ensiffrig nivå.

Undersökning:

1) 3000 / 250 = 12 - sant;

2) 3000 / 600 = 5 - sant;

3) 3000 / 1500 = 2 är korrekt.

Denna metod kräver inga tricks eller geninivåförmågor, allt är enkelt och tydligt.

En annan väg

I matematik hänger mycket ihop, mycket kan lösas på två eller flera sätt, detsamma gäller att hitta den minsta gemensamma multipeln, LCM. Följande metod kan användas för enkla tvåsiffriga och ensiffriga nummer. En tabell sammanställs där multiplikatorn läggs in vertikalt, multiplikatorn horisontellt och produkten indikeras i de korsande cellerna i kolumnen. Du kan reflektera tabellen med hjälp av en linje, ett nummer tas och resultatet av att multiplicera detta tal med heltal skrivs i en rad, från 1 till oändligt, ibland räcker det med 3-5 poäng, de andra och efterföljande talen utsätts för till samma beräkningsprocess. Allt händer tills en gemensam multipel hittas.

Med tanke på siffrorna 30, 35, 42 måste du hitta LCM som förbinder alla siffror:

1) Multiplar av 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiplar av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiplar av 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Det märks att alla siffror är ganska olika, det enda vanliga numret bland dem är 210, så det blir LCM. Bland processerna förknippade med denna beräkning finns också den största gemensamma divisorn, som beräknas enligt liknande principer och ofta påträffas i närliggande problem. Skillnaden är liten, men tillräckligt betydande, LCM involverar beräkningen av ett tal som är delbart med alla givna initiala värden, och GCD antar beräkningen av det största värdet med vilket de initiala talen divideras.

Definition. Det största naturliga talet med vilket talen a och b är delbara utan rest kallas största gemensamma delaren (gcd) dessa siffror.

Låt oss hitta den största gemensamma delaren av talen 24 och 35.
Divisorerna för 24 kommer att vara talen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, och divisorerna för 35 kommer att vara talen 1, 5, 7, 35.
Vi ser att talen 24 och 35 bara har en gemensam divisor - talet 1. Sådana tal kallas coprime.

Definition. De naturliga talen kallas coprime om deras största gemensamma delare (gcd) är 1.

Största gemensamma delare (GCD) kan hittas utan att skriva ut alla divisorer för de givna talen.

Om vi ​​tar hänsyn till siffrorna 48 och 36 får vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Från de faktorer som ingår i expansionen av det första av dessa nummer, tar vi bort de som inte ingår i expansionen av det andra numret (dvs två tvåor).
Faktorerna 2 * 2 * 3 kvarstår. Deras produkt är 12. Detta tal är den största gemensamma delaren av talen 48 och 36. Den största gemensamma delaren av tre eller fler tal finns också.

Att hitta största gemensamma delaren

2) från de faktorer som ingår i expansionen av ett av dessa nummer, stryk över de som inte ingår i expansionen av andra nummer;
3) hitta produkten av de återstående faktorerna.

Om alla givna tal är delbara med ett av dem, så är detta tal största gemensamma delaren givna siffror.
Till exempel är den största gemensamma delaren för 15, 45, 75 och 180 15, eftersom den delar alla andra tal: 45, 75 och 180.

Minsta gemensamma multipel (LCM)

Definition. Minsta gemensamma multipel (LCM) naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet som är en multipel av både a och b. Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. För att göra detta delar vi upp 75 och 60 i enkla faktorer: 75 \u003d 3 * 5 * 5 och 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vi skriver ut faktorerna som ingår i expansionen av det första av dessa siffror och lägger till dem de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det andra talet (det vill säga vi kombinerar faktorerna).
Vi får fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, vars produkt är 300. Detta tal är den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

Hitta också den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal.

Till hitta den minsta gemensamma multipeln flera naturliga tal, du behöver:
1) sönderdela dem i primära faktorer;
2) skriv ut faktorerna som ingår i expansionen av ett av talen;
3) lägg till dem de saknade faktorerna från expansionerna av de återstående siffrorna;
4) hitta produkten av de resulterande faktorerna.

Observera att om ett av dessa tal är delbart med alla andra tal, så är detta tal den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.
Till exempel skulle den minsta gemensamma multipeln av 12, 15, 20 och 60 vara 60, eftersom den är delbar med alla givna tal.

Pythagoras (VI-talet f.Kr.) och hans elever studerade frågan om delbarhet av tal. Ett tal lika med summan av alla dess divisorer (utan själva talet), kallade de det perfekta talet. Till exempel är siffrorna 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekta. Nästa perfekta siffror är 496, 8128, 33 550 336. Pytagoreerna kände bara till de tre första perfekta talen. Den fjärde - 8128 - blev känd på 1:a århundradet. n. e. Den femte - 33 550 336 - hittades på 1400-talet. År 1983 var 27 perfekta siffror redan kända. Men hittills vet forskarna inte om det finns udda perfekta tal, om det finns det största perfekta talet.
Forntida matematikers intresse för primtal beror på att vilket tal som helst är antingen primtal eller kan representeras som en produkt av primtal, det vill säga primtal är som tegelstenar som resten av de naturliga talen är byggda av.
Du har säkert märkt att primtal i serien av naturliga tal förekommer ojämnt - i vissa delar av serien finns det fler av dem, i andra - färre. Men ju längre vi går längs talserien, desto sällsyntare blir primtalen. Frågan uppstår: finns det sista (största) primtalet? Den antika grekiske matematikern Euclid (3:e århundradet f.Kr.), i sin bok "Beginnings", som under två tusen år var den huvudsakliga läroboken i matematik, bevisade att det finns oändligt många primtal, det vill säga bakom varje primtal finns det ett jämnt tal. större primtal.
För att hitta primtal kom en annan grekisk matematiker från samma tid, Eratosthenes, på en sådan metod. Han skrev ner alla siffror från 1 till något tal, och strök sedan över enheten, som varken är ett primtal eller ett sammansatt tal, och strök sedan över alla talen efter 2 (tal som är multiplar av 2, dvs. 4, 6, 8, etc.). Det första återstående talet efter 2 var 3. Sedan, efter två, ströks alla siffror efter 3 över (tal som är multiplar av 3, dvs. 6, 9, 12, etc.). i slutändan förblev bara primtalen oöverstrukna.

Hur man hittar LCM (minsta gemensamma multipel)

Den gemensamma multipeln av två heltal är det heltal som är jämnt delbart med båda givna talen utan rest.

Den minsta gemensamma multipeln av två heltal är den minsta av alla heltal som är jämnt delbar och utan rest med båda givna talen.

Metod 1. Du kan i sin tur hitta LCM för vart och ett av de givna talen, skriva ut i stigande ordning alla siffror som erhålls genom att multiplicera dem med 1, 2, 3, 4, och så vidare.

Exempel för nummer 6 och 9.
Vi multiplicerar talet 6 sekventiellt med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 6, 12, 18 , 24, 30
Vi multiplicerar talet 9, sekventiellt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi får: 9, 18 , 27, 36, 45
Som du kan se kommer LCM för siffrorna 6 och 9 att vara 18.

Denna metod är praktisk när båda talen är små och det är lätt att multiplicera dem med en sekvens av heltal. Det finns dock fall då du behöver hitta LCM för tvåsiffriga eller tresiffriga nummer, och även när det finns tre eller till och med fler initiala nummer.

Metod 2. Du kan hitta LCM genom att dekomponera de ursprungliga talen i primtalsfaktorer.
Efter sönderdelning är det nödvändigt att stryka ut samma siffror från den resulterande serien av primtalsfaktorer. De återstående siffrorna för det första numret kommer att vara faktorn för det andra, och de återstående siffrorna för det andra numret kommer att vara faktorn för det första.

Exempel för nummer 75 och 60.
Den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. För att göra detta delar vi upp 75 och 60 i primtalsfaktorer:
75 = 3 * 5 * 5, och
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Som du kan se förekommer faktorerna 3 och 5 i båda raderna. Mentalt "kryssar" vi dem.
Låt oss skriva ner de återstående faktorerna som ingår i expansionen av vart och ett av dessa siffror. När vi dekomponerade talet 75 lämnade vi siffran 5, och när vi sönderdelade talet 60 lämnade vi 2 * 2
Så för att bestämma LCM för talen 75 och 60 måste vi multiplicera de återstående talen från expansionen av 75 (detta är 5) med 60, och siffrorna som återstår från expansionen av talet 60 (detta är 2 * 2 ) multiplicera med 75. Det vill säga, för att underlätta förståelsen säger vi att vi multiplicerar "korsvis".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Så här hittade vi LCM för siffrorna 60 och 75. Det här är siffran 300.

Exempel. Bestäm LCM för nummer 12, 16, 24
I det här fallet kommer våra handlingar att vara något mer komplicerade. Men först, som alltid, delar vi upp alla tal i primtalsfaktorer
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
För att korrekt bestämma LCM väljer vi det minsta av alla siffror (detta är talet 12) och går successivt igenom dess faktorer och stryker över dem om minst en av de andra raderna med siffror har samma faktor som ännu inte har korsat. ut.

Steg 1 . Vi ser att 2 * 2 förekommer i alla serier av tal. Vi stryker över dem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Steg 2. I primtalsfaktorerna för talet 12 återstår bara talet 3. Men det finns i primtalsfaktorerna för talet 24. Vi stryker över talet 3 från båda raderna, medan ingen åtgärd förväntas för talet 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Som du kan se, när vi sönderdelade talet 12, "strekade vi över" alla siffror. Så upptäckten av NOC är klar. Det återstår bara att beräkna dess värde.
För talet 12 tar vi de återstående faktorerna från talet 16 (den närmaste i stigande ordning)
12 * 2 * 2 = 48
Det här är NOC

Som du kan se var det i det här fallet något svårare att hitta LCM, men när du behöver hitta den för tre eller fler nummer, låter den här metoden dig göra det snabbare. Båda sätten att hitta LCM är dock korrekta.

Överväg tre sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln.

Hitta genom faktorisering

Det första sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer.

Anta att vi behöver hitta LCM för siffror: 99, 30 och 28. För att göra detta delar vi upp vart och ett av dessa tal i primtalsfaktorer:

För att det önskade talet ska vara delbart med 99, 30 och 28 är det nödvändigt och tillräckligt att det inkluderar alla primtalsfaktorerna för dessa divisorer. För att göra detta måste vi ta alla primtalsfaktorer för dessa tal till den högsta förekommande potensen och multiplicera dem med varandra:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Så LCM (99, 30, 28) = 13 860. Inget annat tal mindre än 13 860 är jämnt delbart med 99, 30 eller 28.

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av givna tal måste du faktorisera dem till primtalsfaktorer, sedan ta varje primtalsfaktor med den största exponenten med vilken den förekommer och multiplicera dessa faktorer tillsammans.

Eftersom samprimtal inte har några gemensamma primtalsfaktorer är deras minsta gemensamma multipel lika med produkten av dessa tal. Till exempel är tre tal: 20, 49 och 33 coprime. Det är därför

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Detsamma bör göras när man letar efter den minsta gemensamma multipeln av olika primtal. Till exempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hitta genom urval

Det andra sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att passa.

Exempel 1. När det största av de givna talen är jämnt delbart med andra givna tal, är LCM för dessa tal lika med det största av dem. Till exempel med fyra siffror: 60, 30, 10 och 6. Var och en av dem är delbar med 60, därför:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

I andra fall, för att hitta den minsta gemensamma multipeln, används följande procedur:

1. Bestäm det största antalet från de givna talen.
2. Därefter hittar vi tal som är multiplar av det största talet, multiplicerar det med naturliga tal i stigande ordning och kontrollerar om de återstående givna talen är delbara med den resulterande produkten.

Exempel 2. Med tanke på tre siffror 24, 3 och 18. Bestäm den största av dem - det här är talet 24. Hitta sedan multiplerna av 24, kontrollera om var och en av dem är delbar med 18 och med 3:

24 1 = 24 är delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 2 = 48 - delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 3 \u003d 72 - delbart med 3 och 18.

Så LCM(24, 3, 18) = 72.

Sökning genom sekventiell sökning LCM

Det tredje sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att successivt hitta LCM.

LCM för två givna tal är lika med produkten av dessa tal dividerat med deras största gemensamma delare.

Exempel 1. Hitta LCM för två givna tal: 12 och 8. Bestäm deras största gemensamma delare: GCD (12, 8) = 4. Multiplicera dessa tal:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

Så LCM(12, 8) = 24.

För att hitta LCM för tre eller fler nummer används följande procedur:

1. Först hittas LCM för två av de givna talen.
2. Sedan, LCM för den hittade minsta gemensamma multipeln och det tredje givna talet.
3. Sedan, LCM för den resulterande minsta gemensamma multipeln och det fjärde talet, och så vidare.
4. LCM-sökningen fortsätter alltså så länge det finns siffror.

Exempel 2. Låt oss hitta LCM för tre givna siffror: 12, 8 och 9. Vi har redan hittat LCM för talen 12 och 8 i föregående exempel (detta är talet 24). Det återstår att hitta den minsta gemensamma multipeln av 24 och det tredje givna talet - 9. Bestäm deras största gemensamma divisor: gcd (24, 9) = 3. Multiplicera LCM med talet 9:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

Så LCM(12, 8, 9) = 72.