Înălțimea unui paralelogram este egală cu baza și cu unghiurile. Cum să găsiți aria unui paralelogram

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Un paralelogram este o figură patruunghiulară ale cărei laturi opuse sunt paralele și egale în perechi. Unghiurile sale opuse sunt și ele egale, iar punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului le împarte la jumătate, fiind centrul de simetrie al figurii. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt forme geometrice precum pătratul, dreptunghiul și rombul. Aria unui paralelogram poate fi găsită în diferite moduri, în funcție de ce date inițiale sunt folosite pentru a formula problema.

Caracteristica cheie a unui paralelogram, foarte des folosită atunci când îi găsim aria, este înălțimea acestuia. Înălțimea unui paralelogram este de obicei numită perpendiculară trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă unui segment drept care formează acea latură.

1. În cel mai simplu caz, aria unui paralelogram este definită ca produsul dintre baza și înălțimea acestuia.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   unde S este aria paralelogramului;
   a - bază;
   h este înălțimea trasă la baza dată.

   Această formulă este foarte ușor de înțeles și de reținut dacă te uiți la următoarea figură.

   

   După cum puteți vedea din această imagine, dacă tăiem un triunghi imaginar în stânga paralelogramului și îl atașăm la dreapta, rezultatul va fi un dreptunghi. După cum știți, aria unui dreptunghi se găsește înmulțind lungimea cu înălțimea sa. Numai în cazul unui paralelogram lungimea va fi baza, iar înălțimea dreptunghiului va fi înălțimea paralelogramului coborât pe o latură dată.

2. Aria unui paralelogram poate fi găsită și prin înmulțirea lungimii a două baze adiacente și a sinusului unghiului dintre ele:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   unde AD, AB sunt baze adiacente care formează un punct de intersecție și un unghi a între ele;
   α este unghiul dintre bazele AD și AB.

   

3. De asemenea, puteți găsi aria unui paralelogram împărțind la jumătate produsul lungimilor diagonalelor paralelogramului la sinusul unghiului dintre ele.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   unde AC, BD sunt diagonalele paralelogramului;
   β este unghiul dintre diagonale.

   

4. Există, de asemenea, o formulă pentru a găsi aria unui paralelogram prin raza cercului înscris în el. Este scris astfel:

Mai precis, în planimetrie și trigonometrie, uneori este necesar să se găsească înălțimea unui paralelogram pe baza valorilor date ale laturilor, unghiurilor, diagonalelor etc.

Pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, cunoscând aria și lungimea bazei sale, trebuie să utilizați regula pentru aria unui paralelogram. Aria unui paralelogram, așa cum se știe, este egală cu produsul dintre înălțimea și lungimea bazei:

S este aria paralelogramului,

a este lungimea bazei paralelogramului,

h este lungimea înălțimii coborâte pe latura a (sau prelungirea acesteia).

Din aceasta aflăm că înălțimea paralelogramului va fi aria împărțită la lungimea bazei:

De exemplu,

dat: aria paralelogramului este de 50 cm2, baza este de 10 cm;

aflați: înălțimea paralelogramului.

h=50/10=5 (cm).

Deoarece înălțimea unui paralelogram, o parte a bazei și latura adiacentă bazei formează o formă dreptunghiulară, atunci pentru înălțimea unui paralelogram puteți utiliza unele rapoarte ale laturilor și unghiurilor formelor dreptunghiulare.

Dacă se cunosc latura paralelogramului adiacentă înălțimii h (DE) d (AD) și unghiul A (BAD) opus înălțimii, atunci pentru a calcula înălțimea paralelogramului trebuie să înmulțiți lungimea laturii adiacente cu sinusul unghiului opus:

de exemplu, dacă d=10 cm și unghiul A=30 grade, atunci

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (cm).

Dacă problema este dată de lungimea paralelogramului adiacent înălțimii h (DE) d (AD) și lungimea bazei tăiată de înălțime (AE), atunci înălțimea paralelogramului poate fi găsită folosind Pitagora. teorema:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, de unde determinăm:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

acestea. înălțimea paralelogramului este egală cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele lungimii laturii adiacente și partea bazei tăiată de înălțime.

De exemplu, dacă lungimea laturii adiacente este de 5 cm, iar lungimea părții tăiate a bazei este de 3 cm, atunci lungimea înălțimii va fi:

h=√(5^2-3^2)=4 (cm).

Dacă se cunosc lungimea diagonalei adiacente înălțimii (DB) paralelogramului și lungimea părții bazei (BE) tăiată de înălțime, atunci înălțimea paralelogramului poate fi găsită și folosind teorema lui Pitagora. :

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, de unde determinăm:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2),

acestea. înălțimea paralelogramului este egală cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele lungimii diagonalei adiacente și înălțimea de tăiere (și) a bazei.

De exemplu, dacă lungimea laturii adiacente este de 5 cm, iar lungimea părții tăiate a bazei este de 4 cm, atunci lungimea înălțimii va fi:

h=√(5^2-4^2)=3 (cm).

Video pe tema

Surse:

• care este înălțimea unui paralelogram

Înălțimea unui poligon este segmentul de dreaptă perpendicular pe una dintre laturile figurii care îl leagă de vârful unghiului opus. Există mai multe astfel de segmente într-o figură convexă plată, iar lungimile lor nu sunt aceleași dacă cel puțin una dintre laturile poligonului are o dimensiune diferită de celelalte. Prin urmare, în problemele dintr-un curs de geometrie, uneori este necesar să se determine lungimea unei înălțimi mai mari, de exemplu, un triunghi sau paralelogram.

Instrucțiuni

Dacă, pe lângă lungimea celei mai scurte laturi a triunghiului (a), figura (S) este dată în condiții, cea mai mare dintre înălțimile (Hₐ) va fi destul de simplă. Dublați suprafața și împărțiți valoarea rezultată la lungimea scurtă - aceasta va fi înălțimea dorită: Hₐ = 2*S/a.

Fără a cunoaște aria, dar având lungimile triunghiului (a, b și c), puteți găsi și cea mai lungă dintre înălțimile sale, dar vor fi mult mai multe operații matematice. Începeți prin a calcula o cantitate auxiliară - semiperimetrul (p). Pentru a face acest lucru, adăugați lungimile tuturor laturilor și împărțiți rezultatul