Calculați aria unei figuri geometrice delimitate de linii. Cum se calculează aria unei figuri plane folosind integrala dublă

A)

Soluţie.

Primul și cel mai important moment al deciziei este construcția unui desen.

Hai sa facem un desen:

Ecuația y=0 setează axa x;

- x=-2Și x=1- drept, paralel cu axa OU;

- y \u003d x 2 +2 - o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu un vârf în punctul (0;2).

Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OUși rezolvând ecuația pătratică corespunzătoare, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

Puteți desena linii și punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou, De aceea:

Răspuns: S\u003d 9 unități pătrate

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie făcut dacă trapezul curbiliniu este situat sub axă Oh?

b) Calculați aria figurii delimitată de drepte y=-e x , x=1și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă trapezul curbiliniu este complet sub axă Oh , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

Răspuns: S=(e-1) unitate mp" 1,72 mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

c) Aflați aria unei figuri plane delimitată de drepte y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Aflați punctele de intersecție ale parabolei si direct Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Deci limita inferioară a integrării a=0, limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele(0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar este important care diagramă este MAI ÎNALTĂ (față de o altă diagramă) și care este MAI DEOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Este posibil să se construiască linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale).

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S\u003d 4,5 unități mp

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y = f(x), axa O x și liniile drepte x = a și x = b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:

Luați în considerare câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Soluţie. Să construim o figură, aria căreia va trebui să o calculăm.

y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă de vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită folosind formula .

În ceea ce privește această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de revoluție

Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.

Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul dorit este egal cu

Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotirea unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complexă și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod ar trebui copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare de mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.

În acest articol, veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul anumitor integrale tocmai a fost finalizat și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.

Deci, ceea ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

• Abilitatea de a desena corect desene;
• Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
• Capacitatea de a „vedea” o soluție mai profitabilă - de ex. pentru a înțelege cum în acest sau acel caz va fi mai convenabil să se realizeze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
• Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie în cușcă, la scară mare. Semnăm cu un creion deasupra fiecărui grafic numele acestei funcții. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în cele mai multe cazuri va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.

3. În continuare, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi zona figurii. Luați în considerare diverse exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.

3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți aria unui trapez curbiliniu. Ce este un trapez curbiliniu? Aceasta este o figură plată delimitată de axa x (y \u003d 0), linii drepte x \u003d a, x \u003d b și orice curbă continuă pe intervalul de la a la b. În același timp, această cifră este nenegativă și este situată nu mai jos decât axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0 .

Ce linii definesc figura? Avem o parabolă y \u003d x2 - 3x + 3, care este situată deasupra axei ОХ, este nenegativă, deoarece toate punctele acestei parabole sunt pozitive. În plus, sunt date liniile drepte x \u003d 1 și x \u003d 3, care sunt paralele cu axa ОУ, sunt liniile limită ale figurii din stânga și dreapta. Ei bine, y \u003d 0, este și axa x, care limitează cifra de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se vede în figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.

3.2. În paragraful anterior 3.1 a fost analizat cazul când trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Cum să rezolvăm o astfel de problemă, vom analiza în continuare.

Exemplul 2. Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 .

În acest exemplu, avem o parabolă y \u003d x2 + 6x + 2, care provine de sub axa OX, linii drepte x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Dreaptele x = -4 și x = -1 sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii zonei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe intervalul [-4; -1] . Ce nu înseamnă pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-ul dat are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor, care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. ca y = f(x) sau x = g(y) .

Teorema

Fie definite şi continue pe segmentul [ a ] ​​funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x); b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b] . Apoi, formula pentru calcularea ariei unei figuri G delimitată de linii x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) și y \u003d f 2 (x) va arăta ca S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) și x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Vom analiza trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a zonei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2 . Înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x .

Punctele de intersecție le vom nota ca x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Aceste puncte rup segmentul [ a ; b ] în n părţi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Și acum să trecem la analiza exemplelor de calculare a ariei figurilor care sunt limitate de liniile y \u003d f (x) și x \u003d g (y) .

Luând în considerare oricare dintre exemple, vom începe cu construcția unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă trasarea graficelor și a formelor pe ele este dificilă pentru dvs., puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor funcțiilor, precum și trasarea în timpul studiului unei funcții.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe intervalul [ 1 ; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2 . În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S (G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Acest lucru ne cere să găsim noi înșine a doua limită de integrare.

Să construim un grafic și să punem pe el liniile date în starea problemei.

Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului cu o linie dreaptă y \u003d x și o semi-parabolă y \u003d x + 2 . Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2 , y = x se intersectează în punctul (2 ; 2) , astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7 ] graficul funcţiei y = x este situat deasupra graficului funcţiei y = x + 2 . Aplicați formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y \u003d 1 x și y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să desenăm linii pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2 . Cu condiția ca x să nu fie egal cu zero, egalitatea 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul al treilea - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 cu coeficienți întregi . Puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, referindu-vă la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Am găsit un interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , unde G este inclus deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 și de axa absciselor.

Soluţie

Să punem toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl plasăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x y \u003d 0.

Să notăm punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate vedea din figură, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d 0 se intersectează în punctul (0; 0) . Acest lucru se datorează faptului că x \u003d 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 \u003d 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0 , deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2 ; 0) .

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1) . Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 \u003d - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y \u003d x 3 este strict în creștere, iar funcția y \u003d - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Următorul pas implică mai multe opțiuni.

Opțiunea numărul 1

Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1 , iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea numărul 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2 , iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona astfel:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Soluţie

Desenați o linie pe diagramă cu o linie roșie, dată de funcția y = x . Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și marcați linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Observați punctele de intersecție.

Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i este soluția x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4 ; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 este soluția ecuației ⇒ (9; 3) punctul și intersecția y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nu este o soluție a ecuației

Aflați punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda numărul 1

Reprezentăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda numărul 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma celorlalte două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația liniei pentru x și numai după aceea aplicăm formula pentru calcularea ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este delimitată de linii date, trebuie să trasăm linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru găsirea ariei. În această secțiune, am analizat cele mai comune opțiuni pentru sarcini.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter