Probabilitate la examen cu soluții. Probleme simple în teoria probabilității. Formula de bază

eveniment aleatoriu Orice eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unei anumite experiențe.

Probabilitatea evenimentului R este egal cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile k dintre toate rezultatele posibile. n, adică

p=\frac(k)(n)

Formule de adunare și înmulțire a probabilităților

eveniment \bar(A). numit opus evenimentului A, dacă evenimentul A nu a avut loc.

Suma probabilităților evenimente opuse este egal cu unul, i.e.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Probabilitatea unui eveniment nu poate fi mai mare de 1.
• Dacă probabilitatea unui eveniment este 0, atunci nu se va întâmpla.
• Dacă probabilitatea unui eveniment este 1, atunci se va întâmpla.

Teorema de adunare a probabilității:

„Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilitate sume două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără a lua în considerare apariția lor comună:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema înmulțirii probabilităților

„Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilităților unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Evenimente numit incompatibil, dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altora. Adică, poate avea loc un singur eveniment anume sau altul.

Evenimente numit comun, cu excepția cazului în care apariția unuia dintre ele împiedică apariția celuilalt.

Două evenimente aleatorii A și B sunt numite independent, dacă apariţia unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariţiei celuilalt. În caz contrar, evenimentele A și B se numesc dependente.

V-6-2014 (toate cele 56 de prototipuri de la banca USE)

Să fie capabil să construiască și să exploreze cele mai simple modele matematice (teoria probabilității)

1. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea de a obține 8 puncte în total. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Soluţie: Numărul de rezultate în care sunt aruncate 8 puncte ca urmare a unei aruncări de zaruri este 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Fiecare dintre zaruri poate cădea în șase moduri, astfel încât numărul total de rezultate este 6 6 = 36. Prin urmare, probabilitatea ca 8 puncte să cadă în total este 5: 36=0,138...=0,14

2. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată. Soluţie: Există 4 rezultate posibile ale experimentului: cap-capete, cap-cozi, cozi-capete, cozi-cozi. Capetele apar exact o dată în două cazuri: cap-cozi și coadă-capete. Prin urmare, probabilitatea ca capete să cadă exact o dată este 2: 4 = 0,5.

3. La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China. Soluţie: Participă la campionatsportivi din China. Atunci probabilitatea ca sportivul care face primul performanță să fie din China este 5: 20 = 0,25

4. În medie, din 1.000 de pompe de grădină vândute, 5 scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu să nu aibă scurgeri. Soluţie: În medie, din 1.000 de pompe de grădină vândute, 1.000 - 5 = 995 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este 995: 1000 = 0,995

5. Fabrica produce saci. În medie, pentru fiecare 100 de genți de calitate, sunt opt ​​pungi cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Soluţie: În funcție de condiție, pentru fiecare 100 + 8 = 108 pungi, există 100 de pungi de calitate. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate este de 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. La concursul de aruncare a loviturii participă 4 sportivi din Finlanda, 7 sportivi din Danemarca, 9 sportivi din Suedia și 5 sportivi din Norvegia. Ordinea în care concurează sportivii este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca ultimul jucător care a concurat să fie din Suedia.. Solutie: În total, la competiție participă 4 + 7 + 9 + 5 = 25 de sportivi. Deci probabilitatea ca sportivul care concurează ultimul să fie din Suedia este 9: 25 = 0,36

7. Conferința științifică se ține în 5 zile. În total sunt planificate 75 de rapoarte - primele trei zile, câte 17 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței? Soluţie: În primele trei zile vor fi citite 51 de rapoarte, 24 de rapoarte sunt planificate pentru ultimele două zile. Prin urmare, pentru ultima zi sunt programate 12 rapoarte. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 12: 75 = 0,16

8. Concursul de interpreți se desfășoară în 5 zile. Au fost anunțate în total 80 de spectacole - câte una din fiecare țară. În prima zi sunt 8 spectacole, restul sunt împărțite în mod egal între zilele rămase. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca prestația reprezentantului Rusiei să aibă loc în a treia zi a competiției? Soluţie: Programat pentru a treia zidiscursuri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca performanța unui reprezentant din Rusia să fie programată pentru a treia zi a competiției este de 18: 80 = 0,225

9. La seminar au venit 3 oameni de știință din Norvegia, 3 din Rusia și 4 din Spania. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al optulea să fie raportul unui om de știință din Rusia. Soluţie: În total, la seminar participă 3 + 3 + 4 = 10 oameni de știință, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca omul de știință care vorbește al optulea să fie din Rusia este de 3:10 = 0,3.

10. Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia? Soluţie: În primul tur Ruslan Orlov poate juca cu 26 − 1 = 25 de jucători de badminton, dintre care 10 − 1 = 9 din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este de 9: 25 = 0,36

11. În colecția de bilete de biologie sunt doar 55 de bilete, 11 dintre ele conțin o întrebare despre botanică. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică într-un bilet de examen selectat aleatoriu. Rezolvare: 11: 55 = 0,2

12. 25 de sportivi concurează la campionatul de scufundări, printre care 8 săritori din Rusia și 9 săritori din Paraguay. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al șaselea săritor să fie din Paraguay.

13. Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua - 70%. Prima fabrică produce 3% ochelari defecte, iar a doua - 4%. Găsiți probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect.

Soluţie. Convertiți %% în fracții.

Evenimentul A - „Ochelari achiziționați de la prima fabrică”. P(A)=0,3

Evenimentul B - „Se cumpără ochelari de la a doua fabrică”. P(B)=0,7

Evenimentul X - „Windows sunt defecte”.

P(A și X) = 0,3*0,03=0,009

P (B și X) \u003d 0,7 * 0,04 \u003d 0,028 Conform formulei probabilității totale: P \u003d 0,009 + 0,028 = 0.037

14. Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă marele maestru B. cu o probabilitate de 0,52. Dacă A. joacă negru, atunci A. îl bate pe B. cu o probabilitate de 0,3. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori. Soluţie: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya și Lyosha au tras la sorți - cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Petya să înceapă jocul.

Soluție: Experiment aleatoriu - tragere la sorți.
În acest experiment, evenimentul elementar este participantul care câștigă lotul.
Enumerăm posibilele evenimente elementare:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Vor fi 4 dintre ei, adică. N=4. Lotul implică faptul că toate evenimentele elementare sunt la fel de posibile.
Evenimentul A= (Petya a câștigat lotul) este favorizat de un singur eveniment elementar (Petya). Prin urmare N(A)=1.
Atunci P(A)=0,25 Răspuns: 0,25.

16. 16 echipe participă la Campionatul Mondial. Prin tragere la sorți, aceștia trebuie împărțiți în patru grupe a câte patru echipe. Amestecate în cutie sunt cărți cu numere de grup: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Căpitanii de echipă trag câte o carte. . Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a doua? Soluţie: Există 16 rezultate în total. cu numărul 2 va fi 4. Deci 4: 16=0,25

17. La examenul de geometrie, studentul primește o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu cerc înscris este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu paralelogram este de 0,15. Nu există întrebări legate de aceste două subiecte în același timp. Găsiți probabilitatea ca studentul să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

= (întrebare pe tema „Cercul înscris”),
= (o întrebare pe tema „Paralelogram”).
EvenimenteȘi sunt incompatibile, deoarece prin condiție nu există întrebări în listă legate de aceste două subiecte în același timp.
Eveniment= (întrebare pe unul dintre aceste două subiecte) este uniunea lor:.
Aplicăm formula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:
.

18. Două automate identice vând cafea într-un mall. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Găsiți probabilitatea ca până la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele automate.

Să definim evenimentele
= (cafea se va termina la prima mașină),
= (cafea se va termina în a doua mașină).
Conform sarciniiȘi .
Folosind formula de adunare a probabilităților, găsim probabilitatea unui eveniment
Și = (cafea se va termina în cel puțin una dintre aparate):

.
Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus (cafea va rămâne în ambele aparate) este egală cu
.

19. Un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

În această problemă, se presupune că rezultatul fiecărei fotografii următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură”, etc. independent.
Probabilitatea fiecărei lovituri este. Deci probabilitatea fiecărei rateuri este. Folosim formula de înmulțire a probabilităților de evenimente independente. Obținem secvența
= (loviți, loviți, loviți, ratați, ratați) are o probabilitate
=
= . Răspuns: .

20. Există două automate de plată în magazin. Fiecare dintre ele poate fi defect cu o probabilitate de 0,05, indiferent de celălalt automat. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un automat să fie funcțional.

Această problemă presupune și independența funcționării automatelor.
Aflați probabilitatea evenimentului opus
= (ambele mașini sunt defecte).
Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente:
.
Deci probabilitatea unui eveniment= (cel puțin un automat este operațional) este egal cu. Răspuns: .

21. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an. Soluție: ambele se vor arde (evenimentele sunt independente și folosim formula pentru produsul probabilităților) cu probabilitatea p1=0,3⋅0,3=0,09
Evenimentul opus(NU se vor arde ambele = cel puțin UNUL nu se va arde)
se va întâmpla cu probabilitatea p=1-p1=1-0,09=0,91
RĂSPUNS: 0,91

22. Probabilitatea ca un fierbător electric nou să reziste mai mult de un an este de 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.

Soluţie.

Fie A = „fierbanul va rezista mai mult de un an, dar mai puțin de doi ani”, B = „fierbanul va rezista mai mult de doi ani”, apoi A + B = „fierbanul va rezista mai mult de un an”.

Evenimentele A și B sunt comune, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor. Probabilitatea produsului acestor evenimente, constând în faptul că ibricul va eșua în exact doi ani - exact în aceeași zi, oră și secundă - este egală cu zero. Apoi:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

de unde, folosind datele din condiție, obținem 0,97 = P(A) + 0,89.

Astfel, pentru probabilitatea dorită avem: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. O firmă agricolă cumpără ouă de la două gospodării. 40% din ouăle din prima fermă sunt ouă de cea mai înaltă categorie, iar din a doua fermă - 20% din ouăle din cea mai înaltă categorie. În total, 35% dintre ouă primesc cea mai înaltă categorie. Găsiți probabilitatea ca oul achiziționat de la această fermă să fie de la prima fermă. Soluţie: Lăsați în prima fermă, firma agricolă cumpără ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie, iar în a doua fermă - ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie. Astfel, în total, agroforma cumpără ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie. După condiție, 35% dintre ouă au cea mai înaltă categorie, atunci:

Prin urmare, probabilitatea ca oul achiziționat să fie de la prima fermă este egală cu =0,75

24. Pe tastatura telefonului sunt 10 numere, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca un număr apăsat aleatoriu să fie par?

25. Care este probabilitatea ca un număr natural ales aleatoriu de la 10 la 19 să fie divizibil cu trei?

26. Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage dintr-un revolver. Dacă John trage un revolver neîmpușcat, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze. Soluție: Ioane lovește o muscă dacă apucă un revolver văzător și lovește din el sau dacă apucă un revolver netras și lovește din el. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt 0,4 0,9 = 0,36 și, respectiv, 0,6 0,2 = 0,12. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 0,36 + 0,12 = 0,48. Evenimentul pe care John îl ratează este opusul. Probabilitatea sa este 1 − 0,48 = 0,52.

27. Într-un grup de turiști sunt 5 persoane. Cu ajutorul loturilor, ei aleg doi oameni care trebuie să meargă în sat pentru mâncare. Turistul A. ar dori să meargă la magazin, dar se supune la lot. Care este probabilitatea ca A să meargă la magazin? Soluţie: Sunt cinci turişti în total, doi dintre ei sunt selectaţi aleatoriu. Probabilitatea de a fi selectat este 2:5 = 0,4. Răspuns: 0,4.

28. Înainte de începerea unui meci de fotbal, arbitrul aruncă o monedă pentru a determina ce echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Fizicianului joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca în aceste jocuri „Fizicianul” să câștige lotul exact de două ori. Soluţie: Să notăm cu "1" fața monedei care este responsabilă pentru câștigarea lotului de către "Fizician", cealaltă față a monedei va fi notată cu "0". Apoi există trei combinații favorabile: 110, 101, 011 și sunt 2 combinații în total 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Astfel, probabilitatea dorită este:

29. Un zar este aruncat de două ori. Câte rezultate elementare ale experienței favorizează evenimentul „A = suma punctelor este egală cu 5”? Rezolvare: Suma punctelor poate fi egală cu 5 în patru cazuri: „3 + 2”, „2 + 3”, „1 + 4”, „4 + 1”. Raspuns: 4.

30. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul OR să vină (capete prima dată, a doua scăpa). Soluţie: Există patru rezultate posibile: cap-capete, cap-cozi, cozi-capete, cozi-cozi. Favorabil este unul: cap-cozi. Prin urmare, probabilitatea dorită este 1: 4 = 0,25. Răspuns: 0,25.

31. Grupuri concertează la festivalul rock - câte unul din fiecare dintre țările declarate. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca o trupă din Danemarca să cânte după o trupă din Suedia și după o trupă din Norvegia? Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Soluţie: Numărul total de grupuri care concertează la festival nu contează pentru a răspunde la întrebare. Indiferent de câte sunt, pentru aceste țări există 6 moduri de aranjare reciprocă între vorbitori (D - Danemarca, W - Suedia, N - Norvegia):

L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..D...N..., ...N...D...Sh..., ...N...Sh...D...

Danemarca vine după Suedia și Norvegia de două ori. Prin urmare, probabilitatea ca grupurile să fie distribuite aleatoriu în acest fel este egală cu Răspuns: 0,33.

32. În timpul tragerii de artilerie, sistemul automat efectuează o lovitură în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul declanșează din nou. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar cu fiecare lovitură ulterioară - 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98? Soluţie: Puteți rezolva problema „prin acțiuni”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de rateuri succesive: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Ultima probabilitate este mai mică de 0,02, deci cinci lovituri la țintă sunt suficiente.

33. Pentru a trece în runda următoare a competiției, o echipă de fotbal trebuie să marcheze cel puțin 4 puncte în două jocuri. Dacă o echipă câștigă, primește 3 puncte, în caz de egalitate - 1 punct, dacă pierde - 0 puncte. Găsiți probabilitatea ca echipa să poată trece în următoarea rundă a competiției. Luați în considerare că în fiecare joc probabilitățile de câștig și de pierdere sunt aceleași și egale cu 0,4. Soluţie : O echipă poate obține cel puțin 4 puncte în două jocuri în trei moduri: 3+1, 1+3, 3+3. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților lor. Fiecare dintre aceste evenimente este un produs a două evenimente independente - rezultatul în primul și al doilea joc. Prin urmare avem:

34. Într-un anumit oraș, din 5000 de bebeluși născuți, 2512 sunt băieți. Găsiți frecvența de naștere a fetelor din acest oraș. Rotunjiți rezultatul la miimi. Soluţie: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. La bordul aeronavei sunt 12 locuri lângă ieșirile de urgență și 18 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Restul scaunelor sunt incomode pentru un pasager înalt. Pasagerul V. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, cu o alegere aleatorie a locului, pasagerul B. să primească un loc confortabil dacă există 300 de locuri în avion. Soluţie : În avion, 12 + 18 = 30 de locuri sunt convenabile pentru pasagerul V., iar în total sunt 300 de locuri în avion. Prin urmare, probabilitatea ca pasagerul B. să obțină un scaun confortabil este de 30: 300 = 0,1 Răspuns: 0,1.

36. La olimpiada de la universitate, participanții sunt așezați în trei săli de clasă. În primele două, câte 120 de persoane, restul sunt duși într-o sală de rezervă dintr-o altă clădire. La numărare, s-a dovedit că au fost 250 de participanți în total. Găsiți probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să fi scris olimpiada în camera liberă. Soluţie: În total, 250 − 120 − 120 = 10 persoane au fost trimise în publicul de rezervă. Prin urmare, probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să scrie Olimpiada în camera liberă este 10: 250 = 0,04. Răspuns: 0,04.

37. În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup. Soluţie: Lăsați unul dintre gemeni să fie într-un grup. Împreună cu el vor fi în grup 12 persoane din cei 25 de colegi de clasă rămași. Probabilitatea ca al doilea geamăn să fie printre aceste 12 persoane este 12:25 = 0,48.

38. În compania de taxiuri sunt 50 de mașini; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt galbene cu inscripții negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu inscripții negre să ajungă la un apel aleatoriu. Rezolvare: 23:50=0,46

39. Într-un grup de turiști sunt 30 de persoane. Sunt aruncați cu elicopterul în mai mulți pași într-o zonă îndepărtată, câte 6 persoane pe zbor. Ordinea în care elicopterul transportă turiștii este aleatorie. Aflați probabilitatea ca turistul P. să efectueze primul zbor cu elicopterul. Soluţie: La primul zbor sunt 6 locuri, în total 30 de locuri.Atunci probabilitatea ca turistul P. să zboare la primul zbor cu elicopterul este: 6:30 = 0,2

40. Probabilitatea ca un nou DVD player să fie reparat în decurs de un an este de 0,045. Într-un anume oraș, din 1.000 de DVD playere vândute în cursul anului, la atelierul de garanție au ajuns 51 de piese. Cât de diferită este frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș? Soluţie: Frecvența (frecvența relativă) a evenimentului „reparație în garanție” este 51: 1000 = 0,051. Diferă de probabilitatea prezisă cu 0,006.

41. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu cel mult 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm. Soluţie. În funcție de condiție, diametrul rulmentului va fi în intervalul de la 66,99 la 67,01 mm cu o probabilitate de 0,965. Prin urmare, probabilitatea dorită pentru evenimentul opus este 1 − 0,965 = 0,035.

42. Probabilitatea ca elevul O. să rezolve corect mai mult de 11 sarcini la un test de biologie este de 0,67. Probabilitatea ca O. să rezolve corect mai mult de 10 probleme este de 0,74. Aflați probabilitatea ca O. să rezolve corect exact 11 probleme. Soluţie: Luați în considerare evenimentele A = „elevul va rezolva 11 probleme” și B = „elevul va rezolva mai mult de 11 probleme”. Suma lor este evenimentul A + B = „elevul va rezolva mai mult de 10 probleme”. Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B). Apoi, folosind datele problemei, obținem: 0,74 = P(A) + 0,67, de unde P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Răspuns: 0,07.

43. Pentru a intra la Institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și o limbă străină. Pentru a intra la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale. Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, într-o limbă străină - 0,7 și în studii sociale - 0,5. Aflați probabilitatea ca Z. să poată introduce cel puțin una dintre cele două specialităţi menţionate. Soluţie: Pentru a intra măcar undeva, Z. trebuie să promoveze atât limba rusă, cât și matematica cu cel puțin 70 de puncte și, în plus, să promoveze o limbă străină sau studii sociale cu cel puțin 70 de puncte. Lăsa A, B, C și D - sunt probe la care Z. promovează matematică, rusă, străinătate, respectiv studii sociale, cu minim 70 de puncte. Apoi de când

Pentru probabilitatea de sosire avem:

44. La fabrica de vase ceramice 10% din farfuriile produse au un defect. În timpul controlului calității produsului, sunt detectate 80% din plăcile defecte. Restul farfurii sunt de vanzare. Găsiți probabilitatea ca o placă aleasă aleatoriu la momentul achiziției să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime. Soluţie : Să producă fabricafarfurii. Toate chimvalele de înaltă calitate și 20% dintre chimvalele defecte nedetectate vor fi puse în vânzare:farfurii. Pentru că cele de calitate, probabilitatea de a cumpăra o placă de calitate este de 0,9p:0,92p=0,978 Răspuns: 0,978.

45. În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu o probabilitate de 0,3. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleator de timp toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții intră independent unul de celălalt). Soluţie : Probabilitatea producerii unor evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea ca toți cei trei vânzători să fie ocupați este

46. ​​​​Pe baza recenziilor clienților, Ivan Ivanovich a evaluat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,8. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,9. Ivan Ivanovici a comandat imediat mărfurile în ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciunul dintre magazine să nu livreze mărfurile. Soluţie: Probabilitatea ca primul magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,9 = 0,1. Probabilitatea ca al doilea magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,8 = 0,2. Deoarece aceste evenimente sunt independente, probabilitatea produsului lor (ambele magazine nu vor livra marfa) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: 0,1 0,2 = 0,02

47. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 20 de pasageri în autobuz este de 0,94. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 15 pasageri este de 0,56. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie între 15 și 19. Soluţie: Luați în considerare evenimentele A = „sunt mai puțin de 15 pasageri în autobuz” și B = „sunt între 15 și 19 pasageri în autobuz”. Suma lor este evenimentul A + B = „mai puțin de 20 de pasageri în autobuz”. Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B). Apoi, folosind datele problemei, obținem: 0,94 = 0,56 + P(B), de unde P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Răspuns: 0,38.

48. Înainte de începerea unui meci de volei, căpitanii de echipă trag la sorți pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Stator joacă pe rând cu echipele Rotor, Motor și Starter. Găsiți probabilitatea ca Stator să înceapă doar primul și ultimul joc. Soluţie. Este necesar să se găsească probabilitatea de produs a trei evenimente: „Stator” începe primul joc, nu începe al doilea joc, începe al treilea joc. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Probabilitatea fiecăreia dintre ele este egală cu 0,5, de unde găsim: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Răspuns: 0,125.

49. Există două tipuri de vreme în Fairyland: bună și excelentă, iar vremea, după ce s-a așezat dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu o probabilitate de 0,8 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Fairyland este bună. Găsiți probabilitatea ca în Magicland să fie vreme grozavă pe 6 iulie. Soluţie. Pentru vremea pe 4, 5 și 6 iulie, există 4 opțiuni: XXO, XOO, OXO, LLC (aici X este bună, O este vreme excelentă). Să aflăm probabilitățile unei astfel de vreme: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Tuturor pacienților cu suspiciune de hepatită li se face un test de sânge. Dacă analiza dezvăluie hepatită, atunci rezultatul analizei este numit pozitiv . La pacienții cu hepatită, analiza dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, atunci testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,01. Se știe că 5% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca rezultatul testului unui pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie pozitiv. Soluție. Analiza pacientului poate fi pozitivă din două motive: A) pacientul are hepatită, analiza lui este corectă; B) pacientul nu are hepatită, analiza lui este falsă. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. În buzunarul lui Misha erau patru dulciuri - Grillage, Veverita, Vaca și Rândunica, precum și cheile apartamentului. Scoțând cheile, Misha a scăpat din greșeală o bomboană din buzunar. Găsiți probabilitatea ca bomboana Grillage să se piardă.

52. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca orele să fie înghețate când ajunge la 10, dar nu ajunge la ora 1. Rezolvare: 3: 12=0,25

53. Probabilitatea ca bateria să fie defectă este de 0,06. Clientul din magazin selectează un pachet aleatoriu care conține două dintre aceste baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii să fie bune. Soluţie: Probabilitatea ca bateria să fie bună este de 0,94. Probabilitatea de a produce evenimente independente (ambele baterii vor fi bune) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: 0,94 0,94 \u003d 0,8836. Răspuns: 0,8836.

54. O linie automată face baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectuoasă este de 0,99. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie bună este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca o baterie fabricată selectată aleatoriu să fie respinsă de sistemul de control. Soluţie. Ca urmare a evenimentelor poate apărea situația în care bateria va fi respinsă: A = bateria este cu adevărat proastă și a fost respinsă în mod corect, sau B = bateria este bună, dar a fost respinsă din greșeală. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem:

55. Figura prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirint în punctul „Intrare”. Păianjenul nu poate să se întoarcă și să se târască înapoi, prin urmare, la fiecare bifurcație, păianjenul alege una dintre căile pe care nu s-a târât încă. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate va ajunge păianjenul la ieșire.

Soluţie.

La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu o probabilitate de 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea produsului lor (păianjenul ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.

Teoria probabilității la examenul de matematică poate fi prezentată atât sub formă de sarcini simple pentru definirea clasică a probabilității, cât și sub forma unora destul de complexe, pentru aplicarea teoremelor corespunzătoare.

În această parte, luăm în considerare problemele pentru care este suficient să folosim definiția probabilității. Uneori aici vom aplica și o formulă pentru calcularea probabilității evenimentului opus. Deși aici se poate renunța la această formulă, ea va fi totuși necesară atunci când se rezolvă următoarele probleme.

Partea teoretică

Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate să apară sau nu (este imposibil de prezis în prealabil) în timpul unei observații sau test.

Să presupunem că în timpul testului (aruncarea unei monede sau a unui zar, extragerea unui bilet de examen etc.) sunt posibile rezultate la fel de posibile. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, numărul tuturor rezultatelor este 2, deoarece nu pot exista alte rezultate, cu excepția pierderii „cozilor” sau „vulturii”. Când aruncați un zar, sunt posibile 6 rezultate, deoarece apariția oricăruia dintre numerele de la 1 la 6 este la fel de posibilă pe fața superioară a zarului. Să fie și un eveniment A favorizat de rezultate.

Probabilitatea unui eveniment A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile (aceasta este definiția clasică a probabilității). Noi scriem

De exemplu, evenimentul A consta în obținerea unui număr impar de puncte la o aruncare a unui zar. Există 6 rezultate posibile în total: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pe fața superioară a zarului, în același timp, rezultatele cu 1, 3, 5 aruncări sunt favorabile pentru evenimentul A. Astfel, .

Rețineți că inegalitatea dublă este întotdeauna valabilă, deci probabilitatea oricărui eveniment A se află pe interval, adică . Dacă răspunsul tău are o probabilitate mai mare de unu, atunci ai greșit undeva și trebuie să verifici soluția.

Evenimentele A și B sunt numite opus reciproc dacă vreun rezultat este favorabil pentru exact unul dintre ei.

De exemplu, când se aruncă un zar, evenimentul „a aruncat un număr impar” este opusul evenimentului „a aruncat un număr par”.

Se notează evenimentul opus evenimentului A. Din definirea evenimentelor opuse rezultă
, Mijloace,
.

Probleme legate de selectarea obiectelor dintr-un set

Sarcina 1. La Campionatul Mondial participă 24 de echipe. Prin tragere la sorți, aceștia trebuie împărțiți în patru grupe a câte șase echipe fiecare. În cutie sunt cărți combinate cu numere de grup:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia?

Numărul total de rezultate este egal cu numărul de cărți - sunt 24. Există 6 rezultate favorabile (deoarece numărul 3 este scris pe șase cărți). Probabilitatea dorită este egală cu .

Răspuns: 0,25.

Sarcina 2. O urnă conține 14 bile roșii, 9 galbene și 7 verzi. Din urnă se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie galbenă?

Numărul total de rezultate este egal cu numărul de bile: 14 + 9 + 7 = 30. Numărul de rezultate favorabile acestui eveniment este 9. Probabilitatea dorită este egală cu .

Sarcina 3. Pe tastatura telefonului sunt 10 numere, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca un număr apăsat aleatoriu să fie par și mai mare decât 5?

Rezultatul aici este apăsarea unei anumite taste, deci există 10 rezultate la fel de posibile în total. Evenimentul indicat este favorizat de rezultate, ceea ce înseamnă apăsarea tastei 6 sau 8. Există două astfel de rezultate. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,2.

Sarcina 4. Care este probabilitatea ca un număr natural ales aleatoriu de la 4 la 23 să fie divizibil cu 3?

Există 23 - 4 + 1 = 20 de numere naturale în intervalul de la 4 la 23, ceea ce înseamnă că există 20 de rezultate posibile în total. Pe acest segment, următoarele numere sunt multipli de trei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Sunt 6 astfel de numere în total, deci 6 rezultate favorizează evenimentul în cauză. Probabilitatea dorită este egală cu .

Răspuns: 0,3.

Sarcina 5. Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?

1-a cale.

Deoarece studentul poate răspunde la 17 bilete, nu poate răspunde la 3 bilete. Probabilitatea de a obține unul dintre aceste bilete este, prin definiție, .

a 2-a cale.

Notați cu A evenimentul „studentul poate răspunde la bilet”. Apoi . Probabilitatea evenimentului opus este =1 - 0,85 = 0,15.

Răspuns: 0,15.

Sarcina 6. La campionatul de gimnastică ritmică participă 20 de sportivi: 6 din Rusia, 5 din Germania, restul din Franța. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al șaptelea sportiv să fie din Franța.

Sunt 20 de sportivi în total, toți au șanse egale să performați pe locul șapte. Prin urmare, există 20 de rezultate la fel de probabile. Din Franta 20 - 6 - 5 = 9 sportivi, deci sunt 9 rezultate favorabile pentru acest eveniment. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,45.

Sarcina 7. Conferința științifică are loc în 5 zile. Sunt planificate un total de 50 de rapoarte - primele trei zile, câte 12 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului N. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Mai întâi, să aflăm câte rapoarte sunt programate pentru ultima zi. Rapoartele sunt programate pentru primele trei zile. Mai sunt 50 - 36 = 14 rapoarte care sunt distribuite în mod egal între celelalte două zile, deci rapoartele sunt programate pentru ultima zi.

Vom considera ca rezultat numărul de ordine al raportului profesorului N. Există 50 de astfel de rezultate la fel de posibile, sunt 7 rezultate care favorizează evenimentul indicat (ultimele 7 numere din lista de rapoarte). Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,14.

Sarcina 8. La bordul aeronavei sunt 10 locuri lângă ieșirile de urgență și 15 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Restul scaunelor sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul K. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, cu o alegere aleatorie a locului, pasagerul K. să primească un loc confortabil dacă există 200 de locuri în avion.

Rezultatul în această problemă este alegerea locației. În total, există 200 de rezultate la fel de posibile. Favorizați evenimentul „locul ales este convenabil” 15 + 10 = 25 de rezultate. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,125.

Sarcina 9. Din cele 1000 de râșnițe de cafea asamblate în fabrică, 7 bucăți sunt defecte. Expertul verifică o râșniță de cafea selectată aleatoriu din aceste 1000. Găsiți probabilitatea ca râșnița de cafea verificată să fie defectă.

Atunci când alegeți o râșniță de cafea la întâmplare, sunt posibile 1000 de rezultate, evenimentul A „râșnița de cafea selectată este defectă” este favorabil pentru 7 rezultate. Prin definiția probabilității.

Răspuns: 0,007.

Sarcina 10. Fabrica produce frigidere. În medie, pentru fiecare 100 de frigidere de înaltă calitate, există 15 frigidere cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca frigiderul achiziționat să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Această sarcină este similară cu cea anterioară. Cu toate acestea, formularea „la fiecare 100 de frigidere de calitate, sunt 15 cu defecte” ne spune că 15 bucăți defecte nu sunt incluse în calitatea 100. Prin urmare, numărul total de rezultate este 100 + 15 = 115 (egal cu numărul total de frigidere), rezultatele favorabile sunt 100. Probabilitatea necesară este . Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți împărțirea printr-un colț. Obținem 0,869 ... care este 0,87.

Răspuns: 0,87.

Sarcina 11. Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 16 jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 7 participanți din Rusia, inclusiv Maxim Zaitsev. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Maxim Zaitsev să joace orice tenismen din Rusia.

Ca și în sarcina anterioară, trebuie să citiți cu atenție condiția și să înțelegeți care este rezultatul și care este rezultatul favorabil (de exemplu, aplicarea necugetă a formulei probabilității duce la un răspuns greșit).

Aici rezultatul este rivalul lui Maxim Zaitsev. Deoarece există 16 jucători de tenis în total și Maxim nu poate juca singur, există 16 - 1 = 15 rezultate la fel de probabile. Un rezultat favorabil este un rival din Rusia. Există 7 astfel de rezultate favorabile - 1 = 6 (îl excludem pe Maxim însuși dintre ruși). Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,4.

Sarcina 12. La secția de fotbal participă 33 de persoane, printre care doi frați - Anton și Dmitry. Cei care participă la secțiune sunt împărțiți aleatoriu în trei echipe a câte 11 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anton și Dmitry să fie în aceeași echipă.

Să formăm echipe așezând succesiv jucătorii în locuri goale, în timp ce începem cu Anton și Dmitry. Mai întâi, să-l plasăm pe Anton într-un loc selectat aleatoriu din 33 de locuri libere. Acum îl punem pe Dmitry pe un loc gol (vom lua în considerare alegerea unui loc pentru el drept rezultat). Sunt 32 de locuri libere în total (unul a fost deja ocupat de Anton), deci sunt 32 de rezultate posibile în total. Au rămas 10 locuri libere în aceeași echipă cu Anton, așa că evenimentul „Anton și Dmitry în aceeași echipă” este favorizat de 10 rezultate. Probabilitatea acestui eveniment este .

Răspuns: 0,3125.

Sarcina 13. Ceasul mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a rupt la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca anunțul orelor să fie înghețat când ajunge la 11, dar nu ajunge la ora 2.

În mod convențional, cadranul poate fi împărțit în 12 sectoare situate între mărcile numerelor învecinate (între 12 și 1, 1 și 2, 2 și 3, ..., 11 și 12). Vom lua în considerare oprirea arătării orelor într-unul dintre sectoarele indicate drept rezultat. În total, există 12 rezultate la fel de posibile. Acest eveniment este favorizat de trei rezultate (sectoarele între 11 și 12, 12 și 1, 1 și 2). Probabilitatea dorită este egală cu .

Răspuns: 0,25.

Rezuma

După ce am studiat materialul de rezolvare a problemelor simple din teoria probabilităților, recomand finalizarea sarcinilor pentru o soluție independentă, pe care le publicăm pe canalul nostru Telegram. De asemenea, puteți verifica corectitudinea implementării lor introducând dvs răspunsuri în forma propusă.

Vă mulțumim pentru distribuirea articolului pe rețelele de socializare

Sursa „Pregătirea pentru examen. Matematică.Teoria probabilităţii”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov

Lecție-prelecție pe tema „teoria probabilității”

Sarcina numărul 4 de la examen 2016.

nivel de profil.

1 grup: sarcini privind utilizarea formulei clasice de probabilitate.

• Exercitiul 1. Compania de taxi are 60 de mașini; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt galbene cu inscripții negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu inscripții negre să ajungă la un apel aleatoriu.

• Sarcina 2. Misha, Oleg, Nastya și Galya au tras la sorți - cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Galya să nu înceapă jocul.

• Sarcina 3.În medie, din 1.000 de pompe de grădină vândute, 7 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu să nu aibă scurgeri.

• Sarcina 4.În colecția de bilete la chimie sunt doar 15 bilete, în 6 dintre ele există o întrebare pe tema „Acizi”. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe tema „Acizi” într-un bilet selectat aleatoriu la examen.

• Sarcina 5.În campionatul de scufundări concurează 45 de sportivi, dintre care 4 scafandri din Spania și 9 scafandri din SUA. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al douăzeci și patrulea săritor să fie din Statele Unite.

• Sarcina 6. Conferința științifică are loc în 3 zile. Sunt planificate un total de 40 de rapoarte - 8 rapoarte în prima zi, restul sunt distribuite în mod egal între a doua și a treia zi. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

• Exercitiul 1.Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 9 participanți din Rusia, inclusiv Timofey Trubnikov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Timofey Trubnikov să joace orice tenismen din Rusia.

• Sarcina 2.Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 76 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 22 de sportivi din Rusia, inclusiv Viktor Polyakov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Victor Polyakov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia.

• Sarcina 3.În clasă sunt 16 elevi, printre ei doi prieteni - Oleg și Mihail. Clasa este împărțită aleatoriu în 4 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Oleg și Mihail să fie în același grup.

• Sarcina 4.În clasă sunt 33 de elevi, printre ei doi prieteni - Andrei și Mihail. Elevii sunt împărțiți aleatoriu în 3 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Mihail să fie în același grup.

• Exercitiul 1: La fabrica de veselă ceramică 20% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, sunt detectate 70% din plăcile defecte. Restul farfurii sunt de vanzare. Găsiți probabilitatea ca o placă aleasă aleatoriu la momentul achiziției să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

• Sarcina 2. La fabrica de veselă ceramică 30% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 60% din plăcile defecte sunt detectate. Restul farfurii sunt de vanzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la momentul achiziției să fie defectă. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

• Sarcina 3: Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua - 70%. Prima fabrică produce 3% ochelari defecte, iar a doua - 4%. Găsiți probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect.

2 grup: găsirea probabilității evenimentului opus.

• Exercitiul 1. Probabilitatea de a lovi centrul țintei de la o distanță de 20 m pentru un trăgător profesionist este de 0,85. Găsiți probabilitatea de a nu lovi centrul țintei.

• Sarcina 2. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu mai puțin de 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm.

3 grup: Determinarea probabilității de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile. Formula de adunare a probabilității.

• Exercitiul 1. Găsiți probabilitatea ca un zar să arunce 5 sau 6.

• Sarcina 2.Într-o urnă sunt 30 de bile: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Găsiți probabilitatea de a extrage o minge colorată.

• Sarcina 3. Tragatorul trage intr-o tinta impartita in 3 zone. Probabilitatea de a lovi prima zonă este de 0,45, a doua - 0,35.Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească fie prima, fie a doua zonă cu o singură lovitură.

• Sarcina 4. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 18 pasageri în autobuz este de 0,95. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 12 pasageri este de 0,6. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie între 12 și 17.

• Sarcina 5. Probabilitatea ca un fierbător electric nou să reziste mai mult de un an este de 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.

• Sarcina 6. Probabilitatea ca elevul U. să rezolve corect mai mult de 9 sarcini la un test de biologie este de 0,61. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U. să rezolve corect exact 9 probleme.

4 Grup: Probabilitatea apariției simultane a evenimentelor independente. Formula de multiplicare a probabilității.

• Exercitiul 1. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an.

• Sarcina 2. Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an.

• Sarcina 3.În magazin sunt doi vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu o probabilitate de 0,4. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu ambii vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții intră independent unul de celălalt).

• Sarcina 4.În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu o probabilitate de 0,2. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleator de timp toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții intră independent unul de celălalt).

• Sarcina 5: Potrivit recenziilor clienților, Mihail Mihailovici a apreciat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,81. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,93. Mihail Mihailovici a comandat imediat mărfurile în ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciunul dintre magazine să nu livreze mărfurile.

• Sarcina 6: Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă marele maestru B. cu o probabilitate de 0,6. Dacă A. joacă negru, atunci A. îl bate pe B. cu o probabilitate de 0,4. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.

5 Grup: Sarcini pentru aplicarea ambelor formule.

• Exercitiul 1: Toți pacienții cu suspiciune de hepatită fac un test de sânge. Dacă testul dezvăluie hepatită, atunci rezultatul testului se numește pozitiv. La pacienții cu hepatită, analiza dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, atunci testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,02. Se știe că 66% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca rezultatul testului unui pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie pozitiv.

• Sarcina 2. Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage cu un revolver. Dacă John trage cu un revolver nevăzut, atunci el lovește musca cu o probabilitate de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Sarcina 3:

În unele zone, observațiile au arătat:

1. Dacă dimineața de iunie este senină, atunci probabilitatea de ploaie în acea zi este de 0,1. 2. Dacă dimineața de iunie este înnorată, atunci probabilitatea de ploaie în timpul zilei este de 0,4. 3. Probabilitatea unei dimineți înnorate în luna iunie este de 0,3.

Găsiți probabilitatea ca într-o zi întâmplătoare din iunie să nu plouă.

Sarcina 4.În timpul tragerii de artilerie, sistemul automat efectuează o lovitură în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul declanșează din nou. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă la prima lovitură este de 0,3, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,9. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,96?

Probabilitate. Sarcini ale examenului de profil la matematică.

Pregătit de un profesor de matematică la MBOU „Liceul nr. 4”, Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definiţia probability

Probabilitate evenimente A apelează raportul dintre numărul m de rezultate favorabile acestui eveniment la numărul total n toate evenimentele incompatibile la fel de posibile care pot apărea ca urmare a unui singur test sau observație:

m

n

Lăsa k - numărul de aruncări de monede, apoi numărul de rezultate posibile: n=2 k .

Lăsa k - numărul de aruncări de zaruri, apoi numărul de rezultate posibile: n=6 k .

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.

Soluţie.

Doar 4 variante: O; oh oh; p p; p p; O .

Favorabil 2: O; R Și R; O .

Probabilitatea este 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Răspuns: 0,5.

Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea de a obține 8 puncte în total. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie.

Zarurile sunt zaruri cu 6 fețe. Primul zar poate arunca 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte. Fiecare variantă de puncte de droping corespunde cu 6 opțiuni de dropping points pe al doilea zar.

Acestea. total opțiuni diferite 6×6 = 36.

Opțiunile (rezultatele experimentului) vor fi următoarele:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

etc. ...............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care suma punctelor a două zaruri este 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Doar 5 variante.

Să aflăm probabilitatea: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Răspuns: 0,14.

În colecția de bilete de biologie sunt în total 55 de bilete, 11 dintre ele conținând o întrebare despre botanică. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică într-un bilet de examen selectat aleatoriu.

Soluţie:

Probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică într-un bilet de examen selectat aleatoriu este 11/55 = 1/5 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China.

Soluţie.

Sunt 20 de sportivi în total.

din care 20 - 8 - 7 = 5 sportivi din China.

Probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China este de 5/20 = 1/4 = 0,25.

Răspuns: 0,25.

Conferința științifică are loc în 5 zile. În total sunt planificate 75 de rapoarte - primele trei zile, câte 17 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Soluţie:

Este programată ultima zi a conferinței

(75 - 17 × 3) : 2 = 12 rapoarte.

Probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 12/75 = 4/25 = 0,16.

Răspuns: 0,16.

Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia?

Soluţie:

De menționat că Ruslan Orlov trebuie să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia. Și Ruslan Orlov însuși este și el din Rusia.

Probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este de 9/25 = 36/100 = 0,36.

Răspuns: 0,36.

Dasha aruncă zarurile de două ori. Ea a marcat 8 puncte în total. Găsiți probabilitatea de a obține 2 la prima aruncare.

Soluţie.

În total, cele două zaruri ar trebui să arunce 8 puncte. Acest lucru este posibil dacă există următoarele combinații:

Doar 5 variante. Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care au căzut 2 puncte la prima aruncare.

Această opțiune este 1.

Aflați probabilitatea: 1/5 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

La Campionatul Mondial participă 20 de echipe. Cu ajutorul loturilor, ei trebuie împărțiți în cinci grupe a câte patru echipe fiecare. În cutie sunt cărți combinate cu numere de grup:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia.

Soluţie:

Sunt 20 de echipe în total, 5 grupe.

Fiecare grupă are 4 echipe.

Deci, există 20 de rezultate în total, 4 de care avem nevoie, ceea ce înseamnă că probabilitatea de a obține rezultatul dorit este 4/20 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 45% din acești ochelari, a doua - 55%. Prima fabrică produce 3% ochelari defecte, iar a doua - 1%. Găsiți probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect.

Soluţie:

Probabilitatea ca sticla să fi fost cumpărată la prima fabrică și să fie defectă:

R 1 = 0,45 0,03 = 0,0135.

Probabilitatea ca sticla să fi fost cumpărată la a doua fabrică și să fie defectă:

R 2 = 0,55 0,01 = 0,0055.

Prin urmare, conform formulei probabilității totale, probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect este egală cu

p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Răspuns: 0,019.

Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă marele maestru B. cu o probabilitate de 0,52. Dacă A. joacă negru, atunci A. îl bate pe B. cu o probabilitate de 0,3.

Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.

Soluţie:

Șansele de a câștiga primul și al doilea joc sunt independente unele de altele. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților lor:

p = 0,52 0,3 = 0,156.

Răspuns: 0,156.

Biatletul trage de cinci ori la ținte. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie:

Rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură”, etc. independent.

Probabilitatea fiecărei lovituri este de 0,8. Deci probabilitatea unei rateuri este 1 - 0,8 = 0,2.

1 lovitură: 0,8

2 lovituri: 0,8

3 lovituri: 0,8

4 lovituri: 0,2

5 lovituri: 0,2

Conform formulei de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente, constatăm că probabilitatea dorită este egală cu:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Răspuns: 0,02.

Magazinul are două automate de plată. Fiecare dintre ele poate fi defect cu o probabilitate de 0,05, indiferent de celălalt automat. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un automat să fie funcțional.

Soluţie:

Găsiți probabilitatea ca ambele automate să fie defecte.

Aceste evenimente sunt independente, probabilitatea produsului lor este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

0,05 0,05 = 0,0025.

Un eveniment constând în faptul că cel puțin un automat este util este opusul.

Prin urmare, probabilitatea sa este

1 − 0,0025 = 0,9975.

Răspuns: 0,9975.

Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage cu un revolver. Dacă John trage un revolver neîmpușcat, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Soluţie:

Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver este:

0,4 (1 - 0,9) = 0,04

Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver neîmpușcat este:

0,6 (1 - 0,2) = 0,48

Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Răspuns: 0,52.

În timpul tragerii de artilerie, sistemul automat efectuează o lovitură în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul declanșează din nou. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98?

Soluţie:

Puteți rezolva problema „prin acțiuni”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de rateuri succesive:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Ultima probabilitate este mai mică de 0,02, deci cinci lovituri la țintă sunt suficiente.

Raspuns: 5.

În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup.

Soluţie:

Lăsați unul dintre gemeni să fie într-un grup.

Împreună cu el vor fi în grup 12 persoane din cei 25 de colegi de clasă rămași.

Probabilitatea ca al doilea geamăn să fie printre aceste 12 persoane este egală cu

P=12:25=0,48.

Răspuns: 0,48.

Imaginea prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirint în punctul „Intrare”. Păianjenul nu poate să se întoarcă și să se târască înapoi, prin urmare, la fiecare bifurcație, păianjenul alege una dintre căile pe care nu s-a târât încă. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate păianjenul va ajunge să iasă din D.

Soluţie:

La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu o probabilitate de 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea produsului lor (păianjenul ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.