Ecuații și inegalități cu modul. Metoda intervalului este o metodă universală de rezolvare a inegalităților cu un modul

Matematică este un simbol al înțelepciunii științei,

un exemplu de rigoare științifică și simplitate,

standardul perfecțiunii și frumuseții în știință.

Filosof rus, profesorul A.V. Voloşinov

Inegalități de modul

Cele mai dificile probleme de rezolvat la matematica școlară sunt inegalitățile, conţinând variabile sub semnul modulului. Pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, este necesar să cunoașteți bine proprietățile modulului și să aveți abilitățile de a le folosi.

Concepte și proprietăți de bază

Modulul (valoarea absolută) al unui număr real notat și se definește după cum urmează:

Proprietățile simple ale modulului includ următoarele relații:

ȘI .

Notă, că ultimele două proprietăți sunt valabile pentru orice grad par.

De asemenea, dacă , unde , atunci și

Proprietăți ale modulelor mai complexe, care poate fi folosit eficient în rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor cu module, sunt formulate cu ajutorul următoarelor teoreme:

Teorema 1.Pentru orice funcții analiticeȘi inegalitatea.

Teorema 2. Egalitatea este echivalent cu inegalitatea.

Teorema 3. Egalitatea este echivalent cu inegalitatea.

Cele mai frecvente inegalități în matematica școlară, conţinând variabile necunoscute sub semnul modulo, sunt inegalități de formă si unde o constantă pozitivă.

Teorema 4. Inegalitate este echivalent cu o dublă inegalitate, și soluția inegalitățiise reduce la rezolvarea mulţimii inegalităţilorȘi .

Această teoremă este un caz particular al teoremelor 6 și 7.

Inegalități mai complexe, care conțin modulul sunt inegalități de formă, Și .

Metodele de rezolvare a unor astfel de inegalități pot fi formulate folosind următoarele trei teoreme.

Teorema 5. Inegalitate este echivalentă cu combinarea a două sisteme de inegalități

ȘI (1)

Dovada. De atunci

Aceasta implică valabilitatea (1).

Teorema 6. Inegalitate este echivalent cu sistemul de inegalități

Dovada. Deoarece , apoi din inegalitate urmează că . În această condiție, inegalitateaiar în acest caz al doilea sistem de inegalități (1) se dovedește a fi inconsecvent.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 7. Inegalitate este echivalent cu combinația dintre o inegalitate și două sisteme de inegalități

ȘI (3)

Dovada. De la , atunci inegalitatea întotdeauna executat, Dacă .

Lăsa , apoi inegalitateava echivala cu inegalitatea, din care rezultă mulţimea celor două inegalităţiȘi .

Teorema a fost demonstrată.

Luați în considerare exemple tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Inegalități, conţinând variabile sub semnul modulului.

Rezolvarea inegalităților cu modul

Cea mai simplă metodă de rezolvare a inegalităților cu modul este metoda, bazat pe extinderea modulelor. Această metodă este generică, totusi, in cazul general, aplicarea lui poate duce la calcule foarte greoaie. Prin urmare, elevii ar trebui să cunoască și alte metode și tehnici (mai eficiente) de rezolvare a unor astfel de inegalități. În special, trebuie să aibă abilități de a aplica teoreme, dat în acest articol.

Exemplul 1Rezolvați inegalitatea

. (4)

Soluţie.Inegalitatea (4) va fi rezolvată prin metoda „clasică” - metoda extinderii modulelor. În acest scop, spargem axa numerică puncte și intervale și luați în considerare trei cazuri.

1. Dacă , atunci , , , iar inegalitatea (4) ia forma sau .

Deoarece cazul este considerat aici, , este o soluție a inegalității (4).

2. Dacă , apoi din inegalitatea (4) obţinem sau . De la intersectia intervalelorȘi este gol, atunci nu există soluții la inegalitatea (4) pe intervalul considerat.

3. Dacă , atunci inegalitatea (4) ia forma sau . Este evident că este, de asemenea, o soluție la inegalitate (4).

Răspuns: , .

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să presupunem că. Deoarece , atunci inegalitatea dată ia forma sau . Pentru că atunci și de aici urmează sau .

Cu toate acestea , prin urmare sau .

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea

. (5)

Soluţie. Deoarece , atunci inegalitatea (5) este echivalentă cu inegalitățile sau . De aici, conform teoremei 4, avem un set de inegalitățiȘi .

Răspuns: , .

Exemplul 4Rezolvați inegalitatea

. (6)

Soluţie. Să notăm. Apoi din inegalitatea (6) obținem inegalitățile , , sau .

De aici, folosind metoda intervalului, primim . Deoarece , atunci aici avem un sistem de inegalități

Soluția primei inegalități a sistemului (7) este unirea a două intervaleȘi , iar soluția celei de-a doua inegalități este inegalitatea dublă. Asta implică , că soluția sistemului de inegalități (7) este unirea a două intervaleȘi .

Răspuns: ,

Exemplul 5Rezolvați inegalitatea

. (8)

Soluţie. Transformăm inegalitatea (8) după cum urmează:

Sau .

Aplicarea metodei intervalului, obținem o soluție a inegalității (8).

Răspuns: .

Notă. Dacă punem și în condiția teoremei 5, atunci obținem .

Exemplul 6 Rezolvați inegalitatea

. (9)

Soluţie. Din inegalitate (9) rezultă. Transformăm inegalitatea (9) după cum urmează:

Sau

De când , atunci sau .

Răspuns: .

Exemplul 7Rezolvați inegalitatea

. (10)

Soluţie. Din moment ce și , apoi sau .

În această conexiune iar inegalitatea (10) ia forma

Sau

. (11)

Din aceasta rezultă că sau . Deoarece , atunci inegalitatea (11) implică și sau .

Răspuns: .

Notă. Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a inegalității (10), apoi primim . De aici și din inegalitate (10) rezultă, că sau . Deoarece , atunci inegalitatea (10) ia forma sau .

Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea

. (12)

Soluţie. De atunci iar inegalitatea (12) implică sau . Cu toate acestea , prin urmare sau . De aici obținem sau .

Răspuns: .

Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea

. (13)

Soluţie. Conform teoremei 7, soluțiile inegalității (13) sunt sau .

Lasă acum. În acest caz iar inegalitatea (13) ia forma sau .

Dacă combinăm intervaleleȘi , atunci obținem o soluție la inegalitatea (13) de forma.

Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea

. (14)

Soluţie. Să rescriem inegalitatea (14) într-o formă echivalentă: . Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a acestei inegalități, atunci obținem inegalitatea .

De aici și din Teorema 1 rezultă, că inegalitatea (14) este satisfăcută pentru orice valoare.

Răspuns: orice număr.

Exemplul 11. Rezolvați inegalitatea

. (15)

Soluţie. Aplicarea teoremei 1 în partea stângă a inegalității (15), primim . De aici și din inegalitate (15) urmează ecuația, care arata ca.

Conform teoremei 3, ecuația este echivalent cu inegalitatea. De aici ajungem.

Exemplul 12.Rezolvați inegalitatea

. (16)

Soluţie. Din inegalitatea (16), conform teoremei 4, obținem sistemul de inegalități

La rezolvarea inegalitățiifolosim teorema 6 și obținem sistemul de inegalitățidin care decurge.

Luați în considerare inegalitatea. Conform teoremei 7, obţinem un set de inegalităţiȘi . A doua inegalitate a populației este valabilă pentru orice real.

Prin urmare, soluția inegalității (16) sunt.

Exemplul 13Rezolvați inegalitatea

. (17)

Soluţie. Conform teoremei 1, putem scrie

(18)

Luând în considerare inegalitatea (17), concluzionăm că ambele inegalități (18) se transformă în egalități, i.e. există un sistem de ecuații

Prin teorema 3, acest sistem de ecuații este echivalent cu sistemul de inegalități

sau

Exemplul 14Rezolvați inegalitatea

. (19)

Soluţie. De atunci . Să înmulțim ambele părți ale inegalității (19) cu expresia , care pentru orice valoare ia doar valori pozitive. Apoi obținem o inegalitate care este echivalentă cu inegalitatea (19), de forma

De aici ajungem sau , unde . Din moment ce şi atunci soluțiile inegalității (19) suntȘi .

Răspuns: , .

Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a inegalităților cu un modul, este recomandabil să consultați tutoriale, enumerate în lista de citiri recomandate.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode de rezolvare și demonstrare a inegalităților. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 p.

3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

număr modulo acest număr în sine se numește dacă este nenegativ, sau același număr cu semnul opus dacă este negativ.

De exemplu, modulul lui 6 este 6, iar modulul lui -6 este, de asemenea, 6.

Adică modulul unui număr este înțeles ca valoare absolută, valoarea absolută a acestui număr fără a lua în considerare semnul său.

Notat după cum urmează: |6|, | X|, |A| etc.

(Pentru mai multe detalii, consultați secțiunea „Modul de număr”).

Ecuații de modul.

Exemplul 1 . rezolva ecuatia|10 X - 5| = 15.

Soluţie.

În conformitate cu regula, ecuația este echivalentă cu combinația a două ecuații:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Noi decidem:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Răspuns: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exemplul 2 . rezolva ecuatia|2 X + 1| = X + 2.

Soluţie.

Deoarece modulul este un număr nenegativ, atunci X+ 2 ≥ 0. În consecință:

X ≥ -2.

Facem două ecuații:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Noi decidem:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambele numere sunt mai mari decât -2. Deci ambele sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exemplul 3 . rezolva ecuatia

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Soluţie.

Ecuația are sens dacă numitorul nu este egal cu zero - deci dacă X≠ 1. Să luăm în considerare această condiție. Prima noastră acțiune este simplă - nu scăpăm doar de fracțiune, ci o transformăm în așa fel încât să obținem modulul în forma sa cea mai pură:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Acum avem doar expresia sub modulul din partea stângă a ecuației. Daţi-i drumul.
Modulul unui număr este un număr nenegativ - adică trebuie să fie mai mare sau egal cu zero. În consecință, rezolvăm inegalitatea:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Astfel, avem o a doua condiție: rădăcina ecuației trebuie să fie cel puțin 3/4.

În conformitate cu regula, compunem un set de două ecuații și le rezolvăm:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Am primit două răspunsuri. Să verificăm dacă sunt rădăcinile ecuației originale.

Am avut două condiții: rădăcina ecuației nu poate fi egală cu 1 și trebuie să fie cel puțin 3/4. Acesta este X ≠ 1, X≥ 3/4. Ambele condiții corespund doar unuia dintre cele două răspunsuri primite - numărul 2. Prin urmare, doar acesta este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: X = 2.

Inegalități cu modulul.

Exemplul 1 . Rezolvați inegalitatea| X - 3| < 4

Soluţie.

Regula modulului spune:

|A| = A, Dacă A ≥ 0.

|A| = -A, Dacă A < 0.

Modulul poate avea atât un număr nenegativ, cât și unul negativ. Deci trebuie să luăm în considerare ambele cazuri: X- 3 ≥ 0 și X - 3 < 0.

1) Când X- 3 ≥ 0 inegalitatea noastră originală rămâne așa cum este, doar fără semnul modulo:
X - 3 < 4.

2) Când X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Deschizând parantezele, obținem:

-X + 3 < 4.

Astfel, din aceste două condiții, am ajuns la unirea a două sisteme de inegalități:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Să le rezolvăm:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Deci, în răspunsul nostru avem unirea a două mulțimi:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determinați cele mai mici și cele mai mari valori. Acestea sunt -1 și 7. În același timp X mai mare de -1 dar mai mic de 7.
In afara de asta, X≥ 3. Prin urmare, soluția inegalității este întregul set de numere de la -1 la 7, excluzând aceste numere extreme.

Răspuns: -1 < X < 7.

Sau: X ∈ (-1; 7).

Suplimente.

1) Există o modalitate mai simplă și mai scurtă de a ne rezolva inegalitatea - grafică. Pentru a face acest lucru, desenați o axă orizontală (Fig. 1).

Expresie | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X la punctul 3 mai puțin de patru unități. Marcam numărul 3 pe axă și numărăm 4 diviziuni la stânga și la dreapta acestuia. În stânga vom ajunge la punctul -1, în dreapta - la punctul 7. Astfel, punctele X doar am văzut fără să le calculăm.

În plus, conform condiției de inegalitate, -1 și 7 înșiși nu sunt incluse în setul de soluții. Astfel, obținem răspunsul:

1 < X < 7.

2) Dar există o altă soluție care este chiar mai simplă decât cea grafică. Pentru a face acest lucru, inegalitatea noastră trebuie să fie prezentată în următoarea formă:

4 < X - 3 < 4.

La urma urmei, așa este în conformitate cu regula modulului. Numărul nenegativ 4 și numărul negativ similar -4 sunt limitele soluției inegalității.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exemplul 2 . Rezolvați inegalitatea| X - 2| ≥ 5

Soluţie.

Acest exemplu diferă semnificativ de cel precedent. Partea stângă este mai mare decât 5 sau egală cu 5. Din punct de vedere geometric, soluția inegalității sunt toate numerele care se află la o distanță de 5 unități sau mai mult de punctul 2 (Fig. 2). Graficul arată că toate acestea sunt numere mai mici sau egale cu -3 și mai mari sau egale cu 7. Deci, am primit deja răspunsul.

Răspuns: -3 ≥ X ≥ 7.

Pe parcurs, rezolvăm aceeași inegalitate prin rearanjarea termenului liber la stânga și la dreapta cu semnul opus:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Răspunsul este același: -3 ≥ X ≥ 7.

Sau: X ∈ [-3; 7]

Exemplu rezolvat.

Exemplul 3 . Rezolvați inegalitatea 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Soluţie.

Număr X poate fi pozitiv, negativ sau zero. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare toate cele trei circumstanțe. După cum știți, ele sunt luate în considerare în două inegalități: X≥ 0 și X < 0. При X≥ 0, pur și simplu rescriem inegalitatea noastră originală așa cum este, doar fără semnul modulo:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Acum pentru al doilea caz: dacă X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Extinderea parantezelor:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Astfel, am primit două sisteme de ecuații:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Trebuie să rezolvăm inegalitățile în sisteme - ceea ce înseamnă că trebuie să găsim rădăcinile a două ecuații pătratice. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile din stânga ale inegalităților cu zero.

Să începem cu primul:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică - vezi secțiunea „Ecuație pătratică”. Vom numi imediat răspunsul:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Din primul sistem de inegalități, obținem că soluția inegalității inițiale este întregul set de numere de la -1/2 la 2/3. Scriem uniunea de soluții pentru X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Acum să rezolvăm a doua ecuație pătratică:

6X 2 + X - 2 = 0.

Rădăcinile sale:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Concluzie: când X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Să combinăm cele două răspunsuri și să obținem răspunsul final: soluția este întregul set de numere de la -2/3 la 2/3, inclusiv aceste numere extreme.

Răspuns: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Sau: X ∈ [-2/3; 2/3].

Metodele (regulile) de dezvăluire a inegalităților cu modulele constau în dezvăluirea secvențială a modulelor, utilizând în același timp intervale de semn constant al funcțiilor submodulului. În varianta finală se obțin mai multe inegalități din care găsesc intervale sau intervale care satisfac condiția problemei.

Să trecem la rezolvarea exemplelor care sunt comune în practică.

Inegalități liniare cu module

Prin liniară înțelegem ecuații în care variabila intră liniar în ecuație.

Exemplul 1. Găsiți o soluție a inegalității

Soluţie:
Din condiția problemei rezultă că modulele se transformă în zero la x=-1 și x=-2. Aceste puncte împart axa numerică în intervale

În fiecare dintre aceste intervale, rezolvăm inegalitatea dată. Pentru a face acest lucru, în primul rând, întocmim desene grafice ale zonelor de semn constant ale funcțiilor submodulare. Ele sunt descrise ca zone cu semne ale fiecărei funcții.

sau intervale cu semne ale tuturor funcţiilor.

La primul interval, deschideți modulele

Înmulțim ambele părți cu minus unu, în timp ce semnul inegalității se va schimba în sens invers. Dacă vă este greu să vă obișnuiți cu această regulă, atunci puteți muta fiecare dintre părți dincolo de semn pentru a scăpa de minus. La final, vei primi

Intersecția mulțimii x>-3 cu aria pe care au fost rezolvate ecuațiile va fi intervalul (-3;-2) . Pentru cei cărora le este mai ușor să caute soluții grafic, puteți desena intersecția acestor zone

Intersecția generală a zonelor va fi soluția. Cu denivelări stricte, marginile nu sunt incluse. Dacă nonstrict este verificat prin înlocuire.

În al doilea interval, obținem

Secțiunea va fi intervalul (-2; -5/3). Grafic, soluția va arăta ca

În al treilea interval, obținem

Această condiție nu oferă soluții pe zona necesară.

Deoarece cele două soluții găsite (-3;-2) și (-2;-5/3) mărginesc punctul x=-2 , îl verificăm și noi.

Deci punctul x=-2 este soluția. Soluția generală având în vedere acest lucru va arăta ca (-3;5/3).

Exemplul 2. Găsiți o soluție a inegalității
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Soluţie:
Zerourile funcțiilor submodulului vor fi punctele x=2, x=3, x=4 . Când valorile argumentelor sunt mai mici decât aceste puncte, funcțiile submodulului sunt negative, iar când valorile sunt mari, sunt pozitive.

Punctele împart axa reală în patru intervale. Deschidem modulele în funcție de intervalele de constanță a semnului și rezolvăm inegalitățile.

1) Pe primul interval, toate funcțiile submodulare sunt negative, prin urmare, la extinderea modulelor, schimbăm semnul la opus.

Intersecția valorilor x găsite cu intervalul considerat va fi mulțimea de puncte

2) În intervalul dintre punctele x=2 și x=3, prima funcție de submodul este pozitivă, a doua și a treia sunt negative. Extinderea modulelor, obținem

o inegalitate care, în intersecția cu intervalul pe care rezolvăm, dă o soluție - x=3.

3) În intervalul dintre punctele x=3 și x=4, primul și al doilea submodul sunt pozitive, iar al treilea este negativ. Pe baza acestui lucru, obținem

Această condiție arată că întregul interval va satisface inegalitatea cu module.

4) Pentru valorile x>4, toate funcțiile sunt semn-pozitive. La extinderea modulelor, nu le schimbăm semnul.

Condiția găsită la intersecția cu intervalul oferă următorul set de soluții

Deoarece inegalitatea este rezolvată pe toate intervalele, rămâne de găsit valoarea comună a tuturor valorilor x găsite. Soluția este două intervale

Acest exemplu este rezolvat.

Exemplul 3. Găsiți o soluție a inegalității
||x-1|-5|>3-2x

Soluţie:
Avem o inegalitate cu un modul dintr-un modul. Astfel de inegalități sunt relevate pe măsură ce modulele sunt imbricate, începând cu cele care sunt plasate mai adânc.

Funcția submodulului x-1 este convertită la zero în punctul x=1. Pentru valori mai mici dincolo de 1, este negativ și pozitiv pentru x>1. Pe baza acestui lucru, deschidem modulul interior și luăm în considerare inegalitatea pe fiecare dintre intervale.

Mai întâi luați în considerare intervalul de la minus infinit la unu

Funcția submodulului este zero în punctul x=-4 . Pentru valori mai mici este pozitiv, pentru valori mai mari este negativ. Extindeți modulul pentru x<-4:

La intersectia cu aria pe care consideram, obtinem o multime de solutii

Următorul pas este extinderea modulului pe intervalul (-4; 1)

Ținând cont de zona de extindere a modulului, obținem intervalul de soluții

REȚINEȚI: dacă obțineți două intervale în astfel de nereguli cu module, învecinate cu un punct comun, atunci, de regulă, aceasta este și o soluție.

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să verificați.

În acest caz, înlocuim punctul x=-4.

Deci x=-4 este soluția.
Extindeți modulul interior pentru x>1

Funcția submodulului este negativă pentru x<6.
Extindem modulul, obținem

Această condiție din secțiunea cu intervalul (1;6) dă un set gol de soluții.

Pentru x>6 obținem inegalitatea

De asemenea, rezolvând avem un set gol.
Având în vedere toate cele de mai sus, singura soluție la inegalitatea cu module va fi următorul interval.

Inegalități cu module care conțin ecuații pătratice

Exemplul 4. Găsiți o soluție a inegalității
|x^2+3x|>=2-x^2

Soluţie:
Funcția submodulului dispare în punctele x=0, x=-3. Prin înlocuire simplă minus unu

stabilim că este mai mic decât zero pe intervalul (-3; 0) și pozitiv dincolo de acesta.
Extindeți modulul în zonele în care funcția submodulului este pozitivă

Rămâne de determinat zonele în care funcția pătratului este pozitivă. Pentru a face acest lucru, determinăm rădăcinile ecuației pătratice

Pentru comoditate, înlocuim punctul x=0, care aparține intervalului (-2;1/2). Funcția este negativă în acest interval, deci soluția va fi următoarele mulțimi x

Aici, parantezele indică marginile zonelor cu soluții; acest lucru a fost făcut în mod deliberat, ținând cont de următoarea regulă.

REȚINEȚI: Dacă inegalitatea cu module, sau o inegalitate simplă este strictă, atunci marginile zonelor găsite nu sunt soluții, dar dacă inegalitățile nu sunt stricte (), atunci marginile sunt soluții (indicate prin paranteze drepte).

Această regulă este folosită de mulți profesori: dacă este dată o inegalitate strictă și scrieți o paranteză pătrată ([,]) în soluție în timpul calculelor, ei vor considera automat acest răspuns incorect. De asemenea, la testare, dacă se specifică o inegalitate non-strictă cu module, atunci printre soluții, căutați zone cu paranteze pătrate.

Pe intervalul (-3; 0), extinzând modulul, schimbăm semnul funcției la opus

Ținând cont de amploarea dezvăluirii inegalității, soluția va avea forma

Împreună cu zona anterioară, aceasta va da două jumătăți de intervale

Exemplul 5. Găsiți o soluție a inegalității
9x^2-|x-3|>=9x-2

Soluţie:
Este dată o inegalitate nestrictă, a cărei funcție de submodul este egală cu zero în punctul x=3. La valori mai mici este negativ, la valori mai mari este pozitiv. Extindem modulul pe intervalul x<3.

Găsirea discriminantului ecuației

și rădăcini

Înlocuind punctul zero, aflăm că pe intervalul [-1/9; 1] funcția pătratică este negativă, deci intervalul este o soluție. Apoi, deschideți modulul pentru x>3

Cu cât o persoană înțelege mai mult, cu atât este mai puternică dorința lui de a înțelege

Toma d'Aquino

Metoda intervalului vă permite să rezolvați orice ecuație care conține modulul. Esența acestei metode este împărțirea axei numerice în mai multe secțiuni (intervale) și este necesară împărțirea axei cu zerourile expresiilor din module. Apoi, pe fiecare dintre secțiunile rezultate, orice expresie de submodul este fie pozitivă, fie negativă. Prin urmare, fiecare dintre module poate fi extins fie cu semnul minus, fie cu semnul plus. După aceste acțiuni, rămâne doar să rezolvăm fiecare dintre ecuațiile simple obținute pe intervalul luat în considerare și să combinați răspunsurile obținute.

Să luăm în considerare această metodă pe un exemplu specific.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) Aflați zerourile expresiilor din module. Pentru a face acest lucru, le echivalăm cu zero și rezolvăm ecuațiile rezultate.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Aranjați punctele rezultate în ordinea dorită pe linia de coordonate. Ele vor sparge întreaga axă în patru secțiuni.

3) Să determinăm pe fiecare dintre secțiunile rezultate semnele expresiilor din module. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ele orice numere din intervalele care ne interesează. Dacă rezultatul calculului este un număr pozitiv, atunci punem „+” în tabel, iar dacă numărul este negativ, atunci punem „-”. Aceasta poate fi ilustrată astfel:

4) Acum vom rezolva ecuația pe fiecare dintre cele patru intervale, deschizând modulele cu semnele care sunt în tabel. Deci, luați în considerare primul interval:

Intervalul I (-∞; -3). Pe el, toate modulele sunt deschise cu semnul „-”. Obținem următoarea ecuație:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Prezentăm termeni similari, după ce am deschis anterior parantezele din ecuația rezultată:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Răspunsul primit nu este inclus în intervalul considerat, deci nu este necesar să îl scrieți în răspunsul final.

II interval [-3; -1). La acest interval în tabel există semnele „-”, „-”, „+”. Iată cum dezvăluim modulele ecuației originale:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Simplificați prin extinderea parantezelor:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Prezentăm în ecuația rezultată următoarele:

x = 6/5. Numărul rezultat nu aparține intervalului luat în considerare, deci nu este rădăcina ecuației inițiale.

III interval [-1; 2). Deschidem modulele ecuației originale cu semnele care sunt în figura din a treia coloană. Primim:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Scăpați de paranteze, mutați termenii care conțin variabila x în partea stângă a ecuației și care nu conțin x la dreapta . Vom avea:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Numărul 2 nu este inclus în intervalul considerat.

intervalul IV

În termeni simpli, modulul este „un număr fără minus”. Și este în această dualitate (undeva nu trebuie să faceți nimic cu numărul inițial, dar undeva trebuie să eliminați un minus acolo) și toată dificultatea pentru studenții începători constă.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util să-l cunoaștem, dar ne vom referi la el doar în cazuri complexe și unele deosebite, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Fie marcat punctul $a$ pe linia reală. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ de pe această dreaptă.

Dacă desenați o imagine, obțineți ceva de genul acesta:

Definirea modulului grafic

Într-un fel sau altul, proprietatea sa cheie decurge imediat din definiția modulului: modulul unui număr este întotdeauna o valoare nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră poveste de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda de spațiere

Acum să ne ocupăm de inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să le putem rezolva cel puțin pe cele mai simple. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalelor.

Am două tutoriale mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să studiezi):

1. Metoda intervalului pentru inegalități (în special urmăriți videoclipul);
2. Inegalitățile fracționale-raționale sunt o lecție foarte voluminoasă, dar după ea nu vei mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate astea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să vrei vag să te sinucizi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției. :)

1. Inegalități de formă „Modul mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre sarcinile cele mai frecvent întâlnite cu module. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\dreapta| \ltg\]

Orice poate acționa ca funcții $f$ și $g$, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\dreapta| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate acestea sunt rezolvate literalmente într-o singură linie conform schemei:

\[\stanga| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același lucru, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut toate problemele posibile: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Firește, se pune întrebarea: nu este mai ușor? Din păcate, nu poți. Acesta este scopul modulului.

Dar destul de filosofat. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3\dreapta| \ltx+7\]

Soluţie. Deci, avem o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic decât” - chiar nu există nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele care sunt precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din cauza grabei să faceți o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema a fost redusă la două inegalități elementare. Notăm soluțiile lor pe drepte reale paralele:

Intersectia multora

Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Pentru început, izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul conform algoritmului deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt un pic cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar încă o dată vă reamintesc că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ce este descris în această lecție, te poți perverti după cum vrei: deschide paranteze, adaugă minusuri etc.

Și pentru început, scăpăm doar de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dublarea inegalității. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătrate și se rezolvă prin metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei încă modulele). Trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul s-a dovedit a fi o ecuație pătratică incompletă, care este rezolvată elementar. Acum să ne ocupăm de a doua inegalitate a sistemului. Acolo trebuie să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele obținute pe două drepte paralele (separați pentru prima inegalitate și separați pentru a doua):

Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este foarte clară:

1. Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\dreapta| \ltg$.
2. Rezolvați această inegalitate eliminând modulul așa cum este descris mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la o inegalitate dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
3. În sfârșit, rămâne doar să încrucișăm soluțiile acestor două expresii independente - și atât, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Despre aceste „dar” vom vorbi acum.

2. Inegalități de forma „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\]

Similar cu precedentul? Se pare. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

1. În primul rând, pur și simplu ignorăm modulul - rezolvăm inegalitatea obișnuită;
2. Apoi, de fapt, deschidem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, cu un semn.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem o combinație de două cerințe.

Fiți atenți din nou: înaintea noastră nu este un sistem, ci un agregat, așadar în răspuns, mulțimile sunt combinate, nu intersectate. Aceasta este o diferență fundamentală față de paragraful anterior!

În general, mulți studenți au multă confuzie cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să analizăm această problemă odată pentru totdeauna:

• „∪” este un semn de concatenare. De fapt, aceasta este o litera stilizată „U”, care ne-a venit din limba engleză și este o abreviere pentru „Union”, adică. "Asociațiile".
• „∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci doar a apărut ca o opoziție cu „∪”.

Pentru a fi și mai ușor de reținut, adăugați doar picioare la aceste semne pentru a face ochelari (numai să nu mă acuzați că promovez dependența de droguri și alcoolismul acum: dacă studiați serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (colecția) include elemente din ambele seturi, prin urmare, nu mai puțin decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta e grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Acționăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm inegalitatea fiecărei populații:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:

Unirea seturi

În mod evident, răspunsul este $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Soluţie. Bine? Nu, e la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate. Din păcate, rădăcinile nu vor fi foarte bune acolo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

În a doua inegalitate, există și un pic de joc:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marchem aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul se deplasează mai departe spre dreapta.

Și aici așteptăm o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul celui de-al doilea, deci și suma este mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nici nu va fi nicio dificultate (un număr pozitiv evident mai negativ), dar cu ultimul cuplu totul nu este atât de simplu. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Dispunerea punctelor pe dreptele numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci haideți să comparăm:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, în final punctele de pe axe vor fi aranjate astfel:

Caz de rădăcini urâte

Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi unirea, și nu intersecția seturilor umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru sarcini simple, cât și pentru cele foarte grele. Singurul „punct slab” al acestei abordări este că trebuie să comparați corect numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată întrebărilor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Așa că am ajuns la cele mai interesante. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\dreapta| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este valabil doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu cozi nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii pătratului:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în ea acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Observăm imediat două lucruri:

1. Aceasta este o inegalitate nestrictă. Punctele de pe linia numerică vor fi eliminate.
2. Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am trișat puțin: am schimbat șirul termenilor, folosind paritatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm prin metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea inițială nu este strictă!

A scăpa de semnul modulului

Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, acesta este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, totul sa terminat acum. Problema rezolvata.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Să-l pătram:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda de spațiere:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:

Răspunsul este o gamă întreagă

Răspuns: $x\în \left[ -1.5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu acuratețe unul dintre studenții mei, ambele expresii ale submodulelor din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este deja un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre el - într-o lecție separată. Și acum să trecem la partea finală a lecției de astăzi și să luăm în considerare un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase. :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste trucuri nu funcționează? Dacă inegalitatea nu se reduce la cozi nenegative, dacă este imposibil de izolat modulul, dacă este deloc durere-tristețe-dor?

Apoi intră în scenă „artileria grea” a tuturor matematicii - metoda de enumerare. În ceea ce privește inegalitățile cu modulul, arată astfel:

1. Scrieți toate expresiile submodulelor și egalați-le cu zero;
2. Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
3. Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, se extinde fără ambiguitate;
4. Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat rădăcinile limită obținute în paragraful 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul. :)

Ei bine, cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\dreapta| \lt g$, $\left| f\dreapta| \gt g$ sau $\left| f\dreapta| \lt\left| g \right|$, deci haideți.

Scriem expresiile submodulelor, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în interiorul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:

Împărțirea dreptei numerice cu zerouri a funcțiilor submodulare

Să luăm în considerare fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii ale submodulului sunt negative, iar inegalitatea originală este rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o constrângere destul de simplă. Să-l intersectăm cu ipoteza inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 dar mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să considerăm separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: se menține?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Evident, lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate greșită. Prin urmare, inegalitatea inițială este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Acum fie $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta este încă cu „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, setul gol de soluții, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dreapta| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt extinse cu un semn plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \dreapta)\]

In cele din urma! Am găsit intervalul, care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o notă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module sunt de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai rare. Și și mai rar, se întâmplă ca limitele soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

Prin urmare, dacă limitele (acele foarte „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci aproape sigur că zonele din stânga-dreapta acestor limite nu vor fi incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat ca răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul ei vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru când verificați soluțiile.