Plăcerea lui X. O excursie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume - Stephen Strogatz. Steven Strogatz The Pleasure of X. O călătorie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

minge de bani

Michael Lewis

Minte flexibilă

Carol Dweck

Fizica Bursei de Valori

James Weatherall

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Stephen Strogatz

placere de la X

O călătorie captivantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Informații de la editor

Publicat pentru prima dată în limba rusă

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

placere de la X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume / Stephen Strogatz; pe. din engleza. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Vei afla cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul tău, vei înțelege frumusețea geometriei, te vei familiariza cu eleganța calculului integral, vei vedea importanța statisticii și vei intra în contact cu infinitul. Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege.

Toate drepturile rezervate.

Nicio parte a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă fără permisiunea scrisă a deținătorilor drepturilor de autor.

Suportul juridic al editurii este asigurat de firma de avocatura "Vegas-Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, ediție în rusă, design. SRL „Mann, Ivanov și Ferber”, 2014

cuvânt înainte

Am un prieten care, în ciuda meserii (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții în psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că aceste simboluri matematice ciudate nu numai că îl sfidează, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul antipatiei lui față de matematică este mult mai profund. El nu va înțelege niciodată ce fac în general matematicienii și ce înseamnă aceștia când spun că această dovadă este elegantă. Uneori glumim că ar trebui să mă așez și să încep să-l învăț chiar de la elementele de bază, literalmente de la 1 + 1 = 2, și să intru în matematică cât de mult poate.

Și deși această idee pare o nebunie, este ceea ce voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică avansată, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să o poată profita în sfârșit. Și de data aceasta nu trebuie să te așezi la birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar va ajuta să înțelegeți ce studiază această disciplină și de ce este atât de interesantă pentru cei care o înțeleg.

Vom afla cum slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea elementelor de bază ale calculului. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să schimbi salteaua astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie să fie schimbați înainte de a se juca o nuntă - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea sinusoidul de pe spatele unei zebre, puteți auzi ecourile teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne afectează viața astăzi, de exemplu, când căutăm restaurante folosind un computer sau încercăm măcar să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înspăimântătoare ale bursei.

O serie de 15 articole sub titlul general „Fundamentals of Mathematics” a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, printre care s-au numărat mulți studenți și profesori. Au existat și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simt că le-a scăpat ceva. Oși aș vrea să încerc din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru faptul că cu ajutorul meu au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-au făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau între ei pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți urmașii.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Auzim doar despre frica de matematică și, totuși, mulți ar încerca bucuroși să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le rupeți.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt scurte, ușor de citit și nu depind cu adevărat unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așa că, de îndată ce simți o ușoară foame matematică, nu ezita să te ocupi de următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai detaliat, atunci la sfârșitul cărții există note cu informații suplimentare și recomandări despre ce altceva puteți citi despre ea.

Pentru comoditatea cititorilor care preferă o abordare pas cu pas, am împărțit materialul în șase părți, în conformitate cu ordinea tradițională a subiectelor.

Partea I „Numerele” începe călătoria noastră cu aritmetica la grădiniță și școala elementară. Arată cât de utile pot fi numerele și cât de eficiente sunt magice în descrierea lumii din jurul nostru.

Partea a II-a „Ratorii” mută atenția de la numerele în sine către relațiile dintre ele. Aceste idei se află în centrul algebrei și sunt primele instrumente de descriere a modului în care unul îl afectează pe celălalt, arătând relația cauzală dintre o mare varietate de lucruri: cerere și ofertă, stimul și reacție - pe scurt, tot felul de relații care fac ca lume atât de diversă și bogată...

Partea a III-a „Figuri” nu este despre numere și simboluri, ci despre figuri și spațiu - domeniul geometriei și trigonometriei. Aceste subiecte, împreună cu descrierea tuturor obiectelor observabile prin forme, prin raționament logic și dovezi, ridică matematica la un nou nivel de precizie.

În partea a IV-a „Timpul schimbării” ne vom uita la calcul - cea mai impresionantă și mai multifațetă zonă a matematicii. Calculul face posibilă prezicerea traiectoriei planetelor, ciclurile mareelor ​​și face posibilă înțelegerea și descrierea tuturor proceselor și fenomenelor care se schimbă periodic din Univers și din interiorul nostru. Un loc important în această parte este dedicat studiului infinitului, a cărui pacificare a fost o descoperire care a permis calculelor să funcționeze. Calculul a ajutat la rezolvarea multor probleme care au apărut în lumea antică, iar acest lucru a condus în cele din urmă la o revoluție în știință și în lumea modernă.

Partea a V-a „Multe fețe ale datelor” tratează probabilitatea, statistica, rețelele și prelucrarea datelor - acestea sunt încă domenii relativ tinere, generate de aspecte nu întotdeauna ordonate ale vieții noastre, cum ar fi oportunitatea și norocul, incertitudinea, riscul, volatilitatea, aleatorietatea, interdependenţă. Folosind instrumentele matematice potrivite și tipurile de date potrivite, vom învăța să identificăm tipare într-un flux de aleatoriu.

La sfârșitul călătoriei noastre în partea a VI-a „Limitele posibilului” ne vom apropia de limitele cunoștințelor matematice, zona de graniță dintre ceea ce este deja cunoscut și ceea ce este încă evaziv și necunoscut. Vom parcurge din nou subiectele în ordinea cu care suntem deja familiarizați: numere, rapoarte, forme, modificări și infinit - dar, în același timp, le vom considera pe fiecare dintre ele mai în profunzime, în încarnarea sa modernă.

Principala problemă a matematicii școlare este că nu există probleme în ea. Da, știu ce trece drept probleme în clasă: acele exerciții lipsite de gust, plictisitoare. „Iată sarcina. Iată cum să o rezolvi. Da, se întâmplă la examene. Sarcinile de acasă 1-15. Ce mod trist de a învăța matematica: devii un cimpanzeu antrenat.

Paul Lockhard

din eseul „Lamentul matematicianului”

Matematica este probabil una dintre cele mai ciudate ramuri ale științei. În niciun alt subiect contrariile nu se combină atât de puternic: de la rigoarea dovezilor formale până la capacitatea de a „vedea” anumite construcții. Matematica are atât frumusețe interioară, cât și frumusețe exterioară. Nu există nimic mai interesant decât rezolvarea problemelor de matematică. Și nicio altă materie nu este predată în școală atât de incompetent.

Cum începe de obicei studiul matematicii la școală? De la emiterea unui set de neînțeles de simboluri și definiții pentru copiii de 7-8 ani și un sistem de algoritmi pentru utilizarea acestui abracadabra. Lucruri separate, de exemplu, masa înmulțirii, sunt memorate.

În clasele următoare, bazate pe acest sistem, elevilor li se va spune și vor fi obligați să memoreze un set de ritualuri șamanistice care le permit să rezolve probleme grele. Vor apărea noi definiții, cum ar fi „fracția proprie” și „fracția improprie”, fără nici cea mai mică explicație despre unde provine și, cel mai important, de ce. O atenție deosebită va fi acordată rezolvării problemelor de text inutile și laborioase care sunt la fel de relevante pentru realitate ca și algoritmii înșiși.

Ca un mic test, vă putem oferi să ne amintim: de câte ori ai avut nevoie în viața ta pentru a determina fracția corectă sau necorespunzătoare?

Am fost obligat să învăț pe de rost: pătratul sumei a două numere este egal cu suma pătratelor lor, mărită cu produsul lor dublu. Nu aveam nici cea mai mică idee ce ar putea însemna asta; când nu mi-am putut aminti aceste cuvinte, profesorul m-a lovit în cap cu o carte, care însă nu mi-a stimulat deloc intelectul.

Bertrand Russell

Filosof, logician și matematician englez

În același timp, profesorii vor suprima fără milă orice disidență. Încercați să scrieți 5/2 în loc de 2 1/2 (la care doriți întotdeauna să obiectați: dacă am trei mere, fiecare dintre ele împărțit în jumătate, atunci voi lua 5 jumătăți, nu 2 mere și 1 jumătate).

Acest subiect poate fi continuat destul de mult timp. Mai mult, acest lucru se face deja în eseul lui Paul Lockhart „Plaia matematicianului”. Arată destul de bine „Cine este de vină”. Dar răspunsul la a doua întrebare importantă - „Ce să faci” nu este dat.

Un răspuns la această întrebare este dat într-o carte minunată, tradusă recent în rusă. Cartea se numește Plăcerea lui x.

Plăcerea de la x

Dacă nu poți explica ceva unui copil de șase ani, tu însuți nu îl înțelegi.

Albert Einstein

Aceasta este cartea care ar trebui să fie desktop pentru orice profesor de orice materie tehnică, fie ea matematică sau informatică.

Autorul acestui tratament, Steven Strogatz, este un matematician de talie mondială și lector în matematică aplicată la Universitatea Cornell din SUA (una dintre cele mai importante universități tehnice din lume). Și, judecând după carte, această persoană a combinat două calități minunate care au făcut din această lucrare un bestseller: Steven Strogatz este un matematician puternic și profesor într-o singură persoană.

Poți preda, dar nu cunoști bine materia. Poți cunoaște bine materia, dar nu poți preda. Poți să le faci pe amândouă, dar mediocru. Stephen Strogatz aparține unui alt tip: știe și știe să predea corect.

Despre ce este această carte? De fapt, despre tot ceea ce are cumva legătură cu matematica. La prima vedere, secțiunile cărții sunt alese haotic (Numerele, Raporturile, Cifrele, Timpul schimbărilor, Datele cu multe fețe, Granițele sunt posibile), dar pe măsură ce citiți, începeți să înțelegeți ce a vrut autorul să transmită. Cartea se bazează pe cercetare. Cercetare realizată de autor împreună cu cititorul.

Gama de sarcini luate în considerare este uriașă. Orice persoană, chiar și cu cunoștințe excelente de matematică, va învăța ceva nou din ea. În același timp, sunt luate în considerare atât sarcinile practice (de exemplu, calcularea dobânzii primite din acțiunile investite la bursă), cât și cele absolut abstracte.

Multe sarcini sunt date într-un context istoric. Aș vrea să mă opresc aici separat: acum, istoria dezvoltării matematicii a fost aruncată din aproape toate manualele. Între timp, numai prin înțelegerea contextului istoric, se poate merge până la capăt - de la cea mai simplă aritmetică la teoriile matematice moderne.

Luați în considerare, de exemplu, ecuațiile pătratice. Câte lacrimi au vărsat atât elevii, cât și profesorii în încercarea de a memora vraja: X unu-doi este egal cu minus ba plus sau minus rădăcina lui ba pătrat minus patru a-tse și împarte totul la doi a.

Apropo, acest mod de a scrie nu mai este corect după noile standarde matematice – cca. editor.

Oamenii cu memorie bună și/sau „în subiect” își mai pot aminti teorema lui Vieta. Dar în loc de toate acestea, Stephen Strogatz dă o explicație elegantă, inventată de al-Khwarizmi, cu ajutorul căreia, fără formule, poți găsi ușor și firesc o soluție (deși incompletă: în acele vremuri, numerele negative nu erau încă utilizate pe scară largă). Și vă asigur că oricine va citi această decizie își va aminti pentru totdeauna. Prima dată.

De la capitol la capitol, complexitatea sarcinilor crește. Dar înțelegerea nu se pierde, care este plăcerea deosebită de a citi Plăcerea lui x. Cititorul este cufundat în atmosfera pe care autorul i-a creat-o, practic, într-o lume nouă curajoasă.

Nu știu cu ce să compar această carte. Poate cu celebrele prelegeri Feyman despre fizică sau cu „Trebuie să glumești, domnule Feyman”. Dar un lucru este cert: această carte își va lăsa amprenta în sufletele celor care o citesc.

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, ediție în rusă, design. SRL „Mann, Ivanov și Ferber”, 2014

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a versiunii electronice a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau prin orice mijloc, inclusiv postarea pe Internet și rețelele corporative, pentru uz privat și public, fără permisiunea scrisă a proprietarului drepturilor de autor.

Suportul juridic al editurii este asigurat de firma de avocatura "Vegas-Lex"

* * *

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

minge de bani

Michael Lewis

Minte flexibilă

Carol Dweck

Fizica Bursei de Valori

James Weatherall

cuvânt înainte

Am un prieten care, în ciuda meserii (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții în psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că aceste simboluri matematice ciudate nu numai că îl sfidează, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul antipatiei lui față de matematică este mult mai profund. El nu va înțelege niciodată ce fac în general matematicienii și ce înseamnă aceștia când spun că această dovadă este elegantă. Uneori glumim că ar trebui să mă așez și să încep să-l învăț chiar de la elementele de bază, literalmente de la 1 + 1 = 2, și să intru în matematică cât de mult poate.

Și deși această idee pare o nebunie, este ceea ce voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică avansată, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să o poată profita în sfârșit. Și de data aceasta nu trebuie să te așezi la birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar va ajuta să înțelegeți ce studiază această disciplină și de ce este atât de interesantă pentru cei care o înțeleg.

Pentru a clarifica ce vreau sa spun prin viata numerelor si comportamentul lor, pe care nu le putem controla, sa revenim la Hotelul Furry Paws. Să presupunem că Humphrey tocmai era pe cale să livreze comanda, dar apoi pinguinii din altă cameră l-au sunat pe neașteptate și i-au cerut, de asemenea, aceeași cantitate de pește. De câte ori trebuie să strige Humphrey cuvântul „pește” după ce a primit două comenzi? Dacă nu știa nimic despre numere, ar trebui să țipe de câte ori sunt pinguini total în ambele camere. Sau, folosind numere, i-ar putea explica bucătarului că are nevoie de șase pești pentru un număr și șase pentru altul. Dar ceea ce are nevoie cu adevărat este un nou concept: adaos. Odată ce l-a stăpânit, va spune cu mândrie că are nevoie de șase plus șase (sau, dacă este posesor, doisprezece) pești.

Acesta este același proces creativ ca atunci când tocmai am venit cu numere. Așa cum numerele fac numărarea mai ușoară decât enumerarea lor pe rând, adăugarea ușurează calcularea oricărei sume. În același timp, cel care face calculul se dezvoltă ca matematician. Din punct de vedere științific, acest gând poate fi formulat după cum urmează: utilizarea abstracțiilor corecte duce la o perspectivă mai profundă a esenței problemei și la o putere mai mare în rezolvarea acesteia.

În curând, poate chiar și Humphrey își va da seama că acum poate întotdeauna să numere.

Cu toate acestea, în ciuda unei perspective atât de nesfârșite, creativitatea noastră are întotdeauna unele limitări. Putem decide ce înțelegem prin 6 și +, dar odată ce o facem, rezultatele unor expresii precum 6 + 6 sunt în afara controlului nostru. Logica nu ne lasă de ales aici. În acest sens, matematica include întotdeauna atât invenție, cât și asa de descoperire: noi inventând concepte, dar deschis consecințele lor. După cum va deveni clar în capitolele următoare, în matematică libertatea noastră constă în capacitatea de a pune întrebări și de a căuta cu insistență răspunsuri la ele, dar fără a le inventa noi înșine.

2. Aritmetica pietrei

Ca orice fenomen din viață, aritmetica are două laturi: formală și distractivă (sau jucăușă).

Am studiat partea formală la școală. Ne-au explicat cum să lucrăm cu coloane de numere, să le adunăm și să le scădem, cum să le lopăm atunci când efectuăm calcule în foi de calcul la completarea declarațiilor fiscale și la pregătirea rapoartelor anuale. Această latură a aritmeticii pare multora a fi importantă din punct de vedere practic, dar complet sumbră.

Se poate face cunoștință cu latura distractivă a aritmeticii numai în procesul de studiere a matematicii superioare. Cu toate acestea, este la fel de firesc ca curiozitatea unui copil.

În eseul „Plaia matematicianului”, Paul Lockhart sugerează studierea numerelor cu exemple mai precise decât de obicei: ne cere să le reprezentăm sub forma unui număr de pietre. De exemplu, numărul 6 corespunde următorului set de pietricele:

Cu greu vei vedea ceva neobișnuit aici. Așa cum este. Până nu începem să manipulăm numerele, ele arată aproape la fel. Jocul începe când primim o sarcină.

De exemplu, să ne uităm la seturi care au 1 până la 10 pietre și să încercăm să facem pătrate din ele. Acest lucru se poate face numai cu două seturi de 4 și 9 pietre, deoarece 4 = 2 × 2 și 9 = 3 × 3. Obținem aceste numere prin pătrarea unui alt număr (adică, pătrarea pietrelor).

Iată o problemă care are un număr mai mare de soluții: trebuie să aflați care seturi vor face un dreptunghi dacă aranjați pietrele în două rânduri cu un număr egal de elemente. Aici sunt potrivite seturi de 2, 4, 6, 8 sau 10 pietre; numărul trebuie să fie par. Dacă încercăm să aranjam seturile rămase cu un număr impar de pietre pe două rânduri, atunci vom avea întotdeauna o piatră în plus.

Dar nu totul este pierdut pentru aceste numere incomode! Dacă luăm două astfel de mulțimi, atunci elementele suplimentare își vor găsi o pereche, iar suma va fi pară: un număr impar + un număr impar = un număr par.

Dacă extindem aceste reguli la numerele după 10 și considerăm că numărul de rânduri dintr-un dreptunghi poate fi mai mare de două, atunci unele numere impare vor permite adăugarea unor astfel de dreptunghiuri. De exemplu, numărul 15 ar forma un dreptunghi de 3×5.

Prin urmare, deși 15 este, fără îndoială, un număr impar, este un număr compus și poate fi reprezentat ca trei rânduri a câte cinci pietre fiecare. În mod similar, orice intrare din tabelul înmulțirii produce propriul grup dreptunghiular de pietricele.

Dar unele numere, cum ar fi 2, 3, 5 și 7, sunt complet fără speranță. Nimic nu poate fi așezat din ele, decât să le aranjeze sub forma unei linii simple (un rând). Acești oameni ciudați încăpățânați sunt numere prime celebre.

Vedem deci că numerele pot avea structuri bizare care le conferă un anumit caracter. Dar pentru a-și imagina întreaga gamă a comportamentului lor, trebuie să te dai înapoi de la numerele individuale și să observi ce se întâmplă în timpul interacțiunii lor.

De exemplu, în loc să adăugăm doar două numere impare, să adăugăm toate secvențele posibile de numere impare, începând cu 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

În mod surprinzător, aceste sume se dovedesc întotdeauna a fi pătrate perfecte. (Am vorbit deja despre cum 4 și 9 pot fi reprezentați ca pătrate, iar acest lucru este valabil și pentru 16 = 4 × 4 și 25 = 5 × 5.) Un calcul rapid arată că această regulă este valabilă și pentru numerele impare mai mari și se pare că tinde catre infinit. Dar care este legătura dintre numerele impare cu pietrele lor „în plus” și numerele clasice simetrice care formează pătrate? Prin amplasarea corectă a pietrelor, o putem face evidentă, care este semnul distinctiv al unei dovezi elegante.

Cheia acesteia va fi observația că numerele impare pot fi reprezentate ca colțuri echilaterale, a căror impunere succesivă una peste alta formează un pătrat!

Un mod similar de raționament este prezentat într-o altă carte publicată recent. Romanul fermecător al lui Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor urmărește o tânără inteligentă, dar needucată, și fiul ei de zece ani. O femeie a fost angajată să îngrijească un matematician în vârstă a cărui memorie de scurtă durată reține doar informații despre ultimele 80 de minute din viață din cauza unei leziuni cerebrale traumatice. Pierdut în prezent, singur în căsuța lui mizerabilă, cu nimic altceva decât numere, profesorul încearcă să comunice cu menajera singurul mod pe care îl știe: întrebând-o despre mărimea pantofilor sau data nașterii și discutând cu ea despre cheltuielile ei. Profesorul are o plăcere deosebită și pentru fiul menajerului, căruia îi spune Ruth (Rădăcină - rădăcină), deoarece băiatul are capul plat deasupra, iar asta îi amintește de notația din matematică pentru rădăcina pătrată √.

Într-o zi, profesorul îi dă băiatului o sarcină simplă - să găsească suma tuturor numerelor de la 1 la 10. După ce Ruth adună cu grijă toate numerele și revine cu răspunsul (55), profesorul îi cere să caute un cale mai usoara. Poate găsi răspunsul fără simpla adunare de numere? Ruth lovește un scaun și strigă: „Nu e corect!”

Încetul cu încetul, menajera este atrasă și ea în lumea numerelor și încearcă în secret să rezolve singură această problemă. „Nu înțeleg de ce m-am lăsat atât de purtat de un puzzle pentru copii care nu are nicio utilitate practică”, spune ea. „La început am vrut să-i fac pe plac profesorului, dar treptat această activitate s-a transformat într-o luptă între mine și numere. Când m-am trezit dimineața, deja mă aștepta ecuația:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

și toată ziua a urmat pe călcâie, de parcă s-ar fi ars în retina ochilor mei și n-aveam cum să o ignor. Există mai multe modalități de a rezolva problema profesorului (mă întreb câte poți găsi). Profesorul însuși propune un mod de raționament, pe care l-am aplicat deja mai sus. El interpretează suma de la 1 la 10 ca un triunghi de pietricele, cu o pietricică în primul rând, două în al doilea și așa mai departe, până la zece pietricele în al zecelea rând.

Această imagine oferă o idee clară despre spațiul negativ. Se dovedește că este doar pe jumătate umplut, ceea ce arată direcția descoperirii creative. Dacă copiezi un triunghi de pietricele, îl răsturnezi și îl conectezi cu unul existent, obții ceva foarte simplu: un dreptunghi cu zece rânduri a câte 11 pietricele fiecare, pentru un total de 110 pietre.

Deoarece triunghiul inițial este jumătate din acest dreptunghi, suma calculată a numerelor de la 1 la 10 trebuie să fie jumătate din 110, adică 55.

Reprezentarea unui număr ca un grup de pietricele poate părea neobișnuită, dar este de fapt la fel de veche ca matematica în sine. Cuvantul "calcula" calculati) reflectă această moștenire și este derivat din latină calcul, adică „pietriș”, pe care romanii o foloseau când făceau calcule. Nu trebuie să fii Einstein (care înseamnă „o piatră” în germană) pentru a te bucura să te joci cu numerele, dar poate că abilitatea de a jongla cu pietricele îți va fi mai ușor.

Un slam dunk este un tip de aruncare la baschet în care un jucător sare în sus și aruncă mingea prin cerc de sus în jos cu una sau ambele mâini. Notă. transl.

Jay Simpson este un celebru jucător de fotbal american. A jucat rolul detectivului Northberg în celebra trilogie Naked Gun. El a fost acuzat de uciderea fostei sale soții și a prietenului ei și a fost achitat în ciuda dovezilor. Notă. transl.

Pentru ideea fascinantă că numerele au o viață proprie și că matematica poate fi considerată o formă de artă, vezi P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Notă. ed.: Există multe traduceri ale eseului lui Lockhart „Plaia matematicianului” pe internetul rusesc. Iată una dintre ele: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Aici și mai jos, notele de subsol dintre paranteze se referă la notele autorului.

Această frază celebră este preluată din eseul lui E. Wigner Eficacitatea nerezonabilă a matematicii în științele naturii, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, nr. 1, (februarie 1960), pp. 1–14. O versiune online este disponibilă la http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. Pentru reflecții suplimentare despre acest subiect și dacă matematica a fost inventată sau descoperită, vezi M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon și Schuster, 2009) și R. W. Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, voi. 87, nr. 2 (februarie 1980).

O mare parte din acest capitol le datorez a două cărți excelente: eseul polemic al lui P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009) și romanul lui Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Notă. ed.: Eseul lui Lockhart „Plaia matematicianului” este menționat în comentariul 1. Nu există încă o traducere a romanului lui Yoko Ogawa în rusă.

Pentru tinerii cititori care doresc să învețe despre numere și structurile lor, vezi H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Notă. ed.: Printre numeroasele cărți rusești despre principiile matematicii, abordări non-standard ale studiului acesteia, dezvoltarea creativității matematice la copii și subiecte similare în consonanță cu următoarele capitole ale cărții, subliniem următoarele: Pukhnachev Yu., Popov Yu. Matematică fără formule. M.: SA „Century”, 1995; Oster G. Taskmaster. Un ghid indispensabil pentru matematică. M.: AST, 2005; Ryzhik V. I. 30.000 de lecții de matematică: O carte pentru profesor. M.: Iluminismul, 2003: Tuchnin N.P. Cum se pune o întrebare? Despre creativitatea matematică a școlarilor. Yaroslavl: Sus. - Volzh. carte. Editura, 1989.

Pentru exemple excelente, dar mai sofisticate de vizualizare a imaginilor matematice, vezi R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

minge de bani

Michael Lewis

Minte flexibilă

Carol Dweck

Fizica Bursei de Valori

James Weatherall

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Stephen Strogatz

placere de la X

O călătorie captivantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Informații de la editor

Publicat pentru prima dată în limba rusă

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

placere de la X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume / Stephen Strogatz; pe. din engleza. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Vei afla cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul tău, vei înțelege frumusețea geometriei, te vei familiariza cu eleganța calculului integral, vei vedea importanța statisticii și vei intra în contact cu infinitul. Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege.

Toate drepturile rezervate.

Nicio parte a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă fără permisiunea scrisă a deținătorilor drepturilor de autor.

Suportul juridic al editurii este asigurat de firma de avocatura "Vegas-Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, ediție în rusă, design. SRL „Mann, Ivanov și Ferber”, 2014

cuvânt înainte

Am un prieten care, în ciuda meserii (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții în psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că aceste simboluri matematice ciudate nu numai că îl sfidează, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul antipatiei lui față de matematică este mult mai profund. El nu va înțelege niciodată ce fac în general matematicienii și ce înseamnă aceștia când spun că această dovadă este elegantă. Uneori glumim că ar trebui să mă așez și să încep să-l învăț chiar de la elementele de bază, literalmente de la 1 + 1 = 2, și să intru în matematică cât de mult poate.

Și deși această idee pare o nebunie, este ceea ce voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică avansată, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să o poată profita în sfârșit. Și de data aceasta nu trebuie să te așezi la birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar va ajuta să înțelegeți ce studiază această disciplină și de ce este atât de interesantă pentru cei care o înțeleg.

Vom afla cum slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea elementelor de bază ale calculului. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să schimbi salteaua astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie să fie schimbați înainte de a se juca o nuntă - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea sinusoidul de pe spatele unei zebre, puteți auzi ecourile teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne afectează viața astăzi, de exemplu, când căutăm restaurante folosind un computer sau încercăm măcar să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înspăimântătoare ale bursei.

O serie de 15 articole sub titlul general „Fundamentals of Mathematics” a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, printre care s-au numărat mulți studenți și profesori. Au existat și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simt că le-a scăpat ceva. Oși aș vrea să încerc din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru faptul că cu ajutorul meu au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-au făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau între ei pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți urmașii.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Auzim doar despre frica de matematică și, totuși, mulți ar încerca bucuroși să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le rupeți.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt scurte, ușor de citit și nu depind cu adevărat unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așa că, de îndată ce simți o ușoară foame matematică, nu ezita să te ocupi de următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai detaliat, atunci la sfârșitul cărții există note cu informații suplimentare și recomandări despre ce altceva puteți citi despre ea.

Pentru comoditatea cititorilor care preferă o abordare pas cu pas, am împărțit materialul în șase părți, în conformitate cu ordinea tradițională a subiectelor.

Partea I „Numerele” începe călătoria noastră cu aritmetica la grădiniță și școala elementară. Arată cât de utile pot fi numerele și cât de eficiente sunt magice în descrierea lumii din jurul nostru.

Partea a II-a „Ratorii” mută atenția de la numerele în sine către relațiile dintre ele. Aceste idei se află în centrul algebrei și sunt primele instrumente de descriere a modului în care unul îl afectează pe celălalt, arătând relația cauzală dintre o mare varietate de lucruri: cerere și ofertă, stimul și reacție - pe scurt, tot felul de relații care fac ca lume atât de diversă și bogată...

Partea a III-a „Figuri” nu este despre numere și simboluri, ci despre figuri și spațiu - domeniul geometriei și trigonometriei. Aceste subiecte, împreună cu descrierea tuturor obiectelor observabile prin forme, prin raționament logic și dovezi, ridică matematica la un nou nivel de precizie.

În partea a IV-a „Timpul schimbării” ne vom uita la calcul - cea mai impresionantă și mai multifațetă zonă a matematicii. Calculul face posibilă prezicerea traiectoriei planetelor, ciclurile mareelor ​​și face posibilă înțelegerea și descrierea tuturor proceselor și fenomenelor care se schimbă periodic din Univers și din interiorul nostru. Un loc important în această parte este dedicat studiului infinitului, a cărui pacificare a fost o descoperire care a permis calculelor să funcționeze. Calculul a ajutat la rezolvarea multor probleme care au apărut în lumea antică, iar acest lucru a condus în cele din urmă la o revoluție în știință și în lumea modernă.

Partea a V-a „Multe fețe ale datelor” tratează probabilitatea, statistica, rețelele și prelucrarea datelor - acestea sunt încă domenii relativ tinere, generate de aspecte nu întotdeauna ordonate ale vieții noastre, cum ar fi oportunitatea și norocul, incertitudinea, riscul, volatilitatea, aleatorietatea, interdependenţă. Folosind instrumentele matematice potrivite și tipurile de date potrivite, vom învăța să identificăm tipare într-un flux de aleatoriu.

La sfârșitul călătoriei noastre în partea a VI-a „Limitele posibilului” ne vom apropia de limitele cunoștințelor matematice, zona de graniță dintre ceea ce este deja cunoscut și ceea ce este încă evaziv și necunoscut. Vom parcurge din nou subiectele în ordinea cu care suntem deja familiarizați: numere, rapoarte, forme, modificări și infinit - dar, în același timp, le vom considera pe fiecare dintre ele mai în profunzime, în încarnarea sa modernă.

Cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul nostru, care este frumusețea geometriei, cât de elegante sunt calculele integrale și cât de importantă este statistica? Steven Strogatz vorbește despre toate acestea în cartea sa The Pleasure of X. Autorul explică ideile matematice fundamentale într-un mod simplu și elegant, dând exemple pe care oricine le poate înțelege. site-ul publică unul dintre capitolele cărții publicate de editura Mann, Ivanov și Ferber.

Statistica a devenit brusc la modă. Odată cu apariția internetului, a comerțului electronic, a rețelelor sociale, a proiectului de secvențiere a genomului uman și a creșterii culturii digitale în general, lumea a devenit inundată de date. Specialiştii în marketing ne studiază gusturile şi obiceiurile. Serviciile de informații colectează informații despre locația noastră, e-mailuri și apeluri telefonice. Statisticienii sportivi jonglează cu numerele pentru a decide ce jucători să cumpere, pe cine să recruteze și pe cine să pună bancă. Toată lumea se străduiește să combine punctele într-un grafic și să descopere un model în acumularea haotică de date.

Nu este surprinzător că aceste tendințe se reflectă în învățare. „Să trecem la statistici”, avertizează Greg Mankiw, economist la Universitatea Harvard, într-o rubrică din New York Times.

„Programa de matematică din liceu dedică prea mult timp subiectelor tradiționale precum geometria euclidiană și trigonometria. Aceste exerciții mentale, utile unui om obișnuit, sunt însă de puțin folos în viața de zi cu zi. Ar fi mult mai util pentru studenți să învețe mai multe despre teoria probabilității și statistică.” David Brooks merge chiar mai departe. În articolul său despre disciplinele care merită atenție pentru a obține o educație decentă, el scrie: „Ia statistici. Vei vedea, se dovedește că a ști ce este o abatere standard îți va fi foarte util în viață.

Este foarte posibil și este, de asemenea, bine să înțelegeți ce este distribuția. Acesta este primul lucru despre care intenționez să vorbesc. Și aș dori să mă concentrez asupra ei, pentru că aceasta este una dintre principalele lecții ale statisticilor: lucrurile par iremediabil aleatorii și imprevizibile atunci când sunt luate în considerare individual, dar în ansamblu dezvăluie regularitate și predictibilitate.

Este posibil să fi văzut o demonstrație a acestui principiu la un muzeu de știință (dacă nu, videoclipurile pot fi găsite online). O expoziție tipică este un instrument numit o placă Galton, care este oarecum asemănătoare cu o mașină de pinball, doar fără flippers. În interiorul acestuia, la intervale regulate, sunt chiar șiruri de ace.

Placă Galton

Experimentul începe cu sute de bile care sunt lansate în partea de sus a tablei Galton. Când cad, se ciocnesc de ace și cu aceeași probabilitate să sară fie la dreapta, fie la stânga, apoi sunt distribuite în partea de jos a tablei, căzând în compartimente de aceeași lățime. Înălțimea coloanei de bile arată probabilitatea cu care mingea poate fi într-un loc dat. Cele mai multe bile sunt plasate aproximativ la mijloc, sunt deja mai puține pe laterale, și chiar mai puține pe margini.

În general, imaginea este extrem de previzibilă: bilele formează întotdeauna o distribuție sub formă de clopot, deși este imposibil de prezis unde va ajunge fiecare minge în parte.

Cum se transformă accidentele individuale în modele generale? Dar așa funcționează aleatorietatea. Coloana din mijloc are cele mai multe bile pentru că multe dintre ele vor face aproximativ același număr de sărituri la dreapta și la stânga înainte de a se rostogoli în jos și, ca urmare, vor ajunge undeva la mijloc. Mai multe bile simple situate de-a lungul marginilor formează cozi de distribuție - acestea sunt bilele care, când se ciocnesc cu știfturile, săreau întotdeauna în aceeași direcție. Astfel de sărituri sunt puțin probabile, motiv pentru care există atât de puține bile în jurul marginilor.

Așa cum locația fiecărei bile este determinată de suma multor evenimente aleatoare, atât de multe fenomene din această lume sunt rezultatul multor circumstanțe mici și se supun, de asemenea, curbei clopotului. Așa funcționează companiile de asigurări. Ei pot numi cu exactitate numărul clienților lor care mor în fiecare an. Cu toate acestea, ei nu știu exact cine nu va fi norocos de data aceasta.

Sau luați, de exemplu, înălțimea unei persoane. Depinde de nenumărate accidente legate de genetică, biochimie, nutriție și mediu. Prin urmare, este probabil ca, atunci când sunt luate în considerare împreună, înălțimea bărbaților și femeilor adulți să fie o curbă în formă de clopot.

Într-un blog intitulat „False Data People Report About Themselves Online”, statisticile site-ului de întâlniri OkCupid au postat recent un grafic al creșterii clienților lor, sau mai degrabă valorile raportate de ei. Sa constatat că ratele de creștere ale ambelor sexe, așa cum era de așteptat, formează o curbă în formă de clopot. În mod surprinzător, totuși, ambele distribuții au fost înclinate spre dreapta cu aproximativ doi centimetri față de valorile așteptate.

Strogats S. Pleasure de la H. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

Astfel, fie clienții chestionați de OkCupid sunt mai înalți decât media, fie adaugă câțiva centimetri la înălțimea lor atunci când se descriu online.

O versiune idealizată a acestor curbe clopot este ceea ce matematicienii numesc o distribuție normală. Acesta este unul dintre cele mai importante concepte din statistică, care are o justificare teoretică. Se poate demonstra că distribuția normală rezultă din adăugarea unui număr mare de factori aleatori mici, fiecare dintre aceștia acționând independent de ceilalți. Și multe lucruri se întâmplă așa.

Dar nu tot. Și acesta este al doilea punct asupra căruia aș dori să atrag atenția. Distribuția normală nu este atât de omniprezentă pe cât pare. Timp de o sută de ani, și mai ales în ultimele decenii, oamenii de știință și statisticienii au remarcat existența multor fenomene care se abat de la această curbă și își urmează propriul orar. Este curios că astfel de tipuri de distribuții nu sunt, practic, menționate în manualele de statistică elementară și, dacă apar, sunt de obicei considerate ca un fel de patologie.

Acest lucru este ciudat. Voi încerca să explic că multe fenomene ale vieții moderne au mai mult sens dacă aceste distribuții „patologice” sunt înțelese. Aceasta este noua normalitate. Luați, de exemplu, distribuția dimensiunilor orașelor în Statele Unite. În loc să se grupeze în jurul unei curbe medii, marea majoritate a orașelor sunt mici și, prin urmare, se grupează în partea stângă a graficului.

Strogats S. Pleasure de la H. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

Și cu cât populația orașului este mai mare, cu atât se găsesc mai rar astfel de orașe. Cu alte cuvinte, în ansamblu, distribuția va fi mai degrabă o curbă în formă de L decât o curbă clopot.

Și nu este nimic surprinzător în asta. Toată lumea știe că există mult mai puține mega-orașe decât orașele mici. Deși nu este atât de evident, dimensiunile orașelor urmează o distribuție simplă și frumoasă - dacă le priviți pe o scară logaritmică.

Vom presupune că diferența dintre două orașe este aceeași dacă populația lor diferă de același număr de ori (la fel cum oricare două clape de pian separate de o octavă diferă întotdeauna de două ori ca frecvență). Și vom face același lucru pe axa verticală.

Strogats S. Pleasure de la H. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

Acum datele sunt pe o curbă care este aproape o linie dreaptă perfectă. Pe baza proprietăților logaritmilor, este ușor de dedus că curba inițială în formă de L este o dependență de putere, care este descrisă de o funcție de forma

unde x este populația orașului, y este numărul de orașe care au această dimensiune, c este o constantă, iar exponentul a (exponentul legii puterii) determină panta negativă a dreptei.

Distribuțiile de putere au unele proprietăți ilogice, din punctul de vedere al statisticilor tradiționale. De exemplu, spre deosebire de o distribuție normală, modurile, medianele și mediile lor nu se potrivesc din cauza formei înclinate și înclinate a curbelor în formă de L.

Președintele Bush a beneficiat foarte mult de acest lucru, declarând în 2003 că reducerea impozitelor a salvat fiecare familie în medie de 1.586 de dolari. Deși corect din punct de vedere matematic, aici el a luat în avantajul său ca bază deducerea medie, care ascundea uriașele deduceri de sute de mii de dolari primite de cei 0,1% din cea mai bogată populație din țară. Se știe că „coada” din partea dreaptă a distribuției venitului urmează o lege a puterii, iar într-o astfel de situație, utilizarea valorii medii este înșelătoare, deoarece este departe de valoarea sa reală. În realitate, majoritatea familiilor au primit mai puțin de 650 de dolari înapoi. În această distribuție, mediana este mult mai mică decât media.

Acest exemplu demonstrează cea mai importantă proprietate a distribuțiilor de lege de putere: au „cozi grele” în comparație cu cel puțin „cozile fluide” mici ale unei distribuții normale. Cozile mari ca aceasta, deși rare, sunt mai frecvente în distribuțiile de date decât curbele clopot obișnuite.

În Black Monday, 19 octombrie 1987, Dow Jones Industrial Average a scăzut cu 22%. În comparație cu nivelul obișnuit de volatilitate pe bursă, această scădere a fost de peste douăzeci de abateri standard. Conform statisticilor tradiționale (care folosesc distribuția normală), un astfel de eveniment este aproape imposibil: probabilitatea sa este mai mică de unu la 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Totuși, acest lucru s-a întâmplat - deoarece fluctuațiile prețurilor de pe piața de valori nu au urmat o distribuție normală.

Distribuțiile cu o „coadă grea” sunt mai potrivite pentru a le descrie. Acest lucru se întâmplă cu cutremure, incendii și inundații, ceea ce face dificil pentru companiile de asigurări gestionarea riscului.

Același model matematic descrie numărul de morți în războaie și atacuri teroriste, precum și alte lucruri mult mai pașnice, cum ar fi numărul de cuvinte dintr-un roman sau numărul de parteneri sexuali pe care o persoană are.

Deși adjectivele folosite pentru a descrie cozile lungi nu le aruncă într-o lumină foarte favorabilă, distribuțiile „cozile” își poartă cu mândrie coada. Îndrăzneț, greu și lung? Da, este. Dar în acest caz, arată-mi care este normal?