Definirea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților. Metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice

1.5 Inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora

1.5.1 Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple

Cei mai mulți dintre autorii manualelor moderne de matematică sugerează să începem examinarea acestui subiect prin rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice. Principiul rezolvării celor mai simple inegalități trigonometrice se bazează pe cunoașterea și capacitatea de a determina pe un cerc trigonometric valorile nu numai ale principalelor unghiuri trigonometrice, ci și ale altor valori.

Între timp, rezolvarea inegalităților de forma , , , poate fi efectuată astfel: mai întâi, găsim un interval () pe care această inegalitate este adevărată, iar apoi notăm răspunsul final adăugând la capetele găsite. interval un multiplu al perioadei sinusului sau cosinusului: ( ). În acest caz, valoarea este ușor de găsit, deoarece sau . Căutarea unei valori se bazează pe intuiția elevilor, pe capacitatea lor de a observa egalitatea arcelor sau a segmentelor, folosind simetria părților individuale ale graficului sinus sau cosinus. Și acest lucru este uneori peste puterea unui număr destul de mare de studenți. Pentru a depăși dificultățile remarcate, în ultimii ani manualele au folosit o abordare diferită pentru rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice, dar acest lucru nu a îmbunătățit rezultatele învățării.

De câțiva ani, am folosit cu succes formulele rădăcinilor ecuațiilor corespunzătoare pentru a găsi soluții la inegalitățile trigonometrice.

Studiem acest subiect în felul următor:

1. Construim grafice și y \u003d a, presupunând că .

Apoi notăm ecuația și soluția ei. Dând n 0; 1; 2, găsim trei rădăcini ale ecuației compuse: . Valorile sunt abscisele a trei puncte de intersecție consecutive ale graficelor și y = a. este evident că inegalitatea este valabilă întotdeauna pe intervalul (), iar pe intervalul () - inegalitatea .

Adăugând la capetele acestor intervale un număr care este multiplu al perioadei sinusului, în primul caz obținem soluția inegalității sub forma: ; iar în al doilea caz, soluția inegalității sub forma:

Numai în contrast cu sinusul din formulă, care este o soluție a ecuației, pentru n = 0 obținem două rădăcini, iar a treia rădăcină pentru n = 1 sub forma . Și din nou sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor și . În intervalul () inegalitatea este îndeplinită, în intervalul () inegalitatea

Acum este ușor să notăm soluțiile inegalităților și . În primul caz, obținem: ;

iar în al doilea: .

Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea sau , este necesar să compuneți ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Din formula rezultată, găsiți rădăcinile și , și scrieți răspunsul inegalității sub forma: .

La rezolvarea inegalităților , din formula rădăcinilor ecuației corespunzătoare găsim rădăcinile și , și scriem răspunsul inegalității sub forma: .

Această tehnică vă permite să învățați toți elevii cum să rezolve inegalitățile trigonometrice. această tehnică se bazează în întregime pe abilitățile pe care elevii le-au stăpânit ferm. Acestea sunt capacitatea de a rezolva cel mai simplu și de a găsi valoarea unei variabile folosind o formulă. În plus, devine complet opțional să rezolvi cu atenție sub îndrumarea unui profesor. un numar mare exerciții pentru a demonstra tot felul de tehnici de raționament în funcție de semnul inegalității, valoarea modulului numărului a și semnul acestuia. Și chiar procesul de rezolvare a inegalității devine scurt și, ceea ce este foarte important, uniform.

Un alt avantaj al acestei metode este că facilitează rezolvarea inegalităților chiar și atunci când partea dreaptă nu este o valoare de tabel de sinus sau cosinus.

Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu specific. Să fie necesar pentru a rezolva inegalitatea. Să scriem ecuația corespunzătoare și să o rezolvăm:

Să găsim valorile și .

Pentru n = 1

Pentru n = 2

Scriem răspunsul final la această inegalitate:

În exemplul considerat de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, poate exista un singur dezavantaj - prezența unei anumite cantități de formalism. Dar dacă totul este evaluat numai din aceste poziții, atunci va fi posibil să se acuze de formalism atât formulele rădăcinilor ecuației pătratice, cât și toate formulele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și multe altele.

Metoda propusă, deși ocupă un loc demn în formarea deprinderilor și abilităților de rezolvare a inegalităților trigonometrice, nu se poate subestima importanța și caracteristicile altor metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice. Aceasta include metoda intervalului.

Să luăm în considerare esența lui.

Set editat de A.G. Mordkovich, deși nici alte manuale nu trebuie ignorate. § 3. Metode de predare a temei „Funcțiile trigonometrice” în cursul de algebră și începutul analizei În studiul funcțiilor trigonometrice la școală se pot distinge două etape principale: ü Cunoașterea inițială cu funcțiile trigonometrice...

Pe parcursul cercetării au fost rezolvate următoarele sarcini: 1) Au fost analizate manualele actuale de algebră și începutul analizei matematice pentru a identifica metodele de rezolvare a ecuațiilor iraționale și a inegalităților prezentate în acestea. Analiza efectuată ne permite să tragem următoarele concluzii: În liceu se acordă o atenție insuficientă metodelor de rezolvare a diverselor ecuații iraționale, în principal...

METODE DE REZOLVARE A INEGALĂȚILOR TRIGONOMETRICE

Relevanţă. Din punct de vedere istoric, ecuațiilor și inegalităților trigonometrice li s-a acordat un loc special în programa școlară. Putem spune că trigonometria este una dintre cele mai importante secțiuni ale cursului școlar și ale tuturor științelor matematice în general.

Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice ocupă unul dintre locurile centrale într-un curs de matematică de liceu, atât în ​​ceea ce privește conținutul materialului educațional, cât și în ceea ce privește metodele de activitate educațională și cognitivă care pot și trebuie formate în timpul studiului lor și aplicate la rezolvarea unei mari probleme. număr de probleme de natură teoretică și aplicativă.

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice creează premisele pentru sistematizarea cunoștințelor elevilor legate de tot materialul educațional din trigonometrie (de exemplu, proprietățile funcțiilor trigonometrice, metode de transformare a expresiilor trigonometrice etc.) și face posibilă stabilirea de conexiuni eficiente cu materialul studiat în algebră (ecuații, echivalență de ecuații, inegalități, transformări identice ale expresiilor algebrice etc.).

Cu alte cuvinte, luarea în considerare a metodelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice presupune un fel de transfer al acestor abilități la un conținut nou.

Semnificația teoriei și numeroasele ei aplicații sunt o dovadă a relevanței temei alese. Acest lucru, la rândul său, vă permite să determinați scopurile, obiectivele și subiectul cercetării lucrării cursului.

Scopul studiului: generalizează tipurile disponibile de inegalități trigonometrice, metode de bază și speciale pentru rezolvarea acestora, selectează un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice de către școlari.

Obiectivele cercetării:

1. Pe baza analizei literaturii disponibile pe tema de cercetare, sistematizați materialul.

2. Oferă un set de sarcini necesare pentru a consolida tema „Inegalități trigonometrice”.

Obiect de studiu sunt inegalităţi trigonometrice la cursul de matematică şcolară.

Subiect de studiu: tipuri de inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora.

Semnificație teoretică este de a organiza materialul.

Semnificație practică: aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor; analiza principalelor metode frecvent întâlnite de rezolvare a inegalităților trigonometrice.

Metode de cercetare : analiza literaturii științifice, sinteza și generalizarea cunoștințelor dobândite, analiza rezolvării problemelor, căutarea metodelor optime de rezolvare a inegalităților.

§1. Tipuri de inegalități trigonometrice și metode de bază pentru rezolvarea acestora

1.1. Cele mai simple inegalități trigonometrice

Două expresii trigonometrice legate printr-un semn sau > se numesc inegalități trigonometrice.

A rezolva o inegalitate trigonometrică înseamnă a găsi o mulțime de valori ale necunoscutelor incluse în inegalitate, sub care inegalitatea este satisfăcută.

Partea principală a inegalităților trigonometrice este rezolvată prin reducerea lor la rezolvarea celor mai simple:

Aceasta poate fi o metodă de factorizare, schimbare a variabilei (
,
etc.), unde se rezolvă mai întâi inegalitatea obișnuită și apoi inegalitatea formei
etc., sau alte moduri.

Cele mai simple inegalități se rezolvă în două moduri: folosind cercul unitar sau grafic.

Lăsaf(x  este una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Pentru a rezolva inegalitatea
este suficient să-și găsești soluția pe o singură perioadă, adică. pe orice segment a cărui lungime este egală cu perioada funcțieif  X  . Apoi se va găsi soluția inegalității originaleX , precum și acele valori care diferă de cele găsite de orice număr întreg de perioade ale funcției. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda grafică.

Să dăm un exemplu de algoritm pentru rezolvarea inegalităților
(
) Și
.

Algoritm de rezolvare a inegalității
(
).

1. Formulați definiția sinusului unui numărX pe cercul unitar.

3. Pe axa y, marcați un punct cu coordonateleA .

4. Prin acest punct, trasați o linie paralelă cu axa OX și marcați punctele de intersecție a acesteia cu cercul.

5. Selectați un arc de cerc, toate punctele căruia au o ordonată mai mică decâtA .

6. Specificați direcția bypass-ului (în sens invers acelor de ceasornic) și notați răspunsul adăugând perioada funcției la capetele intervalului2πn ,
.

Algoritm de rezolvare a inegalității
.

1. Formulați definiția tangentei unui numărX pe cercul unitar.

2. Desenați un cerc unitar.

3. Desenați o linie de tangente și marcați un punct pe ea cu o ordonatăA .

4. Conectați acest punct la origine și marcați punctul de intersecție al segmentului rezultat cu cercul unitar.

5. Selectați un arc de cerc, toate punctele căruia au o ordonată pe linia tangentă mai mică decâtA .

6. Indicați direcția de parcurgere și notați răspunsul, ținând cont de sfera funcției, adăugând un punctpn ,
(numărul din partea stângă a înregistrării este întotdeauna mai mic decât numărul din partea dreaptă).

Interpretarea grafică a soluțiilor celor mai simple ecuații și formulele de rezolvare a inegalităților într-o formă generală sunt date în anexă (Anexele 1 și 2).

Exemplul 1 Rezolvați inegalitatea
.

Desenați o linie pe cercul unității
, care intersectează cercul în punctele A și B.

Toate valoriley pe intervalul NM mai mult , toate punctele arcului AMB satisfac această inegalitate. La toate unghiurile de rotație, mare , dar mai mic ,
va lua valori mai mari decât (dar nu mai mult de unul).

Fig.1

Astfel, soluția inegalității va fi toate valorile din interval
, adică
. Pentru a obține toate soluțiile acestei inegalități, este suficient să adăugați la capetele acestui interval
, Unde
, adică
,
. Rețineți că valorile
Și
sunt rădăcinile ecuației
,

acestea.
;
.

Răspuns:
,
.

1.2. Metoda grafică

În practică, o metodă grafică pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice este adesea utilă. Luați în considerare esența metodei pe exemplul inegalității
:

1. Dacă argumentul este complex (diferit deX ), apoi îl înlocuim cut .

2. Construim într-un singur plan de coordonatetoOy grafice de funcții
Și
.

3. Găsim astfeldouă puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între caresinusoidsituatsuperior Drept
. Găsiți abscisele acestor puncte.

4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argumentt , având în vedere perioada cosinus (t va fi între abscisele găsite).

5. Faceți o înlocuire inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoareaX dintr-o inegalitate dublă, scriem răspunsul ca un interval numeric.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea: .

Când rezolvați inegalitățile printr-o metodă grafică, este necesar să construiți grafice ale funcțiilor cât mai precis posibil. Să transformăm inegalitatea în forma:

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate
Și
(Fig. 2).

Fig.2

Graficele funcțiilor se intersectează într-un punctA cu coordonate
;
. Intre
puncte grafice
sub punctele diagramei
. Și atunci când
valorile funcției sunt aceleași. De aceea
la
.

Răspuns:
.

1.3. Metoda algebrică

Destul de des, inegalitatea trigonometrică inițială, printr-o substituție bine aleasă, poate fi redusă la o inegalitate algebrică (rațională sau irațională). Această metodă implică transformarea inegalității, introducerea unei substituții sau înlocuirea unei variabile.

Să luăm în considerare aplicarea acestei metode pe exemple concrete.

Exemplul 3 Reducere la forma cea mai simplă
.

(Fig. 3)

Fig.3

,
.

Răspuns:
,

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea:

ODZ:
,
.

Folosind formule:
,

scriem inegalitatea sub forma:
.

Sau, presupunând
după simple transformări obținem

,

,

.

Rezolvând ultima inegalitate prin metoda intervalului, obținem:

Fig.4

, respectiv
. Apoi din Fig. 4 urmează
, Unde
.

Fig.5

Răspuns:
,
.

1.4. Metoda de spațiere

Schema generală de rezolvare a inegalităților trigonometrice prin metoda intervalului:

Folosind formule trigonometrice, factorizați.

Găsiți punctele de întrerupere și zerourile funcției, puneți-le pe cerc.

Luați orice punctLA (dar nu a fost găsit mai devreme) și află semnul produsului. Dacă produsul este pozitiv, atunci puneți un punct în afara cercului unitar pe raza corespunzătoare unghiului. În caz contrar, pune punctul în interiorul cercului.

Dacă un punct apare de un număr par, îl numim punct de multiplicitate par; dacă este de un număr impar de ori, îl numim punct de multiplicitate impar. Desenați arce după cum urmează: începeți dintr-un punctLA , dacă următorul punct este de multiplicitate impară, atunci arcul intersectează cercul în acest punct, dar dacă punctul este de multiplicitate pară, atunci nu se intersectează.

Arcurile din spatele unui cerc sunt goluri pozitive; în interiorul cercului sunt intervale negative.

Exemplul 5 Rezolvați inegalitatea

,
.

Puncte din prima serie:
.

Puncte din a doua serie:
.

Fiecare punct apare de un număr impar de ori, adică toate punctele de multiplicitate impară.

Aflați semnul produsului la
: . Marcam toate punctele de pe cercul unitar (Fig. 6):

Orez. 6

Răspuns:
,
;
,
;
,
.

Exemplul 6 . Rezolvați inegalitatea.

Soluţie:

Să găsim zerourile expresiei .

obțineaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Pe cercul unității, valori de serieX 1 reprezentate prin puncte
. SerieX 2 dă puncte
. O serieX 3 obținem două puncte
. În sfârșit, o serieX 4 va reprezenta puncte
. Punem toate aceste puncte pe cercul unitar, indicând în paranteze lângă fiecare multiplicitatea sa.

Acum lăsați numărul va fi egal. Facem o estimare dupa semnul:

Deci ideeaA trebuie ales pe fasciculul care formează unghiul cu grindăOh, în afara cercului unitar. (Rețineți că fasciculul auxiliarDESPRE A nu trebuie sa fie aratat in poza. PunctA selectat aproximativ.)

Acum din punct de vedereA trasăm o linie continuă ondulată secvenţial la toate punctele marcate. Și la puncte
linia noastră trece dintr-o regiune în alta: dacă era în afara cercului unitar, atunci trece în el. Apropiindu-se de punct , linia revine în regiunea interioară, deoarece multiplicitatea acestui punct este pară. În mod similar la punct (cu o multiplicitate uniformă) linia trebuie rotită spre regiunea exterioară. Deci, am desenat o anumită imagine descrisă în Fig. 7. Ajută la evidențierea zonelor dorite de pe cercul unității. Sunt marcate cu „+”.

Fig.7

Răspuns final:

Notă. Dacă linia ondulată, după parcurgerea tuturor punctelor marcate pe cercul unitar, nu poate fi returnată la punctA , fără a traversa cercul într-un loc „ilegal”, aceasta înseamnă că a fost făcută o eroare în soluție, și anume, au fost omise un număr impar de rădăcini.

Răspuns: .

§2. Un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice

În procesul de dezvoltare a capacității școlarilor de a rezolva inegalitățile trigonometrice, se pot distinge și 3 etape.

1. pregătitoare,

2. formarea deprinderilor de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice;

3. introducerea inegalităţilor trigonometrice de alte tipuri.

Scopul etapei pregătitoare este acela că este necesar să se formeze la școlari capacitatea de a utiliza un cerc sau un grafic trigonometric pentru a rezolva inegalitățile, și anume:

Capacitatea de a rezolva inegalități simple ale formei
,
,
,
, utilizarea proprietăților funcțiilor sinus și cosinus;

Capacitatea de a face inegalități duble pentru arce de cerc numeric sau pentru arce de grafice ale funcțiilor;

Capacitatea de a efectua diverse transformări ale expresiilor trigonometrice.

Se recomandă implementarea acestei etape în procesul de sistematizare a cunoștințelor școlarilor despre proprietățile funcțiilor trigonometrice. Principalele mijloace pot fi sarcinile oferite elevilor și efectuate fie sub îndrumarea unui profesor, fie independent, precum și abilitățile dobândite în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Iată exemple de astfel de sarcini:

1 . Marcați un punct pe cercul unității , Dacă

.

2. În ce sfert din planul de coordonate se află punctul , Dacă este egal cu:

3. Marcați puncte pe cercul trigonometric , Dacă:

4. Aduceți expresia la funcțiile trigonometriceeusferturi.

A)
, b)
, V)

5. Având în vedere arcul MR.M - mijloceutrimestrul,R - mijlocIItrimestrul. Restricționați valoarea unei variabilet pentru: (compuneți o dublă inegalitate) a) arc MP; b) arcele RM.

6. Scrieți o dublă inegalitate pentru secțiunile selectate ale graficului:

Orez. 1

7. Rezolvați inegalitățile
,
,
,
.

8. Convertiți expresia .

La a doua etapă a învăţării rezolvării inegalităţilor trigonometrice, putem oferi următoarele recomandări legate de metodologia de organizare a activităţilor elevilor. În același timp, este necesar să se concentreze pe abilitățile elevilor de a lucra cu un cerc sau un grafic trigonometric, care se formează în timpul rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice.

În primul rând, este posibil să se motiveze oportunitatea obținerii unei metode generale de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice prin referire, de exemplu, la o inegalitate de formă
. Folosind cunoștințele și abilitățile dobândite în etapa pregătitoare, elevii vor aduce în formă inegalitatea propusă
, dar poate fi dificil să găsească un set de soluții la inegalitatea rezultată, deoarece este imposibil de rezolvat numai folosind proprietățile funcției sinus. Această dificultate poate fi evitată prin referire la ilustrația corespunzătoare (rezolvarea grafică a ecuației sau folosind un cerc unitar).

În al doilea rând, profesorul ar trebui să atragă atenția elevilor asupra diferitelor modalități de finalizare a sarcinii, să ofere un exemplu adecvat de rezolvare a inegalității atât grafic, cât și folosind cercul trigonometric.

Luați în considerare astfel de opțiuni pentru rezolvarea inegalității
.

1. Rezolvarea inegalității folosind cercul unitar.

În prima lecție de rezolvare a inegalităților trigonometrice, vom oferi studenților un algoritm de rezolvare detaliat, care într-o prezentare pas cu pas reflectă toate abilitățile de bază necesare rezolvării inegalității.

Pasul 1.Desenați un cerc unitar, marcați un punct pe axa y și trageți o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa x. Această linie va intersecta cercul unitar în două puncte. Fiecare dintre aceste puncte descrie numere al căror sinus este egal cu .

Pasul 2Această linie dreaptă a împărțit cercul în două arce. Să-l identificăm pe cel pe care sunt afișate numere care au un sinus mai mare decât . Desigur, acest arc este situat deasupra liniei drepte trasate.

Orez. 2

Pasul 3Să alegem unul dintre capetele arcului marcat. Să notăm unul dintre numerele care este reprezentat de acest punct al cercului unitar .

Pasul 4Pentru a selecta un număr corespunzător celui de-al doilea capăt al arcului selectat, „trecem” de-a lungul acestui arc de la capătul numit la celălalt. În același timp, reamintim că la deplasarea în sens invers acelor de ceasornic, numerele pe care le vom trece cresc (când ne deplasăm în sens invers, numerele ar scădea). Să notăm numărul care este reprezentat pe cercul unității de al doilea capăt al arcului marcat .

Astfel, vedem că inegalitatea
satisface numerele pentru care inegalitatea
. Am rezolvat inegalitatea pentru numerele situate pe aceeași perioadă a funcției sinus. Prin urmare, toate soluțiile inegalității pot fi scrise ca

Elevii ar trebui să fie rugați să analizeze cu atenție cifra și să descopere de ce toate soluțiile la inegalitate
poate fi scris sub forma
,
.

Orez. 3

Este necesar să atragem atenția elevilor asupra faptului că atunci când rezolvăm inegalitățile pentru funcția cosinus, trasăm o dreaptă paralelă cu axa y.

Mod grafic de rezolvare a inegalității.

Construirea graficelor
Și
, dat fiind
.

Orez. 4

Apoi scriem ecuația
si solutia lui
,
,
, găsit folosind formule
,
,
.

(Dăruindn valorile 0, 1, 2, găsim trei rădăcini ale ecuației compuse). Valori
sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor
Și
. Evident, mereu la interval
inegalitatea
, iar pe interval
- inegalitatea
. Ne interesează primul caz, iar apoi adăugând la capetele acestui interval un număr care este un multiplu al perioadei sinusurilor, obținem o soluție la inegalitatea
la fel de:
,
.

Orez. 5

Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea
, trebuie să scrieți ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Din formula rezultată găsiți rădăcinile Și , și scrieți răspunsul inegalității sub forma: ,
.

În al treilea rând, faptul despre mulțimea de rădăcini a inegalității trigonometrice corespunzătoare este confirmat foarte clar atunci când o rezolvăm grafic.

Orez. 6

Este necesar să le demonstrăm elevilor că bobina, care este soluția inegalității, se repetă în același interval, egal cu perioada funcției trigonometrice. De asemenea, puteți lua în considerare o ilustrație similară pentru graficul funcției sinus.

În al patrulea rând, este recomandabil să se efectueze lucrări de actualizare a metodelor elevilor de conversie a sumei (diferenței) funcțiilor trigonometrice într-un produs, pentru a atrage atenția școlarilor asupra rolului acestor tehnici în rezolvarea inegalităților trigonometrice.

O astfel de muncă poate fi organizată prin îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor propuse de profesor, dintre care evidențiem următoarele:

În al cincilea rând, elevilor trebuie să li se ceară să ilustreze soluția fiecărei inegalități trigonometrice simple folosind un grafic sau un cerc trigonometric. Asigurați-vă că acordați atenție oportunității sale, în special utilizării unui cerc, deoarece atunci când rezolvați inegalitățile trigonometrice, ilustrația corespunzătoare servește ca un mijloc foarte convenabil de a fixa setul de soluții la o anumită inegalitate.

Cunoașterea elevilor cu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice care nu sunt cele mai simple, este recomandabil să se efectueze după următoarea schemă: referirea la o inegalitate trigonometrică specifică referirea la ecuația trigonometrică corespunzătoare căutarea comună (profesor - elevi) pentru o soluție independentă transferul tehnicii găsite la alte inegalităţi de acelaşi tip.

Pentru a sistematiza cunoștințele de trigonometrie ale elevilor, recomandăm selectarea specifică a unor astfel de inegalități, a căror rezolvare necesită diverse transformări care pot fi implementate în procesul de rezolvare a acesteia, concentrând atenția elevilor asupra trăsăturilor lor.

Ca atare inegalități productive, putem propune, de exemplu, următoarele:

În concluzie, dăm un exemplu de set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

1. Rezolvați inegalitățile:

2. Rezolvați inegalitățile: 3. Găsiți toate soluțiile inegalităților: 4. Găsiți toate soluțiile inegalităților:

A)
, îndeplinind condiția
;

b)
, îndeplinind condiția
.

5. Găsiți toate soluțiile inegalităților:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e) ;

e) ;

și)
.

7. Rezolvați inegalitățile:

A)
;

b) ;

V) ;

G).

8. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e)
;

e) ;

și)
;

h) .

Este recomandabil să se ofere sarcinile 6 și 7 studenților care studiază matematica la un nivel avansat, sarcina 8 - elevilor din clasele cu studiu aprofundat al matematicii.

§3. Metode speciale de rezolvare a inegalităților trigonometrice

Metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice - adică acele metode care pot fi folosite doar pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Aceste metode se bazează pe utilizarea proprietăților funcțiilor trigonometrice, precum și pe utilizarea diferitelor formule și identități trigonometrice.

3.1. Metoda sectorială

Luați în considerare metoda sectorului pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. Rezolvarea inegalităților de formă

, UndeP ( X ) ȘiQ ( X ) - funcţiile trigonometrice raţionale (sinusurile, cosinusurile, tangentele şi cotangentele le intră raţional), similar soluţiei inegalităţilor raţionale. Este convenabil să se rezolve inegalitățile raționale prin metoda intervalelor pe axa reală. Analogul său în rezolvarea inegalităților trigonometrice raționale este metoda sectoarelor dintr-un cerc trigonometric, pentrusinx Șicosx (
) sau un semicerc trigonometric pentrutgx Șictgx (
).

În metoda intervalului, fiecare factor liniar al numărătorului și numitorului formei
punct pe axa numerelor , iar la trecerea prin acest punct
schimba semnul. În metoda sectorului, fiecare multiplicator al formei
, Unde
- una dintre funcțiisinx saucosx Și
, într-un cerc trigonometric îi corespund două unghiuri Și
, care împart cercul în două sectoare. La trecere prin Și funcţie
schimba semnul.

Trebuie reținute următoarele:

a) Multiplicatori ai formei
Și
, Unde
, păstrați semnul pentru toate valorile . Astfel de multiplicatori ai numărătorului și numitorului sunt aruncați, schimbându-se (dacă
) la fiecare astfel de respingere, semnul de inegalitate este inversat.

b) Multiplicatori ai formei
Și
sunt de asemenea aruncate. Mai mult, dacă aceștia sunt factori ai numitorului, atunci inegalitățile de formă sunt adăugate sistemului echivalent de inegalități
Și
. Dacă aceștia sunt factori ai numărătorului, atunci în sistemul echivalent de constrângeri ei corespund inegalităților
Și
în cazul inegalității inițiale stricte și egalitatea
Și
în cazul unei inegalităţi iniţiale nestricte. Când scăpați multiplicatorul
sau
semnul inegalității este inversat.

Exemplul 1 Rezolvați inegalitățile: a)
, b)
. avem o funcție, b). Rezolvați inegalitatea pe care o avem

3.2. Metoda cercului concentric

Această metodă este analogă cu metoda axelor numerice paralele în rezolvarea sistemelor de inegalități raționale.

Luați în considerare un exemplu de sistem de inegalități.

Exemplul 5 Rezolvați un sistem de inegalități trigonometrice simple

În primul rând, rezolvăm fiecare inegalitate separat (Figura 5). În colțul din dreapta sus al figurii, vom indica pentru ce argument este considerat cercul trigonometric.

Fig.5

Apoi, construim un sistem de cercuri concentrice pentru argumentX . Desenăm un cerc și îl umbrim conform soluției primei inegalități, apoi desenăm un cerc de rază mai mare și îl umbrim conform soluției celei de-a doua, apoi construim un cerc pentru a treia inegalitate și un cerc de bază. . Desenăm raze din centrul sistemului prin capetele arcelor, astfel încât acestea să intersecteze toate cercurile. Formăm o soluție pe cercul de bază (Figura 6).

Fig.6

Răspuns:
,
.

Concluzie

Toate obiectivele cursului au fost îndeplinite. Materialul teoretic este sistematizat: sunt date principalele tipuri de inegalități trigonometrice și principalele metode de rezolvare a acestora (grafică, algebrică, metoda intervalelor, sectoarelor și metoda cercurilor concentrice). Pentru fiecare metodă, a fost dat un exemplu de rezolvare a unei inegalități. Partea teoretică a fost urmată de partea practică. Conține un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

Acest curs poate fi folosit de studenți pentru muncă independentă. Elevii pot verifica nivelul de asimilare a acestei teme, exersează în îndeplinirea sarcinilor de complexitate variată.

După ce am analizat literatura relevantă pe această problemă, putem concluziona, evident, că abilitatea și abilitățile de a rezolva inegalitățile trigonometrice în cursul școlar de algebră și începutul analizei sunt foarte importante, a căror dezvoltare necesită un efort considerabil din partea profesorul de matematică.

Prin urmare, această lucrare va fi utilă profesorilor de matematică, deoarece face posibilă organizarea eficientă a pregătirii elevilor pe tema „Inegalități trigonometrice”.

Studiul poate fi continuat prin extinderea acestuia la lucrarea finală de calificare.

Lista literaturii folosite

Bogomolov, N.V. Culegere de probleme de matematică [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Butarda, 2009. – 206 p.

Vygodsky, M.Ya. Manual de matematică elementară [Text] / M.Ya. Vygodski. – M.: Butarda, 2006. – 509 p.

Zhurbenko, L.N. Matematică în exemple și sarcini [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanov, O.A. Matematică elementară pentru școlari, elevi și profesori [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karp, A.P. Sarcini de algebră și începuturi de analiză pentru organizarea repetiției finale și certificării în clasa a XI-a [Text] / A.P. Crap. – M.: Iluminismul, 2005. – 79 p.

Kulanin, E.D. 3000 de probleme competitive la matematică [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibson, K.L. Culegere de sarcini practice la matematică [Text] / K.L. Leibson. – M.: Butarda, 2010. – 182 p.

Cot, V.V. Probleme cu parametrii și soluția acestora. Trigonometrie: ecuații, inegalități, sisteme. Nota 10 [Text] / V.V. Cot. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, A.N. Matematică. Tutor expres pentru pregătirea examenului: cont. indemnizație [Text] / A.N. Manova. - Rostov-pe-Don: Phoenix, 2012. - 541 p.

Mordkovich, A.G. Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ [Text] / A.G. Mordkovici. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

Novikov, A.I. Funcții trigonometrice, ecuații și inegalități [Text] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 p.

Oganesyan, V.A. Metode de predare a matematicii în liceu: Metodologia generală. Proc. alocație pentru studenții la fizică. - mat. fals. ped. în-tovarăș. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Iluminismul, 2006. – 368 p.

Olechnik, S.N. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandard [Text] / S.N. Olekhnik. - M .: Editura Factorial, 1997. - 219 p.

Sevriukov, P.F. Ecuații și inecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice [Text] / P.F. Sevriukov. – M.: Educația Națională, 2008. – 352 p.

Sergheev, I.N. UTILIZARE: 1000 de sarcini cu răspunsuri și soluții la matematică. Toate sarcinile grupului C [Text] / I.N. Sergheev. – M.: Examen, 2012. – 301 p.

Sobolev, A.B. Matematică elementară [Text] / A.B. Sobolev. - Ekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 p.

Fenko, L.M. Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților și studierea funcțiilor [Text] / L.M. Fenko. – M.: Butarda, 2005. – 124 p.

Friedman, L.M. Fundamentele teoretice ale metodologiei predării matematicii [Text] / L.M. Friedman. - M .: Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. - 248 p.

Anexa 1

Interpretarea grafică a soluțiilor la cele mai simple inegalități

Orez. 1

Orez. 2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Anexa 2

Rezolvarea celor mai simple inegalități

În lecția practică, vom repeta principalele tipuri de sarcini din tema „Trigonometrie”, vom analiza suplimentar probleme de complexitate crescută și vom lua în considerare exemple de rezolvare a diferitelor inegalități trigonometrice și sistemele acestora.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini B5, B7, C1 și C3.

Să începem prin a repeta principalele tipuri de sarcini pe care le-am revizuit în subiectul Trigonometrie și să rezolvăm câteva sarcini nestandard.

Sarcina 1. Convertiți unghiurile în radiani și grade: a) ; b) .

a) Folosiți formula pentru transformarea gradelor în radiani

Înlocuiți valoarea dată în ea.

b) Aplicați formula de conversie a radianilor în grade

Să efectuăm înlocuirea .

Răspuns. A) ; b) .

Sarcina #2. Calculați: a) ; b) .

a) Deoarece unghiul este mult dincolo de tabel, îl reducem scăzând perioada sinusului. Deoarece unghiul este dat în radiani, atunci perioada va fi considerată ca .

b) În acest caz, situația este similară. Deoarece unghiul este specificat în grade, atunci vom considera perioada tangentei ca .

Unghiul rezultat, deși mai mic decât perioada, este mai mare, ceea ce înseamnă că nu se mai referă la partea principală, ci la partea extinsă a tabelului. Pentru a nu ne antrena din nou memoria prin memorarea unui tabel extins de valori ale trigofuncțiilor, scădem din nou perioada tangentă:

Am profitat de ciudățenia funcției tangente.

Răspuns. a) 1; b) .

Sarcina #3. calculati , Dacă .

Aducem întreaga expresie la tangente împărțind numărătorul și numitorul fracției la . În același timp, nu ne putem teme de asta, pentru că în acest caz, valoarea tangentei nu ar exista.

Sarcina #4. Simplificați expresia.

Expresiile specificate sunt convertite folosind formule de turnare. Doar că sunt scrise neobișnuit folosind grade. Prima expresie este în general un număr. Simplificați pe rând toate trigofuncțiile:

Deoarece , apoi funcția se schimbă într-o cofuncție, adică. la cotangente, iar unghiul se încadrează în al doilea sfert, în care semnul tangentei inițiale este negativ.

Din aceleași motive ca și în expresia anterioară, funcția se schimbă într-o cofuncție, i.e. la cotangentă, iar unghiul se încadrează în primul sfert, în care tangenta inițială are semn pozitiv.

Înlocuind totul într-o expresie simplificată:

Sarcina #5. Simplificați expresia.

Să scriem tangenta unghiului dublu conform formulei corespunzătoare și să simplificăm expresia:

Ultima identitate este una dintre formulele universale de înlocuire a cosinusului.

Sarcina #6. Calculati .

Principalul lucru este să nu faci o eroare standard și să nu dai un răspuns că expresia este egală cu . Este imposibil să folosiți proprietatea principală a tangentei arcului în timp ce există un factor sub forma unui doi în apropierea acesteia. Pentru a scăpa de ea, scriem expresia după formula pentru tangentei unui unghi dublu, în timp ce o tratăm ca pe un argument obișnuit.

Acum este deja posibilă aplicarea proprietății principale a arc-tangentei, amintiți-vă că nu există restricții asupra rezultatului său numeric.

Sarcina #7. Rezolvați ecuația.

Când se rezolvă o ecuație fracțională care este egală cu zero, se indică întotdeauna că numărătorul este zero și numitorul nu, deoarece nu poți împărți la zero.

Prima ecuație este un caz special al celei mai simple ecuații, care se rezolvă folosind un cerc trigonometric. Gândiți-vă singur la această soluție. A doua inegalitate este rezolvată ca cea mai simplă ecuație folosind formula generală pentru rădăcinile tangentei, dar numai cu semnul diferit.

După cum putem vedea, o familie de rădăcini exclude alta exact aceeași familie de rădăcini care nu satisface ecuația. Acestea. nu există rădăcini.

Răspuns. Nu există rădăcini.

Sarcina #8. Rezolvați ecuația.

Rețineți imediat că puteți elimina factorul comun și faceți-o:

Ecuația a fost redusă la una dintre formele standard, când produsul mai multor factori este egal cu zero. Știm deja că în acest caz fie unul dintre ele este egal cu zero, fie celălalt, fie al treilea. Scriem asta ca un set de ecuații:

Primele două ecuații sunt cazuri speciale ale celor mai simple, ne-am întâlnit deja de multe ori cu ecuații similare, așa că le vom indica imediat soluțiile. Reducem a treia ecuație la o funcție folosind formula sinusului cu unghi dublu.

Să rezolvăm ultima ecuație separat:

Această ecuație nu are rădăcini, deoarece valoarea sinusului nu poate depăşi .

Astfel, doar primele două familii de rădăcini sunt soluția, ele pot fi combinate într-una, care este ușor de arătat pe un cerc trigonometric:

Aceasta este o familie cu toate jumătățile, adică

Să trecem la rezolvarea inegalităților trigonometrice. Mai întâi, să analizăm abordarea rezolvării unui exemplu fără a folosi formule generale de soluție, ci cu ajutorul unui cerc trigonometric.

Sarcina #9. Rezolvați inegalitatea.

Desenați o dreaptă auxiliară pe cercul trigonometric corespunzătoare valorii sinusului egală cu , și arătați intervalul unghiurilor care satisfac inegalitatea.

Este foarte important să înțelegeți exact cum să specificați intervalul unghiului rezultat, adică care este începutul și care este sfârșitul lui. Începutul golului va fi unghiul corespunzător punctului în care vom intra chiar la începutul golului dacă ne mișcăm în sens invers acelor de ceasornic. În cazul nostru, acesta este punctul care se află în stânga, pentru că deplasându-ne în sens invers acelor de ceasornic și trecând de punctul potrivit, dimpotrivă, ieșim din intervalul unghiular necesar. Punctul potrivit va corespunde, prin urmare, sfârșitului decalajului.

Acum trebuie să înțelegem valorile unghiurilor de început și de sfârșit ale decalajului nostru de soluții la inegalitate. O greșeală tipică este să indicați imediat că punctul din dreapta corespunde unghiului , celui din stânga și să dați răspunsul. Nu este adevarat! Vă rugăm să rețineți că tocmai am indicat intervalul corespunzător părții superioare a cercului, deși ne interesează cel de jos, cu alte cuvinte, am amestecat începutul și sfârșitul intervalului de soluții de care avem nevoie.

Pentru ca intervalul să înceapă la colțul punctului drept și să se termine la colțul punctului din stânga, primul unghi specificat trebuie să fie mai mic decât al doilea. Pentru a face acest lucru, va trebui să măsurăm unghiul punctului drept în direcția de referință negativă, adică. în sensul acelor de ceasornic și va fi egal cu . Apoi, pornind de la el în sensul acelor de ceasornic pozitiv, vom ajunge la punctul corect după punctul din stânga și vom obține valoarea unghiului pentru acesta. Acum începutul intervalului de unghiuri este mai mic decât sfârșitul lui , și putem scrie intervalul de soluții fără a lua în considerare perioada:

Având în vedere că astfel de intervale se vor repeta de un număr infinit de ori după orice număr întreg de rotații, obținem soluția generală, ținând cont de perioada sinusului:

Punem paranteze rotunde pentru ca inegalitatea este stricta, si punctam punctele de pe cerc care corespund capetele intervalului.

Comparați răspunsul dvs. cu formula pentru soluția generală pe care am dat-o în prelegere.

Răspuns. .

Această metodă este bună pentru a înțelege de unde provin formulele pentru soluțiile generale ale celor mai simple inegalități trigonale. În plus, este util pentru cei prea leneși să învețe toate aceste formule greoaie. Cu toate acestea, metoda în sine nu este, de asemenea, ușoară, alegeți care abordare a soluției este cea mai convenabilă pentru dvs.

Pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice, puteți utiliza și graficele de funcții pe care este construită linia auxiliară, în mod similar cu metoda prezentată folosind cercul unitar. Dacă sunteți interesat, încercați să înțelegeți singuri această abordare a soluției. În cele ce urmează, vom folosi formule generale pentru a rezolva cele mai simple inegalități trigonometrice.

Sarcina #10. Rezolvați inegalitatea.

Folosim formula generală a soluției, ținând cont de faptul că inegalitatea nu este strictă:

În cazul nostru obținem:

Răspuns.

Sarcina #11. Rezolvați inegalitatea.

Folosim formula generală a soluției pentru inegalitatea strictă corespunzătoare:

Răspuns. .

Sarcina #12. Rezolvați inegalități: a) ; b) .

În aceste inegalități, nu trebuie să vă grăbiți să folosiți formule pentru soluții generale sau un cerc trigonometric, este suficient doar să vă amintiți intervalul de valori ale sinusului și cosinusului.

a) Pentru că , atunci inegalitatea este lipsită de sens. Prin urmare, nu există soluții.

b) Pentru că în mod similar, sinusul oricărui argument satisface întotdeauna inegalitatea specificată în condiție. Prin urmare, inegalitatea este satisfăcută de toate valorile reale ale argumentului.

Răspuns. a) nu există soluții; b) .

Sarcina 13. Rezolvați inegalitatea .

Inegalitățile care conțin funcții trigonometrice, atunci când sunt rezolvate, se reduc la cele mai simple inegalități de forma cos(t)>a, sint(t)=a și altele asemenea. Și deja cele mai simple inegalități sunt rezolvate. Luați în considerare, folosind diverse exemple, metode de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea sin(t) > = -1/2.

Desenați un singur cerc. Deoarece sin (t) prin definiție este coordonata y, marchem punctul y \u003d -1/2 pe axa Oy. Tragem o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa x. În punctele de intersecție ale dreptei cu graficul cercului unitar, notăm punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 cu două segmente.

Soluția acestei inegalități vor fi toate punctele cercului unitar situat deasupra acestor puncte. Cu alte cuvinte, soluția va fi arcul l.. Acum trebuie să specificați condițiile în care un punct arbitrar va aparține arcului l.

Pt1 se află în semicercul drept, ordonata sa este -1/2, apoi t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Următoarea formulă poate fi scrisă pentru a descrie punctul Pt1:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate pentru t:

Păstrăm semnele inegalității. Și deoarece funcția sinus este o funcție periodică, atunci soluțiile se vor repeta la fiecare 2 * pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Raspuns: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea cos(t)<1/2.

Să desenăm un cerc unitar. Deoarece, conform definiției cos(t), aceasta este coordonata x, marchem punctul x = 1/2 pe graficul de pe axa x.
Tragem o linie dreaptă prin acest punct paralelă cu axa y. În punctele de intersecție ale dreptei cu graficul cercului unitar, notăm punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 cu două segmente.

Soluțiile sunt toate punctele cercului unitar care aparțin arcului l.. Să aflăm punctele t1 și t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Avem o inegalitate pentru t: pi/3

Deoarece cosinusul este o funcție periodică, soluțiile se vor repeta la fiecare 2 * pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Răspuns: pi/3+2*pi*n

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea tg(t)< = 1.

Perioada tangentei este pi. Găsiți soluții care aparțin intervalului (-pi/2;pi/2) semicercului drept. Apoi, folosind periodicitatea tangentei, notăm toate soluțiile acestei inegalități. Să desenăm un cerc unitar și să marchem linia tangentelor pe el.

Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului T = tg(t) trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Mulțimea acestor puncte va alcătui raza AT. Mulțimea punctelor Pt care va corespunde punctelor acestei raze este arcul l. Mai mult, punctul P(-pi/2) nu aparține acestui arc.

Majoritatea elevilor nu le plac inegalitățile trigonometrice. Dar în zadar. După cum spunea un personaj,

„Doar că nu știi să le gătești”

Deci, cum să „gătim” și cu ce să trimiteți o inegalitate cu un sinus, o vom afla în acest articol. Vom rezolva în cel mai simplu mod - folosind un cerc unitar.

Deci, mai întâi, avem nevoie de următorul algoritm.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților cu sinus:

1. puneți numărul $a$ pe axa sinusului și trasați o dreaptă paralelă cu axa cosinusului până se intersectează cu cercul;
2. punctele de intersecție ale acestei drepte cu cercul vor fi completate dacă inegalitatea nu este strictă și nu se vor completa dacă inegalitatea este strictă;
3. aria de soluție a inegalității va fi deasupra liniei și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$>$”, iar sub linie și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$<$”;
4. pentru a găsi punctele de intersecție, rezolvăm ecuația trigonometrică $\sin(x)=a$, obținem $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. punând $n=0$, găsim primul punct de intersecție (este situat fie în primul, fie în al patrulea cadran);
6. pentru a găsi al doilea punct, ne uităm în ce direcție traversăm zona până la al doilea punct de intersecție: dacă în direcție pozitivă, atunci ar trebui luat $n=1$, iar dacă în direcție negativă, atunci $n=- 1$;
7. ca răspuns, intervalul de la punctul de intersecție mai mic $+ 2\pi n$ la cel mai mare $+ 2\pi n$ este scris.

Limitarea algoritmului

Important: d acest algoritm nu funcționează pentru inegalitățile de forma $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Cazuri speciale la rezolvarea unei inegalități cu un sinus

De asemenea, este important să rețineți următoarele cazuri, care sunt mult mai convenabile de rezolvat logic fără a utiliza algoritmul de mai sus.

Cazul special 1. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x) \leq 1.$

Deoarece domeniul funcției trigonometrice $y=\sin(x)$ este de cel mult $1$, partea stângă a inegalității pentru orice$x$ din domeniu (și domeniul sinusului este toate numerele reale) nu este mai mare de $1$. Și, prin urmare, ca răspuns scriem: $x \in R$.

Consecinţă:

$\sin(x) \geq -1.$

Cazul special 2. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< 1.$

Aplicând argumente similare cu cazul special 1, obținem că partea stângă a inegalității este mai mică de $1$ pentru toți $x \in R$, cu excepția punctelor care sunt soluția ecuației $\sin(x) = 1 $. Rezolvând această ecuație, vom avea:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Și, prin urmare, ca răspuns scriem: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Consecinţă: inegalitatea se rezolvă în mod similar

$\sin(x) > -1.$

Exemple de rezolvare a inegalităților folosind un algoritm.

Exemplul 1: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Notați coordonata $\frac(1)(2)$ pe axa sinusoială.
2. Desenați o dreaptă paralelă cu axa cosinusului și care trece prin acest punct.
3. Observați punctele de intersecție. Ele vor fi umbrite pentru că inegalitatea nu este strictă.
4. Semnul de inegalitate este $\geq$, ceea ce înseamnă că pictăm peste zona de deasupra liniei, adică. semicerc mai mic.
5. Găsiți primul punct de intersecție. Pentru a face acest lucru, transformați inegalitatea într-o egalitate și rezolvați-o: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Setăm în continuare $n=0$ și găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Găsim al doilea punct. Zona noastră merge în direcția pozitivă din primul punct, așa că setăm $n$ egal cu $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Astfel, soluția va lua forma:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Exemplul 2: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Marcam coordonata $- \frac(1)(2)$ pe axa sinusului si trasam o dreapta paralela cu axa cosinusului si care trece prin acest punct. Observați punctele de intersecție. Nu vor fi umbrite, deoarece inegalitatea este strictă. Semnul de inegalitate $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Setând mai departe $n=0$, găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Zona noastră merge în direcția negativă din primul punct, așa că setăm $n$ egal cu $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Deci, soluția acestei inegalități va fi intervalul:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Acest exemplu nu poate fi rezolvat imediat folosind un algoritm. Mai întâi trebuie să-l convertiți. Facem exact așa cum am face cu ecuația, dar nu uitați de semn. Împărțirea sau înmulțirea cu un număr negativ îl inversează!

Deci, să mutăm tot ce nu conține o funcție trigonometrică în partea dreaptă. Primim:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Împărțiți părțile din stânga și din dreapta la $-2$ (nu uitați de semn!). Vom avea:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Din nou, avem o inegalitate pe care nu o putem rezolva folosind algoritmul. Dar aici este suficient să faci o schimbare de variabilă:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Obținem o inegalitate trigonometrică, care poate fi rezolvată folosind algoritmul:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Această inegalitate a fost rezolvată în exemplul 1, așa că vom împrumuta răspunsul de acolo:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Cu toate acestea, decizia nu s-a încheiat încă. Trebuie să revenim la variabila inițială.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Să reprezentăm decalajul ca sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

În partea stângă a sistemului există o expresie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), care aparține intervalului. Limita stângă a intervalului este responsabilă pentru prima inegalitate, iar limita dreaptă este responsabilă pentru a doua. Mai mult, parantezele joacă un rol important: dacă paranteza este pătrată, atunci inegalitatea va fi nestrictă, iar dacă este rotundă, atunci strictă. sarcina noastră este să obținem $x$ în stânga în ambele inegalităţi.

Să mutăm $\frac(\pi)(6)$ din partea stângă în partea dreaptă, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Simplificand, vom avea:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Înmulțind părțile stânga și dreaptă cu $4$, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Adunând sistemul într-un interval, obținem răspunsul:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$