Teorema lui Pitagora: Pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor pătrate. Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descrieri și recenzii

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând știința naturii la analiză, o abordare practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate nu vei ajunge departe în „regina tuturor științelor” - oamenii știu asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - numai în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri includ ceea ce cunoaștem astăzi ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie incitantă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilarii cu ochelari groși, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Ceea ce se știe este că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că problemele despre un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhat I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian „Sulva Sutra” și în vechea lucrare chineză „ Zhou-bi suan jin”.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Acest lucru este confirmat de aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi. În acest sens, nicio altă teoremă nu poate concura cu ea. Printre autorii celebri de dovezi îi putem aminti pe Leonardo da Vinci și pe cel de-al XX-lea președinte american James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau sunt într-un fel legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare mai întâi acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că tocmai acest tip de triunghi l-au considerat inițial matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC inițial. Și pe laturile AB și BC este construit un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza numeroaselor glume și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Cel mai faimos este probabil „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi considerată o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru triunghiuri asemănătoare cu cele din Figura 1. Rezultă două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariei pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghice egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Notând toate acestea, avem: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Deschideți parantezele, efectuați toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 +b 2 = a 2 +b 2. În acest caz, zona înscrisă în Fig. 3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c 2. Acestea. a 2 +b 2 =c 2– ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Dovada indiană antică în sine a fost descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”) și ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și abilităților de observare ale studenților și adepților: „ Uite!"

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Să notăm latura pătratului mare, cunoscută și sub denumirea de ipotenuză, Cu. Să numim catetele triunghiului AȘi b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula pentru aria unui pătrat S=c 2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și ariile tuturor celor patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula suprafața unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți primi formula teoremei lui Pitagora c 2 =a 2 +b 2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Fig. 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, mutați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „scaunul miresei”. (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Te vei asigura că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcții au permis matematicienilor chinezi antici și nouă, urmându-le, să ajungem la concluzia că c 2 =a 2 +b 2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora folosind geometria. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 = AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Coborâți perpendiculara ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDȘi AC sunt egale. Uneste punctele EȘi ÎN, și EȘi CUși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am încercat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin însumarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei, ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDȘi BC=SE– acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

În același timp, este evident că UN PAT- Acesta este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca sumă de segmente ACȘi CD.

Să notăm ambele moduri de a calcula aria unei figuri, punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscută nouă și descrisă mai sus pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Acum să deschidem parantezele și să transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am finalizat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 = AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometrie etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Turnând lichid, puteți demonstra egalitatea suprafețelor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau deloc studiată în programa școlară. Între timp, este foarte interesant și are o mare importanță în geometrie. Triplele pitagoreene sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Înțelegerea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Acesta este numele numerelor naturale colectate în grupuri de trei, dintre care suma pătratelor a două este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
nu primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu, care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în probleme considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de tripleți pitagoreici: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora este folosită nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la o fereastră romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului major poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și prin b: r=b/4. În această problemă ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este doar utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat printr-o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior reprezintă raza b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii la b, va prezentam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pentru un acoperiș în două frontoane. Determinați cât de înalt este necesar un turn de comunicații mobile pentru ca semnalul să ajungă într-o anumită zonă populată. Și chiar instalați un brad de Crăciun în mod durabil în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În literatură, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și în timpul nostru. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli sau dispute.

Cel mai înțelept când îți atinge privirea
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, sacrificați, mint -
Un cadou de întoarcere de la norocosul Pitagora.

De atunci taurii au urlă disperați:
A alarmat pentru totdeauna tribul taurului
Evenimentul menționat aici.

Li se pare că timpul este pe cale să vină,
Și vor fi sacrificați din nou
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgeny Veltistov, în cartea sa „Aventurile electronice”, a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și încă o jumătate de capitol la povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni o lege fundamentală și chiar o religie pentru o singură lume. A trăi acolo ar fi mult mai ușor, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Și în cartea „The Adventures of Electronics”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratar, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Tocmai acest zbor creator de gândire dă naștere teoremei lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi variate. Te ajută să depășești granițele familiarului și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7” - 11” (A.V. Pogorelov), dar și alte moduri interesante de a demonstra celebra teoremă. Și vedeți, de asemenea, exemple despre cum poate fi aplicată teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să vă calificați pentru scoruri mai mari la lecțiile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să simțiți cât de interesantă este matematica. Confirmați cu exemple specifice că există întotdeauna loc pentru creativitate. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să explorați în mod independent și să faceți descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Scrie-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Un lucru de care poți fi sută la sută sigur este că, atunci când este întrebat care este pătratul ipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm înrădăcinată în mintea fiecărei persoane educate, dar trebuie doar să ceri pe cineva să o demonstreze și pot apărea dificultăți. Prin urmare, să ne amintim și să luăm în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

Scurtă biografie

Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar din anumite motive biografia persoanei care a adus-o pe lume nu este atât de populară. Acest lucru poate fi reparat. Prin urmare, înainte de a explora diferitele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să îi cunoașteți pe scurt personalitatea.

Pitagora - filozof, matematician, gânditor originar din Astăzi este foarte greu să-i deosebești biografia de legendele care s-au dezvoltat în memoria acestui mare om. Dar, după cum rezultă din lucrările adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor de pietre obișnuit, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.

Judecând după legendă, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în cinstea căreia băiatul a fost numit. Conform predicției ei, băiatul născut trebuia să aducă multe beneficii și bine omenirii. Ceea ce a făcut exact.

Nașterea teoremei

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a se întâlni acolo cu faimoși înțelepți egipteni. După întâlnirea cu ei, i s-a permis să studieze, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil că în Egipt, Pitagora s-a inspirat din măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o metodă de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au efectuat calculele, așa că aici vom analiza diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie doriți să demonstrați. Teorema lui Pitagora spune astfel: „Într-un triunghi în care unul dintre unghiuri este de 90°, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.”

Există un total de 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora. Acesta este un număr destul de mare, așa că vom acorda atenție celor mai populare dintre ele.

Metoda unu

Mai întâi, să definim ce ni s-a dat. Aceste date se vor aplica și altor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, așa că merită să ne amintim imediat toate notațiile disponibile.

Să presupunem că ni se dă un triunghi dreptunghic cu catetele a, b și o ipotenuză egală cu c. Prima metodă de demonstrare se bazează pe faptul că trebuie să desenați un pătrat dintr-un triunghi dreptunghic.

Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați un segment egal cu piciorul b la lungimea piciorului a și invers. Acest lucru ar trebui să rezulte în două laturi egale ale pătratului. Tot ce rămâne este să desenezi două linii paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ас și св trebuie să desenați două segmente paralele egale cu с. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipotenuza triunghiului dreptunghic inițial. Mai rămâne doar să desenăm al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că, pe lângă pătratul interior, există patru triunghiuri dreptunghiulare. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.

Prin urmare, aria este egală cu: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Prin urmare (a+c) 2 =2ab+c 2

Și, prin urmare, c 2 =a 2 +b 2

Teorema a fost demonstrată.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri similare. Afirmă că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza sa și cu segmentul ipotenuzei care provine din vârful unghiului de 90°.

Datele inițiale rămân aceleași, așa că să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment CD perpendicular pe latura AB. Pe baza afirmației de mai sus, laturile triunghiurilor sunt egale:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema lui Pitagora, demonstrația trebuie completată prin pătrarea ambelor inegalități.

AC 2 = AB * AD și CB 2 = AB * DV

Acum trebuie să adunăm inegalitățile rezultate.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), unde AD + DV = AB

Se pare că:

AC2 + CB2 =AB*AB

Prin urmare:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Demonstrarea teoremei lui Pitagora și diverse metode de rezolvare a acesteia necesită o abordare versatilă a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă metodă de calcul

Descrierile diferitelor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pot să nu însemne nimic până când nu începeți să exersați pe cont propriu. Multe tehnici implică nu numai calcule matematice, ci și construcția de noi figuri din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să completați un alt triunghi dreptunghic VSD din latura BC. Astfel, acum există două triunghiuri cu catetă comună BC.

Știind că ariile figurilor similare au un raport ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare, atunci:

S avs * c 2 - S avd * în 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de la 2 - la 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de la 2 - la 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Deoarece dintre diferitele metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pentru clasa a 8-a, această opțiune nu este potrivită, puteți utiliza următoarea metodă.

Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Recenzii

Potrivit istoricilor, această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra teorema în Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect imaginea, atunci dovada afirmației că a 2 + b 2 = c 2 va fi clar vizibilă.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cea anterioară. Pentru a demonstra teorema, presupunem că triunghiul dreptunghic ABC este isoscel.

Luăm ipotenuza AC ca latură a pătratului și desenăm cele trei laturi ale acestuia. În plus, este necesar să desenați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în interiorul ei să obții patru triunghiuri isoscele.

De asemenea, trebuie să desenați un pătrat la picioarele AB și CB și să desenați o linie dreaptă diagonală în fiecare dintre ele. Desenăm prima linie de la vârful A, a doua de la C.

Acum trebuie să vă uitați cu atenție la desenul rezultat. Deoarece pe ipotenuza AC sunt patru triunghiuri egale cu cel inițial, iar pe laturi sunt două, acest lucru indică veridicitatea acestei teoreme.

Apropo, datorită acestei metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, s-a născut celebra frază: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”.

Dovada de J. Garfield

James Garfield este al douăzecilea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a pus amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact talentat.

La începutul carierei, a fost profesor obișnuit într-o școală publică, dar în scurt timp a devenit directorul uneia dintre instituțiile de învățământ superior. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să propună o nouă teorie pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt după cum urmează.

Mai întâi trebuie să desenați două triunghiuri dreptunghiulare pe o bucată de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie să fie conectate pentru a forma în cele din urmă un trapez.

După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea sa.

S=a+b/2 * (a+b)

Dacă luăm în considerare trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:

S=av/2 *2 + s2/2

Acum trebuie să egalăm cele două expresii originale

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

S-ar putea scrie mai mult de un volum de manuale despre teorema lui Pitagora și despre metodele de demonstrare a acesteia. Dar există vreun moment în care aceste cunoștințe nu pot fi aplicate în practică?

Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora

Din păcate, programele școlare moderne prevăd utilizarea acestei teoreme doar în problemele geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând școala fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, oricine poate folosi teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi. Și nu numai în activități profesionale, ci și în treburile casnice obișnuite. Să luăm în considerare câteva cazuri în care teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.

Relația dintre teoremă și astronomie

S-ar părea că stelele și triunghiurile de pe hârtie pot fi conectate. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă.

De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Se știe că lumina se mișcă în ambele direcții cu aceeași viteză. Să numim traiectoria AB de-a lungul căreia se mișcă raza de lumină l. Și să numim jumătate din timpul necesar luminii pentru a ajunge din punctul A în punctul B t. Și viteza fasciculului - c. Se pare că: c*t=l

Dacă te uiți la aceeași rază dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o linie spațială care se mișcă cu viteza v, atunci când observăm corpurile în acest fel, viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare vor începe să se miște cu viteza v în direcția opusă.

Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care fasciculul se repezi, vor începe să se miște spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța cu care punctul A s-a deplasat, trebuie să înmulțiți viteza căptușelii cu jumătate din timpul de călătorie al fasciculului (t ").

Și pentru a afla cât de departe ar putea călători o rază de lumină în acest timp, trebuie să marcați jumătatea drumului cu o nouă literă s și să obțineți următoarea expresie:

Dacă ne imaginăm că punctele de lumină C și B, precum și linia spațială, sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți afla distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, să luăm în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.

Raza de transmisie a semnalului mobil

Viața modernă nu mai poate fi imaginată fără existența smartphone-urilor. Dar cât de mult le-ar folosi dacă nu ar putea conecta abonații prin comunicații mobile?!

Calitatea comunicațiilor mobile depinde direct de înălțimea la care se află antena operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula cât de departe de un turn mobil un telefon poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pitagora.

Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată distribui un semnal pe o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) = x;

BC (raza transmisiei semnalului) = 200 km;

OS (raza globului) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicând teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi

În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în chestiuni de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii unui dulap, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să folosiți astfel de calcule complexe, deoarece puteți efectua pur și simplu măsurători folosind o bandă de măsurare. Dar mulți oameni se întreabă de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât corect.

Faptul este că dulapul este asamblat în poziție orizontală și abia apoi ridicat și instalat pe perete. Prin urmare, în timpul procesului de ridicare a structurii, partea laterală a dulapului trebuie să se miște liber atât de-a lungul înălțimii, cât și în diagonală a încăperii.

Să presupunem că există un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător de mobilier cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să ne uităm la un exemplu.

Cu dimensiunile ideale ale cabinetului, să verificăm funcționarea teoremei lui Pitagora:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - totul se potrivește.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Apoi:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Pentru că ridicarea acestuia într-o poziție verticală poate provoca deteriorarea corpului.

Poate, având în vedere diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărată. Acum puteți folosi informațiile primite în viața de zi cu zi și puteți fi complet încrezător că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și corecte.

Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

elev din clasa a IX-a „A”.

Instituție de învățământ municipal școala Gimnazială Nr.8

Consilier stiintific:

profesor de matematică,

Instituție de învățământ municipal școala Gimnazială Nr.8

Artă. Novorozhdestvenskaya

Regiunea Krasnodar.

Artă. Novorozhdestvenskaya

ADNOTARE.

Teorema lui Pitagora este considerată pe bună dreptate cea mai importantă în cursul geometriei și merită o atenție deosebită. Este baza pentru rezolvarea multor probleme geometrice, baza pentru studierea cursurilor de geometrie teoretică și practică în viitor. Teorema este înconjurată de o bogăție de material istoric legat de aspectul său și metodele de demonstrare. Studierea istoriei dezvoltării geometriei insuflă dragostea pentru acest subiect, promovează dezvoltarea interesului cognitiv, a culturii generale și a creativității și, de asemenea, dezvoltă abilitățile de cercetare.

În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care a fost completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. Au fost posibile găsirea și luarea în considerare a diverselor metode de probă și aprofundarea cunoștințelor pe tema, depășind paginile manualului școlar.

Materialul colectat ne convinge în continuare că teorema lui Pitagora este o mare teoremă de geometrie și are o semnificație teoretică și practică enormă.

Introducere. Context istoric 5 Partea principală 8

3. Concluzie 19

4. Literatura utilizată 20
1. INTRODUCERE. REFERINȚĂ ISTORICĂ.

Esența adevărului este că este pentru noi pentru totdeauna,

Când cel puțin o dată în percepția ei vedem lumina,

Și teorema lui Pitagora după atâția ani

Pentru noi, ca și pentru el, este de netăgăduit, impecabil.

Pentru a se bucura, Pitagora a făcut un jurământ zeilor:

Pentru atingerea înțelepciunii infinite,

A înjunghiat o sută de tauri, datorită celor veșnici;

El a oferit rugăciuni și laude după victimă.

De atunci, când taurii îl miros, împing,

Că drumul îi conduce din nou pe oameni la un nou adevăr,

Ei răcnesc furios, așa că nu are rost să asculți,

Un astfel de Pitagora le-a insuflat teroare pentru totdeauna.

Taurii, neputincioși să reziste noului adevăr,

Ce ramane? - Doar închizând ochii, răcnind, tremurând.

Nu se știe cum și-a demonstrat Pitagora teorema. Cert este că a descoperit-o sub influența puternică a științei egiptene. Un caz special al teoremei lui Pitagora - proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4 și 5 - era cunoscut de constructorii piramidelor cu mult înainte de nașterea lui Pitagora, iar el însuși a studiat cu preoții egipteni mai bine de 20 de ani. S-a păstrat o legendă care spune că, după ce și-a dovedit celebra teoremă, Pitagora a sacrificat zeilor un taur și, conform altor surse, chiar și 100 de tauri. Acest lucru, însă, contrazice informațiile despre părerile morale și religioase ale lui Pitagora. În sursele literare puteți citi că „a interzis chiar uciderea animalelor, cu atât mai puțin să se hrănească cu ele, pentru că animalele au suflet, la fel ca noi”. Pitagora a mâncat doar miere, pâine, legume și ocazional pește. În legătură cu toate acestea, poate fi considerată mai plauzibilă următoarea intrare: „... și chiar și când a descoperit că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza corespunde picioarelor, a sacrificat un taur din aluat de grâu”.

Popularitatea teoremei lui Pitagora este atât de mare încât dovezile ei se găsesc chiar și în ficțiune, de exemplu, în povestea „Tânărul Arhimede” a celebrului scriitor englez Huxley. Aceeași Dovadă, dar pentru cazul special al unui triunghi dreptunghic isoscel, este dată în dialogul lui Platon „Meno”.

Basm „Acasă”.

„Departe, departe, unde nici măcar avioanele nu zboară, este țara Geometriei. În această țară neobișnuită a existat un oraș uimitor - orașul Teorem. Într-o zi, o fată frumoasă pe nume Hypotenuse a venit în acest oraș. A încercat să închirieze o cameră, dar indiferent unde a aplicat, a fost refuzată. În cele din urmă, ea s-a apropiat de casa slăbită și a bătut. Un bărbat care se numea Right Angle i-a deschis ușa și a invitat-o pe Hypotenuse să locuiască cu el. Ipotenuza a rămas în casa în care locuiau Unghiul Drept și cei doi fii ai săi tineri pe nume Katetes. De atunci, viața în casa cu unghiul drept s-a schimbat într-un mod nou. Ipotenuza a plantat flori pe fereastră și a plantat trandafiri roșii în grădina din față. Casa a luat forma unui triunghi dreptunghic. Ambelor picioare le plăcea foarte mult Hipotenuza și i-au cerut să rămână pentru totdeauna în casa lor. Seara, această familie prietenoasă se adună la masa familiei. Uneori, Right Angle se joacă de-a v-ați ascunselea cu copiii săi. Cel mai adesea trebuie să caute, iar Hipotenuza se ascunde atât de priceput încât poate fi foarte greu de găsit. Într-o zi, în timp ce juca, Right Angle a observat o proprietate interesantă: dacă reușește să găsească picioarele, atunci găsirea ipotenuzei nu este dificilă. Deci, Unghiul drept folosește acest model, trebuie să spun, cu foarte mult succes. Teorema lui Pitagora se bazează pe proprietatea acestui triunghi dreptunghic.”

(Din cartea lui A. Okunev „Vă mulțumesc pentru lecție, copii”).

O formulare plină de umor a teoremei:

Dacă ni se dă un triunghi

Și, în plus, cu unghi drept,

Acesta este pătratul ipotenuzei

Întotdeauna putem găsi cu ușurință:

Îndreptăm picioarele,

Găsim suma puterilor -

Și într-un mod atât de simplu

Vom ajunge la rezultat.

În timp ce studiam algebra și începuturile analizei și geometriei în clasa a X-a, m-am convins că pe lângă metoda de demonstrare a teoremei lui Pitagora discutată în clasa a VIII-a, există și alte metode de demonstrare. Le prezint spre considerație.
2. PARTEA PRINCIPALA.

Teorema. Într-un triunghi dreptunghic există un pătrat

Ipotenuza este egală cu suma pătratelor catetelor.

1 METODA.

Folosind proprietățile ariilor poligoanelor, vom stabili o relație remarcabilă între ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.

Dovada.

a, c si ipotenuza Cu(Fig. 1, a).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

Să completăm triunghiul până la un pătrat cu latura a + b așa cum se arată în fig. 1, b. Aria S a acestui pătrat este (a + b)². Pe de altă parte, acest pătrat este format din patru triunghiuri dreptunghiulare egale, fiecare dintre ele având o zonă de ½ aw, și un pătrat cu latura Cu, prin urmare S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Prin urmare,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Teorema a fost demonstrată.
2 METODA.

După ce am studiat subiectul „Triunghiuri similare”, am aflat că puteți aplica asemănarea triunghiurilor la demonstrarea teoremei lui Pitagora. Și anume, am folosit afirmația că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza și segmentul ipotenuzei cuprins între catetul și altitudinea trasă din vârful unghiului drept.

Considerăm un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, CD – înălțime (Fig. 2). Să demonstrăm asta AC² +NE² = AB² .

Dovada.

Pe baza afirmației despre catetul unui triunghi dreptunghic:

AC = , SV = .

Să pătram și să adunăm egalitățile rezultate:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), unde AD+DB=AB, atunci

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dovada este completă.
3 METODA.

Pentru a demonstra teorema lui Pitagora, puteți aplica definiția cosinusului unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Să ne uităm la Fig. 3.

Dovada:

Fie ABC un triunghi dreptunghic dat cu unghi drept C. Să desenăm altitudinea CD de la vârful unghiului drept C.

Prin definiția cosinusului unghiului:

cos A = AD/AC = AC/AB. Prin urmare AB * AD = AC²

De asemenea,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Prin urmare, AB * BD = BC².

Adunând egalitățile rezultate termen cu termen și notând că AD + DB = AB, obținem:

AC² + soare² = AB (AD + DB) = AB²

Dovada este completă.
4 METODA.

După ce am studiat subiectul „Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”, cred că teorema lui Pitagora poate fi demonstrată într-un alt mod.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic cu catete a, c si ipotenuza Cu. (Fig. 4).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

păcat B= calitate superioară ; cos B= a/c , apoi, punând la pătrat egalitățile rezultate, obținem:

păcat² B=în²/s²; cos² ÎN= a²/c².

Adunându-le, obținem:

păcat² ÎN+cos² B=в²/с²+ а²/с², unde sin² ÎN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², prin urmare,

c²= a² + b².

Dovada este completă.

5 METODA.

Această demonstrație se bazează pe tăierea pătratelor construite pe picioare (Fig. 5) și așezarea părților rezultate pe un pătrat construit pe ipotenuză.

6 METODA.

Pentru dovada pe lateral Soare construim BCD ABC(Fig. 6). Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare:

Scăzând a doua din prima egalitate, obținem

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

7 METODA.

Dat(Fig. 7):

ABC,= 90° , soare= a, AC=b, AB = c.

Dovedi:c2 = a2 +b2.

Dovada.

Lasă piciorul b A. Să continuăm segmentul NE pe punct ÎNși construiește un triunghi BMD astfel încât punctele MȘi A așezați pe o parte a liniei drepte CD si pe langa, BD =b, BDM= 90°, DM= a, atunci BMD= ABC pe două laturi și unghiul dintre ele. Punctele A și M conectați cu segmente A.M. Avem M.D. CDȘi A.C. CD, asta inseamna ca e drept AC paralel cu linia M.D. Deoarece M.D.< АС, apoi drept CDȘi A.M. nu paralel. Prin urmare, AMDC- trapez dreptunghiular.

În triunghiuri dreptunghiulare ABC și BMD 1 + 2 = 90° și 3 + 4 = 90°, dar deoarece = =, atunci 3 + 2 = 90°; Apoi AVM=180° - 90° = 90°. S-a dovedit că trapezul AMDC este împărțit în trei triunghiuri dreptunghiulare care nu se suprapun, apoi după axiomele ariei

(a+b)(a+b)

Împărțind toți termenii inegalității la , obținem

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

8 METODA.

Această metodă se bazează pe ipotenuza și catetele unui triunghi dreptunghic ABC. El construiește pătratele corespunzătoare și demonstrează că pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete (Fig. 8).

Dovada.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Mijloace, FBC = DBA.

Prin urmare, FBC=ABD(pe două laturi și unghiul dintre ele).

2) , unde AL DE, deoarece BD este o bază comună, DL- inaltimea totala.

3) , deoarece FB este o fundație, AB- inaltimea totala.

5) În mod similar, se poate dovedi că

6) Adăugând termen cu termen, obținem:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dovada este completă.

9 METODA.

Dovada.

1) Lasă ABDE- un pătrat (Fig. 9), a cărui latură este egală cu ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Lasă DK B.C.Și DK = soare, deoarece 1 + 2 = 90° (ca unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic), 3 + 2 = 90° (ca unghiul unui pătrat), AB= BD(laturile pătratului).

Mijloace, ABC= BDK(prin ipotenuză și unghi ascuțit).

3) Lasă EL D.K., A.M. E.L. Se poate dovedi cu ușurință că ABC = BDK = DEL = EAM (cu picioare AȘi b). Apoi KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Cu2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

10 METODA.

Dovada poate fi efectuată pe o figură numită în glumă „pantaloni pitagoreici” (Fig. 10). Ideea sa este de a transforma pătratele construite pe laturi în triunghiuri egale care alcătuiesc împreună pătratul ipotenuzei.

ABC mutați-l așa cum este indicat de săgeată și ia poziție KDN. Restul figurii AKDCB aria egală a pătratului AKDC acesta este un paralelogram AKNB.

S-a realizat un model de paralelogram AKNB. Rearanjam paralelogramul așa cum este schițat în conținutul lucrării. Pentru a arăta transformarea unui paralelogram într-un triunghi cu suprafață egală, în fața elevilor, tăiem un triunghi pe model și îl deplasăm în jos. Astfel, aria pătratului AKDC s-a dovedit a fi egal cu aria dreptunghiului. În mod similar, convertim aria unui pătrat în aria unui dreptunghi.

Să facem o transformare pentru un pătrat construit pe o latură A(Fig. 11, a):

a) pătratul se transformă într-un paralelogram egal (Fig. 11.6):

b) paralelogramul se rotește un sfert de tură (Fig. 12):

c) paralelogramul se transformă într-un dreptunghi egal (Fig. 13): 11 METODA.

Dovada:

PCL - drept (Fig. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Dovada s-a terminat .

12 METODA.

Orez. Figura 15 ilustrează o altă demonstrație originală a teoremei lui Pitagora.

Aici: triunghiul ABC cu unghi drept C; segment de linie B.F. perpendicular NEși egal cu acesta, segmentul FI perpendicular ABși egal cu acesta, segmentul ANUNȚ perpendicular ACși egal cu acesta; puncte F, C,D aparțin aceleiași linii; patrulatere ADFBȘi ASVE egale ca marime, din moment ce ABF = BCE; triunghiuri ADFȘi AS egale ca mărime; scădeți din ambele patrulatere egale triunghiul pe care îl împart ABC, primim

, c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

13 METODA.

Aria unui triunghi dreptunghic dat, pe o parte, este egală cu , cu altul, ,

3. CONCLUZIE.

În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care a fost completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. A fost posibil să se găsească și să se ia în considerare diverse modalități de a-l dovedi și de a aprofunda cunoștințele pe această temă, trecând dincolo de paginile manualului școlar.

Materialul pe care l-am adunat mă convinge și mai mult că teorema lui Pitagora este o mare teoremă de geometrie și are o semnificație teoretică și practică enormă. În concluzie, aș dori să spun: motivul popularității teoremei triunei lui Pitagora este frumusețea, simplitatea și semnificația ei!

4. LITERATURA UTILIZĂ.

1. Algebră distractivă. . Moscova „Știință”, 1978.

2. Suplimentul educațional și metodologic săptămânal la ziarul „Primul septembrie”, 24/2001.

3. Geometrie 7-9. si etc.

4. Geometrie 7-9. si etc.

(conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonaptes, sau „trăgători de frânghii”, au construit unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m de un capăt și 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta harpedonaptienilor că metoda lor de construcție devine de prisos dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene care înfățișează un atelier de tâmplărie.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e. , se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană și, pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (un matematician olandez) a concluzionat că există o mare probabilitate ca teorema asupra pătratului ipotenuzei era cunoscută în India deja în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu , iar lungimile catetelor cu și:

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară; nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Prin introducerea notaţiei

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

, ceea ce trebuia dovedit

Dovezi folosind metoda zonei

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietăți ale ariei, a căror demonstrație este mai complexă decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementare

Să aranjam patru triunghiuri dreptunghiulare egale, așa cum se arată în figura 1.
Patraunghi cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor celor patru triunghiuri și zona pătratului interior.

Q.E.D.

Dovada lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile lui pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca dreptunghiul dat este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Această egalitate este evidentă: triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK, AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar.

Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare de animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să luăm în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul taie pătratul în două părți identice (deoarece triunghiurile sunt egale în construcție).

Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului, vedem egalitatea figurilor umbrite și.

Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor mici (construite pe picioare) și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului mare (construit pe ipotenuză) plus aria triunghiului original. Astfel, jumătate din suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu jumătate din aria pătratului mare și, prin urmare, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale CuȘi A(folosind asemănarea triunghiului):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

Astfel ajungem la răspunsul dorit

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz picior). Atunci pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

Generalizare pentru triunghiuri similare, aria formelor verzi A + B = aria albastrului C

Teorema lui Pitagora folosind triunghiuri dreptunghiulare similare

Euclid a generalizat teorema lui Pitagora în lucrarea sa Începuturile, extinzând ariile pătratelor de pe laturi la zonele figurilor geometrice similare:

Dacă construim figuri geometrice similare (vezi geometria euclidiană) pe laturile unui triunghi dreptunghic, atunci suma celor două figuri mai mici va fi egală cu aria figurii mai mari.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A, BȘi C construit pe laturi cu lungime A, bȘi c, avem:

Dar, conform teoremei lui Pitagora, A 2 + b 2 = c 2 atunci A + B = C.

Dimpotrivă, dacă putem demonstra asta A + B = C pentru trei figuri geometrice similare fără a folosi teorema lui Pitagora, atunci putem demonstra teorema însăși, mișcându-se în direcția opusă. De exemplu, triunghiul central de pornire poate fi reutilizat ca triunghi C pe ipotenuză și două triunghiuri dreptunghice asemănătoare ( AȘi B), construite pe celelalte două laturi, care se formează prin împărțirea triunghiului central la înălțimea acestuia. Suma ariilor celor două triunghiuri mai mici este atunci în mod evident egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C iar, efectuând demonstrația anterioară în ordine inversă, obținem teorema lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

unde θ este unghiul dintre laturi AȘi b.

Dacă θ este de 90 de grade atunci cos θ = 0 și formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghiul liber

La orice colț selectat al unui triunghi arbitrar cu laturi a, b, c Să înscriem un triunghi isoscel în așa fel încât unghiurile egale de la baza lui θ să fie egale cu unghiul ales. Să presupunem că unghiul selectat θ este situat opus laturii desemnate c. Ca rezultat, am obținut triunghiul ABD cu unghiul θ, care este situat opus laturii A si petreceri r. Al doilea triunghi este format din unghiul θ, care este situat opus laturii b si petreceri Cu lungime s, așa cum se arată în imagine. Thabit Ibn Qurra a susținut că laturile acestor trei triunghiuri sunt legate după cum urmează:

Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel devine mai mică și cele două laturi r și s se suprapun din ce în ce mai puțin. Când θ = π/2, ADB devine un triunghi dreptunghic, r + s = cși obținem teorema inițială a lui Pitagora.

Să luăm în considerare unul dintre argumente. Triunghiul ABC are aceleași unghiuri ca și triunghiul ABD, dar în ordine inversă. (Cele două triunghiuri au un unghi comun la vârful B, ambele au un unghi θ și au, de asemenea, același al treilea unghi, pe baza sumei unghiurilor triunghiului) Prin urmare, ABC este similar cu reflexia ABD a triunghiului DBA, ca prezentată în figura de jos. Să scriem relația dintre laturile opuse și cele adiacente unghiului θ,

De asemenea, o reflectare a unui alt triunghi,

Să înmulțim fracțiile și să adunăm aceste două rapoarte:

Q.E.D.

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare prin paralelograme

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare,
zonă verde plot = suprafata albastru

Dovada tezei că în figura de mai sus

Să facem o generalizare suplimentară pentru triunghiuri nedrepte, folosind paralelograme pe trei laturi în loc de pătrate. (pătratele sunt un caz special.) Figura de sus arată că, pentru un triunghi ascuțit, aria paralelogramului de pe latura lungă este egală cu suma paralelogramelor de pe celelalte două laturi, cu condiția ca paralelogramul de pe partea lungă. latura este construită așa cum se arată în figură (dimensiunile indicate de săgeți sunt aceleași și determină laturile paralelogramului inferior). Această înlocuire a pătratelor cu paralelograme are o asemănare clară cu teorema inițială a lui Pitagora, despre care se crede că a fost formulată de Pappus din Alexandria în anul 4 d.Hr. e.

Figura de jos arată progresul dovezii. Să ne uităm la partea stângă a triunghiului. Paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă ca și partea stângă a paralelogramului albastru deoarece au aceeași bază b si inaltime h. În plus, paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă cu paralelogramul verde din stânga din imaginea de sus, deoarece au o bază comună (partea stângă sus a triunghiului) și o înălțime comună perpendiculară pe acea parte a triunghiului. Folosind un raționament similar pentru partea dreaptă a triunghiului, vom demonstra că paralelogramul inferior are aceeași zonă cu cele două paralelograme verzi.

Numere complexe

Teorema lui Pitagora este folosită pentru a afla distanța dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate carteziene, iar această teoremă este valabilă pentru toate coordonatele adevărate: distanța s intre doua puncte ( a, b) Și ( CD) egal

Nu există probleme cu formula dacă numerele complexe sunt tratate ca vectori cu componente reale X + eu y = (X, y). . De exemplu, distanța s intre 0 + 1 iși 1 + 0 i calculat ca modulul vectorului (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), sau

Cu toate acestea, pentru operațiile cu vectori cu coordonate complexe, este necesar să se facă unele îmbunătățiri la formula lui Pitagora. Distanța dintre punctele cu numere complexe ( A, b) Și ( c, d); A, b, c, Și d toate complexe, formulăm folosind valori absolute. Distanţă s bazată pe diferența vectorială (A − c, b − d) în următoarea formă: lasă diferenţa A − c = p+ i q, Unde p- o parte reală a diferenței, q este partea imaginară și i = √(−1). La fel, lasă b − d = r+ i s. Apoi:

unde este numărul conjugat complex pentru . De exemplu, distanța dintre puncte (A, b) = (0, 1) Și (c, d) = (i, 0) , să calculăm diferența (A − c, b − d) = (−i, 1) iar rezultatul ar fi 0 dacă nu s-ar folosi conjugate complexe. Prin urmare, folosind formula îmbunătățită, obținem

Modulul este definit după cum urmează:

Stereometrie

O generalizare semnificativă a teoremei lui Pitagora pentru spațiul tridimensional este teorema lui de Goy, numită după J.-P. de Gois: dacă un tetraedru are un unghi drept (ca într-un cub), atunci pătratul ariei feței opus unghiului drept este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Această concluzie poate fi rezumată ca „ n Teorema lui Pitagora dimensională":

Teorema lui Pitagora în spațiul tridimensional raportează diagonala AD de trei laturi.

O altă generalizare: Teorema lui Pitagora poate fi aplicată stereometriei în următoarea formă. Luați în considerare un paralelipiped dreptunghic așa cum se arată în figură. Să aflăm lungimea diagonalei BD folosind teorema lui Pitagora:

unde cele trei laturi formează un triunghi dreptunghic. Folosim diagonala orizontală BD și muchia verticală AB pentru a găsi lungimea diagonalei AD, pentru aceasta folosim din nou teorema lui Pitagora:

sau, dacă scriem totul într-o singură ecuație:

Acest rezultat este o expresie tridimensională pentru determinarea mărimii vectorului v(diagonala AD), exprimată în termenii componentelor sale perpendiculare ( v k ) (trei laturi reciproc perpendiculare):

Această ecuație poate fi considerată ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru spațiul multidimensional. Cu toate acestea, rezultatul nu este de fapt altceva decât aplicarea repetată a teoremei lui Pitagora la o succesiune de triunghiuri dreptunghiulare în planuri succesiv perpendiculare.

Spațiu vectorial

În cazul unui sistem ortogonal de vectori, există o egalitate, care se mai numește și teorema lui Pitagora:

Dacă - acestea sunt proiecții ale vectorului pe axele de coordonate, atunci această formulă coincide cu distanța euclidiană - și înseamnă că lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor sale.

Analogul acestei egalități în cazul unui sistem infinit de vectori se numește egalitatea lui Parseval.

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și, de fapt, nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană, în forma în care este scrisă mai sus. (Adică teorema lui Pitagora se dovedește a fi un fel de echivalent cu postulatul de paralelism al lui Euclid) Cu alte cuvinte, în geometria non-euclidiană relația dintre laturile unui triunghi va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (să zicem A, bȘi c), care limitează octantul (partea a opta) a sferei unității, au lungimea de π/2, ceea ce contrazice teorema lui Pitagora, deoarece A 2 + b 2 ≠ c 2 .

Să considerăm aici două cazuri de geometrie non-euclidiană - geometria sferică și hiperbolică; în ambele cazuri, ca și pentru spațiul euclidian pentru triunghiuri dreptunghic, rezultatul, care înlocuiește teorema lui Pitagora, decurge din teorema cosinusului.

Totuși, teorema lui Pitagora rămâne valabilă pentru geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea, să spunem A+B = C. Atunci relația dintre laturi arată astfel: suma ariilor cercurilor cu diametre AȘi b egal cu aria unui cerc cu diametru c.

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R(de exemplu, dacă unghiul γ dintr-un triunghi este drept) cu laturile A, b, c Relația dintre părți va arăta astfel:

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

unde γ este unghiul al cărui vârf este opus laturii c.

Unde g ij numit tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbe includ geometria riemanniană ca exemplu general. Această formulare este, de asemenea, potrivită pentru spațiul euclidian atunci când se utilizează coordonate curbilinie. De exemplu, pentru coordonatele polare:

Opera de artă vectorială

Teorema lui Pitagora conectează două expresii pentru mărimea unui produs vectorial. O abordare a definirii unui produs încrucișat necesită ca acesta să satisfacă ecuația:

Această formulă folosește produsul punctual. Partea dreaptă a ecuației se numește determinant Gram pentru AȘi b, care este egală cu aria paralelogramului format din acești doi vectori. Pe baza acestei cerințe, precum și a cerinței ca produsul vectorial să fie perpendicular pe componentele sale AȘi b rezultă că, cu excepția cazurilor banale din spațiul 0 și 1-dimensional, produsul încrucișat este definit doar în trei și șapte dimensiuni. Folosim definiția unghiului în n-spațiu dimensional:

Această proprietate a unui produs încrucișat dă magnitudinea acestuia după cum urmează:

Prin identitatea trigonometrică fundamentală a lui Pitagora obținem o altă formă de scriere a valorii acesteia:

O abordare alternativă pentru definirea unui produs încrucișat este utilizarea unei expresii pentru magnitudinea acestuia. Apoi, raționând în ordine inversă, obținem o legătură cu produsul scalar:

Vezi si

Note

Subiect de istorie: teorema lui Pitagora în matematica babiloniană
( , p. 351) p. 351
( , Vol I, p. 144)
O discuție a faptelor istorice este dată în (, P. 351) P. 351
Kurt Von Fritz (apr. 1945). „Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum”. Analele matematicii, seria a doua(Analele matematicii) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Povestea cu noduri”, M., Mir, 1985, p. 7
Asger Aaboe Episoade din istoria timpurie a matematicii. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Propunerea Python de Elisha Scott Loomis
a lui Euclid Elemente: Cartea VI, Propunerea VI 31: „În triunghiuri dreptunghiulare, figura de pe latura care subtinde unghiul drept este egală cu figurile similare și descrise în mod similar de pe laturile care conțin unghiul drept.”
Lawrence S. Leff lucrare citată. - Seria educațională a lui Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalizarea teoremei lui Pitagora // Momente mari în matematică (înainte de 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nume complet Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.Hr.) a fost un medic care trăia la Bagdad care a scris mult despre Elementele lui Euclid și alte subiecte matematice.
Aydin Sayili (mar. 1960). „Generalizarea teoremei lui Pitagora a lui Thâbit ibn Qurra”. Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Exercițiul 2.10 (ii) // Lucrare citată. - P. 62. - ISBN 0821844032
Pentru detaliile unei astfel de construcții, vezi George Jennings Figura 1.32: Teorema generalizată a lui Pitagora // Geometrie modernă cu aplicații: cu 150 de figuri. - al 3-lea. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Articol C: Normă pentru un arbitrar n-tuple ... // O introducere în analiză . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vezi și paginile 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica. - al 3-lea. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Analiza matriceală. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking lucrare citată. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
Eric W. Weisstein CRC enciclopedie concisă de matematică. - al 2-lea. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
Alexander R. Pruss

teorema lui Pitagora: Suma suprafețelor pătratelor care se sprijină pe picioare ( AȘi b), egal cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b :

A 2 + b 2 = c 2

Teorema inversă a lui Pitagora: