Tabel de metode de rezolvare a inegalităților exponențiale cu exemple. Calculator online. Rezolvarea inegalităților: liniare, pătratice și fracționale

A fost necesară compararea cantităților și cantităților la rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare se află opusă unghiului mai mare dintr-un triunghi. Arhimede, în timp ce a calculat circumferința, a stabilit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul, cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci de ori diametrul.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și mărimi folosind semnele > și b. Înregistrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în clasele inferioare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau pot fi false. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) este o inegalitate numerică corectă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică incorectă.

Inegalitățile care implică necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți stabili sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai rar decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar de a demonstra sau de a infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Puteți compara numere întregi și fracții zecimale. Cunoașteți regulile de comparare a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Compararea numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiție. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența a-b este pozitivă. Numărul a este mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b, din următoarele trei relații a > b, a = b, a A compara numerele a și b înseamnă a afla care dintre semne >, = sau Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă adăugați același număr la ambele părți ale inegalității, semnul inegalității nu se va schimba.
Consecinţă. Orice termen poate fi mutat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și înmulți inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni ajută la rezolvarea problemelor de evaluare și comparare a semnificațiilor expresiilor.

Atunci când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adună sau să se înmulțească părțile stânga și dreaptă ale inegalităților termen cu termen. În același timp, se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua, atunci putem spune că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci putem spune că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Când luăm în considerare aceste exemple, s-au folosit următoarele: teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. La adunarea inegalităților de același semn se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, ale căror laturi stânga și dreaptă sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Alături de semnele inegalităților stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare sau egal cu b, adică și nu mai puțin b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să creezi un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În continuare, veți afla că modelele matematice pentru rezolvarea multor probleme sunt inegalități cu necunoscute. Va fi introdus conceptul de rezolvare a unei inegalități și va fi prezentat modul de a testa dacă un anumit număr este o soluție a unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax în care a și b sunt date numere, iar x este o necunoscută, sunt numite inegalități liniare cu o necunoscută.

Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care această inegalitate devine o adevărată inegalitate numerică. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia sau stabilirea faptului că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se încearcă să le reducă, folosind proprietăți, la forma unor inegalități simple.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \), numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Soluție la inegalitate
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c pot fi considerate ca fiind găsirea de intervale în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) ia pozitiv sau negativ valori Pentru a face acest lucru, este suficient să analizăm modul în care graficul funcției \(y= ax^2+bx+c\) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos, indiferent dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, marcați-le pe axa x și prin punctele marcate desenați o parabolă schematică, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus pentru a > 0 sau în jos pentru a 0 sau în partea de jos pentru a 3) găsiți intervale pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0\)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitate
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul de definire al funcției în intervalele \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) și \( (5; +\infty)\)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele luate în considerare este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerouri ale funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalului.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) În mod evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Reprezentăm zerourile funcției pe axa numerelor și calculăm semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva complex și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...

Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna rezolvate simplu. Ei bine, aproape întotdeauna. :)

Astăzi vom analiza acest subiect în interior și în exterior. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Să începem cu probleme simple și să trecem la probleme mai complexe. Nu va fi nicio muncă grea astăzi, dar ceea ce veți citi acum va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților în toate tipurile de teste și muncă independentă. Și la acest examen al tău.

Ca întotdeauna, să începem cu definiția. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei

\[((a)^(x)) \gt b\]

Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da, te rog:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(align)\]

Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri deosebit de clinice, în loc de variabila $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și, prin urmare, pot complica puțin inegalitatea. :)

Desigur, în unele cazuri inegalitatea poate părea mai gravă. De exemplu:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Sau chiar asta:

În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar în cele din urmă ele încă se reduc la construcția simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom da seama cumva de o astfel de construcție (în special în cazuri clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vă vom învăța cum să rezolvați astfel de construcții simple.

Rezolvarea inegalităților exponențiale simple

Să luăm în considerare ceva foarte simplu. De exemplu, aceasta:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă într-o formă foarte convenabilă:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Și acum mâinile mele sunt mâncărime să le „trisească” pe cei doi din bazele puterilor pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia orice, să ne amintim puterile a doi:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

După cum puteți vedea, cu cât este mai mare numărul din exponent, cu atât este mai mare numărul de ieșire. — Mulțumesc, Cap! – va exclama unul dintre elevi. Este diferit? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică, împărțit la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:

• Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
• Și invers, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.

Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație pe care se bazează întreaga soluție a inegalităților exponențiale:

Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.

Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi și eliminată, dar în același timp va trebui să schimbați semnul inegalității.

Vă rugăm să rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri apare incertitudinea. Să spunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Unul pentru orice putere va da din nou unul - nu vom primi niciodată trei sau mai multe. Acestea. nu exista solutii.

Din motive negative, totul este și mai interesant. De exemplu, luați în considerare această inegalitate:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

La prima vedere, totul este simplu:

Dreapta? Dar nu! Este suficient să înlocuiți câteva numere pare și câteva impare în loc de $x$ pentru a vă asigura că soluția este incorectă. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există și puteri fracționale și alte prostii. Cum, de exemplu, ați ordona să calculați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi la puterea lui șapte)? În nici un caz!

Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, apropo, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]

În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza într-o ecuație exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, îndepărtată, dar semnul inegalității se va schimba.

Exemple de soluții

Deci, să ne uităm la câteva inegalități exponențiale simple:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Sarcina principală în toate cazurile este aceeași: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Este exact ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile gradelor și ale funcțiilor exponențiale. Deci să mergem!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ce poți face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie orientativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!

Cu toate acestea, să ne amintim regulile de lucru cu fracții și puteri:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracțiune transformând-o într-o putere cu exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul are o rădăcină, ar fi bine să-l transformăm într-o putere - de data aceasta cu un exponent fracționar.

Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, exponenții acestor grade se adună. Și, în general, atunci când lucrați cu ecuații și inegalități exponențiale, este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli pentru lucrul cu puteri:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

De fapt, tocmai am aplicat ultima regulă. Prin urmare, inegalitatea noastră inițială va fi rescrisă după cum urmează:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Acum scăpăm de cele două de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității va rămâne același:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și rapid la forma sa cea mai simplă.

Luați în considerare a doua inegalitate:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Asa si asa. Fracțiile zecimale ne așteaptă aici. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri ar trebui să scapi de zecimale - aceasta este adesea singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și simplă. Aici vom scăpa de:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Aici avem din nou cea mai simplă inegalitate și chiar și cu o bază de 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mult”, și obținem:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți: răspunsul este tocmai o mulțime, și în niciun caz o construcție de forma $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!

Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare decât unu. Aruncă o privire:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

După o astfel de transformare, vom obține din nou o inegalitate exponențială, dar cu o bază de 10 > 1. Aceasta înseamnă că putem tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, răspunsul a fost exact același. În același timp, ne-am salvat de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit orice reguli. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cu toate acestea, nu lăsați acest lucru să vă sperie. Indiferent de ceea ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, să remarcăm mai întâi că 16 = 2 4. Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ura! Am obținut inegalitatea pătratică obișnuită! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este doi - un număr mai mare decât unu.

Zerourile unei funcții pe linia numerică

Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor exista „plusuri”. ” pe laterale. Ne interesează regiunea în care funcția este mai mică decât zero, adică. $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.

În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală la bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

În acest caz, am folosit observația dată mai devreme - am redus baza la numărul 5 > 1 pentru a simplifica soluția noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de ambele transformări:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]

Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și depășesc unul. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „trăgem” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Aici trebuie să fii mai atent. Mulți studenți le place să ia pur și simplu rădăcina pătrată a ambelor părți ale inegalității și să scrie ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. În niciun caz nu trebuie făcut acest lucru , deoarece rădăcina unui pătrat exact este un modul și în niciun caz o variabilă originală:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]

Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu-i așa? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Marcam din nou punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:

Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.

În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în ceea ce privește inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un algoritm simplu:

• Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
• Efectuați cu atenție transformările pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în locul variabilelor $x$ și $n$ pot exista funcții mult mai complexe, dar sensul nu se va schimba;
• Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.

De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vă vor spune despre acest subiect este doar tehnici și trucuri specifice care vor simplifica și accelera transformarea. Vom vorbi acum despre una dintre aceste tehnici. :)

Metoda raționalizării

Să luăm în considerare un alt set de inegalități:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Deci, ce este atât de special la ei? Sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este numărul π ridicat la o anumită putere? Ce nonsens?

Cum se ridică numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Scriitorii cu probleme au băut, evident, prea mult păducel înainte de a se așeza la muncă. :)

De fapt, nu este nimic înfricoșător în aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja asta. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de observat dacă le compari cu zero.

Se pare că toate aceste inegalități „înfricoșătoare” sunt rezolvate cu nimic diferit de cele simple discutate mai sus? Și sunt rezolvate în același mod? Da, este absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare o tehnică care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci, atentie:

Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.

Asta e toată metoda. :) Te-ai gândit că va exista un fel de alt joc? Nimic de genul asta! Dar acest fapt simplu, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Deci nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare o nouă problemă: ce să faci cu blestemul de multiplicare \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm care este valoarea exactă a numărului π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

În general, valoarea exactă a lui π nu ne privește cu adevărat - este important doar pentru noi să înțelegem că, în orice caz, $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. aceasta este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, la un moment dat a trebuit să împărțim cu minus unu - și semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătratic folosind teorema lui Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=-1$ . Apoi totul este rezolvat folosind metoda clasică a intervalului:

Rezolvarea inegalității folosind metoda intervalului

Toate punctele sunt eliminate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează regiunea cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. asta e solutia. :)

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Totul aici este în general simplu, deoarece există o unitate în dreapta. Și ne amintim că unu este orice număr ridicat la puterea zero. Chiar dacă acest număr este o expresie irațională la baza din stânga:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]

Ei bine, hai să raționalizăm:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tot ce rămâne este să descoperi semnele. Factorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea la ea, semnul inegalității originale se schimbă în opus:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Acum totul devine complet evident. Rădăcinile trinomului pătrat din dreapta sunt: ​​$((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Cazul când ne interesează intervalele laterale

Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Să trecem la următorul exemplu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]

Ei bine, totul este complet evident aici: bazele conțin puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x \dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în timpul procesului de transformare a trebuit să înmulțim cu un număr negativ, așa că semnul de inegalitate s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza trinomul pătratic. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oricine poate verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

După cum puteți vedea, la bază există din nou un număr irațional, iar în dreapta este din nou o unitate. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]

Aplicam rationalizarea:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aprox 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Mutați-vă la altă bază

O problemă separată la rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, nu este întotdeauna evident la prima vedere asupra unei sarcini ce să ia ca bază și ce să facă în funcție de gradul acestei baze.

Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie sau tehnologie „secretă”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru aceasta va trebui să rezolvați probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, așa:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]

Dificil? Infricosator? E mai ușor decât să lovești un pui pe asfalt! Sa incercam. Prima inegalitate:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ei bine, cred că totul este clar aici:

Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza două:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, ați auzit bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să aducem totul la un numitor comun și să scăpăm de factorul constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. Există trei puncte în total care trebuie marcate pe linia numerică (toate punctele sunt fixate deoarece semnul inegalității este strict). Primim:

Caz mai complex: trei rădăcini

După cum ați putea ghici, umbrirea marchează acele intervale la care expresia din stânga ia valori negative. Prin urmare, răspunsul final va include două intervale simultan:

Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară verificarea suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără ODZ, fără restricții etc.

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2 \dreapta) \dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în a treia linie am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar două au fost reduse cu un factor constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când pregătiți calcule reale pentru muncă independentă și de testare - nu trebuie să descrieți în mod direct fiecare acțiune și transformare.

În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerouri ale numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este resetat numai când $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că în dreapta lui $x=0$ fracția va lua valori pozitive, iar în stânga - negativă. Deoarece ne interesează valorile negative, răspunsul final este: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Ce ar trebui să faci cu fracțiile zecimale din inegalitățile exponențiale? Așa este: scapă de ele, transformându-le în altele obișnuite. Aici vom traduce:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ stânga(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\dreapta))^(x)). \\\end(align)\]

Deci, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc inverse:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]

Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. În plus, am reprezentat unitatea din dreapta, tot ca putere în baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. al doilea factor este o constantă negativă, iar la împărțirea la acesta, semnul inegalității se va schimba:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\în \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

În principiu, ideea soluției de aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale incluse în inegalitate trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta va trebui să te chinui puțin cu rădăcini și puteri:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Luând în considerare aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\dreapta))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Atenție la rândurile 2 și 3 ale calculelor: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că o aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Atâta timp cât aveți niște factori stângaci, constante suplimentare etc. în stânga sau în dreapta, nu poate fi efectuată nicio raționalizare sau „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost finalizate incorect din cauza neînțelegerii acestui fapt simplu. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.

Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Să ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Asta e tot. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolarea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile

În concluzie, propun rezolvarea a încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.

Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi ce anume poate fi scos dintre paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Să începem de la prima linie. Să scriem separat această inegalitate:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, deci mâna dreaptă partea poate fi rescrisa:

Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare nicăieri altundeva, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Avem:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Cam așa trebuie să elaborezi o soluție pentru teste reale și muncă independentă.

Ei bine, hai să încercăm ceva mai complicat. De exemplu, iată inegalitatea:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Totuși, 25 = 5 2, deci primul termen poate fi transformat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen poate fi redus cu ușurință la al doilea - trebuie doar să extindeți exponentul. Acum puteți introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Și din nou, fără dificultăți! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Să trecem la inegalitatea finală în lecția de astăzi:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, fracția zecimală din baza primei puteri. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Grozav, am făcut primul pas – totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să selectați o expresie stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Desigur, poate apărea întrebarea: cum am descoperit că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este un număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Același lucru este valabil și cu trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt gradele sale) și cu șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cele cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Desigur, dacă doriți, toate aceste numere pot fi restaurate în mintea voastră prin simpla înmulțire succesivă între ele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvi mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care vrei să te gândești este puterile unor numere. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice” care sunt rezolvate prin metoda intervalului.

Teorie:

La rezolvarea inegalităților se folosesc următoarele reguli:

1. Orice termen al inegalității poate fi transferat dintr-o parte
inegalitatea într-un altul cu semnul opus, dar semnul inegalității nu se schimbă.

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu una
și același număr pozitiv fără a schimba semnul inegalității.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu una
și același număr negativ, schimbând semnul inegalității în
opus.

Rezolvați inegalitatea − 8 x + 11< − 3 x − 4
Soluţie.

1. Să mișcăm penisul − 3 xîn partea stângă a inegalității și termenul 11 - în partea dreaptă a inegalității, schimbând semnele pe cele opuse − 3 x iar la 11 .
Apoi primim

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Să împărțim ambele părți ale inegalității − 5 x< − 15 la un număr negativ − 5 , și semnul inegalității < , se va schimba în > , adică trecem la o inegalitate de sens opus.
Primim:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— soluția unei inegalități date.

Fiţi atenți!

Există două opțiuni pentru a scrie o soluție: x > 3 sau ca interval numeric.

Să marchem setul de soluții ale inegalității pe dreapta numerică și să scriem răspunsul sub forma unui interval numeric.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Răspuns: x > 3 sau x ∈ (3 ; + ∞ )

Inegalități algebrice.

Inegalități cuadratice. Inegalități raționale de grade superioare.

Metodele de rezolvare a inegalităților depind în principal de clasa căreia îi aparțin funcțiile care compun inegalitatea.

1. eu. Inegalități cuadratice, adică inegalități ale formei

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Pentru a rezolva inegalitatea puteți:

1. Factorizați trinomul pătrat, adică scrieți inegalitatea în forma

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Trasează rădăcinile polinomului pe dreapta numerică. Rădăcinile împart mulțimea numerelor reale în intervale, în fiecare dintre ele funcția pătratică corespunzătoare va fi de semn constant.
2. Determinați semnul a (x - x 1) (x - x 2) în fiecare interval și scrieți răspunsul.

Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci pentru D<0 и a>0 trinom pătrat este pozitiv pentru orice x.

• Rezolvați inegalitatea. x 2 + x - 6 > 0.

Factorizați trinomul pătratic (x + 3) (x - 2) > 0

Răspuns: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Această inegalitate este adevărată pentru orice x cu excepția x = 6.

Răspuns: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Aici D< 0, a = 1 >0. Trinomul pătrat este pozitiv pentru tot x.

Răspuns: x Î Ø.

Rezolvarea inegalităților:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Răspuns:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Răspuns:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Răspuns:
5. Pentru ce valori ale a face inegalitatea

x² - ax > este valabil pentru orice x? Răspuns:

1. II. Inegalități raționale de grade superioare, adică inegalităţi ale formei

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Un polinom de cel mai înalt grad ar trebui factorizat, adică inegalitatea trebuie scrisă sub forma

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Marcați punctele de pe dreapta numerică unde polinomul dispare.

Determinați semnele polinomului pe fiecare interval.

1) Rezolvați inegalitatea x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Deci x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Răspuns: (0; 1) (2; 3).

2) Rezolvați inegalitatea (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Să marchem punctele de pe axa numerelor în care polinomul dispare. Acestea sunt x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

În punctul x = - ½ nu există nicio schimbare de semn deoarece binomul (2x + 1) este ridicat la o putere pară, adică expresia (2x + 1) 4 nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = - ½.

Răspuns: (-∞; -2) (½; 1).

3) Rezolvați inegalitatea: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Această inegalitate este echivalentă cu următoarea mulțime

Soluția pentru (1) este x (-∞; -2) (3; +∞). Soluția lui (2) este x = 0, x = -2, x = 3. Combinând soluțiile obținute, obținem x О (-∞; -2] (0) (0) )