Laturile sunt pentagon drept unghiuri egale. A fost descoperit un nou tip de pentagoane care acoperă avionul

Un pentagon este o figură geometrică cu cinci colțuri. Totodată, din punct de vedere al geometriei, categoria pentagoanelor include orice poligoane care au această caracteristică, indiferent de amplasarea laturilor sale.

Suma unghiurilor unui pentagon

Un pentagon este de fapt un poligon, așa că pentru a calcula suma unghiurilor sale, puteți folosi formula adoptată pentru calcularea sumei indicate pentru un poligon cu orice număr de unghiuri. Specificul consideră suma unghiurilor poligonului drept următoarea egalitate: suma unghiurilor = (n - 2) * 180°, unde n este numărul de unghiuri din poligonul necesar.

Astfel, în cazul în care este vorba despre, valoarea lui n în această formulă va fi egală cu 5. Astfel, înlocuind valoarea dată a lui n în formulă, rezultă că suma unghiurilor pentagonului va fi 540. °. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că aplicarea acestei formule în raport cu un anumit pentagon este asociată cu o serie de limitări.

Tipuri de pentagoane

Cert este că formula indicată, având, ca și pentru alte tipuri de aceste figuri geometrice, nu poate fi aplicată decât dacă vorbim despre așa-numitul poligon convex. La rândul său, este o figură geometrică care îndeplinește următoarea condiție: toate punctele sale sunt de aceeași parte a unei drepte care trece între două vârfuri adiacente.

Astfel, există o întreagă categorie de pentagoane, suma unghiurilor în care va diferi de valoarea specificată. Deci, de exemplu, una dintre variantele unui pentagon neconvex este o figură geometrică în formă de stea. Un pentagon stea poate fi obținut și folosind întregul set de diagonale ale unui pentagon obișnuit, adică un pentagon: în acest caz, figura geometrică rezultată va fi numită pentagramă, care are unghiuri egale. În acest caz, suma unghiurilor indicate va fi de 180°.

O senzație în lumea matematicii. A fost descoperit un nou tip de pentagoane, care acoperă avionul fără întreruperi și fără suprapuneri.

Acesta este doar al 15-lea tip de astfel de pentagoane și primul descoperit în ultimii 30 de ani.

Avionul este acoperit cu triunghiuri și patrulatere de orice formă, dar cu pentagoane totul este mult mai complicat și mai interesant. Pentagoane obișnuite nu pot acoperi un avion, dar unele pentagoane neregulate pot. Căutarea unor astfel de cifre a fost una dintre cele mai interesante probleme matematice de o sută de ani. Căutarea a început în 1918, când matematicianul Carl Reinhard a descoperit primele cinci piese potrivite.

Multă vreme s-a crezut că Reinhard a calculat toate formulele posibile și nu mai există astfel de pentagoane, dar în 1968 matematicianul R. B. Kershner (R. B. Kershner) a găsit încă trei, iar Richard James (Richard James) în 1975 a adus numărul lor la nouă. . În același an, o casnică americană în vârstă de 50 de ani și iubitoare de matematică, Marjorie Rice, și-a dezvoltat propria metodă de notare și a descoperit încă patru pentagoane în câțiva ani. În cele din urmă, în 1985, Rolf Stein a adus numărul de cifre la paisprezece.

Pentagoanele rămân singura figură în raport cu care rămân incertitudinea și misterul. În 1963, s-a dovedit că există doar trei tipuri de hexagoane care acoperă avionul. Printre cele șapte, opt și așa mai departe convexe, nu există așa ceva. Dar cu "Pentagoane" nu este încă clar până la sfârșit.

Până acum, au fost cunoscute doar 14 tipuri de astfel de pentagoane. Ele sunt prezentate în ilustrație. Formulele pentru fiecare dintre ele sunt date la link.

Timp de 30 de ani, nimeni nu a putut găsi nimic nou și, în sfârșit, mult așteptata descoperire! A fost realizat de un grup de oameni de știință de la Universitatea din Washington: Casey Mann, Jennifer McLoud și David Von Derau. Iată cum arată micuțul.

„Am deschis modelul prin iterația computerizată a unui număr mare, dar limitat de opțiuni”, spune Casey Mann. „Desigur, suntem foarte încântați și puțin surprinși că am reușit să descoperim un nou tip de pentagon.”

Descoperirea pare pur abstractă, dar de fapt poate fi de folos practic. De exemplu, în producția de plăci de finisare.

Căutarea de noi pentagoane care să acopere avionul va continua cu siguranță.

Dicționarul explicativ al lui Ozhegov spune că un pentagon este delimitat de cinci linii drepte care se intersectează care formează cinci unghiuri interne, precum și orice obiect de formă similară. Dacă un poligon dat are toate aceleași laturi și unghiuri, atunci se numește un regulat (pentagon).

Ce este interesant la un pentagon obișnuit?

În această formă a fost construită binecunoscuta clădire a Departamentului de Apărare al Statelor Unite. Dintre poliedrele regulate voluminoase, doar dodecaedrul are fețe în formă de pentagon. Și în natură, cristalele sunt complet absente, ale căror fețe ar semăna cu un pentagon obișnuit. În plus, această cifră este un poligon cu un număr minim de colțuri care nu poate fi folosit pentru a placa o zonă. Doar un pentagon are același număr de diagonale ca laturile sale. De acord, e interesant!

Proprietăți și formule de bază

Folosind formulele pentru un poligon regulat arbitrar, puteți determina toți parametrii necesari pe care îi are pentagonul.

• Unghiul central α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Unghiul intern β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. În consecință, suma unghiurilor interioare este de 540°.
• Raportul dintre diagonală și latură este (1+√5)/2, adică (aproximativ 1,618).
• Lungimea laturii pe care o are un pentagon obișnuit poate fi calculată folosind una dintre cele trei formule, în funcție de parametrul care este deja cunoscut:

• dacă în jurul lui este circumscris un cerc și este cunoscută raza lui R, atunci a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• în cazul în care un cerc cu raza r este înscris într-un pentagon regulat, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• se întâmplă ca în loc de raze să se cunoască valoarea diagonalei D, atunci latura se determină astfel: a ≈ D / 1,618.

• Aria unui pentagon obișnuit este determinată, din nou, în funcție de parametrul pe care îl cunoaștem:
• dacă există un cerc înscris sau circumscris, atunci se folosește una dintre cele două formule:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r sau S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• se poate determina si aria, cunoscand doar lungimea laturii a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Pentagon obișnuit: construcție

Această figură geometrică poate fi construită în diferite moduri. De exemplu, înscrieți-l într-un cerc cu o rază dată sau construiți-l pe baza unei laturi laterale date. Secvența acțiunilor a fost descrisă în Elementele lui Euclid în jurul anului 300 î.Hr. În orice caz, avem nevoie de o busolă și o riglă. Luați în considerare metoda de construcție folosind un cerc dat.

1. Selectați o rază arbitrară și desenați un cerc, marcând centrul acestuia cu punctul O.

2. Pe linia cercului, selectați un punct care va servi drept unul dintre vârfurile pentagonului nostru. Fie acesta punctul A. Conectați punctele O și A cu o dreaptă.

3. Desenați o dreaptă prin punctul O perpendicular pe dreapta OA. Marcați punctul în care această linie se intersectează cu linia cercului ca punct B.

4. La mijlocul distanței dintre punctele O și B, construiți punctul C.

5. Acum desenați un cerc, al cărui centru va fi în punctul C și care va trece prin punctul A. Locul intersecției sale cu dreapta OB (va fi chiar în interiorul primului cerc) va fi punctul D.

6. Construiți un cerc care trece prin D, al cărui centru va fi în A. Locurile de intersecție cu cercul inițial trebuie marcate cu punctele E și F.

7. Acum construiți un cerc, al cărui centru va fi în E. Trebuie să faceți acest lucru astfel încât să treacă prin A. Cealaltă intersecție a cercului original trebuie să fie indicată

8. În cele din urmă, desenați un cerc prin A centrat în punctul F. Marcați o altă intersecție a cercului original cu punctul H.

9. Acum rămâne doar să conectați vârfurile A, E, G, H, F. Pentagonul nostru obișnuit va fi gata!

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5$

{2}};

pentagon obișnuit(gr. πενταγωνον ) este o figură geometrică, un poligon regulat cu cinci laturi.

Proprietăți

• Dodecaedrul este singurul poliedru regulat ale cărui fețe sunt pentagoane regulate.
• Pentagonul este o clădire a Departamentului de Apărare al SUA în formă de pentagon obișnuit.
• Un pentagon obișnuit este un poligon regulat cu cel mai mic număr de unghiuri care nu pot fi placate pe un plan.
• În natură, nu există cristale cu fețe în formă de pentagon obișnuit.
• Pentagonul cu toate diagonalele sale este o proiecție a unui 4-simplex.

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Pentagon obișnuit”

Note

După numărul de laturi corect triunghiuri Cadrilatere Vezi si

Poligoane poligoane stelare Parchete plate Poliedre regulate si parchete sferice poliedre Kepler-Poinsot fagurii Poliedre cu patru dimensiuni

Un fragment care caracterizează Pentagonul obișnuit

Petya nu știa cât de mult a durat asta: s-a bucurat, a fost mereu surprins de propria lui plăcere și a regretat că nu avea cine să-i spună. Vocea blândă a lui Lihaciov l-a trezit.
- Gata, onoare, întindeți paza în două.
Petya s-a trezit.
- Se luminează, într-adevăr, se face lumină! el a plâns.
Caii invizibili anterior deveneau vizibili până la coadă, iar o lumină apoasă era vizibilă prin ramurile goale. Petya s-a scuturat, a sărit în sus, a scos din buzunar o bancnotă de ruble și i-a dat-o lui Lihaciov, a fluturat, a încercat sabia și a pus-o în teacă. Cazacii dezleagă caii și strâng centurile.
„Iată-l pe comandant”, a spus Lihaciov. Denisov a ieșit din camera de gardă și, chemându-l pe Petya, a ordonat să se pregătească.

Repede în semiîntuneric, au demontat caii, au strâns centura și au rezolvat comenzile. Denisov stătea la pază, dând ultimele lui ordine. Infanteria partidului, pălmuind o sută de picioare, înainta de-a lungul drumului și dispăru repede între copaci în ceața dinainte de zori. Esaul a ordonat ceva cazacilor. Petya și-a ținut calul la coadă, așteptând cu nerăbdare ordinul să urce. Spălat cu apă rece, fața, mai ales ochii, ars de foc, frisoane îi curgeau pe spate și ceva în tot corpul îi tremura repede și uniform.
- Ei bine, sunteți cu toții pregătiți? spuse Denisov. - Hai cai.
S-au dat caii. Denisov s-a supărat pe cazac pentru că centura era slabă și, după ce l-a certat, s-a așezat. Petya luă etrierul. Calul, din obișnuință, a vrut să-și muște piciorul, dar Petia, nesimțindu-i greutatea, a sărit repede în șa și, privind înapoi la husarii care se mișcau în urmă în întuneric, s-a îndreptat către Denisov.
- Vasily Fiodorovich, îmi încredințezi ceva? Te rog... pentru numele lui Dumnezeu...” a spus el. Denisov părea să fi uitat de existența lui Petya. S-a uitat înapoi la el.
„Îți voi spune despre un lucru”, a spus el cu severitate, „ascultă-mă și nu te amesteci nicăieri.
Pe parcursul întregii călătorii, Denisov nu i-a spus niciun cuvânt lui Petya și a călărit în tăcere. Când am ajuns la marginea pădurii, câmpul era vizibil mai luminos. Denisov a spus ceva în șoaptă esaulului, iar cazacii au început să treacă pe lângă Petya și Denisov. Când au trecut cu toții, Denisov și-a atins calul și a călărit la vale. Așezați pe coapse și alunecând, caii au coborât cu călăreții lor în gol. Petya călărea lângă Denisov. Tremuratul din tot corpul lui devenea mai puternic. Era din ce în ce mai ușor, doar ceața ascundea obiecte îndepărtate. Coborând cu mașina și privind înapoi, Denisov dădu din cap către cazacul care stătea lângă el.
- Semnal! el a spus.
Cazacul ridică mâna, se auzi o împușcătură. Și în același moment s-a auzit zgomot de cai în galop în față, strigăte din diferite direcții și alte împușcături.
În aceeași clipă în care s-au auzit primele sunete de călcare în picioare și țipete, Petia, lovind cu piciorul calului și eliberând frâiele, fără să-l asculte pe Denisov, care striga la el, înainta în galop. Lui Petya i s-a părut că a răsărit deodată strălucitor, ca în mijlocul zilei, în momentul în care se aude o împușcătură. A sărit la pod. Cazacii au galopat înainte de-a lungul drumului. Pe pod, a dat peste un cazac rătăcit și a mers în galop. Erau niște oameni în față — trebuie să fi fost francezi — care alergau din partea dreaptă a drumului spre stânga. Unul a căzut în noroi sub picioarele calului lui Petya.
Cazacii se înghesuiau în jurul unei colibe, făcând ceva. Un strigăt groaznic s-a auzit din mijlocul mulțimii. Petya s-a îndreptat către această mulțime în galop și primul lucru pe care l-a văzut a fost chipul palid al unui francez cu o falcă inferioară tremurândă, ținându-se de axul unei știuci îndreptată spre el.
„Hura!... Băieți... ai noștri...” strigă Petya și, dând frâiele calului încântat, a pornit în galop pe stradă.
În față s-au auzit împușcături. Cazacii, husarii și prizonierii ruși zdrențuiți, care au fugit de pe ambele părți ale drumului, toți au strigat ceva tare și incoerent. Tânăr, fără pălărie, cu o încruntă roșie pe față, un francez în haină albastră s-a luptat cu husarii cu baioneta. Când Petya a sărit în sus, francezul deja căzuse. Din nou târziu, Petya i-a trecut prin cap și a mers în galop spre locul unde se auzeau împușcături frecvente. S-au auzit împușcături în curtea conacului în care fusese aseară cu Dolokhov. Francezii stăteau acolo, în spatele gardului de vaci, într-o grădină densă, acoperită de tufișuri și trăgeau în cazacii înghesuiți la poartă. Apropiindu-se de poartă, Petia, în fumul de pulbere, l-a văzut pe Dolokhov cu chipul palid, verzui, strigând ceva oamenilor. „Pe ocolire! Așteaptă infanterie!” strigă el în timp ce Petya se apropia de el.
„Stai?.. Ura!” strigă Petya și, fără nici un minut de ezitare, a galoplat spre locul în care s-au auzit împușcăturile și unde fumul de pulbere era mai gros. S-a auzit o salvă, s-a auzit gloanțe goale și plesnite. Cazacii și Dolokhov au sărit după Petia prin porțile casei. Francezii, în fumul dens care se legăna, unii și-au aruncat armele și au ieșit din tufișuri spre cazaci, alții au fugit la vale până la baltă. Petya a mers în galop de-a lungul curții conacului pe cal și, în loc să țină frâiele, flutură ciudat și repede cu ambele mâini și cădea din ce în ce mai departe de pe șa într-o parte. Calul, după ce s-a lovit de un foc care mocnea în lumina dimineții, s-a odihnit, iar Petya a căzut greu pe pământul ud. Cazacii au văzut cât de repede îi tremurau brațele și picioarele, în ciuda faptului că capul nu i se mișca. Glonțul i-a străpuns capul.
După ce a vorbit cu un ofițer superior francez, care a ieșit din spatele casei cu o batistă pe sabie și a anunțat că se predau, Dolokhov a coborât de pe cal și s-a ridicat la Petya, nemișcat, cu brațele întinse.
— Gata, spuse el, încruntat, și trecu pe poartă să-l întâlnească pe Denisov, care venea spre el.
- Ucis?! exclamă Denisov, văzând de la distanță acea poziție cunoscută pentru el, fără îndoială fără viață, în care zăcea trupul lui Petya.
„Gata”, repetă Dolokhov, de parcă rostirea acestui cuvânt i-ar fi făcut plăcere și s-a dus repede la prizonieri, care erau înconjurați de cazaci descăleați. - Nu o vom lua! îi strigă el lui Denisov.

Am scris deja că pitagoreicii considerau lumea ca fiind aranjată după legile armoniei numerice. Ei au descoperit că percepția armoniei în muzică este asociată cu o anumită relație între numere (vezi Armonia lui Pitagora); dar armonia vizuală, se dovedește, este, de asemenea, asociată cu anumite rapoarte ale diferitelor segmente. În acest sens, cea mai faimoasă este secțiunea de aur - o modalitate de a împărți un segment în două părți inegale, în care întregul segment se referă la partea mai mare, ca una mai mare la una mai mică:

Sculptorul Polikleitos a dezvoltat ideea unui canon (regulă) pentru înfățișarea unui corp uman proporțional și și-a întruchipat clar canonul în statuia „Dorifor” („Spearman”), altfel numită pur și simplu „Canon”. În proporțiile statuii, proporția de aur este prezentă din abundență. De exemplu, raportul dintre înălțimile părților inferioare și superioare, în care buricul împarte statuia, este egal cu raportul de aur; la rândul său, baza gâtului împarte partea superioară și în raportul de aur; genunchii împart partea inferioară în raportul de aur etc.

În timpul Renașterii, a existat un interes reînnoit în rândul oamenilor de știință și al artiștilor pentru raportul de aur. Matematicianul italian Luca Pacioli i-a dedicat cartea Divine Proportion. Iar prietenul său – marele Leonardo da Vinci – deține termenul „secțiune de aur” (anticii îl numeau de obicei „diviziunea segmentului în raportul extrem și mediu”). „Secțiunea de aur” se găsește adesea în lucrările lui Rafael, Michelangelo, Durer.

Johannes Kepler, care nu este străin de ideile lui Pitagora despre armonia numerică subiacentă a universului, spunea că geometria are două comori - teorema lui Pitagora și raportul de aur; prima poate fi comparată cu o măsură de aur, cea din urmă cu o piatră prețioasă.

S-a dovedit experimental că, de exemplu, din dreptunghiuri cu raporturi de aspect diferite, ochiul uman le preferă pe acelea în care acest raport este egal cu raportul de aur. Foile de hârtie, batoanele de ciocolată, cărțile de credit etc. sunt foarte adesea realizate sub forma unor astfel de dreptunghiuri.

Pentru a împărți un anumit segment AB proporțional cu secțiunea de aur, trebuie să restabiliți printr-unul dintre capete, de exemplu, prin punctul B, o perpendiculară, puneți un segment pe ea BD \u003d AB /2, desenați un segment AD, puneți un segment pe acesta DE \u003d AB /2 și, în cele din urmă, marcați un punct C pe segmentul AB astfel încât AC = AE . Punctul C va împărți segmentul AB în secțiunea de aur.

Să demonstrăm. Prin teorema lui Pitagora (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, sau

AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, și întrucât BD = DE = AB /2 și AE = AC, atunci

AC 2 + AC ∙ AB \u003d AB 2,

de unde AC 2 \u003d AB (AB - AC) .

Deoarece AB - AC = BC , avem

AC 2 = AB ∙ BC, de unde

Construcția de mai sus vă permite să găsiți valoarea numerică a secțiunii de aur. Este egal cu raportul dintre întregul segment AB și segmentul

Astfel, raportul de aur este exprimat prin număr Acest număr este aproximativ egal cu 1.618. Adesea este numit numărul lui Phidias și este notat cu litera greacă Φ:

Φ =

Fie legate două segmente în secțiunea de aur: a /b = Φ. Deoarece formula este valabilă pentru ei, se dovedește că Φ satisface egalitatea sau Într-adevăr, este ușor de verificat că Numărul este uneori numit număr mic de Phidias (și Φ apoi - numărul mare de Phidias) și notat cu φ. Este aproximativ egal cu 0,618.

Raportul de aur este exprimat ca un număr irațional. Acest lucru rezultă din iraționalitate (dacă raportul de aur ar fi rațional, atunci și numărul = 2Φ - 1 ar fi rațional), iar iraționalitatea poate fi dovedită în mod similar cu iraționalitatea. În plus, iraționalitatea lui Φ este destul de simplu de arătat folosind ilustrația geometrică. a algoritmului lui Euclid. Să avem un dreptunghi a 1 × a 2 ale cărui laturi sunt în raportul de aur. Lăsând deoparte latura mai mică pe latura mai mare, obținem un pătrat, iar dreptunghiul rămas va fi similar dreptunghiului inițial: Aplicându-i aceeași operație, obținem din nou un pătrat și un dreptunghi similar cu originalul etc. ( Interesant este că primul, al treilea, al cincilea și etc. dreptunghiuri au o diagonală comună, ca și al doilea, al patrulea, al șaselea etc., aceste două diagonale se intersectează în unghi drept într-un punct care aparține tuturor dreptunghiurilor).

Deoarece acest algoritm nu se va termina niciodată, segmentele a 1 și a 2 nu au o măsură comună. Kepler a spus că raportul de aur se reproduce în mod constant. Se găsește adesea în fauna sălbatică în structura unor astfel de organisme, ale căror părți sunt aproximativ similare cu întregul - de exemplu, în scoici, în aranjarea frunzelor pe lăstari etc.

Orez. 5. Chiuveta

În cele din urmă, raportul de aur vă permite să construiți un pentagon obișnuit. (Puteți construi trigoane și patrulatere regulate fără un indiciu, nu? Descriind cercuri în jurul lor și împărțind laturile în jumătate, nu este dificil să construiți poligoane regulate cu 2 n și 3 ∙ 2 n vârfuri). Dacă extindeți laturile unui pentagon obișnuit până la punctele de intersecție cu extensiile laturilor adiacente, obțineți o stea frumoasă cu cinci colțuri. Acesta este un simbol mistic antic, popular, în special, printre pitagoreeni: se numește „pentagramă” sau „pentalpha”, adică literalmente „cinci litere” sau „cinci alfa” - au văzut în el o combinație de cinci literele „alfa” (A) . Pentagrama a fost considerată un simbol al sănătății - armonie la o persoană - și a servit drept marcă de identificare în rândul pitagoreenilor. (De exemplu, când într-o țară străină unul dintre pitagoreici stătea întins pe patul de moarte și nu avea bani să plătească persoana care îl îngrijea până la moartea sa, el a ordonat să deseneze o pentagramă pe ușa locuinței sale. Câțiva ani mai târziu, un alt pitagoreean a văzut acest semn și proprietarul a primit răsplată generoasă). Se pare că în pentagramă, diferitele linii se împart reciproc în raport cu raportul de aur. Într-adevăr, triunghiurile ACD și ABE sunt similare, AB : AC = AE : AD . Dar AD = BC , iar AE = AC , deci AB : AC = AC : BC . Se pare că oricare dintre cele 10 segmente ale conturului exterior al stelei aparține în raportul de aur oricăruia dintre cele 5 segmente care formează un mic pentagon interior.

Apropo, din asemănarea acelorași triunghiuri ACD și ABE rezultă că triunghiul ACD este isoscel și CD = AD . Aceasta înseamnă că diagonala unui pentagon obișnuit se referă și la latura sa din secțiunea de aur. Toate cele cinci diagonale ale unui pentagon obișnuit formează o altă pentagramă, în care toate rapoartele se repetă din nou.

Dacă trebuie să construiți un pentagon obișnuit cu latura a 1, atunci trebuie să împărțiți segmentul a 1 din secțiunea de aur în segmente a 2 și a 3, apoi să construiți un triunghi isoscel cu laturile a 1, a 1 și (a 1 + a 2). Două segmente de lungime a 1 vor alcătui două laturi ale pentagonului dorit, iar un segment de lungime a 1 + a 2 \u003d a 1 /Φ este diagonala acestuia. Construind alte triunghiuri, nu este dificil să găsiți vârfurile rămase ale pentagonului.

În Evul Mediu, pentagrama a servit ca simbol al lui Venus: această planetă se apropie de Pământ în cinci puncte formând un pentagon.

Un triunghi isoscel ale cărui laturi sunt legate de baza în raportul de aur - de exemplu, un triunghi format din două diagonale și o latură a unui pentagon regulat - are o altă proprietate interesantă: bisectoarele unghiurilor sale de la bază sunt egale cu baza. în sine.

Un astfel de triunghi se găsește adesea în compoziția diferitelor opere de artă - de exemplu, în celebra „Mona Lisa” de Leonardo da Vinci.