1. Cum se determină erorile de măsurare.

Efectuarea muncii de laborator este asociată cu măsurarea diferitelor cantități fizice și prelucrarea ulterioară a rezultatelor acestora.

Măsurare- aflarea valorii unei marimi fizice empiric folosind instrumente de masura.

Măsurare directă- determinarea valorii unei marimi fizice direct prin masurare.

Măsurare indirectă- determinarea valorii unei marimi fizice printr-o formula care o raporteaza la alte marimi fizice determinate prin masuratori directe.

Să introducem următoarea notație:

A, B, C, ... - mărimi fizice.

Și pr - valoarea aproximativă a unei mărimi fizice, adică valoarea obținută prin măsurători directe sau indirecte.

ΔА este eroarea absolută de măsurare a unei mărimi fizice.

ε - eroare relativă de măsurare a unei mărimi fizice, egală cu:

Δ și A - eroare instrumentală absolută, determinată de proiectarea dispozitivului (eroarea instrumentelor de măsură; vezi tabelul. 1).

Δ 0 A - eroare de citire absolută (rezultată din citirea insuficient de exactă a citirilor instrumentelor de măsură); este egal în cele mai multe cazuri cu jumătate din prețul de divizare, atunci când se măsoară timpul - prețul de divizare al unui cronometru sau ceas.

tabelul 1

Erorile instrumentale absolute ale instrumentelor de măsură

№	Măsurare	Limita de masurare	Valoarea diviziunii	Eroarea instrumentală absolută
1	Rigla
	elevi	pana la 50 cm	1 mm	± 1 mm
	desen	pana la 50 cm	1 mm	±0,2 mm
	instrumental (oțel)	20 cm	1 mm	±0,1 mm
	demonstrație	100 cm	1 cm	± 0,5 cm
2	Bandă de măsurare	150 cm	0,5 cm	± 0,5 cm
3	cilindru gradat	până la 250 ml	1 ml	± 1 ml
4	Etriere	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Micrometru	25 mm	0,01 mm	±0,005 mm
6	Dinamometru de antrenament	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Cantare pentru antrenament	200 g	-	± 0,01 g
8	Cronometru	0-30 min	0,2 s	± 1 s timp de 30 min
9	Barometru aneroid	720-780 mmHg Artă.	1 mmHg Artă.	± 3 mmHg Artă.
10	Termometru de laborator	0-100 0 С	1 0 С	± 1 0 С
11	Ampermetru școlar	2 A	0,1 A	± 0,05 A
12	Scoala de voltmetru	6 V	0,2V	±0,15V

Eroarea absolută maximă a măsurătorilor directe este suma erorii instrumentale absolute și a erorii absolute de citire în absența altor erori:

Eroarea de măsurare absolută este de obicei rotunjită la o cifră semnificativă (ΔА = 0,17 ≈ 0,2); valoarea numerică a rezultatului măsurării este rotunjită astfel încât ultima sa cifră să fie în aceeași cifră cu cifra de eroare (A = 10,332 ≈ 10,3).

Rezultatele măsurătorilor repetate ale mărimii fizice A, efectuate în aceleași condiții controlate și folosind instrumente de măsurare suficient de sensibile și precise (cu mici erori), diferă de obicei unele de altele. În acest caz, A pr se găsește ca medie aritmetică a tuturor măsurătorilor, iar eroarea ΔA (se numește eroare aleatorie) este determinată prin metodele statisticii matematice.

În practica școlară de laborator, astfel de instrumente de măsurare practic nu sunt folosite. Prin urmare, atunci când se efectuează lucrări de laborator, este necesar să se determine erorile maxime în măsurarea mărimilor fizice. O măsurătoare este suficientă pentru a obține rezultatul.

Eroarea relativă a măsurătorilor indirecte este determinată așa cum se arată în Tabelul 2.

masa 2

Formule pentru calcularea erorii relative a măsurătorilor indirecte

№	Formula pentru o mărime fizică	Formula pentru eroarea relativă
1
2
3
4

Eroarea absolută a măsurătorilor indirecte este determinată de formula ΔА = А pr ε (ε este exprimată ca fracție zecimală).

2. Despre clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsură.

Pentru a determina eroarea instrumentală absolută a dispozitivului, trebuie să cunoașteți clasa sa de precizie. Clasa de precizie γ pr a dispozitivului de măsurare arată câte procente este eroarea instrumentală absolută Δ și A din întreaga scară a dispozitivului (A max):

Clasa de precizie este indicată pe scara dispozitivului sau în pașaportul acestuia (semnul % nu este scris în acest caz). Există următoarele clase de precizie ale instrumentelor electrice de măsură: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Cunoscând clasa de precizie a dispozitivului (γ pr) și întreaga sa scară (A max), determinați eroarea absolută Δ și A a măsurării mărimii fizice A de către acest dispozitiv:

3. Cum se compară rezultatele măsurătorilor.

1. Înregistrați rezultatele măsurătorii sub formă de inegalități duble:

A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Comparați intervalele de valori obținute: dacă intervalele nu se suprapun, atunci rezultatele nu sunt aceleași; dacă se suprapun, ele sunt aceleași pentru o anumită eroare relativă de măsurare.

4. Cum se întocmește un proces-verbal cu privire la munca depusă.

1. Lucrări de laborator Nr. ... .
2. Numele lucrării.
3. Scopul lucrării.
4. Desen (dacă este necesar).
5. Formule ale cantităților necesare și erorile acestora.
6. Tabelul rezultatelor măsurătorilor și calculelor.
7. Rezultatul final, concluzia etc. (după scopul lucrării).

5. Cum se înregistrează rezultatul măsurării.

A \u003d A pr ± ΔA
e = ...%.

Eroare absolută și relativă

Elemente ale teoriei erorilor

Cifre exacte și aproximative

Precizia numărului este, în general, fără îndoială atunci când vine vorba de valorile întregi ale datelor (2 creioane, 100 de arbori). Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, când este imposibil să indicați valoarea exactă a unui număr (de exemplu, la măsurarea unui obiect cu o riglă, luarea rezultatelor de la un dispozitiv etc.), avem de-a face cu date aproximative.

O valoare aproximativă este un număr care diferă ușor de valoarea exactă și o înlocuiește în calcule. Gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea lui exactă se caracterizează prin eroare .

Există următoarele surse principale de erori:

1. Erori în formularea problemei ivit ca urmare a unei descrieri aproximative a unui fenomen real din punct de vedere matematic.

2. Erori de metodă asociat cu dificultatea sau imposibilitatea rezolvarii problemei si inlocuirea acesteia cu una similara, astfel incat sa aplici o metoda de rezolvare cunoscuta si accesibila si sa obtii un rezultat apropiat de cel dorit.

3. Erori fatale, asociat cu valorile aproximative ale datelor inițiale și datorită efectuării calculelor pe numere aproximative.

4. Erori de rotunjire asociat cu rotunjirea valorilor datelor inițiale, rezultate intermediare și finale obținute cu utilizarea instrumentelor de calcul.

Eroare absolută și relativă

Contabilitatea erorilor este un aspect important al aplicării metodelor numerice, deoarece eroarea rezultatului final al rezolvării întregii probleme este produsul interacțiunii tuturor tipurilor de erori. Prin urmare, una dintre sarcinile principale ale teoriei erorilor este de a estima acuratețea rezultatului pe baza acurateței datelor inițiale.

Dacă este un număr exact și este valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.

Cea mai simplă măsură cantitativă a erorii este eroarea absolută, care este definită ca

(1.1.2-1)

După cum se poate observa din formula 1.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, prin mărimea erorii absolute, este departe de a fi întotdeauna posibil să se tragă o concluzie corectă despre calitatea aproximării. De exemplu, dacă , și vorbim despre o piesă de mașină, atunci măsurătorile sunt foarte aspre, iar dacă vorbim despre dimensiunea vasului, atunci sunt foarte precise. În acest sens, se introduce conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este raportată la modulul valorii aproximative ( ).

(1.1.2-2)

Utilizarea erorilor relative este convenabilă, în special, deoarece acestea nu depind de scara valorilor și unităților de date. Eroarea relativă se măsoară în fracții sau procente. Deci, de exemplu, dacă

,A , Acea , si daca Și ,

deci .

Pentru a evalua numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunilor:

· la adunarea și scăderea numerelor erorile absolute ale numerelor se adună

· la înmulțirea și împărțirea numerelor erorile lor relative sunt stivuite una peste alta

· când este ridicat la o putere de un număr aproximativ eroarea sa relativă se înmulțește cu exponent

Exemplul 1.1.2-1. Dată o funcție: . Aflați erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este un număr exact, iar eroarea acestuia este zero.

După ce a determinat valoarea erorii relative, se poate găsi valoarea erorii absolute ca , unde valoarea este calculată prin formula pentru valori aproximative

Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul Și conform formulelor de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile marginale ale formularului sunt evaluate:

(1.1.2-3)

Unde Și - valorile cunoscute, care sunt limitele superioare ale erorilor absolute și relative, altfel se numesc - erorile absolute și relative limitative. Astfel, valoarea exactă se află în:

Dacă valoarea cunoscut, atunci , iar dacă valoarea este cunoscută , Acea

Subiect " ” se învață în clasa a IX-a fluent. Și studenții, de regulă, nu își dezvoltă pe deplin abilitățile de calcul.

Dar cu aplicare practică numărul de eroare relativă , precum și cu eroarea absolută, întâlnim la fiecare pas.

În timpul lucrărilor de reparație am măsurat (în centimetri) grosimea m covor si latime n nuca. Am obtinut urmatoarele rezultate:

m≈0,8 (cu precizie de 0,1);

n≈100,0 (cu precizie de 0,1).

Rețineți că eroarea absolută a fiecăreia dintre aceste măsurători nu este mai mare de 0,1.

Cu toate acestea, 0,1 este o parte solidă a numărului 0,8. Cât desprenumărul 100 reprezintă un h minorast. Aceasta arată că calitatea celei de-a doua măsurători este mult mai mare decât cea a primei.

Pentru evaluarea calității măsurătorii se folosește eroarea relativă a numărului aproximativ.

Definiție.

Eroare relativă a numărului aproximativ (valoare) este raportul dintre eroarea absolută și modulul valorii aproximative.

Am convenit să exprimăm eroarea relativă ca procent.

Exemplul 1

Luați în considerare fracția 14,7 și rotunjiți-o la numere întregi. Vom gasi si noi eroare relativă a numărului aproximativ:

14,7≈15.

Pentru a calcula eroarea relativă, pe lângă valoarea aproximativă, de regulă, trebuie să cunoașteți și eroarea absolută. Eroarea absolută nu este întotdeauna cunoscută. Deci calculează imposibil. Și în acest caz, este suficient să indicați o estimare a erorii relative.

Amintiți-vă de exemplul dat la începutul articolului. Au fost specificate măsurători de grosime m covor si latime n nuca.

Conform rezultatelor măsurătorilor m≈0,8 cu o precizie de 0,1. Putem spune că eroarea absolută de măsurare nu este mai mare de 0,1. Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii erorii absolute la valoarea aproximativă (și aceasta este eroarea relativă) este mai mic sau egal cu 0,1 / 0,8 = 0,125 = 12,5%.

Astfel, eroarea relativă de aproximare este ≤ 12,5%.

În mod similar, calculăm eroarea relativă a aproximării lățimii piuliței; nu este mai mare de 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Se spune că în primul caz, măsurarea s-a făcut cu o precizie relativă de până la 12,5%, iar în al doilea caz, cu o precizie relativă de până la 0,1%.

Rezuma.

Eroare absolută număr aproximativ este diferentaîntre numărul exact Xși valoarea sa aproximativă A.

Dacă modulul diferenței | X – A| mai puțin decât unii D A, apoi valoarea D A numit eroare absolută număr aproximativ A.

Eroare relativă a numărului aproximativ este raportul absolut de eroare D A la modulul unui număr A, acesta esteD A / |A| =d A .

Exemplul 2

Se consideră valoarea aproximativă cunoscută a numărului π≈3,14.

Având în vedere valoarea sa cu o precizie de o sută de miimi, puteți specifica eroarea sa 0,00159 ... (va ajuta să vă amintiți cifrele numărului π )

Eroarea absolută a numărului π este egală cu: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Eroarea relativă a numărului π este: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Exemplul 3

Încercați să vă calculați eroarea relativă a numărului aproximativ √2. Există mai multe moduri de a vă aminti cifrele rădăcinii pătrate a lui 2.

După cum am menționat mai devreme, atunci când comparăm precizia de măsurare a unei valori aproximative, folosim eroarea absolută.

Conceptul de eroare absolută

Eroarea absolută a unei valori aproximative este modulul diferenței dintre valoarea exactă și valoarea aproximativă.
Eroarea absolută poate fi folosită pentru a compara acuratețea aproximărilor acelorași cantități, iar dacă vom compara acuratețea aproximărilor diferitelor cantități, atunci eroarea absolută nu este suficientă.

De exemplu: Lungimea unei foi de hârtie A4 este de (29,7 ± 0,1) cm, iar distanța de la Sankt Petersburg la Moscova este de (650 ± 1) km. Eroarea absolută în primul caz nu depășește un milimetru, iar în al doilea - un kilometru. Întrebarea este de a compara acuratețea acestor măsurători.

Dacă credeți că lungimea foii se măsoară mai precis deoarece eroarea absolută nu depășește 1 mm. Atunci te înșeli. Aceste valori nu pot fi comparate direct. Hai să facem niște raționamente.

La măsurarea lungimii unei foi, eroarea absolută nu depășește 0,1 cm cu 29,7 cm, adică ca procent, este 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% din valoarea măsurată.

Când măsurăm distanța de la Sankt Petersburg la Moscova, eroarea absolută nu depășește 1 km la 650 km, care este 1/650 * 100% = 0,15% din valoarea măsurată ca procent. Vedem că distanța dintre orașe este măsurată mai precis decât lungimea unei foi A4.

Conceptul de eroare relativă

Aici, pentru a evalua calitatea aproximării, este introdus un nou concept de eroare relativă. Eroare relativă este coeficientul de împărțire a erorii absolute la modulul valorilor aproximative ale mărimii măsurate. De obicei, eroarea relativă este exprimată ca procent. În exemplul nostru, avem două erori relative egale cu 0,33% și 0,15%.

După cum probabil ați ghicit, valoarea erorii relative este întotdeauna pozitivă. Aceasta rezultă din faptul că eroarea absolută este întotdeauna pozitivă și o împărțim la modul, iar modulul este întotdeauna pozitiv.

Eroare absolută de măsurare numită valoare determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:

Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a numărului π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0,00159. Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate din ultima cifră a numărului a, atunci ei spun că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52400 este egală cu 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, ca 524·10 2 sau 0,524·10 5 . Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând câte cifre adevărate semnificative conține. La numărarea cifrelor semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.

De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.

Reguli de rotunjire a numerelor. Dacă numărul aproximativ conține caractere suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară, care nu depășește jumătate din unitatea ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire se păstrează doar semnele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în fracții zecimale sunt eliminate (precum și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zero și aruncate este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148935 cu o precizie de măsurare de 50 are o rotunjire de 148900. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este 5 și nu este urmată de nicio cifre sau zerouri, atunci rotunjirea este efectuată la cea mai apropiată cifră pară. număr. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.

Exemplul 2.2. La rotunjirea numărului de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 - 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 - 1284 = 4.

Exemplul 2.3. La rotunjirea numărului de la 197 la 200, eroarea absolută este 200 - 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.

Exemplul 2.4. Vânzătorul cântărește pepenele pe o cântar. În setul de greutăți, cel mai mic este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelor este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.

Erori la rezolvarea problemei pe PC

Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea sunt așa-numitele erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, când se folosesc metode iterative pentru găsirea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care dau o soluție exactă.

Erori de trunchiere

Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă problemei în sine. Poate fi din cauza inexactității în definirea datelor inițiale. De exemplu, dacă sunt specificate dimensiuni în starea problemei, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.

Erori de propagare

Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a problemei. În cursul calculelor, are loc inevitabil o acumulare sau, cu alte cuvinte, propagarea erorilor. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorii depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.

Erori de rotunjire

Acest tip de eroare se datorează faptului că valoarea adevărată a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în aproape același mod în care este afișat un număr pe un calculator.