Fracție zecimală periodică. Postări etichetate „cum se scrie un număr ca o zecimală infinit periodică”

Fracție periodică

o fracție zecimală infinită în care, pornind de la un anumit punct, există doar un anumit grup de cifre repetat periodic. De exemplu, 1,3181818...; Pe scurt, această fracție se scrie astfel: 1.3(18), adică pun perioada între paranteze (și spun: „18 în perioada”). P. se numește pură dacă perioada începe imediat după virgulă, de exemplu 2(71) = 2,7171..., și mixtă dacă după virgulă există numere care preced perioada, de exemplu 1,3(18). Rolul fracțiilor zecimale în aritmetică se datorează faptului că atunci când numerele raționale, adică fracțiile obișnuite (simple), sunt reprezentate prin fracții zecimale, se obțin întotdeauna fie fracții finite, fie periodice. Mai exact: o fracție zecimală finală se obține atunci când numitorul unei fracții simple ireductibile nu conține alți factori primi alții decât 2 și 5; în toate celelalte cazuri, rezultatul este o fracție P. și, în plus, este pură dacă numitorul unei fracții ireductibile date nu conține deloc factorii 2 și 5 și amestecat dacă cel puțin unul dintre acești factori este conținut. în numitor. Orice fracție fracțională poate fi convertită într-o fracție simplă (adică este egală cu un număr rațional). O fracție pură este egală cu o fracție simplă, al cărei numărător este perioada, iar numitorul este reprezentat de numărul 9, scris de câte ori sunt cifre în perioadă; La transformarea unei fracții mixte într-o fracție simplă, numărătorul este diferența dintre numărul reprezentat de numerele care precedă a doua perioadă și numărul reprezentat de numerele care preced prima perioadă; Pentru a compune numitorul, trebuie să scrieți numărul 9 de câte ori există numere în perioadă și să adăugați atâtea zerouri la dreapta câte numere sunt înaintea perioadei. Aceste reguli presupun că P. dat este corect, adică nu conține unități întregi; în caz contrar, întreaga parte primește o atenție specială.

Sunt cunoscute și regulile de determinare a lungimii perioadei unei fracții corespunzătoare unei fracții ordinare date. De exemplu, pentru o fracție a/p, Unde R - număr prim și 1 ≤ A ≤ p- 1, lungimea perioadei este un divizor R - 1. Deci, pentru aproximări cunoscute la un număr (vezi Pi) Perioadele 22/7 și 355/113 sunt egale cu 6 și, respectiv, 112.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Sinonime:

Vedeți ce este „Fracția periodică” în alte dicționare:

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit loc, se repetă periodic, de exemplu, un anumit grup de cifre (perioadă). 0,373737... fracție periodică pură sau 0,253737... fracție periodică mixtă... Dicţionar enciclopedic mare

Fracție, fracție infinită Dicționar de sinonime rusești. substantiv fracție periodică, număr de sinonime: 2 fracție infinită (2) ... Dicţionar de sinonime

O fracție zecimală în care o serie de cifre se repetă în aceeași ordine. De exemplu, 0,135135135... este un p.d. a cărui perioadă este 135 și care este egală cu fracția simplă 135/999 = 5/37. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

O zecimală este o fracție cu numitorul 10n, unde n este un număr natural. Are o formă specială de notație: o parte întreagă în sistemul numeric zecimal, apoi o virgulă și apoi o parte fracțională în sistemul numeric zecimal și numărul de cifre ale părții fracționale ... Wikipedia

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit punct, se repetă periodic un anumit grup de cifre (perioadă); de exemplu, 0,373737... fracție periodică pură sau 0,253737... fracție periodică mixtă. * * * PERIODIC… … Dicţionar enciclopedic

O fracție zecimală nesfârșită în care, începând de la un anumit loc, definiția se repetă periodic. grup de cifre (punt); de exemplu, 0,373737... P. d. pur sau 0,253737... P. d. mixt... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Vezi partea... Dicționar de sinonime rusești și expresii similare. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. fracție fleac, parte; praf, minge, făină, bucshot; număr fracționar Dicționar de sinonime ruse ... Dicţionar de sinonime

zecimală periodică- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez-rus de tehnologia informației. M.: Întreprinderea de stat TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN zecimal circulant zecimal recurent zecimalperiod zecimalperiodic zecimalperiodic zecimal ... Ghidul tehnic al traducătorului

Dacă un număr întreg a este împărțit la un alt număr întreg b, adică se caută un număr x care să îndeplinească condiția bx = a, atunci pot apărea două cazuri: fie în seria numerelor întregi există un număr x care îndeplinește această condiție, fie acesta se dovedește,…… Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

O fracție al cărei numitor este o putere întreagă de 10. Fracțiile se scriu fără numitor, separând câte cifre din numărător la dreapta cu virgulă, câte zerouri sunt în numitor. De exemplu, într-o astfel de înregistrare, partea din stânga... ... Marea Enciclopedie Sovietică

zecimale infinite

Decimale după virgulă zecimală pot conține un număr infinit de cifre.

zecimale infinite- acestea sunt fracții zecimale, care conțin un număr infinit de cifre.

O fracție zecimală infinită este aproape imposibil de scris complet, așa că atunci când le scriu, acestea sunt limitate doar la un anumit număr finit de cifre după virgulă zecimală, după care pun o elipsă, ceea ce indică o succesiune infinită de cifre.

Exemplul 1

De exemplu, $0,443340831\dots ; 3,1415935432\dots ; 135,126730405\dots ; 4,33333333333\dots ; 676,68349349\dots$.

Să ne uităm la ultimele două zecimale infinite. În fracția $4.33333333333\dots$ cifra $3$ se repetă la nesfârșit, iar în fracția $676.68349349\dots$ grupul de cifre $3$, $4$ și $9$ se repetă de la a treia zecimală. Astfel de fracții zecimale infinite se numesc periodice.

zecimale periodice

zecimale periodice(sau fractii periodice) sunt fracții zecimale infinite, în înregistrarea cărora un număr sau un grup de numere, numit perioada fracției, se repetă la nesfârșit de la o anumită zecimală).

Exemplul 2

De exemplu, perioada fracției periodice $4,33333333333\dots$ este cifra $3$, iar perioada fracției $676,68349349\dots$ este grupul de cifre $349$.

Pentru concizie în scrierea fracțiilor zecimale periodice infinite, se obișnuiește să scrieți punctul o dată, încadrându-l între paranteze. De exemplu, fracția periodică $4,33333333333\dots$ este scrisă $4,(3)$, iar fracția periodică $676,68349349\dots$ este scrisă $676,68(349)$.

Fracțiile zecimale periodice infinite sunt obținute prin conversia fracțiilor comune ai căror numitori conțin factori primi, alții decât $2$ și $5$, în fracții zecimale.

Orice fracție zecimală finită (și întreg) poate fi scrisă ca o fracție periodică prin adăugarea unui număr infinit de cifre $0$ la dreapta.

Exemplul 3

De exemplu, zecimala finită $45,12$ ar putea fi scrisă ca o fracție periodică ca $45,12(0)$, iar întregul $(74)$ ca zecimală periodică infinită ar fi $74(0)$.

În cazul fracțiilor periodice care au o perioadă de 9, utilizați o tranziție la o altă notație a unei fracții periodice cu o perioadă de $0$. Doar în acest scop, perioada 9 este înlocuită cu perioada $0$, iar valoarea următoarei cifrei mai mari este mărită cu $1$.

Exemplul 4

De exemplu, fracția periodică $7,45(9)$ poate fi înlocuită cu fracția periodică $7,46(0)$ sau cu fracția zecimală echivalentă $7,46$.

Fracțiile periodice zecimale infinite sunt reprezentate prin numere raționale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi convertită într-o fracție comună și orice fracție comună poate fi reprezentată ca o fracție periodică.

Conversia fracțiilor în zecimale periodice finite și infinite

Nu numai fracțiile obișnuite cu numitori $10, 100, \dots$ pot fi convertite într-o fracție zecimală.

În unele cazuri, fracția comună inițială poate fi ușor redusă la un numitor de $10$, $100$ sau $1\000$, după care fracția rezultată poate fi reprezentată ca o fracție zecimală.

Exemplul 5

Pentru a converti fracția $\frac(3)(5)$ într-o fracție cu numitorul de $10$, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu $2$, după care obținem $\frac(6)( 10)$, care nu este greu de tradus în fracția zecimală $0,6$.

Pentru alte cazuri, se folosește o altă metodă de conversie a unei fracții comune într-o zecimală):

numărătorul trebuie înlocuit cu o fracție zecimală cu orice număr de zerouri după virgulă;

împărțiți numărătorul fracției la numitor (împărțirea se face ca o împărțire a numerelor naturale într-o coloană, iar în cât se pune un punct zecimal după sfârșitul împărțirii întregii părți a dividendului).

Exemplul 6

Convertiți fracția $\frac(621)(4)$ într-o zecimală.

Soluţie.

Să reprezentăm numărul $621$ la numărător ca o fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, adăugați un punct zecimal și, pentru început, două zerouri după acesta. Apoi, dacă este necesar, puteți adăuga mai multe zerouri. Deci, am primit 621,00 USD.

Să împărțim numărul $621.00$ la $4$ într-o coloană:

Poza 1.

Diviziunea a atins punctul zecimal al dividendului, iar restul nu a fost zero. În acest caz, un punct zecimal este plasat în cât și împărțirea continuă într-o coloană, indiferent de virgule:

Figura 2.

Restul este zero, ceea ce înseamnă că împărțirea sa încheiat.

Răspuns: $155,25$.

Este posibil ca la împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții obișnuite, restul să nu rezulte în $0$. În acest caz, împărțirea poate fi continuată pe termen nelimitat. Începând de la un moment dat, resturile din împărțire se repetă periodic, ceea ce înseamnă că se repetă și numerele din coeficient. Din aceasta putem concluziona că această fracție obișnuită va fi convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

Exemplul 7

Convertiți fracția $\frac(19)(44)$ într-o zecimală.

Soluţie.)

Pentru a converti o fracție comună într-o zecimală, efectuați împărțirea lungă:

Figura 3.

În împărțire se repetă restul $8$ și $36$, iar în cât se repetă și numerele $1$ și $8$. Deci, fracția ordinară originală $\frac(19)(44)$ a fost convertită într-o fracție periodică $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$.

Răspuns: $0,43(18)$.

Concluzie generală despre transformarea fracțiilor obișnuite în zecimale:

dacă numitorul poate fi descompus în factori primi, printre care vor fi prezente doar numerele $2$ și $5$, atunci o astfel de fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;

dacă, pe lângă numerele $2$ și $5$, extinderea numitorului conține și alte numere prime, atunci o astfel de fracție este convertită într-o fracție periodică zecimală infinită.

Se întâmplă că, pentru confortul calculelor, trebuie să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală și invers. Vom vorbi despre cum să facem acest lucru în acest articol. Să ne uităm la regulile de conversie a fracțiilor obișnuite în zecimale și invers și să dăm și exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vom lua în considerare transformarea fracțiilor obișnuite în zecimale, urmând o anumită succesiune. Mai întâi, să ne uităm la modul în care fracțiile obișnuite cu un numitor care este un multiplu de 10 sunt convertite în zecimale: 10, 100, 1000 etc. Fracțiile cu astfel de numitori sunt, de fapt, o notație mai greoaie a fracțiilor zecimale.

În continuare, ne vom uita la cum să convertim fracții obișnuite cu orice numitor, nu doar multipli de 10, în fracții zecimale. Rețineți că atunci când convertiți fracțiile obișnuite în zecimale, nu se obțin numai zecimale finite, ci și fracții zecimale periodice infinite.

Să începem!

Translația fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, 1000 etc. la zecimale

În primul rând, să presupunem că unele fracții necesită o anumită pregătire înainte de a se transforma în formă zecimală. Ce este? Înainte de numărul din numărător, trebuie să adăugați atât de multe zerouri, astfel încât numărul de cifre din numărător să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, pentru fracția 3100, numărul 0 trebuie adăugat o dată la stânga lui 3 la numărător. Fracția 610, conform regulii menționate mai sus, nu necesită modificare.

Să ne uităm la încă un exemplu, după care vom formula o regulă care este deosebit de convenabilă de utilizat la început, în timp ce nu există prea multă experiență în conversia fracțiilor. Deci, fracția 1610000 după adăugarea zerourilor în numărător va arăta ca 001510000.

Cum se transformă o fracție comună cu numitorul 10, 100, 1000 etc. la zecimală?

Regula pentru transformarea fracțiilor proprii obișnuite în zecimale

1. Notează 0 și pune o virgulă după el.
2. Notăm numărul de la numărător care a fost obținut după adăugarea zerourilor.

Acum să trecem la exemple.

Exemplul 1: Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția 39.100 într-o zecimală.

În primul rând, ne uităm la fracție și vedem că nu este nevoie să efectuăm nicio acțiune pregătitoare - numărul de cifre din numărător coincide cu numărul de zerouri din numitor.

Urmând regula, scriem 0, punem o zecimală după el și scriem numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0,39.

Să ne uităm la soluția unui alt exemplu pe această temă.

Exemplul 2. Conversia fracțiilor în zecimale

Să scriem fracția 105 10000000 ca zecimală.

Numărul de zerouri la numitor este 7, iar numărătorul are doar trei cifre. Să mai adăugăm 4 zerouri înaintea numărului din numărător:

0000105 10000000

Acum notăm 0, punem un punct zecimal după el și notăm numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0,0000105.

Fracțiile luate în considerare în toate exemplele sunt fracții proprii obișnuite. Dar cum transformi o fracție improprie într-o zecimală? Să spunem imediat că nu este nevoie de pregătire cu adăugarea de zerouri pentru astfel de fracții. Să formulăm o regulă.

Regula pentru transformarea fracțiilor improprie obișnuite în zecimale

1. Notează numărul care se află la numărător.
2. Folosim virgulă zecimală pentru a separa atâtea cifre din dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Mai jos este un exemplu de utilizare a acestei reguli.

Exemplul 3. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția 56888038009 100000 dintr-o fracție neregulată obișnuită la o zecimală.

Mai întâi, să notăm numărul de la numărător:

Acum, în dreapta, separăm cinci cifre cu un punct zecimal (numărul de zerouri din numitor este cinci). Primim:

Următoarea întrebare care apare în mod natural este: cum se transformă un număr mixt într-o fracție zecimală dacă numitorul părții sale fracționale este numărul 10, 100, 1000 etc. Pentru a converti un astfel de număr într-o fracție zecimală, puteți folosi următoarea regulă.

Regula pentru conversia numerelor mixte în zecimale

1. Pregătim partea fracțională a numărului, dacă este necesar.
2. Notăm întreaga parte a numărului original și punem o virgulă după el.
3. Notăm numărul de la numărătorul părții fracționale împreună cu zerourile adăugate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 4: Conversia numerelor mixte în zecimale

Să convertim numărul mixt 23 17 10000 într-o fracție zecimală.

În partea fracționară avem expresia 17 10000. Să o pregătim și să mai adăugăm două zerouri în stânga numărătorului. Primim: 0017 10000.

Acum notăm întreaga parte a numărului și punem o virgulă după el: 23, . .

După virgulă zecimală, notați numărul de la numărător împreună cu zerourile. Obtinem rezultatul:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversia fracțiilor ordinare în fracții periodice finite și infinite

Desigur, puteți converti în zecimale și fracții obișnuite cu un numitor diferit de 10, 100, 1000 etc.

Adesea, o fracție poate fi redusă cu ușurință la un nou numitor și apoi utilizați regula stabilită în primul paragraf al acestui articol. De exemplu, este suficient să înmulțim numărătorul și numitorul fracției 25 cu 2 și obținem fracția 410, care este ușor convertită la forma zecimală 0,4.

Cu toate acestea, această metodă de conversie a unei fracții într-o zecimală nu poate fi întotdeauna utilizată. Mai jos vom lua în considerare ce să facem dacă este imposibil să aplicați metoda luată în considerare.

O modalitate fundamental nouă de a converti o fracție într-o zecimală este împărțirea numărătorului la numitor cu o coloană. Această operație este foarte asemănătoare cu împărțirea numerelor naturale cu o coloană, dar are propriile sale caracteristici.

La împărțire, numărătorul este reprezentat ca o fracție zecimală - o virgulă este plasată în dreapta ultimei cifre a numărătorului și se adaugă zerouri. În câtul rezultat, un punct zecimal este plasat atunci când se termină împărțirea părții întregi a numărătorului. Cum funcționează exact această metodă va deveni clar după ce ați analizat exemplele.

Exemplul 5. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția comună 621 4 în formă zecimală.

Să reprezentăm numărul 621 de la numărător ca o fracție zecimală, adăugând câteva zerouri după virgulă. 621 = 621,00

Acum să împărțim 621,00 la 4 folosind o coloană. Primii trei pași de împărțire vor fi la fel ca atunci când împărțim numerele naturale și vom obține.

Când ajungem la virgulă zecimală în dividend, iar restul este diferit de zero, punem virgulă zecimală în coeficient și continuăm împărțirea, fără să mai acordăm atenție virgulei din dividend.

Ca rezultat, obținem fracția zecimală 155, 25, care este rezultatul inversării fracției comune 621 4

621 4 = 155 , 25

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida materialul.

Exemplul 6. Conversia fracțiilor în zecimale

Să inversăm fracția comună 21 800.

Pentru a face acest lucru, împărțiți fracția 21.000 într-o coloană cu 800. Împărțirea întregii părți se va încheia la prima etapă, așa că imediat după aceasta punem o virgulă zecimală în coeficient și continuăm împărțirea, fără să acordăm atenție virgulei din dividend până când obținem un rest egal cu zero.

Ca rezultat, am obținut: 21.800 = 0,02625.

Dar ce se întâmplă dacă, la împărțire, tot nu obținem un rest de 0. În astfel de cazuri, împărțirea poate fi continuată la nesfârșit. Cu toate acestea, începând de la o anumită etapă, reziduurile se vor repeta periodic. În consecință, numerele din coeficient vor fi repetate. Aceasta înseamnă că o fracție obișnuită este convertită într-o fracție periodică infinită zecimală. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul 7. Conversia fracțiilor în zecimale

Să convertim fracția comună 19 44 într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, efectuăm împărțirea pe coloană.

Vedem că în timpul divizării, resturile 8 și 36 se repetă. În acest caz, numerele 1 și 8 se repetă în coeficient. Aceasta este perioada în fracție zecimală. La înregistrare, aceste numere sunt plasate între paranteze.

Astfel, fracția ordinară inițială este convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Să vedem o fracție ordinară ireductibilă. Ce formă va lua? Care fracții ordinare sunt convertite în zecimale finite și care sunt convertite în zecimale infinite periodice?

În primul rând, să presupunem că dacă o fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000..., atunci va avea forma unei fracții zecimale finale. Pentru ca o fracție să fie redusă la unul dintre acești numitori, numitorul ei trebuie să fie un divizor al cel puțin unuia dintre numerele 10, 100, 1000 etc. Din regulile de factorizare a numerelor în factori primi rezultă că divizorul numerelor este 10, 100, 1000 etc. atunci când sunt factorizați în factori primi, trebuie să conțină numai numerele 2 și 5.

Să rezumăm ce s-a spus:

1. O fracție comună poate fi redusă la o zecimală finală dacă numitorul ei poate fi factorizat în factori primi de 2 și 5.
2. Dacă, pe lângă numerele 2 și 5, există și alte numere prime în expansiunea numitorului, fracția se reduce la forma unei fracții zecimale periodice infinite.

Să dăm un exemplu.

Exemplul 8. Conversia fracțiilor în zecimale

Care dintre aceste fracții 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 este convertită într-o fracție zecimală finală și care - doar într-una periodică. Să răspundem la această întrebare fără a converti direct o fracție într-o zecimală.

Fracția 47 20, după cum este ușor de văzut, prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu 5 se reduce la un nou numitor 100.

47 20 = 235 100. Din aceasta concluzionăm că această fracție este convertită într-o fracție zecimală finală.

Factorizarea numitorului fracției 7 12 dă 12 = 2 · 2 · 3. Deoarece factorul prim 3 este diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci va avea forma unei fracții periodice infinite.

Fracția 21 56, în primul rând, trebuie redusă. După reducerea cu 7, obținem fracția ireductibilă 3 8, al cărei numitor este factorizat pentru a da 8 = 2 · 2 · 2. Prin urmare, este o fracție zecimală finală.

În cazul fracției 31 17, factorizarea numitorului este însuși numărul prim 17. În consecință, această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

O fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o fracție zecimală infinită și neperiodică

Mai sus am vorbit doar despre fracții periodice finite și infinite. Dar poate orice fracție obișnuită să fie convertită într-o fracție neperiodică infinită?

Noi răspundem: nu!

Important!

Când convertiți o fracție infinită într-o zecimală, rezultatul este fie o zecimală finită, fie o zecimală periodică infinită.

Restul unei diviziuni este întotdeauna mai mic decât divizorul. Cu alte cuvinte, conform teoremei de divizibilitate, dacă împărțim un număr natural la numărul q, atunci restul diviziunii în orice caz nu poate fi mai mare decât q-1. După finalizarea împărțirii, este posibilă una dintre următoarele situații:

1. Obținem un rest de 0 și aici se termină împărțirea.
2. Obținem un rest, care se repetă la împărțirea ulterioară, rezultând o fracție periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni atunci când convertiți o fracție într-o zecimală. Să mai spunem că lungimea perioadei (numărul de cifre) într-o fracție periodică infinită este întotdeauna mai mică decât numărul de cifre din numitorul fracției ordinare corespunzătoare.

Conversia zecimale în fracții

Acum este timpul să ne uităm la procesul invers de conversie a unei fracții zecimale într-o fracție comună. Să formulăm o regulă de traducere care să includă trei etape. Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

1. În numărător scriem numărul din fracția zecimală inițială, eliminând virgula și toate zerourile din stânga, dacă există.
2. La numitor scriem unul urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă în fracția zecimală inițială.
3. Dacă este necesar, reduceți fracția obișnuită rezultată.

Să ne uităm la aplicarea acestei reguli folosind exemple.

Exemplul 8. Conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

Să ne imaginăm numărul 3,025 ca o fracție obișnuită.

1. Scriem fracția zecimală însăși la numărător, eliminând virgula: 3025.
2. În numitor scriem unul, iar după el trei zerouri - exact câte cifre sunt conținute în fracția inițială după virgulă: 3025 1000.
3. Fracția rezultată 3025 1000 poate fi redusă cu 25, rezultând: 3025 1000 = 121 40.

Exemplul 9. Conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite

Să convertim fracția 0,0017 din zecimală în ordinară.

1. La numărător scriem fracția 0, 0017, eliminând virgula și zerourile din stânga. Se va dovedi a fi 17.
2. Scriem unul la numitor, iar după el scriem patru zerouri: 17 10000. Această fracție este ireductibilă.

Dacă o fracție zecimală are o parte întreagă, atunci o astfel de fracție poate fi convertită imediat într-un număr mixt. Cum să o facă?

Să mai formulăm o regulă.

Regula pentru conversia zecimalelor în numere mixte.

1. Numărul dinaintea punctului zecimal din fracție este scris ca parte întreagă a numărului mixt.
2. În numărător scriem numărul după virgulă zecimală din fracție, eliminând zerourile din stânga dacă există.
3. La numitorul părții fracționale adăugăm unul și atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă zecimală din partea fracțională.

Să luăm un exemplu

Exemplul 10. Conversia unei zecimale într-un număr mixt

Să ne imaginăm fracția 155, 06005 ca un număr mixt.

1. Scriem numărul 155 ca parte întreagă.
2. La numărător scriem numerele după virgulă, eliminând zero.
3. Scriem unu și cinci zerouri în numitor

Să învățăm un număr mixt: 155 6005 100000

Partea fracțională poate fi redusă cu 5. O scurtăm și obținem rezultatul final:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversia infinitelor zecimale periodice în fracții

Să ne uităm la exemple despre cum să convertim fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite. Înainte de a începe, să clarificăm: orice fracție zecimală periodică poate fi convertită într-o fracție obișnuită.

Cel mai simplu caz este atunci când perioada fracției este zero. O fracție periodică cu o perioadă zero este înlocuită cu o fracție zecimală finală, iar procesul de inversare a unei astfel de fracțiuni se reduce la inversarea fracției zecimale finale.

Exemplul 11. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să inversăm fracția periodică 3, 75 (0).

Eliminând zerourile din dreapta, obținem fracția zecimală finală 3,75.

Convertind această fracție într-o fracție obișnuită folosind algoritmul discutat în paragrafele precedente, obținem:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ce se întâmplă dacă perioada fracției este diferită de zero? Partea periodică trebuie considerată ca suma termenilor unei progresii geometrice, care scade. Să explicăm asta cu un exemplu:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Există o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite. Dacă primul termen al progresiei este b și numitorul q este astfel încât 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Să ne uităm la câteva exemple folosind această formulă.

Exemplul 12. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să avem o fracție periodică 0, (8) și trebuie să o transformăm într-o fracție obișnuită.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Aici avem o progresie geometrică descrescătoare infinită cu primul termen 0, 8 și numitorul 0, 1.

Să aplicăm formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Aceasta este fracția ordinară necesară.

Pentru a consolida materialul, luați în considerare un alt exemplu.

Exemplul 13. Transformarea unei fracții zecimale periodice într-o fracție comună

Să inversăm fracția 0, 43 (18).

Mai întâi scriem fracția ca o sumă infinită:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Să ne uităm la termenii dintre paranteze. Această progresie geometrică poate fi reprezentată după cum urmează:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Adăugăm rezultatul la fracția finală 0, 43 = 43 100 și obținem rezultatul:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

După adăugarea acestor fracții și reducerea, obținem răspunsul final:

0 , 43 (18) = 19 44

Pentru a încheia acest articol, vom spune că fracțiile zecimale infinite neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Operațiunea de divizare presupune participarea mai multor componente principale. Primul dintre ele este așa-numitul dividend, adică un număr care face obiectul procedurii de împărțire. Al doilea este divizorul, adică numărul cu care se realizează împărțirea. Al treilea este coeficientul, adică rezultatul operației de împărțire a dividendului la divizor.

Rezultatul diviziunii

Cel mai simplu rezultat care poate fi obținut atunci când se folosesc două numere întregi pozitive ca dividend și divizor este un alt întreg pozitiv. De exemplu, la împărțirea lui 6 la 2, câtul va fi egal cu 3. Această situație este posibilă dacă dividendul este divizor, adică este împărțit la acesta fără rest.

Cu toate acestea, există și alte opțiuni atunci când este imposibil să efectuați o operațiune de divizare fără un rest. În acest caz, un număr non-întreg devine un coeficient, care poate fi scris ca o combinație între un număr întreg și o parte fracțională. De exemplu, când împărțim 5 la 2, câtul este 2,5.

Număr în perioadă

Una dintre opțiunile care poate rezulta dacă dividendul nu este un multiplu al divizorului este așa-numitul număr în punct. Poate apărea ca rezultat al împărțirii dacă câtul se dovedește a fi un set de numere care se repetă la nesfârșit. De exemplu, un număr dintr-o perioadă poate apărea la împărțirea numărului 2 la 3. În această situație, rezultatul, ca o fracție zecimală, va fi exprimat ca o combinație a unui număr infinit de 6 cifre după virgulă.

Pentru a indica rezultatul unei astfel de împărțiri, a fost inventat un mod special de a scrie numere într-o perioadă: un astfel de număr este indicat prin plasarea unei cifre care se repetă între paranteze. De exemplu, rezultatul împărțirii a 2 la 3 ar fi scris folosind această metodă ca 0,(6). Această notație este aplicabilă și dacă doar o parte din numărul rezultat din împărțire se repetă.

De exemplu, la împărțirea 5 la 6, rezultatul va fi un număr periodic de forma 0,8(3). Utilizarea acestei metode, în primul rând, este mai eficientă în comparație cu încercarea de a scrie toate sau o parte din cifrele unui număr într-o perioadă și, în al doilea rând, are o precizie mai mare în comparație cu o altă metodă de transmitere a unor astfel de numere - rotunjirea și, în plus, vă permite să distingeți numerele în perioada de o fracție zecimală exactă cu valoarea corespunzătoare atunci când comparați mărimea acestor numere. Deci, de exemplu, este evident că 0.(6) este semnificativ mai mare decât 0.6.