Cel mai puțin comun calculator multiplu de coloane online. Cel mai mic multiplu comun (LCM) – Definiție, exemple și proprietăți

Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este determinată de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dovada.

Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a·k este divizibil cu b.

Să notăm mcd(a, b) ca d. Atunci putem scrie egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere prime relativ. În consecință, condiția obținută în paragraful anterior că a · k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 · d · k se împarte la b 1 · d , iar aceasta, datorită proprietăților de divizibilitate, este echivalentă cu condiția că a 1 · k este divizibil cu b 1 .

De asemenea, trebuie să notați două corolare importante din teorema luată în considerare.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acesta este într-adevăr cazul, deoarece orice multiplu comun al lui M al numerelor a și b este determinat de egalitatea M=LMK(a, b)·t pentru o valoare întreagă t.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor prime pozitive reciproce a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt relativ primi, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea secvenţială a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă: a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multiplii comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii comuni ai numărului m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1, a 2, ..., a k este m k.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. si altele.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.H. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii la fizică şi matematică. specialităţile institutelor pedagogice.

Al doilea număr: b=

Separator de mii Fără separator de spațiu „´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun mcd( A,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( A,b)=468

Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun(GCD) a acestor numere. Notat cu mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun LCM a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Numerele întregi a și b sunt numite prim reciproc, dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive A 1 și A 2 1). Este necesar să se găsească divizorul comun al acestor numere, adică. găsi un astfel de număr λ , care împarte numerele A 1 și A 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va fi înțeles ca un număr întreg.

Lăsa A 1 ≥ A 2 si lasa

Unde m 1 , A 3 sunt niște numere întregi, A 3 <A 2 (restul diviziunii A 1 per A 2 ar trebui să fie mai puțin A 2).

Să ne prefacem că λ desparte A 1 și A 2 atunci λ desparte m 1 A 2 și λ desparte A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Enunțul 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Testul de divizibilitate”). Rezultă că fiecare divizor comun A 1 și A 2 este divizorul comun A 2 și A 3. Reversul este de asemenea adevărat dacă λ divizor comun A 2 și A 3 atunci m 1 A 2 și A 1 =m 1 A 2 +A 3 este de asemenea divizibil cu λ . Prin urmare divizorul comun A 2 și A 3 este, de asemenea, un divizor comun A 1 și A 2. Deoarece A 3 <A 2 ≤A 1, atunci putem spune că soluția la problema găsirii divizorului comun al numerelor A 1 și A 2 redus la problema mai simplă a găsirii divizorului comun al numerelor A 2 și A 3 .

Dacă A 3 ≠0, atunci putem împărți A 2 per A 3. Apoi

,

Unde m 1 și A 4 sunt niște numere întregi, ( A 4 rest din diviziune A 2 per A 3 (A 4 <A 3)). Prin raționament similar ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor A 3 și A 4 coincide cu divizori comuni ai numerelor A 2 și A 3 și, de asemenea, cu divizori comuni A 1 și A 2. Deoarece A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sunt numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între A 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziei A non A n+1 va fi egal cu zero ( A n+2 =0).

.

Fiecare divizor comun λ numere A 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor de numere A 2 și A 3 , A 3 și A 4 , .... A n și A n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor A n și A n+1 sunt și divizori de numere A n−1 și A n , .... , A 2 și A 3 , A 1 și A 2. Dar divizorul comun al numerelor A n și A n+1 este un număr A n+1, deoarece A n și A n+1 sunt divizibile cu A n+1 (rețineți că A n+2 =0). Prin urmare A n+1 este, de asemenea, un divizor de numere A 1 și A 2 .

Rețineți că numărul A n+1 este cel mai mare divizor de numere A n și A n+1 , deoarece cel mai mare divizor A n+1 este el însuși A n+1. Dacă A n+1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor A 1 și A 2. Număr A se numește n+1 cel mai mare divizor comun numere A 1 și A 2 .

Numerele A 1 și A 2 poate fi numere pozitive sau negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero este nedefinit.

Algoritmul de mai sus este numit Algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împărțiți numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiție 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime, neavând divizor comun.

Teorema 1. Dacă A 1 și A 2 numere coprime și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ Și A 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 și deci A n și A n+1 este 1. Adică A n+1 =1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , Apoi

.

Fie divizorul comun A 1 λ Și A 2 da δ . Apoi δ este inclus ca multiplicator în A 1 λ , m 1 A 2 λ si in A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Mai departe δ este inclus ca multiplicator în A 2 λ Și m 2 A 3 λ , și, prin urmare, este un factor în A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Raționând astfel, suntem convinși că δ este inclus ca multiplicator în A n−1 λ Și m n−1 A n λ , și deci în A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Deoarece A n+1 =1, atunci δ este inclus ca multiplicator în λ . Prin urmare, numărul δ este divizorul comun al numerelor λ Și A 2 .

Să luăm în considerare cazurile speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lăsa AȘi c Numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

Într-adevăr. Din teorema 1 acȘi b au aceiași divizori comuni ca cȘi b. Dar cifrele cȘi b relativ simplu, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acȘi b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acȘi b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lăsa AȘi b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

Într-adevăr. Din condiția de aprobare akȘi b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bȘi k. Prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din prima serie este prim în raportul fiecărui număr din a doua serie. Apoi produsul

Trebuie să găsiți numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă un număr este divizibil cu A 1, atunci are forma sa 1 unde s oarecare număr. Dacă q este cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cei mai mici multipli comuni ai numerelor A 1 și A 2 .

A 1 și A 2 sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2:

Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu de numere A 1 , A 2 , A 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε Și A 3 și înapoi. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε Și A 3 da ε 1 . Apoi, multipli de numere A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și A 4 . Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și A 4 da ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul special când numerele A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 , A 2, după cum se arată mai sus, are forma (3). În continuare, de când A 3 prim în raport cu numerele A 1 , A 2 atunci A 3 număr prim A 1 · A 2 (Corolarul 1). Înseamnă cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 ,A 2 ,A 3 este un număr A 1 · A 2 · A 3. Raționând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Afirmație 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este egal cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.

Afirmație 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este de asemenea divizibil cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.

Tema „Numere multiple” este studiată în clasa a V-a de gimnaziu. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile de calcul matematic scris și oral. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se practică tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural și capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoașterea acesteia poate fi aplicată la rezolvarea exemplelor cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. El însuși este considerat cel mai mic. Multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Trebuie să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al lui 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

Există cazuri speciale când se calculează LOC.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun a 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre acestea. doua numere.

LCM(80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM(6, 7) = 42.

Să ne uităm la ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ele împart un multiplu al unui număr fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt factori perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Un alt exemplu implică determinarea dacă 9 este un divizor al lui 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 deoarece răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin faptul că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplu însuși este divizibil cu acest număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine AȘi b.

Și anume: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Factorim aceste numere în factori primi și le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun?

Trebuie să găsim fiecare factor al fiecăruia dintre cele două numere pentru care găsim cel mai mic multiplu comun și apoi să înmulțim unul cu celălalt factorii care coincid în primul și al doilea număr. Rezultatul produsului va fi multiplu necesar.

De exemplu, avem numerele 3 și 5 și trebuie să găsim LCM (cel mai mic multiplu comun). Ne trebuie să se înmulțeascăși trei și cinci pentru toate numerele incepand de la 1 2 3...și așa mai departe până când vedem același număr în ambele locuri.

Înmulțiți trei și obțineți: 3, 6, 9, 12, 15

Înmulțiți cu cinci și obțineți: 5, 10, 15

Metoda descompunerii în factori primi este cea mai clasică metodă pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (MCM) al mai multor numere. Această metodă este demonstrată clar și simplu în următorul videoclip:

Adunarea, înmulțirea, împărțirea, reducerea la un numitor comun și alte operații aritmetice sunt o activitate foarte interesantă; exemplele care ocupă o coală întreagă de hârtie sunt deosebit de fascinante.

Deci, găsiți multiplu comun a două numere, care va fi cel mai mic număr cu care sunt împărțite cele două numere. Aș dori să remarc că nu este necesar să recurgeți la formule în viitor pentru a găsi ceea ce căutați, dacă puteți număra în capul dvs. (și acest lucru poate fi antrenat), atunci numerele în sine apar în cap și apoi fracțiunile crapă ca nucile.

Pentru început, să învățăm că puteți înmulți două numere unul cu celălalt, apoi reduceți această cifră și împărțiți alternativ la aceste două numere, așa că vom găsi cel mai mic multiplu.

De exemplu, două numere 15 și 6. Înmulțiți și obțineți 90. Acesta este în mod clar un număr mai mare. Mai mult decât atât, 15 este divizibil cu 3 și 6 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că împărțim și 90 la 3. Obținem 30. Încercăm 30 împărțim 15 egal cu 2. Și 30 împărțim 6 egal cu 5. Deoarece 2 este limita, se întoarce arătați că cel mai mic multiplu pentru numere este 15 și 6 va fi 30.

Cu numere mai mari va fi puțin mai dificil. dar dacă știi ce numere dau rest zero la împărțire sau înmulțire, atunci, în principiu, nu există mari dificultăți.

• Cum să găsiți NOC

  Iată un videoclip care vă va oferi două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). După ce ați exersat folosind prima dintre metodele sugerate, puteți înțelege mai bine care este cel mai mic multiplu comun.

Vă prezint o altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun. Să ne uităm la asta cu un exemplu clar.

Trebuie să găsiți LCM a trei numere simultan: 16, 20 și 28.

• Reprezentăm fiecare număr ca produs al factorilor săi primi:
• Scriem puterile tuturor factorilor primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selectăm toți divizorii primi (multiplicatorii) cu cele mai mari puteri, îi înmulțim și găsim LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Astfel, rezultatul calculului a fost numărul 560. Este cel mai mic multiplu comun, adică este divizibil cu fiecare dintre cele trei numere fără rest.

Cel mai mic multiplu comun este un număr care poate fi împărțit în mai multe numere date fără a lăsa rest. Pentru a calcula o astfel de cifră, trebuie să luați fiecare număr și să îl descompuneți în factori simpli. Acele numere care se potrivesc sunt eliminate. Lasă pe toți unul câte unul, înmulțiți-i pe rând și obțineți cel dorit - cel mai mic multiplu comun.

NOC, sau cel mai mic multiplu comun, este cel mai mic număr natural de două sau mai multe numere care este divizibil cu fiecare dintre numerele date fără rest.

Iată un exemplu despre cum să găsești cel mai mic multiplu comun al lui 30 și 42.

• Primul pas este factorizarea acestor numere în factori primi.

Pentru 30 este 2 x 3 x 5.

Pentru 42, acesta este 2 x 3 x 7. Deoarece 2 și 3 sunt în expansiunea numărului 30, le tăiem.

• Notăm factorii care sunt incluși în extinderea numărului 30. Acesta este 2 x 3 x 5.
• Acum trebuie să le înmulțim cu factorul lipsă, pe care îl avem atunci când extindem 42, care este 7. Obținem 2 x 3 x 5 x 7.
• Găsim cu ce este egal 2 x 3 x 5 x 7 și obținem 210.

Ca rezultat, aflăm că LCM al numerelor 30 și 42 este 210.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să efectuați mai mulți pași simpli în secvență. Să ne uităm la asta folosind două numere ca exemplu: 8 și 12

1. Factorăm ambele numere în factori primi: 8=2*2*2 și 12=3*2*2
2. Reducem aceiași factori ai unuia dintre numere. În cazul nostru, 2 * 2 coincid, să le reducem pentru numărul 12, apoi 12 va mai avea un factor: 3.
3. Aflați produsul tuturor factorilor rămași: 2*2*2*3=24

Verificând, ne asigurăm că 24 este divizibil atât cu 8, cât și cu 12, iar acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. Iată-ne a găsit cel mai mic multiplu comun.

Voi încerca să explic folosind ca exemplu numerele 6 și 8. Cel mai mic multiplu comun este un număr care poate fi împărțit la aceste numere (în cazul nostru, 6 și 8) și nu va mai rămâne niciun rest.

Deci, începem mai întâi să înmulțim 6 cu 1, 2, 3 etc. și 8 cu 1, 2, 3 etc.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și vom acorda o atenție deosebită rezolvării exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Cu ce ​​este LCM(68, 34) egal?

Soluţie.

Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în descompunerea numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .

Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Exemplu.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Prin urmare, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Răspuns:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 ​​și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din extinderea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din extinderea numărului. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Exemplu.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie.

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.