Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y \u003d f (x), axa O x și liniile drepte x \u003d a și x \u003d b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:

Luați în considerare câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Soluţie. Să construim o figură, aria căreia va trebui să o calculăm.

y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă de vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită folosind formula .

În ceea ce privește această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de revoluție

Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.

Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul dorit este egal cu

Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotirea unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: trapez integral, curbiliniu, zonă de figuri delimitată de crini

Echipamente: tabla alba, calculator, proiector multimedia

Tipul de lecție: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

• educational: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să formeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
• în curs de dezvoltare: formarea independenței gândirii elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
• educational: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figurilor plate

Metoda de predare: explicative și ilustrative.

În timpul orelor

În clasele anterioare, am învățat cum să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați aria figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbiliniu este o figură delimitată de graficul funcției, ( w.m.), Drept x = aȘi x = b si abscisa

Diferite tipuri de trapezi curbilinii ( slide 2)

Luăm în considerare diferite tipuri de trapeze curbilinii și observăm: una dintre drepte este degenerată în punct, rolul funcției de limitare este jucat de linie.

Aria unui trapez curbiliniu (diapozitivul 3)

Fixați capătul din stânga al intervalului A, si drept X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ A; b] aria trapezului curbiliniu format de funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții: f(x) = x 2 si direct y=0, x=1, x=2.

Soluție: ( conform algoritmului slide 3)

Desenați un grafic al funcției și al liniilor

Găsiți una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :

Slide Self-Verificare

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu dat de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor curbilinii mai mici. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbiliniu. Cu cât rupem segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Scriem aceste considerații sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți cu puncte x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Lungime k- th notează prin xk = xk - xk-1. Să rezumam

Din punct de vedere geometric, această sumă este aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sch.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Imaginează-ți că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, aria figurii compuse se va apropia de aria trapezului curbiliniu. Putem spune că aria unui trapez curbiliniu este egală cu limita sumelor integrale, Sk.t. (sch.m.) sau integral, adică

Definiție:

integrală a funcției f(x) din A inainte de b se numește limita sumelor integrale

= (sch.m.)

formula Newton-Leibniz.

Amintiți-vă că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, deci putem scrie:

Sk.t. = (sch.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbiliniu este calculată prin formula

S la t. (sch.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sch.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru comoditatea calculelor, formula este scrisă astfel:

= = (sch.m.)

Sarcini: (sch.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compilați integralele conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Găsiți aria unei figuri mărginite de linii: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbilinii?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sch.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sch.m.). Figura în cauză este un trapez curbiliniu? Și cum puteți găsi zona sa, folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbilinie și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( w.m.)

Să facem un algoritm pentru găsirea zonei din animația de pe diapozitiv:

1. Funcții grafice
2. Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
3. Umbriți figura obținută prin încrucișarea graficelor
4. Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
5. Calculați aria fiecăruia
6. Găsiți diferența sau suma de suprafețe

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Elaborați rezumatul, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

1. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 de gimnaziu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra și începutul analizei: un manual pentru 10-11 celule. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismul, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru lecție? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.

În acest articol, veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul anumitor integrale tocmai a fost finalizat și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.

Deci, ceea ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

• Abilitatea de a desena corect desene;
• Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
• Capacitatea de a „vedea” o soluție mai profitabilă - de ex. pentru a înțelege cum în acest sau acel caz va fi mai convenabil să se realizeze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
• Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie în cușcă, la scară mare. Semnăm cu un creion deasupra fiecărui grafic numele acestei funcții. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în cele mai multe cazuri va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică se potrivește cu cea analitică.

3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi zona figurii. Luați în considerare diverse exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.

3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți aria unui trapez curbiliniu. Ce este un trapez curbiliniu? Aceasta este o figură plată delimitată de axa x (y=0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În același timp, această cifră este nenegativă și este situată nu mai jos decât axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ce linii definesc figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole sunt pozitive. Apoi, date drepte x = 1Și x = 3 care merg paralel cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, ea este axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se vede în figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.

3.2. În paragraful anterior 3.1 a fost analizat cazul când trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Cum să rezolvăm o astfel de problemă, vom analiza în continuare.

Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

În acest exemplu, avem o parabolă y=x2+6x+2, care provine de sub ax OH, Drept x=-4, x=-1, y=0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei de găsire a zonei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce nu înseamnă pozitiv? După cum se poate vedea din figură, figura care se află în x-ul dat are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor, care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. ca y = f(x) sau x = g(y) .

Teorema

Fie definite şi continue pe segmentul [ a ] ​​funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x); b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b] . Apoi, formula pentru calcularea ariei unei figuri G delimitată de linii x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) și y \u003d f 2 (x) va arăta ca S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) și x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Vom analiza trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a zonei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2 . Înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x .

Punctele de intersecție le vom nota ca x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Aceste puncte rup segmentul [ a ; b ] în n părţi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Și acum să trecem la analiza exemplelor de calculare a ariei figurilor care sunt limitate de liniile y \u003d f (x) și x \u003d g (y) .

Luând în considerare oricare dintre exemple, vom începe cu construcția unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă trasarea graficelor și a formelor pe ele este dificilă pentru dvs., puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor funcțiilor, precum și trasarea în timpul studiului unei funcții.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe intervalul [ 1 ; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2 . În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S (G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Acest lucru ne cere să găsim noi înșine a doua limită de integrare.

Să construim un grafic și să punem pe el liniile date în starea problemei.

Având un grafic în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție al graficului cu o linie dreaptă y \u003d x și o semi-parabolă y \u003d x + 2. Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2 , y = x se intersectează în punctul (2 ; 2) , astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7 ] graficul funcţiei y = x este situat deasupra graficului funcţiei y = x + 2 . Aplicați formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y \u003d 1 x și y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să desenăm linii pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2 . Cu condiția ca x să nu fie egal cu zero, egalitatea 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul al treilea - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 cu coeficienți întregi . Puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, referindu-vă la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Am găsit un interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , unde G este inclus deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm zona formei:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 și de axa x.

Soluţie

Să punem toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl plasăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x y \u003d 0.

Să notăm punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate vedea din figură, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d 0 se intersectează în punctul (0; 0) . Acest lucru se datorează faptului că x \u003d 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 \u003d 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0 , deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2 ; 0) .

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1) . Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 \u003d - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y \u003d x 3 este strict în creștere, iar funcția y \u003d - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Următorul pas implică mai multe opțiuni.

Opțiunea numărul 1

Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1 , iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea numărul 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2 , iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona astfel:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Soluţie

Desenați o linie pe diagramă cu o linie roșie, dată de funcția y = x . Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și marcați linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Observați punctele de intersecție.

Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i este soluția ecuației x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4 ; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 este soluția ecuației ⇒ (9; 3) punctul și intersecția y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nu este o soluție a ecuației

Aflați punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda numărul 1

Reprezentăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda numărul 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma celorlalte două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația liniei pentru x și numai după aceea aplicăm formula pentru calcularea ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să trasăm linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru găsirea zonei. În această secțiune, am analizat cele mai comune opțiuni pentru sarcini.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter