Cum se simplifică ecuația cu fracții. ODZ. Interval valid

O ecuație este o egalitate care conține o literă a cărei valoare trebuie găsită.

În ecuații, necunoscutul este de obicei notat cu o literă latină mică. Cele mai frecvent utilizate litere sunt „x” [x] și „y” [y].

Rădăcina ecuației- aceasta este valoarea literei, la care se obține egalitatea numerică corectă din ecuație.

rezolva ecuatia- înseamnă să-i găsești toate rădăcinile sau să te asiguri că nu există rădăcini.

După ce am rezolvat ecuația, notăm întotdeauna cecul după răspuns.

Informații pentru părinți

Dragi părinți, vă atragem atenția că în școala primară și în clasa a 5-a, copiii NU cunosc tema „Numere negative”.

Prin urmare, ei trebuie să rezolve ecuații folosind numai proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Metodele de rezolvare a ecuațiilor pentru clasa a 5-a sunt prezentate mai jos.

Nu încercați să explicați soluția ecuațiilor transferând numere și litere dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare de semn.

Vă puteți reîmprospăta cunoștințele despre conceptele legate de adunare, scădere, înmulțire și împărțire în lecția „Legile aritmeticii”.

Rezolvarea ecuațiilor pentru adunare și scădere

Cum să găsești necunoscutul
termen

Cum să găsești necunoscutul
descăzut

Cum să găsești necunoscutul
descăzut

Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.

Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.

Pentru a găsi subtraend necunoscut, este necesar să scădem diferența din minuend.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Examinare

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Examinare

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Examinare

Rezolvarea ecuațiilor pentru înmulțire și împărțire

Cum să găsești necunoscutul
factor

Cum să găsești necunoscutul
dividend

Cum să găsești necunoscutul
separator

Pentru a găsi factorul necunoscut, produsul trebuie împărțit la factorul cunoscut.

Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul.

Pentru a găsi divizorul necunoscut, împărțiți dividendul la cât.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Examinare

y:7=2
y = 2 7
y=14
Examinare

8:y=4
y=8:4
y=2
Examinare

O ecuație este o ecuație care conține litera al cărei semn trebuie găsit. Soluția unei ecuații este setul de valori ale literelor care transformă ecuația într-o egalitate adevărată:

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuaţie este necesar să transferați termenii cu necunoscutul într-o parte a egalității, iar termenii numerici în cealaltă, aduceți-i pe cei similari și obțineți următoarea egalitate:

Din ultima egalitate, determinăm necunoscuta prin regula: „unul dintre factori este egal cu câtul împărțit la al doilea factor”.

Deoarece numerele raționale a și b pot avea semne identice și diferite, semnul necunoscutului este determinat de regulile de împărțire a numerelor raționale.

Procedura de rezolvare a ecuațiilor liniare

Ecuația liniară trebuie simplificată prin deschiderea parantezelor și efectuarea acțiunilor etapei a doua (înmulțire și împărțire).

Mutați necunoscutele pe o parte a semnului egal și numerele pe cealaltă parte a semnului egal, devenind identice cu egalitatea dată,

Aduceți like la stânga și la dreapta semnului egal, obținând o egalitate a formei topor = b.

Calculați rădăcina ecuației (aflați necunoscutul X din egalitate X = b : A),

Testați prin înlocuirea necunoscutului în ecuația dată.

Dacă obținem o identitate în egalitate numerică, atunci ecuația este rezolvată corect.

Cazuri speciale de rezolvare a ecuațiilor

1. Dacă ecuația este dat de un produs egal cu 0, apoi pentru a-l rezolva folosim proprietatea înmulțirii: „produsul este egal cu zero dacă unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu zero”.

27 (X - 3) = 0
27 nu este egal cu 0, deci X - 3 = 0

Al doilea exemplu are două soluții ale ecuației, deoarece
Aceasta este o ecuație de gradul doi:

Dacă coeficienții ecuației sunt fracții obișnuite, atunci în primul rând trebuie să scapi de numitori. Pentru aceasta:

Găsiți un numitor comun;

Determinați factori suplimentari pentru fiecare termen al ecuației;

Înmulțiți numărătorii fracțiilor și numerelor întregi cu factori suplimentari și notați toți termenii ecuației fără numitori (numitorul comun poate fi aruncat);

Mutați termenii cu necunoscute într-o parte a ecuației, iar termenii numerici în cealaltă din semnul egal, obținând o egalitate echivalentă;

Aduceți ca membri;

Proprietățile de bază ale ecuațiilor

În orice parte a ecuației, puteți aduce termeni similari sau deschideți paranteza.

Orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta prin schimbarea semnului său la opus.

Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr, cu excepția 0.

În exemplul de mai sus, toate proprietățile sale au fost folosite pentru a rezolva ecuația.

Cum se rezolvă o ecuație cu o necunoscută într-o fracție

Uneori, ecuațiile liniare iau forma când necunoscut apare la numărătorul uneia sau mai multor fracții. Ca în ecuația de mai jos.

În astfel de cazuri, astfel de ecuații pot fi rezolvate în două moduri.

eu calea solutiei
Reducerea unei ecuații la o proporție

Când rezolvați ecuații folosind metoda proporției, trebuie să efectuați următorii pași:

aduceți toate fracțiile la un numitor comun și adăugați-le ca fracții algebrice (doar o fracție ar trebui să rămână în partea stângă și în partea dreaptă);

Rezolvați ecuația rezultată folosind regula proporției.

Deci, revenim la ecuația noastră. În partea stângă, avem deja o singură fracție, așa că nu sunt necesare transformări în ea.

Vom lucra cu partea dreaptă a ecuației. Simplificați partea dreaptă a ecuației astfel încât să rămână o singură fracție. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă regulile de adunare a unui număr cu o fracție algebrică.

Acum folosim regula proporției și rezolvăm ecuația până la sfârșit.

II metoda de rezolvare
Reducere la o ecuație liniară fără fracții

Luați în considerare din nou ecuația de mai sus și rezolvați-o într-un mod diferit.

Vedem că există două fracții în ecuație "

Cum se rezolvă ecuații cu fracții. Rezolvare exponențială a ecuațiilor cu fracții.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, puteți înțelege în cel mai înțeles mod,.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se reduce.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45

Un alt exemplu în care necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc raționale fracționale sau pur și simplu fracționale.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie să țineți cont doar de următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• nu puteți împărți sau înmulți ecuația cu expresia =0.

Aici intră în vigoare un astfel de concept precum zona valorilor permise (ODZ) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens .

Astfel, rezolvând ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Acele rădăcini care nu corespund DHS-ului nostru sunt excluse din răspuns.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x - orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvați ecuația obișnuită

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Să rezolvăm ecuația mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Rezolvând această ecuație, nu vom transfera totul într-o singură direcție și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Înmulțim imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va reduce toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x + 2 și partea dreaptă cu 2. Deci, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2 (x + 2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Scriem aceeași ecuație, dar într-un mod ușor diferit.

Partea stângă este redusă cu (x + 2), iar partea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol, am arătat acest lucru cu exemple. Dacă întâmpinați dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Gradul 5

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții. Rezolvarea problemelor cu fracții.

Vizualizați conținutul documentului
„Rezolvarea ecuațiilor cu fracții de gradul 5”

- Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

- Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, adăugați numărătorii lor și lăsați numitorul același.

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, scădeți numărătorul subtraendului din numărătorul minuendului și lăsați numitorul același.

La rezolvarea ecuațiilor, este necesar să folosiți regulile de rezolvare a ecuațiilor, proprietățile de adunare și scădere.

Rezolvarea ecuațiilor folosind proprietăți.

Rezolvarea ecuațiilor folosind reguli.

Expresia din partea stângă a ecuației este suma.

termen + termen = suma.

Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.

minuend – subtraend = diferență

Pentru a găsi subtraend necunoscut, scădeți diferența din minuend.

Expresia din partea stângă a ecuației este diferența.

Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.

UTILIZAREA REGULI PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR.

În partea stângă a ecuației, expresia este suma.

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

Adesea trebuie să rezolvați ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum trebuie să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Rezolvăm acum următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost văzute până acum: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun), iar în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscut .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că la înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscutul, și la reducerea fracțiilor algebrice se poate obține o ecuație care nu este echivalentă cu cea dată și anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, puteți înțelege în cel mai înțeles mod,.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se reduce.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25

Un alt exemplu în care necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc raționale fracționale sau pur și simplu fracționale.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie să țineți cont doar de următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• nu puteți împărți sau înmulți ecuația cu expresia =0.

Aici intră în vigoare un astfel de concept precum zona valorilor permise (ODZ) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens .

Astfel, rezolvând ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Acele rădăcini care nu corespund DHS-ului nostru sunt excluse din răspuns.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x - orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvați ecuația obișnuită

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Răspuns: x = 1/3

Să rezolvăm ecuația mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Rezolvând această ecuație, nu vom transfera totul într-o singură direcție și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Înmulțim imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va reduce toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x + 2 și partea dreaptă cu 2. Deci, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2 (x + 2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Scriem aceeași ecuație, dar într-un mod ușor diferit.

Partea stângă este redusă cu (x + 2), iar partea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol, am arătat acest lucru cu exemple. Dacă întâmpinați dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Ecuații fracționale. ODZ.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămâne ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai solide - ecuații raționale fracționale. Este la fel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numere, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Pentru ca toți numitorii să scadă! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uită cât de urât vis! Acesta este ceea ce trebuie să faceți atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți printr-o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:

Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

În partea stângă, este redus în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:

Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!

Și acum deschidem parantezele:

Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:

Dar înainte de asta, vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pentru interes. Greblele alea, apropo!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.