Cum se rezolvă ecuații logaritmice simple. Logaritmi: exemple și soluții

Ecuații logaritmice. De la simplu la complex.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este o ecuație logaritmică?

Aceasta este o ecuație cu logaritmi. Sunt surprins, nu?) Apoi voi clarifica. Aceasta este o ecuație în care se găsesc necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea în interiorul logaritmilor.Și numai acolo! Este important.

Aici sunt cateva exemple ecuații logaritmice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ei bine, înțelegi... )

Notă! Sunt localizate cele mai diverse expresii cu X exclusiv în cadrul logaritmilor. Dacă, brusc, un X apare undeva în ecuație in afara, De exemplu:

log 2 x = 3+x,

aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Apropo, există ecuații în care sunt în interiorul logaritmilor doar numere. De exemplu:

Ce pot sa spun? Ai noroc dacă dai peste asta! Logaritmul cu numere este oarecare număr. Asta e tot. Este suficient să cunoaștem proprietățile logaritmilor pentru a rezolva o astfel de ecuație. Cunoașterea unor reguli speciale, tehnici adaptate special pentru rezolvare ecuații logaritmice, nu este necesar aici.

Asa de, ce este o ecuație logaritmică- ne-am dat seama.

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Soluţie ecuații logaritmice- de fapt treaba nu este foarte simplă. Deci, secțiunea noastră este un patru... Este necesară o cantitate decentă de cunoștințe pe tot felul de subiecte conexe. În plus, există o caracteristică specială în aceste ecuații. Și această caracteristică este atât de importantă încât poate fi numită în siguranță problema principală în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Vom trata această problemă în detaliu în lecția următoare.

Deocamdată, nu-ți face griji. Vom merge pe drumul cel bun de la simplu la complex. Folosind exemple specifice. Principalul lucru este să vă aprofundați în lucruri simple și să nu fi lene să urmați linkurile, le-am pus acolo cu un motiv... Și totul va funcționa pentru dvs. Neapărat.

Să începem cu cele mai elementare, mai simple ecuații. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o idee despre logaritm, dar nimic mai mult. Doar habar nu logaritm, ia o decizie logaritmică ecuații – cumva chiar incomode... Foarte îndrăznețe, aș spune).

Cele mai simple ecuații logaritmice.

Acestea sunt ecuații de forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Procesul de rezolvare orice ecuație logaritmică consta in trecerea de la o ecuatie cu logaritmi la o ecuatie fara acestia. În cele mai simple ecuații, această tranziție se realizează într-un singur pas. De aceea sunt cele mai simple.)

Și astfel de ecuații logaritmice sunt surprinzător de ușor de rezolvat. Convinge-te singur.

Să rezolvăm primul exemplu:

log 3 x = log 3 9

Pentru a rezolva acest exemplu, nu trebuie să știți aproape nimic, da... Pur intuiție!) De ce avem nevoie in mod deosebit nu iti place acest exemplu? Ce-ce... nu-mi plac logaritmii! Dreapta. Deci hai să scăpăm de ei. Privim cu atentie exemplul, si in noi apare o dorinta fireasca... De-a dreptul irezistibil! Luați și aruncați logaritmii cu totul. Și ce e bine este că Poate sa do! Matematica permite. Logaritmii dispar raspunsul este:

Grozav, nu? Acest lucru poate (și ar trebui) să fie făcut întotdeauna. Eliminarea logaritmilor în acest mod este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică această operație se numește potențare. Desigur, există reguli pentru o astfel de lichidare, dar sunt puține. Tine minte:

Puteți elimina logaritmii fără nicio teamă dacă au:

a) aceleaşi baze numerice

c) logaritmii de la stânga la dreapta sunt puri (fără coeficienți) și sunt într-o izolare splendidă.

Permiteți-mi să clarific ultimul punct. În ecuație, să spunem

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmii nu pot fi eliminati. Cei doi din dreapta nu-i permit. Coeficientul, știi... În exemplu

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

De asemenea, este imposibil să potențați ecuația. Nu există un logaritm singur pe partea stângă. Sunt doi dintre ei.

Pe scurt, puteți elimina logaritmii dacă ecuația arată așa și doar așa:

log a (.....) = log a (.....)

În paranteze, acolo unde există o elipsă, poate exista orice expresii. Simplu, super complex, de tot felul. Tot ceea ce. Important este că după eliminarea logaritmilor rămânem ecuație mai simplă. Se presupune, desigur, că știți deja cum să rezolvați ecuații liniare, pătratice, fracționale, exponențiale și alte ecuații fără logaritmi.)

Acum puteți rezolva cu ușurință al doilea exemplu:

log 7 (2x-3) = log 7 x

De fapt, este hotărât în ​​minte. Potentiam, obtinem:

Ei bine, este foarte greu?) După cum puteți vedea, logaritmică o parte a soluției ecuației este doar in eliminarea logaritmilor...Și apoi vine soluția ecuației rămase fără ele. O chestiune banala.

Să rezolvăm al treilea exemplu:

log 7 (50x-1) = 2

Vedem că există un logaritm în stânga:

Să ne amintim că acest logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza (adică șapte) pentru a obține o expresie sublogaritmică, i.e. (50x-1).

Dar acest număr este doi! Conform Eq. Acesta este:

Asta e practic tot. Logaritm a dispărut, Ceea ce rămâne este o ecuație inofensivă:

Am rezolvat această ecuație logaritmică doar pe înțelesul logaritmului. Este încă mai ușor să eliminați logaritmii?) Sunt de acord. Apropo, dacă faci un logaritm din doi, poți rezolva acest exemplu prin eliminare. Orice număr poate fi transformat într-un logaritm. Mai mult, felul în care avem nevoie. O tehnică foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și (mai ales!) a inegalităților.

Nu știi cum să faci un logaritm dintr-un număr!? E bine. Secțiunea 555 descrie această tehnică în detaliu. Îl poți stăpâni și îl poți folosi la maximum! Reduce foarte mult numărul de erori.

A patra ecuație este rezolvată într-un mod complet similar (prin definiție):

Asta este.

Să rezumam această lecție. Am analizat soluția celor mai simple ecuații logaritmice folosind exemple. Este foarte important. Și nu numai pentru că astfel de ecuații apar în teste și examene. Cert este că până și cele mai rele și mai complicate ecuații se reduc neapărat la cele mai simple!

De fapt, cele mai simple ecuații sunt partea finală a soluției orice ecuații. Și această parte finală trebuie înțeleasă strict! Și mai departe. Asigurați-vă că citiți această pagină până la sfârșit. E o surpriză acolo...)

Acum decidem singuri. Să ne îmbunătățim, ca să spunem așa...)

Găsiți rădăcina (sau suma rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuațiilor:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Răspunsuri (în dezordine, desigur): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ce, nu merge totul? Se întâmplă. Nu vă faceți griji! Secțiunea 555 explică soluția pentru toate aceste exemple într-o manieră clară și detaliată. Cu siguranță o să-ți dai seama acolo. Veți învăța și tehnici practice utile.

Totul a mers!? Toate exemplele de „unul rămas”?) Felicitări!

Este timpul să-ți dezvălui adevărul amar. Rezolvarea cu succes a acestor exemple nu garantează succesul în rezolvarea tuturor celorlalte ecuații logaritmice. Chiar și cele mai simple ca acestea. Vai.

Cert este că soluția oricărei ecuații logaritmice (chiar și cea mai elementară!) constă în două părți egale. Rezolvarea ecuației și lucrul cu ODZ. Am stăpânit o parte - rezolvarea ecuației în sine. Nu este atât de greu dreapta?

Pentru această lecție am selectat special exemple în care DL nu afectează în niciun fel răspunsul. Dar nu toți sunt la fel de amabili ca mine, nu?...)

Prin urmare, este imperativ să stăpânești cealaltă parte. ODZ. Aceasta este principala problemă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Și nu pentru că ar fi dificil - această parte este chiar mai ușoară decât prima. Dar pentru că oamenii pur și simplu uită de ODZ. Sau ei nu știu. Sau amândouă). Și cad din senin...

În următoarea lecție ne vom ocupa de această problemă. Atunci poți decide cu încredere orice ecuații logaritmice simple și abordează sarcini destul de solide.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple în fața dvs., pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple probleme, care se numesc - protozoare.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f (x) = b

În acest caz, este important ca variabila x să fie prezentă doar în interiorul argumentului, adică doar în funcția f (x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de bază de rezolvare

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală oferă această metodă: Exprimați imediat funcția f (x) folosind formula f ( x) = a b . Adică, când dai peste cea mai simplă construcție, poți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia va fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților Nu înțeleg, de unde vine și de ce ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, văd adesea greșeli foarte enervante când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie înghesuită, iar a doua metodă duce la greșeli în cele mai inoportune și cruciale momente: în timpul examenelor, testelor etc.

De aceea le sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la problema noastră: în stânga avem log a, iar prin litera a înțelegem un număr și în niciun caz o funcție care conține variabila x. În consecință, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm la baza a lui a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem multiplicatorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca rezultat, ecuația inițială va fi rescrisă după cum urmează:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta e tot. Noua funcție nu mai conține un logaritm și poate fi rezolvată folosind tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile dacă a fost posibil să se treacă imediat de la designul original la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar această secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde vine formula finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f (x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să ne uităm la exemple reale. Deci, hai să decidem:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a evita greșelile jignitoare. Deci, avem forma canonică. Avem:

3x − 1 = 0,5 −3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne uităm mai întâi la numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții comune atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Asta e, am primit răspunsul. Prima problemă a fost rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum vedem, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că există o diferență în stânga și nu un singur logaritm la o bază.

Prin urmare, trebuie să scăpăm cumva de această diferență. În acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o intrare simplifică și accelerează considerabil calculele. Să o scriem astfel:

Acum să ne amintim de proprietatea remarcabilă a logaritmului: puterile pot fi derivate din argument, precum și din bază. În cazul motivelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care era în puterea de bază este adus înainte și în același timp inversat, adică devine un număr reciproc. În cazul nostru, gradul de bază a fost 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Amintiți-vă matematica de clasa a 4-a-5 și ordinea operațiilor: se face mai întâi înmulțirea, și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum, ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Asta e tot. A doua problemă a fost rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz de notația log b , atunci când efectuați toate calculele puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimali în același mod ca și cu alții: luați puteri, adăugați și reprezentați orice numere sub forma lg 10.

Aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

În primul rând, rețineți că factorul 2 în fața lg 5 poate fi adăugat și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 poate fi reprezentat și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările obținute:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Avem din nou în fața noastră forma canonică și am obținut-o fără a trece prin etapa de transformare, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri.

Exact despre asta am vorbit chiar la începutul lecției. Forma canonică vă permite să rezolvați o clasă mai largă de probleme decât formula școlară standard pe care o dau majoritatea profesorilor de școală.

Ei bine, asta este, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Toate! Problema este rezolvată.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă cu privire la sfera definiției. Cu siguranță acum vor exista elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, trebuie să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, se ridică o întrebare logică: de ce nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută în vreuna dintre problemele luate în considerare?

Nu vă faceți griji. În aceste cazuri, nu vor apărea rădăcini suplimentare. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un singur loc (sau mai degrabă, într-un singur argument al unui singur logaritm), și nicăieri în cazul nostru nu apare variabila x, atunci scrieți domeniul de definiție nu este nevoie, deoarece va fi executat automat.

Judecă singur: în prima ecuație am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes putem scrie că în al doilea caz x ar trebui să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este satisfăcut automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva cele mai simple probleme. Această regulă singură, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați doar o lecție video. Prin urmare, chiar acum, descărcați opțiunile pentru soluții independente care sunt atașate acestei lecții video și începeți să rezolvați cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua literalmente câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare decât dacă ați viziona pur și simplu această lecție video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Utilizați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de probleme. Asta e tot ce am pentru azi.

Ținând cont de domeniul definiției

Acum să vorbim despre domeniul de definire al funcției logaritmice și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f (x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - conține o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz o funcție care depinde de variabila x. Se poate rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului, iar atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Aceasta este o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece în expresia originală funcția f (x) se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această limitare se aplică deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate, ca urmare a acestei limitări, ar trebui introdusă o verificare a răspunsurilor? Poate că trebuie introduse în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice nu este necesară verificarea suplimentară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f (x) = a b

Faptul este că numărul a este în orice caz mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de puterea la care ridicăm un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este satisfăcută automat.

Ceea ce merită verificat este domeniul funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe și cu siguranță trebuie să fii cu ochii pe ele în timpul procesului de soluționare. Să aruncăm o privire.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația irațională obișnuită:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare pentru a se asigura că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, în funcție de condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero ” este satisfăcut automat.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Patram ambele laturi tinand cont de restrictii si obtinem:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminantul:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru va fi x = −1. Asta e soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Principala concluzie din această lecție este că nu trebuie să verificați constrângerile unei funcții în ecuații logaritmice simple. Deoarece în timpul procesului de rezolvare toate constrângerile sunt satisfăcute automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile restricții și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să ne uităm la încă două tehnici destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm construcții mai complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme:

log a f (x) = b

În această intrare, a și b sunt numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru a face acest lucru, rețineți că

b = log a a b

Mai mult, a b este tocmai un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f (x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât să existe un logaritm care să bazeze a atât pe stânga, cât și pe dreapta. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să bifurcăm semnele log, iar din punct de vedere matematic putem spune că pur și simplu echivalăm argumentele:

f (x) = a b

Ca urmare, vom obține o nouă expresie care va fi mult mai ușor de rezolvat. Să aplicăm această regulă problemelor noastre de astăzi.

Deci, primul design:

În primul rând, observ că în dreapta este o fracție al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, este o idee bună să vă amintiți o proprietate minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu orice bază c. Desigur 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are un caz special minunat, când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție ca:

Aceasta este exact construcția pe care o vedem din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi derivat din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este puterea bazei, este exprimat ca o fracție inversată. Să o redăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această notație ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică nu există un factor suplimentar înaintea celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să adăugăm fracția 1/4 la argument ca putere:

Acum echivalăm argumente ale căror baze sunt aceleași (și bazele noastre sunt într-adevăr aceleași) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Vă rugăm să rețineți: în problema inițială, variabila x apare într-un singur log și apare în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu log f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? Pentru un student nepregătit, poate părea că aceasta este un fel de sarcină grea, dar de fapt totul poate fi rezolvat într-un mod elementar.

Aruncă o privire atentă la termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să dea câteva idei. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase puterile de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, ceea ce a fost o putere a lui b în argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă speriați de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie după cum urmează:

Toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile pentru acesta. În special, factorul din față poate fi adăugat la gradul argumentului. Hai sa o scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd direct această acțiune, pentru că nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă la fel cum ați cunoaște reprezentarea în log a oricărui număr.

Să revenim la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să-l adăugăm la argumentul lg corect:

log 8 = log (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

Permiteți-mi să enumeram din nou punctele cheie ale acestei lecții.

Formula principală care este predată în toate lecțiile de pe această pagină dedicată rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu vă speriați de faptul că majoritatea manualelor școlare vă învață să rezolvați astfel de probleme altfel. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:

1. Formula de mutare la o singură bază și cazul special în care înregistrăm invers (aceasta ne-a fost foarte util în prima problemă);
2. Formula pentru adunarea și scăderea puterilor din semnul logaritmului. Aici, mulți studenți se blochează și nu văd că gradul scos și introdus poate conține el însuși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul celuilalt și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de definiție în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log, și în același timp este în argumentul său. În consecință, toate cerințele domeniului de aplicare sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi ne vom uita la ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii bazate nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

În primul rând, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, pe baza numerelor obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f (x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Ne rescriem expresia originală și obținem:

log a f (x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f (x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute din soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, o înregistrare când atât stânga, cât și dreapta sunt în același logaritm cu aceeași bază se numește exact forma canonică. La un astfel de record vom încerca să reducem modelele de astăzi. Deci să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este de fapt numărul b care stătea în dreapta semnului egal. Astfel, să ne rescriem expresia. Primim:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu despărțim firele de păr și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza trebuie să fie nu numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi simplificat semnificativ.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi satisfăcută automat. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține funcția pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru se va reduce la trei.

Desigur, cu același succes am putea tăia inegalitatea liniară, adică să tăiem x − 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dar veți fi de acord că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă. și mai simplu, decât pătratic, chiar și cu condiția ca în urma rezolvării întregului sistem să obținem aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să rescriem sistemul nostru:

Iată un sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, ne-am ocupat deja. Să scriem separat ecuația pătratică și să o rezolvăm:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic redus și, prin urmare, putem folosi formulele lui Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Acum ne întoarcem la sistemul nostru și aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere ca x să fie strict mai mare decât 2.

Dar x = 5 ni se potrivește perfect: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție a acestui sistem va fi x = 5.

Gata, problema este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Mai multe calcule interesante și informative ne așteaptă aici:

Primul pas: ca data trecută, aducem toată această chestiune în formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Nu trebuie să atingeți baza cu rădăcina, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai sa scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic nou redus, să folosim formulele lui Vieta și să scriem:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar fi trebuit să notăm sistemul, dar din cauza naturii greoaie a întregii structuri, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul de aplicare al definiției.

Să observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluția pentru a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar, cu o rădăcină de gradul trei - aceste inegalități sunt complet analoge, așa că le putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radical din stânga ridicând ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

− 2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = −3 sau x 2 = −1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (deoarece inegalitatea noastră este strictă). Deci, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de notație, în loc să treacă direct de la problema inițială la o construcție precum log a f (x) = b, fac mult mai puține erori decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
2. De îndată ce o bază variabilă apare într-un logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nici nu trebuie să fie egale cu 1.

Cerințele finale pot fi aplicate răspunsurilor finale în moduri diferite. De exemplu, puteți rezolva un întreg sistem care conține toate cerințele pentru domeniul de definire. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți domeniul de definiție, să îl rezolvați separat sub forma unui sistem și să îl aplicați la rădăcinile obținute.

Ce metodă să alegeți atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.

Introducere

Logaritmii au fost inventați pentru a accelera și simplifica calculele. Ideea unui logaritm, adică ideea de a exprima numerele ca puteri ale aceleiași baze, îi aparține lui Mikhail Stiefel. Dar pe vremea lui Stiefel, matematica nu era atât de dezvoltată și ideea de logaritm nu era dezvoltată. Logaritmii au fost inventați mai târziu simultan și independent unul de celălalt de către omul de știință scoțian John Napier (1550-1617) și elvețianul Jobst Burgi (1552-1632).Napier a fost primul care a publicat lucrarea în 1614. sub titlul „Descrierea unui tabel uimitor de logaritmi”, teoria lui Napier a logaritmilor a fost dată într-un volum destul de complet, metoda de calcul a logaritmilor a fost dată cea mai simplă, prin urmare meritele lui Napier în inventarea logaritmilor au fost mai mari decât cele ale lui Bürgi. Burgi a lucrat la mese în același timp cu Napier, dar le-a ținut secret mult timp și le-a publicat abia în 1620. Napier a stăpânit ideea logaritmului în jurul anului 1594. deși tabelele au fost publicate 20 de ani mai târziu. La început și-a numit logaritmii „numere artificiale” și abia apoi a propus să numească aceste „numere artificiale” într-un singur cuvânt „logaritm”, care tradus din greacă înseamnă „numere corelate”, luat unul dintr-o progresie aritmetică, iar celălalt dintr-un progresie geometrică special selectată pentru aceasta.progres. Primele tabele în limba rusă au fost publicate în 1703. cu participarea unui profesor minunat al secolului al XVIII-lea. L. F. Magnitsky. Lucrările academicianului din Sankt Petersburg Leonhard Euler au avut o mare importanță în dezvoltarea teoriei logaritmilor. El a fost primul care a considerat logaritmii ca fiind inversul ridicării la o putere; el a introdus termenii „bază logaritmului” și „mantisă.” Briggs a compilat tabele de logaritmi cu baza 10. Tabelele zecimale sunt mai convenabile pentru utilizare practică, teoria lor este mai simplu decât cel al logaritmilor lui Napier. Prin urmare, logaritmii zecimali sunt uneori numiți logaritmi Briggs. Termenul de „caracterizare” a fost introdus de Briggs.

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau monede sau portofele. Au existat însă grămezi, precum și oale și coșuri, care erau perfecte pentru rolul cache-urilor de depozitare care puteau ține un număr necunoscut de articole. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă și totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturarii, funcționarii și preoții inițiați în cunoștințele secrete, bine pregătiți în știința conturilor, au făcut față cu succes unor astfel de sarcini.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici aveau câteva tehnici generale pentru rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici o tabletă de papirus sau lut nu conține o descriere a acestor tehnici. Autorii și-au furnizat doar ocazional calculele numerice cu comentarii sumbre, cum ar fi: „Uite!”, „Fă asta!”, „Ai găsit-o pe cea potrivită”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru alcătuirea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.

Cu toate acestea, primul manual pentru rezolvarea problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă a fost lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din denumirea arabă a acestui tratat - „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Cartea restaurării și a opoziției”) - s-a transformat de-a lungul timpului în binecunoscutul cuvânt „algebră”, iar al- Lucrarea lui Khwarizmi în sine a servit punctul de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.

Ecuații și inegalități logaritmice

1. Ecuații logaritmice

O ecuație care conține o necunoscută sub semnul logaritmului sau la baza sa se numește ecuație logaritmică.

Cea mai simplă ecuație logaritmică este o ecuație de formă

Buturuga A X = b . (1)

Afirmaţia 1. Dacă A > 0, A≠ 1, ecuația (1) pentru orice real b are o soluție unică X = a b .

Exemplul 1. Rezolvați ecuațiile:

a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Soluţie. Folosind afirmația 1, obținem a) X= 2 3 sau X= 8; b) X= 3 -1 sau X= 1 / 3 ; c)

sau X = 1.

Să prezentăm proprietățile de bază ale logaritmului.

P1. Identitatea logaritmică de bază:

Unde A > 0, A≠ 1 și b > 0.

P2. Logaritmul produsului factorilor pozitivi este egal cu suma logaritmilor acestor factori:

Buturuga A N 1 · N 2 = jurnal A N 1 + jurnal A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Cometariu. Dacă N 1 · N 2 > 0, atunci proprietatea P2 ia forma

Buturuga A N 1 · N 2 = jurnal A |N 1 | + jurnal A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritmul câtului a două numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Cometariu. Dacă

, (care este echivalent N 1 N 2 > 0) atunci proprietatea P3 ia forma (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritmul puterii unui număr pozitiv este egal cu produsul exponentului și logaritmul acestui număr:

Buturuga A N k = k Buturuga A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Cometariu. Dacă k- număr par ( k = 2s), Acea

Buturuga A N 2s = 2s Buturuga A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula pentru mutarea la o altă bază:

(A > 0, A ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

în special dacă N = b, primim

(A > 0, A ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Folosind proprietățile P4 și P5, este ușor de obținut următoarele proprietăți

(A > 0, A ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

și, dacă în (5) c- număr par ( c = 2n), apare

(b > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției logaritmice f (X) = jurnal A X :

1. Domeniul de definire al unei funcții logaritmice este mulțimea numerelor pozitive.

2. Gama de valori ale funcției logaritmice este mulțimea numerelor reale.

3. Când A> 1 funcție logaritmică este strict în creștere (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2) și la 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > jurnal A X 2).

4. jurnal A 1 = 0 și log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Dacă A> 1, atunci funcția logaritmică este negativă când X(0;1) și pozitiv la X(1;+∞), iar dacă 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) și negativ la X (1;+∞).

6. Dacă A> 1, atunci funcția logaritmică este convexă în sus și dacă A(0;1) - convex în jos.

Următoarele afirmații (vezi, de exemplu,) sunt folosite la rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care trebuie ridicată baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.

Tipuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.

Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă următoarea expresie: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmic. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât intervalul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu; să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.

Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece examenele de admitere la matematică, trebuie să știi cum să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să eliminați valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.

Exemple și soluții la probleme sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca fiind pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.