Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este definită de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Dovada.

Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a k ​​este divizibil cu b.

Notați mcd(a, b) ca d . Apoi putem nota egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere coprime. Prin urmare, condiția obținută în paragraful anterior că a k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 d k este divizibil cu b 1 d , iar aceasta, datorită proprietăților divizibilității, este echivalentă cu condiția ca a 1 k este divizibil cu b 1 .

De asemenea, trebuie să notăm două corolare importante din teorema considerată.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acest lucru este adevărat, deoarece orice multiplu comun al M numere a și b este definit de egalitatea M=LCM(a, b) t pentru o valoare întreagă t .

Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime pozitive a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt între prime, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea succesivă a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă: a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii lui m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , …, a k este m k .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.

Expresiile și sarcinile matematice necesită multe cunoștințe suplimentare. NOC este unul dintre principalele, mai ales des folosit în subiect.Tema este studiată în liceu, deși nu este deosebit de greu de înțeles materialul, nu va fi dificil pentru o persoană familiarizată cu puterile și cu tabla înmulțirii să aleagă numerele necesare și găsiți rezultatul.

Definiție

Un multiplu comun este un număr care poate fi împărțit complet în două numere în același timp (a și b). Cel mai adesea, acest număr se obține prin înmulțirea numerelor originale a și b. Numărul trebuie să fie divizibil cu ambele numere simultan, fără abateri.

NOC este un nume scurt, care este preluat de la primele litere.

Modalități de a obține un număr

Pentru a găsi LCM, metoda de înmulțire a numerelor nu este întotdeauna potrivită, este mult mai potrivită pentru numere simple de o cifră sau de două cifre. Se obișnuiește să se împartă în factori, cu cât numărul este mai mare, cu atât vor fi mai mulți factori.

Exemplul #1

Pentru cel mai simplu exemplu, școlile iau de obicei numere simple, de o cifră sau de două cifre. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea sarcină, să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 3, soluția este destul de simplă, doar înmulțiți-le. Ca rezultat, există numărul 21, pur și simplu nu există un număr mai mic.

Exemplul #2

A doua variantă este mult mai dificilă. Sunt date numerele 300 și 1260, găsirea LCM este obligatorie. Pentru a rezolva sarcina, sunt luate următoarele acțiuni:

Descompunerea primului și celui de-al doilea număr în cei mai simpli factori. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prima etapă a fost finalizată.

A doua etapă presupune lucrul cu datele deja obținute. Fiecare dintre numerele primite trebuie să participe la calculul rezultatului final. Pentru fiecare factor, cel mai mare număr de apariții este luat din numerele originale. LCM este un număr comun, așa că factorii din numere trebuie repeți în el până la ultimul, chiar și cei care sunt prezenți într-o singură copie. Ambele numere inițiale au în componența lor numerele 2, 3 și 5, în grade diferite, 7 este doar într-un singur caz.

Pentru a calcula rezultatul final, trebuie să luați în ecuație fiecare număr cu cea mai mare dintre puterile lor reprezentate. Rămâne doar să înmulțiți și să obțineți răspunsul, cu completarea corectă, sarcina se încadrează în doi pași fără explicații:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Aceasta este întreaga sarcină, dacă încercați să calculați numărul dorit prin înmulțire, atunci răspunsul cu siguranță nu va fi corect, deoarece 300 * 1260 = 378.000.

Examinare:

6300 / 300 = 21 - adevărat;

6300 / 1260 = 5 este corect.

Corectitudinea rezultatului este determinată prin verificare - împărțirea LCM la ambele numere originale, dacă numărul este un întreg în ambele cazuri, atunci răspunsul este corect.

Ce înseamnă NOC în matematică

După cum știți, nu există o singură funcție inutilă în matematică, aceasta nu face excepție. Cel mai comun scop al acestui număr este de a aduce fracțiile la un numitor comun. Ce se studiază de obicei în clasele 5-6 de liceu. Este, de asemenea, un divizor comun pentru toți multiplii, dacă astfel de condiții sunt în problemă. O astfel de expresie poate găsi un multiplu nu numai a două numere, ci și a unui număr mult mai mare - trei, cinci și așa mai departe. Cu cât mai multe numere - cu atât mai multe acțiuni în sarcină, dar complexitatea acesteia nu crește.

De exemplu, având în vedere numerele 250, 600 și 1500, trebuie să găsiți LCM-ul lor total:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - acest exemplu descrie factorizarea în detaliu, fără reducere.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pentru a alcătui o expresie este necesară menționarea tuturor factorilor, în acest caz se dau 2, 5, 3 - pentru toate aceste numere se cere să se determine gradul maxim.

Atenție: toți multiplicatorii trebuie aduși la simplificare deplină, dacă este posibil, descompunându-se la nivelul unei singure cifre.

Examinare:

1) 3000 / 250 = 12 - adevărat;

2) 3000 / 600 = 5 - adevărat;

3) 3000 / 1500 = 2 este corect.

Această metodă nu necesită trucuri sau abilități de geniu, totul este simplu și clar.

Altă cale

În matematică, mult este conectat, mult poate fi rezolvat în două sau mai multe moduri, același lucru este valabil și pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, LCM. Următoarea metodă poate fi utilizată în cazul numerelor simple din două cifre și cu o singură cifră. Este alcătuit un tabel în care multiplicatorul este introdus pe verticală, multiplicatorul pe orizontală, iar produsul este indicat în celulele care se intersectează ale coloanei. Puteți reflecta tabelul cu ajutorul unei linii, se ia un număr și rezultatele înmulțirii acestui număr cu numere întregi sunt scrise pe rând, de la 1 la infinit, uneori sunt suficiente 3-5 puncte, sunt supuse al doilea și următoarele numere la același proces de calcul. Totul se întâmplă până când se găsește un multiplu comun.

Având în vedere numerele 30, 35, 42, trebuie să găsiți LCM care conectează toate numerele:

1) Multiplii lui 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 etc.

2) Multiplii lui 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 etc.

3) Multiplii lui 42: 84, 126, 168, 210, 252 etc.

Se observă că toate numerele sunt destul de diferite, singurul număr comun dintre ele este 210, deci va fi LCM. Printre procesele asociate cu acest calcul, se numără și cel mai mare divizor comun, care se calculează după principii similare și este adesea întâlnit în problemele învecinate. Diferența este mică, dar suficient de semnificativă, LCM implică calcularea unui număr care este divizibil cu toate valorile inițiale date, iar GCD presupune calculul celei mai mari valori cu care sunt împărțite numerele inițiale.

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.

Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit numărul perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un număr par. număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.

Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Multiplu comun a două numere întregi este întregul care este divizibil egal cu ambele numere date fără rest.

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este divizibil uniform și fără rest cu ambele numere date.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există cazuri în care trebuie să găsiți LCM pentru numere cu două sau trei cifre și, de asemenea, când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin descompunerea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați aceleași numere din seria rezultată de factori primi. Numerele rămase ale primului număr vor fi factorul pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea număr vor fi factorul pentru primul.

Exemplu pentru numărul 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori primi:
75 = 3 * 5 * 5 și
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Din punct de vedere psihic îi „tașăm”.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. La descompunerea numărului 75, am lăsat numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, am lăsat 2 * 2
Deci, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și numerele rămase din extinderea numărului 60 (acesta este 2 * 2). ) înmulțim cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
În acest caz, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar, mai întâi, ca întotdeauna, descompunem toate numerele în factori primi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem succesiv factorii săi, tăindu-i dacă cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere are același factor care nu a fost încă încrucișat. afară.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu se așteaptă nicio acțiune pentru numărul 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Deci constatarea NOC este finalizată. Rămâne doar să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luăm factorii rămași din numărul 16 (cel mai apropiat în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM a fost oarecum mai dificilă, dar atunci când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, această metodă vă permite să o faceți mai rapid. Cu toate acestea, ambele moduri de a găsi LCM sunt corecte.

Luați în considerare trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Găsirea prin factorizare

Prima modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM a numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, descompunem fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere care apare și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Deci LCM (99, 30, 28) = 13 860. Niciun alt număr mai mic de 13 860 nu este divizibil egal cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, trebuie să le descompuneți în factori primi, apoi să luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent cu care apare și să înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt coprime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru ar trebui făcut atunci când se caută cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin potrivire.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este divizibil egal cu alte numere date, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. În continuare, găsim numere care sunt multipli ai celui mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă numerele date rămase sunt divizibile cu produsul rezultat.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinați cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. Apoi, găsiți multiplii lui 24, verificând dacă fiecare dintre ei este divizibil cu 18 și cu 3:

24 1 = 24 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 18.

24 2 = 48 - divizibil cu 3 dar nu divizibil cu 18.

24 3 \u003d 72 - divizibil cu 3 și 18.

Deci LCM(24, 3, 18) = 72.

Găsire prin căutare secvențială LCM

A treia modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea succesivă a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, se utilizează următoarea procedură:

1. În primul rând, se găsește LCM a oricăror două dintre numerele date.
2. Apoi, LCM al celui mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr și așa mai departe.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al lui 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al lor: mcd (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8, 9) = 72.