Cum se adaugă un număr pozitiv la un număr negativ. Scăderea unui număr negativ, regulă, exemple

În acest material, vom atinge un subiect atât de important precum adăugarea numerelor negative. În primul paragraf vă vom spune regula de bază pentru această acțiune, iar în al doilea ne vom uita la exemple specifice de rezolvare a unor astfel de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regula de bază pentru adunarea numerelor naturale

Înainte de a deriva regula, să ne amintim ce știm în general despre numerele pozitive și negative. Anterior, am convenit că numerele negative ar trebui percepute ca datorii, pierderi. Modulul unui număr negativ exprimă mărimea exactă a acestei pierderi. Apoi, adunarea numerelor negative poate fi reprezentată ca adunarea a două pierderi.

Folosind acest raționament, formulăm regula de bază pentru adunarea numerelor negative.

Definiția 1

Pentru a completa adunarea numerelor negative, trebuie să adunați valorile modulelor lor și să puneți un minus în fața rezultatului. În formă literală, formula arată ca (− a) + (− b) = − (a + b) .

Pe baza acestei reguli, putem concluziona că adunarea numerelor negative este asemănătoare cu adunarea celor pozitive, doar că în final trebuie să obținem un număr negativ, deoarece trebuie să punem semnul minus în fața sumei modulelor.

Ce dovezi pot fi date pentru această regulă? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile de bază ale operațiilor cu numere reale (sau cu numere întregi, sau cu numere raționale - sunt aceleași pentru toate aceste tipuri de numere). Pentru a o demonstra, trebuie doar să demonstrăm că diferența dintre părțile stânga și dreaptă ale egalității (− a) + (− b) = − (a + b) va fi egală cu 0.

Scăderea unui număr dintr-altul este la fel cu adăugarea aceluiași număr opus. Prin urmare, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Reamintim că expresiile numerice cu adunare au două proprietăți principale - asociativă și comutativă. Atunci putem concluziona că (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Deoarece, adunând numere opuse, obținem întotdeauna 0, atunci (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 și 0 + 0 = 0. Egalitatea noastră poate fi considerată dovedită, ceea ce înseamnă regula pentru adunarea numerelor negative Am demonstrat-o și noi.

În al doilea paragraf, vom lua probleme specifice în care trebuie să adăugăm numere negative și vom încerca să le aplicăm regula învățată.

Exemplul 1

Aflați suma a două numere negative - 304 și - 18.007.

Soluţie

Să executăm pașii pas cu pas. Mai întâi trebuie să găsim modulele numerelor adăugate: - 304 = 304, - 180007 = 180007. În continuare trebuie să efectuăm acțiunea de adăugare, pentru care folosim metoda de numărare a coloanelor:

Tot ce ne rămâne este să punem un minus în fața rezultatului și să obținem - 18.311.

Răspuns: - - 18 311 .

Ce numere avem depinde de la ce putem reduce acțiunea de adunare: găsirea sumei numerelor naturale, adăugarea de fracții ordinare sau zecimale. Să analizăm problema cu aceste numere.

Exemplul N

Aflați suma a două numere negative - 2 5 și − 4, (12).

Soluţie

Găsim modulele numerelor necesare și obținem 2 5 și 4, (12). Avem două fracții diferite. Să reducem problema la adunarea a două fracții ordinare, pentru care reprezentăm fracția periodică sub forma uneia obișnuite:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

Drept urmare, am primit o fracție care va fi ușor de adăugat cu primul termen original (dacă ați uitat cum să adăugați corect fracții cu diferiți numitori, repetați materialul corespunzător).

2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

Drept urmare, am obținut un număr mixt, în fața căruia trebuie doar să punem un minus. Aceasta completează calculele.

Răspuns: - 4 86 105 .

Numerele reale negative se adună într-un mod similar. Rezultatul unei astfel de acțiuni este de obicei scris ca o expresie numerică. Este posibil ca valoarea sa să nu fie calculată sau limitată la calcule aproximative. Deci, de exemplu, dacă trebuie să găsim suma - 3 + (− 5), atunci scriem răspunsul ca - 3 − 5. Am dedicat un material separat adunării numerelor reale, în care puteți găsi alte exemple.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dezvoltarea abilităților de calcul este cel mai important obiectiv urmărit de programele de matematică din clasele 1-6. Cât de repede și corect învață un copil să efectueze operații aritmetice va determina viteza cu care efectuează operații logice (semantice) în liceu și nivelul de înțelegere al subiectului în ansamblu. Un profesor de matematică întâmpină destul de des problemele de calcul ale studenților care îi împiedică să obțină rezultate bune.

Cu ce ​​fel de studenți trebuie să lucreze un tutor? Părinții au nevoie de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică, dar copilul lor nu poate înțelege fracțiile obișnuite sau este confundat de numere negative. Ce măsuri ar trebui să întreprindă un profesor de matematică în astfel de cazuri? Cum să ajuți un student? Profesorul nu are timp pentru un studiu pe îndelete și consecvent al regulilor, așa că metodele tradiționale trebuie adesea înlocuite cu niște „acceleratoare semifabricate” artificiale, ca să spunem așa. În acest articol voi descrie una dintre modalitățile posibile de a dezvolta abilitatea de a efectua acțiuni cu numere negative și anume scăderea acestora.

Să presupunem că un profesor de matematică are plăcerea de a lucra cu un elev foarte slab ale cărui cunoștințe nu se extind dincolo de cele mai simple calcule cu numere pozitive. Să presupunem, de asemenea, că tutorele a reușit să explice legile adunării și să se apropie de regula a-b=a+(-b). De ce puncte ar trebui să țină cont un profesor de matematică?

Reducerea scăderii la adunare nu este o transformare simplă și evidentă. Manualele oferă formulări matematice stricte și precise: „Pentru a scădea numărul „b” din numărul „a”, trebuie să adăugați numărul opus „b” la numărul „a”. În mod formal, nu puteți găsi greșeli în text, dar de îndată ce un profesor de matematică începe să-l folosească ca instrucțiuni pentru efectuarea unor calcule specifice, apar probleme. Numai fraza merită: „Pentru a scădea, trebuie să adaugi”. Fără un comentariu clar din partea tutorelui, elevul nu va înțelege. De fapt, ce ar trebui să faceți: scădeți sau adăugați?

Dacă lucrați cu regula conform intenției autorilor manualului, atunci, pe lângă exersarea conceptului de „număr opus”, trebuie să-l învățați pe elev să relaționeze notațiile „a” și „b” cu realul. numerele din exemplu. Și asta va dura timp. Avand in vedere si faptul ca elevul gandeste si scrie in acelasi timp, sarcina tutorelui de matematica devine si mai complicata. Un elev slab nu are memorie vizuală, semantică și motorie bună și, prin urmare, este mai bine să oferiți un text alternativ al regulii:

Pentru a scădea al doilea din primul număr, aveți nevoie
A) Rescrie primul număr
B) Pune un plus
B) Înlocuiți semnul celui de-al doilea număr cu cel opus
D) Adaugă numerele rezultate

Aici etapele algoritmului sunt clar împărțite în puncte și nu sunt legate de denumirile literelor.

În cursul rezolvării unei sarcini practice de traducere, profesorul de matematică recitește acest text elevului de mai multe ori (pentru memorare). Te sfătuiesc să-l notezi în caietul teoretic. Numai după ce ați stabilit regula pentru trecerea la adunare puteți scrie forma generală a-b=a+(-b)

Mișcarea semnelor minus și plus în capul unui copil (atât unul mic, cât și un adult slab) amintește oarecum de Brownian. Profesorul de matematică trebuie să pună ordine în acest haos cât mai repede posibil. În procesul de rezolvare a exemplelor se folosesc indicii de sprijin (verbale și vizuale), care, combinate cu o formatare îngrijită și detaliată, își fac treaba. Trebuie amintit că fiecare cuvânt rostit de un profesor de matematică în momentul rezolvării oricărei probleme poartă fie un indiciu, fie o piedică. Fiecare frază este analizată de către copil pentru a stabili o legătură cu unul sau altul obiect (fenomen) matematic și imaginea acestuia pe hârtie.

O problemă tipică pentru școlarii slabi este separarea semnului unei acțiuni de semnul numărului implicat în aceasta. Aceeași imagine vizuală face dificilă recunoașterea minuendului „a” și a „b” scăzut în diferența a-b. Când un profesor de matematică citește o expresie în timpul unei explicații, trebuie să vă asigurați că cuvântul „scădere” este folosit în loc de „-”. Este necesar! De exemplu, intrarea ar trebui să scrie: „Din minus cinci scădea minus trei.” Nu trebuie să uităm de regula traducerii în adăugare: „Astfel încât de la numărul „a” scădea numărul „b” este necesar...”

Dacă un profesor de matematică spune în mod constant „minus 5 minus 3”, atunci este clar că elevului îi va fi mai dificil să-și imagineze structura exemplului. O corespondență unu-la-unu între un cuvânt și o operație aritmetică ajută un profesor de matematică să transmită cu precizie informații.

Cum poate un tutore să explice trecerea la adăugare?

Desigur, puteți face referire la definiția „scăderii” și căutați numărul care trebuie adăugat la „b” pentru a obține „a”. Cu toate acestea, un elev slab se gândește departe de matematică strictă, iar tutorele va avea nevoie de unele analogii cu acțiuni simple atunci când lucrează cu el. Le spun adesea elevilor mei de clasa a șasea: „La matematică nu există o operație aritmetică precum diferența”. Notația 5 – 3 este o notație simplă pentru rezultatul adunării 5+(-3). Semnul plus este pur și simplu omis și nu este scris.”

Copiii sunt surprinși de cuvintele tutorelui și își amintesc involuntar că nu pot scădea numere direct. Profesorul de matematică declară termenii 5 și -3 și, pentru a-și face cuvintele mai persuasive, compară rezultatele acțiunilor 5-3 și 5+(-3). După aceasta se scrie identitatea a-b=a+(-b).

Indiferent de tipul de student și indiferent de cât timp are profesorul de matematică pentru a lucra cu el, trebuie să dezvolți la timp conceptul de „număr opus”. Intrarea „-x” merită o atenție specială din partea unui profesor de matematică. Un elev de clasa a VI-a trebuie să învețe că nu reprezintă un număr negativ, ci opusul lui X.

Este necesar să ne oprim separat asupra calculelor cu două semne minus situate unul lângă celălalt. Se pune problema înțelegerii funcționării îndepărtării lor simultane. Trebuie să parcurgeți cu atenție toate punctele algoritmului subliniat pentru trecerea la adăugare. Va fi mai bine dacă, când se lucrează cu diferența -5- (-3), înainte de a face orice comentarii, profesorul de matematică va evidenția într-un cadru numerele -5 și -3 sau le va sublinia. Acest lucru îl va ajuta pe elev să identifice componentele acțiunii.

Profesorul de matematică se concentrează pe memorare

Memorarea sigură este rezultatul aplicării practice a regulilor matematice, de aceea este important ca tutorele să asigure o bună densitate a exemplelor rezolvate independent. Pentru a îmbunătăți stabilitatea memorării, puteți solicita ajutor cu indicații vizuale - jetoane. De exemplu, o modalitate interesantă de a converti scăderea unui număr negativ în adunare. Profesorul de matematică conectează două minusuri cu o singură linie (așa cum se arată în figură), iar privirea elevului se deschide către un semn plus (la intersecția cu paranteza).

Pentru a preveni distragerea atenției, recomand profesorilor de matematică să evidențieze minuend și subtrahend cu casete. Dacă un profesor de matematică folosește cadre sau cercuri pentru a evidenția componentele unei operații aritmetice, atunci elevul va putea să vadă mai ușor și mai rapid structura exemplului și să o relaționeze cu regula corespunzătoare. Când elaborați soluții, nu trebuie să plasați bucăți din întregul obiect pe linii diferite ale unei foi de caiet și, de asemenea, să începeți să adăugați până când este scris. Toate acțiunile și tranzițiile sunt în mod necesar afișate (cel puțin la începutul studierii subiectului).

Unii profesori de matematică se străduiesc să justifice cu exactitate 100% regulile de traducere, considerând această strategie singura corectă și utilă pentru dezvoltarea abilităților de calcul. Cu toate acestea, practica arată că această cale nu aduce întotdeauna dividende bune. Necesitatea de a înțelege ceea ce face o persoană apare cel mai adesea după memorarea etapelor algoritmului utilizat și consolidarea practică a operațiilor de calcul.

Este extrem de important să exersați trecerea la o sumă într-o expresie numerică lungă cu mai multe scăderi, de exemplu. Înainte de a număra sau de a converti, îl pun pe elev să încercuiască numerele împreună cu semnele lor din stânga. Figura arată un exemplu despre modul în care un profesor de matematică identifică termenii. Pentru elevii de clasa a șasea foarte slabi, puteți colora suplimentar cercurile. Utilizați o culoare pentru termenii pozitivi și o altă culoare pentru termenii negativi. La ocazii speciale, iau foarfecele și tai expresia în bucăți. Ele pot fi rearanjate arbitrar, simulând astfel rearanjarea termenilor. Copilul va vedea că semnele se mișcă împreună cu termenii înșiși. Adică, dacă semnul minus a fost în stânga numărului 5, atunci indiferent unde vom muta cardul corespunzător, acesta nu se va desprinde de cinci.

Kolpakov A.N. Tutor de matematică pentru clasele 5-6. Moscova. Strogino.

În acest articol vom vorbi despre adunarea numerelor negative. Mai întâi dăm regula pentru adunarea numerelor negative și o dovedim. După aceasta, ne vom uita la exemple tipice de adăugare a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Înainte de a formula regula pentru adăugarea numerelor negative, să ne întoarcem la materialul din articol: numere pozitive și negative. Acolo am menționat că numerele negative pot fi percepute ca datorie, iar modulul numărului în acest caz determină valoarea acestei datorii. Prin urmare, adăugarea a două numere negative este adăugarea a două datorii.

Această concluzie ne permite să ne dăm seama regula de adunare a numerelor negative. Pentru a adăuga două numere negative, aveți nevoie de:

• pliați modulele lor;
• pune semnul minus în fața sumei primite.

Să notăm regula pentru adunarea numerelor negative −a și −b sub formă de litere: (−a)+(−b)=−(a+b) .

Este clar că regula enunțată reduce adunarea numerelor negative la adunarea numerelor pozitive (modulul unui număr negativ este un număr pozitiv). De asemenea, este clar că rezultatul adunării a două numere negative este un număr negativ, așa cum o demonstrează semnul minus care este plasat în fața sumei modulelor.

Regula de adunare a numerelor negative poate fi demonstrată pe baza proprietăţile operaţiilor cu numere reale(sau aceleași proprietăți ale operațiilor cu numere raționale sau întregi). Pentru a face acest lucru, este suficient să arătăm că diferența dintre laturile stângă și dreaptă ale egalității (−a)+(−b)=−(a+b) este egală cu zero.

Deoarece scăderea unui număr este la fel cu adăugarea numărului opus (vezi regula pentru scăderea numerelor întregi), atunci (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b). Datorită proprietăților comutative și combinative ale adunării, avem (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Deoarece suma numerelor opuse este egală cu zero, atunci (−a+a)+(−b+b)=0+0 și 0+0=0 datorită proprietății de a adăuga un număr cu zero. Aceasta dovedește egalitatea (−a)+(−b)=−(a+b) și, prin urmare, regula de adunare a numerelor negative.

Astfel, această regulă de adunare se aplică atât numerelor întregi negative și numerelor raționale, cât și numerelor reale.

Tot ce rămâne este să înveți cum să aplici în practică regula de adunare a numerelor negative, ceea ce vom face în paragraful următor.

Exemple de adunare a numerelor negative

Să rezolvăm exemple de adunare a numerelor negative. Să începem cu cel mai simplu caz - adăugarea numerelor întregi negative; vom efectua adăugarea conform regulii discutate în paragraful anterior.

Adăugați numerele negative −304 și −18.007.

Să urmăm toți pașii regulii pentru adăugarea numerelor negative.

Mai întâi găsim modulele numerelor adăugate: și . Acum trebuie să adăugați numerele rezultate; aici este convenabil să efectuați adăugarea coloanelor:

Acum punem un semn minus în fața numărului rezultat, ca rezultat avem −18.311.

Să scriem întreaga soluție într-o formă scurtă: (−304)+(−18.007)= −(304+18.007)=−18.311.

Adunarea numerelor raționale negative, în funcție de numerele în sine, se poate reduce fie la adunarea numerelor naturale, fie la adunarea fracțiilor obișnuite, fie la adăugarea fracțiilor zecimale.

Adăugați un număr negativ și un număr negativ −4,(12) .

Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să calculați suma modulelor. Modulele numerelor negative care se adaugă sunt egale cu 2/5 și, respectiv, 4 (12). Adunarea numerelor rezultate poate fi redusă la adunarea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, convertim fracția zecimală periodică într-o fracție obișnuită: . Astfel, 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Acum să efectuăm adunarea fracțiilor cu diferiți numitori: .

Nu rămâne decât să punem un semn minus în fața numărului rezultat: . Aceasta completează adăugarea numerelor negative originale.

Folosind aceeași regulă pentru adunarea numerelor negative, se adaugă și numere reale negative. Este demn de remarcat aici că rezultatul adunării numerelor reale este foarte des scris sub forma unei expresii numerice, iar valoarea acestei expresii este calculată aproximativ și apoi numai dacă este necesar.

De exemplu, să găsim suma numerelor negative și −5. Modulele acestor numere sunt egale cu rădăcina pătrată a lui trei și, respectiv, cinci, iar suma numerelor originale este egală cu . Așa este scris răspunsul. Alte exemple pot fi găsite în articol adunarea numerelor reale.

www.cleverstudents.ru

Regula de adunare a două numere negative

Acțiuni cu numere negative și pozitive

Valoarea absolută (modul). Plus.

Scădere. Multiplicare. Divizia.

Valoarea absolută (modul). Pentru număr negativ– este un număr pozitiv obținut prin schimbarea semnului său din „–” în „+”; Pentru număr pozitiv și zero– acesta este numărul în sine. Pentru a indica valoarea absolută (modulul) unui număr se folosesc două linii drepte, în interiorul cărora este scris acest număr.

EXEMPLE: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

1) Când se adună două numere cu aceleași semne, acestea se adună

valorile lor absolute și un semn comun este plasat în fața sumei.

2) Când se adună două numere cu semne diferite, valorile lor absolute sunt

se scad cantitățile (din cea mai mare mai mică) și se pune semnul

numere cu o valoare absolută mai mare.

Scădere. Puteți înlocui scăderea a două numere cu adunare, în care minuendul își păstrează semnul, iar subtrahendul este luat cu semnul opus.

(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;

(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;

(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;

(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;

Multiplicare. La înmulțirea a două numere, valorile lor absolute sunt înmulțite, iar produsul ia semnul „+” dacă semnele factorilor sunt aceleași și semnul „–” dacă semnele factorilor sunt diferite.

Următoarea diagramă este utilă ( regulile semnelor de multiplicare):

La înmulțirea mai multor numere (două sau mai multe), produsul are semnul „+” dacă numărul de factori negativi este par și un semn „–” dacă numărul lor este impar.

Divizia. La împărțirea a două numere, valoarea absolută a dividendului este împărțită la valoarea absolută a divizorului, iar câtul ia semnul „+” dacă semnele dividendului și divizorului sunt aceleași și semnul „–” dacă semnele dividendului și divizorului sunt diferite.

Acționează aici Aceeași regulile semnelor sunt aceleași ca pentru înmulțire:

Adăugarea numerelor negative

Adunarea numerelor pozitive și negative poate fi analizat folosind axa numerelor.

Adăugarea numerelor folosind o linie de coordonate

Este convenabil să efectuați adăugarea unor numere modulo mici pe o linie de coordonate, imaginându-vă mental modul în care punctul care indică numărul se mișcă de-a lungul axei numerelor.

Să luăm un număr, de exemplu, 3. Să-l notăm pe axa numerelor cu punctul „A”.

Să adăugăm numărul pozitiv 2 la număr. Aceasta va însemna că punctul „A” trebuie mutat două segmente de unitate în direcția pozitivă, adică spre dreapta. Ca rezultat, obținem punctul „B” cu coordonata 5.

Pentru a adăuga numărul negativ „−5” unui număr pozitiv, de exemplu, la 3, punctul „A” trebuie mutat cu 5 unități de lungime în direcția negativă, adică spre stânga.

În acest caz, coordonata punctului „B” este egală cu „2”.

Deci, ordinea adunării numerelor raționale folosind linia numerică va fi următoarea:

marcați punctul „A” pe linia de coordonate cu o coordonată egală cu primul termen;

mutați-l la o distanță egală cu modulul celui de-al doilea termen în direcția care corespunde semnului din fața celui de-al doilea număr (plus - mutați la dreapta, minus - la stânga);

punctul „B” obținut pe axă va avea o coordonată care va fi egală cu suma acestor numere.

Deplasându-ne de la punctul - 2 la stânga (deoarece există un semn minus în fața lui 6), obținem - 8.

Adunarea numerelor cu aceleași semne

Adăugarea numerelor raționale poate fi mai ușoară dacă utilizați conceptul de modul.

Să adăugăm numere care au aceleași semne.

Pentru a face acest lucru, aruncăm semnele numerelor și luăm modulele acestor numere. Să adunăm modulele și să punem semnul în fața sumei care era comună acestor numere.

Un exemplu de adăugare de numere negative.

Pentru a adăuga numere cu același semn, trebuie să adăugați modulele acestora și să puneți în fața sumei semnul care a fost înainte de termeni.

Adunarea numerelor cu semne diferite

Dacă numerele au semne diferite, atunci acționăm oarecum diferit decât atunci când adunăm numere cu aceleași semne.

Aruncăm semnele din fața numerelor, adică le luăm modulele.

Din modulul mai mare îl scadem pe cel mai mic.

Înainte de diferență am pus semnul care era în numărul cu un modul mai mare.

Exemplu de adăugare a unui număr negativ și a unui număr pozitiv.

Un exemplu de adăugare de numere mixte.

La adăugați numere de semne diferite necesar:

• scade modulul mai mic din modulul mai mare;
• Înainte de diferența rezultată, puneți semnul numărului cu modulul mai mare.

Adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative

Nu pot înțelege nimic?

Încercați să cereți ajutor profesorilor dvs

Regula de adunare a numerelor negative

Pentru a adăuga două numere negative aveți nevoie de:

• efectuează adăugarea modulelor lor;
• adăugați un semn „–” la suma primită.

Conform regulii de adunare, putem scrie:

Regula de adunare a numerelor negative se aplică numerelor întregi negative, numerelor raționale și numerelor reale.

Adăugați numerele negative $−185$ și $−23\789.$

Să folosim regula pentru a adăuga numere negative.

Să adăugăm numerele rezultate:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Puneți semnul $“–”$ în fața numărului găsit și obțineți $−23,974$.

Soluție scurtă: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.

Când se adună numere raționale negative, acestea trebuie convertite în numere naturale, fracții ordinare sau zecimale.

Adăugați numerele negative $-\frac $ și $−7,15$.

Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să găsiți suma modulelor:

Este convenabil să reduceți valorile obținute la fracții zecimale și să efectuați adunarea lor:

Să punem semnul $“–”$ în fața valorii rezultate și să obținem $–7,4$.

Scurt rezumat al soluției:

Adunarea numerelor cu semne opuse

Regula de adunare a numerelor cu semne opuse:

• calcula modulele de numere;
• comparați numerele rezultate:

dacă sunt egale, atunci numerele originale sunt opuse și suma lor este zero;

dacă nu sunt egale, atunci trebuie să vă amintiți semnul numărului al cărui modul este mai mare;

• scade pe cel mai mic din modulul mai mare;
• Înainte de valoarea rezultată, puneți semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Adunarea numerelor cu semne opuse înseamnă scăderea unui număr negativ mai mic dintr-un număr pozitiv mai mare.

Regula de adunare a numerelor cu semne opuse se aplică numerelor întregi, raționale și reale.

Adăugați numerele $4$ și $−8$.

Trebuie să adăugați numere cu semne opuse. Să folosim regula de adunare corespunzătoare.

Să găsim modulele acestor numere:

Modulul numărului $−8$ este mai mare decât modulul numărului $4$, adică. amintiți-vă semnul $“–”$.

Să punem semnul $“–”$, pe care l-am amintit, în fața numărului rezultat și obținem $−4.$

Prea lene să citești?

Pune o întrebare experților și obține
raspuns in 15 minute!

Pentru a adăuga numere raționale cu semne opuse, este convenabil să le reprezentați sub formă de fracții ordinare sau zecimale.

Scăderea numerelor negative

Regula pentru scăderea numerelor negative:

Pentru a scădea un număr negativ $b$ dintr-un număr $a$, este necesar să adăugați numărul $−b$ la minuend $a$, care este opusul subtraendului $b$.

După regula scăderii, putem scrie:

Această regulă este valabilă pentru numere întregi, raționale și reale. Regula poate fi folosită pentru a scădea un număr negativ dintr-un număr pozitiv, dintr-un număr negativ și din zero.

Scădeți numărul negativ $−5$ din numărul negativ $−28$.

Numărul opus pentru numărul $–5$ este numărul $5$.

Conform regulii de scădere a numerelor negative, obținem:

Să adunăm numere cu semne opuse:

Rezolvare scurtă: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Când scădeți fracții negative, trebuie să convertiți numerele în fracții, numere mixte sau zecimale.

Scăderea numerelor cu semne opuse

Regula pentru scăderea numerelor cu semne opuse este aceeași cu regula pentru scăderea numerelor negative.

Scădeți numărul pozitiv $7$ din numărul negativ $−11$.

Opusul de $7$ este $–7$.

Conform regulii de scădere a numerelor cu semne opuse, obținem:

Să adăugăm numere negative:

La scăderea numerelor fracționale cu semne opuse, este necesar să convertiți numerele în forma de fracții ordinare sau zecimale.

Nu am găsit niciodată răspunsul
la intrebarea ta?

Doar scrie ceea ce ai nevoie
este nevoie de ajutor

Adunarea numerelor negative: regulă, exemple

În acest material, vom atinge un subiect atât de important precum adăugarea numerelor negative. În primul paragraf vă vom spune regula de bază pentru această acțiune, iar în al doilea ne vom uita la exemple specifice de rezolvare a unor astfel de probleme.

Regula de bază pentru adunarea numerelor naturale

Înainte de a deriva regula, să ne amintim ce știm în general despre numerele pozitive și negative. Anterior, am convenit că numerele negative ar trebui percepute ca datorii, pierderi. Modulul unui număr negativ exprimă mărimea exactă a acestei pierderi. Apoi, adunarea numerelor negative poate fi reprezentată ca adunarea a două pierderi.

Folosind acest raționament, formulăm regula de bază pentru adunarea numerelor negative.

Pentru a completa adunarea numerelor negative, trebuie să adunați valorile modulelor lor și să puneți un minus în fața rezultatului. În formă literală, formula arată ca (− a) + (− b) = − (a + b) .

Pe baza acestei reguli, putem concluziona că adunarea numerelor negative este asemănătoare cu adunarea celor pozitive, doar că în final trebuie să obținem un număr negativ, deoarece trebuie să punem semnul minus în fața sumei modulelor.

Ce dovezi pot fi date pentru această regulă? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile de bază ale operațiilor cu numere reale (sau cu numere întregi, sau cu numere raționale - sunt aceleași pentru toate aceste tipuri de numere). Pentru a o demonstra, trebuie doar să demonstrăm că diferența dintre părțile stânga și dreaptă ale egalității (− a) + (− b) = − (a + b) va fi egală cu 0.

Scăderea unui număr dintr-altul este la fel cu adăugarea aceluiași număr opus. Prin urmare, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Reamintim că expresiile numerice cu adunare au două proprietăți principale - asociativă și comutativă. Atunci putem concluziona că (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Deoarece, adunând numere opuse, obținem întotdeauna 0, atunci (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 și 0 + 0 = 0. Egalitatea noastră poate fi considerată dovedită, ceea ce înseamnă regula pentru adunarea numerelor negative Am demonstrat-o și noi.

Probleme care implică adăugarea numerelor negative

În al doilea paragraf, vom lua probleme specifice în care trebuie să adăugăm numere negative și vom încerca să le aplicăm regula învățată.

Aflați suma a două numere negative - 304 și - 18.007.

Soluţie

Să executăm pașii pas cu pas. Mai întâi trebuie să găsim modulele numerelor adăugate: - 304 = 304, - 180007 = 180007. În continuare trebuie să efectuăm acțiunea de adăugare, pentru care folosim metoda de numărare a coloanelor:



Tot ce ne rămâne este să punem un minus în fața rezultatului și să obținem - 18.311.

Răspuns: — — 18 311 .

Ce numere avem depinde de la ce putem reduce acțiunea de adunare: găsirea sumei numerelor naturale, adăugarea de fracții ordinare sau zecimale. Să analizăm problema cu aceste numere.

Aflați suma a două numere negative - 2 5 și − 4, (12).

Găsim modulele numerelor necesare și obținem 2 5 și 4, (12). Avem două fracții diferite. Să reducem problema la adunarea a două fracții ordinare, pentru care reprezentăm fracția periodică sub forma uneia obișnuite:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

Drept urmare, am primit o fracție care va fi ușor de adăugat cu primul termen original (dacă ați uitat cum să adăugați corect fracții cu diferiți numitori, repetați materialul corespunzător).

2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

Drept urmare, am obținut un număr mixt, în fața căruia trebuie doar să punem un minus. Aceasta completează calculele.

Răspuns: — 4 86 105 .

Numerele reale negative se adună într-un mod similar. Rezultatul unei astfel de acțiuni este de obicei scris ca o expresie numerică. Este posibil ca valoarea sa să nu fie calculată sau limitată la calcule aproximative. Deci, de exemplu, dacă trebuie să găsim suma - 3 + (− 5), atunci scriem răspunsul ca - 3 − 5. Am dedicat un material separat adunării numerelor reale, în care puteți găsi alte exemple.

Să începem cu un exemplu simplu. Să determinăm cu ce este egală expresia 2-5. Din punctul +2 vom pune jos cinci diviziuni, două la zero și trei sub zero. Să ne oprim la punctul -3. Adică 2-5=-3. Acum observați că 2-5 nu este deloc egal cu 5-2. Dacă în cazul adunării numerelor ordinea lor nu contează, atunci în cazul scăderii totul este diferit. Ordinea numerelor contează.

Acum să trecem la zona negativă cântare. Să presupunem că trebuie să adăugăm +5 la -2. (De acum înainte, vom pune semnele „+” în fața numerelor pozitive și vom include atât numerele pozitive, cât și cele negative între paranteze pentru a nu confunda semnele din fața numerelor cu semnele de adunare și scădere.) Acum problema noastră se poate scrie ca (-2)+ (+5). Pentru a o rezolva, urcăm cinci diviziuni de la punctul -2 și ajungem la punctul +3.

Există vreo semnificație practică a acestei sarcini? Desigur că au. Să presupunem că aveți datorii de 2 USD și că ați câștigat 5 USD. În acest fel, după ce vei achita datoria, vei mai avea 3 dolari.

De asemenea, vă puteți deplasa în jos în zona negativă a scalei. Să presupunem că trebuie să scazi 5 din -2 sau (-2)-(+5). De la punctul -2 pe scară, coborâți cinci divizii și ajungeți la punctul -7. Care este sensul practic al acestei sarcini? Să presupunem că datorați 2 USD și a trebuit să împrumutați încă 5 USD. Acum datorați 7 USD.

Vedem că cu numere negative putem face la fel operații de adunare și scădere, ca si la cele pozitive.

Adevărat, nu am stăpânit încă toate operațiunile. Am adăugat doar numerelor negative și am scăzut doar cele pozitive din numerele negative. Ce ar trebui să faceți dacă trebuie să adăugați numere negative sau să scădeți numere negative din numerele negative?

În practică, acest lucru este similar cu tranzacțiile cu datorii. Să presupunem că ai fost taxat cu 5 USD în datorii, înseamnă același lucru ca și cum ai primi 5 USD. Pe de altă parte, dacă te oblig cumva să accepți responsabilitatea pentru datoria de 5 USD a altcuiva, ar fi același lucru cu a-ți lua acei 5 USD de la tine. Adică, scăderea -5 este la fel cu adăugarea +5. Și adăugarea -5 este la fel cu scăderea +5.

Acest lucru ne permite să scăpăm de operația de scădere. Într-adevăr, „5-2” este același cu (+5)-(+2) sau conform regulii noastre (+5)+(-2). În ambele cazuri obținem același rezultat. Din punctul +5 pe scară trebuie să coborâm două divizii și obținem +3. În cazul lui 5-2 acest lucru este evident, deoarece scăderea este o mișcare în jos.

În cazul lui (+5)+(-2) acest lucru este mai puțin evident. Adăugăm un număr, ceea ce înseamnă că urcăm scara, dar adăugăm un număr negativ, ceea ce înseamnă că facem opusul, iar acești doi factori luați împreună înseamnă că nu trebuie să urcăm scara, ci invers. direcția, adică în jos.

Astfel, primim din nou răspunsul +3.

De ce, mai exact, este necesar? înlocuiți scăderea cu adunarea? De ce să urcăm „în sens opus”? Nu este mai ușor să te miști în jos? Motivul este că în cazul adunării ordinea termenilor nu contează, dar în cazul scăderii este foarte importantă.

Am aflat deja mai devreme că (+5)-(+2) nu este deloc la fel cu (+2)-(+5). În primul caz răspunsul este +3, iar în al doilea -3. Pe de altă parte, (-2)+(+5) și (+5)+(-2) au ca rezultat +3. Astfel, prin trecerea la adunarea și renunțarea la operațiunile de scădere, putem evita erorile aleatorii asociate cu rearanjarea aditivilor.

Puteți face același lucru când scădeți un negativ. (+5)-(-2) este același cu (+5)+(+2). În ambele cazuri obținem răspunsul +7. Începem de la punctul +5 și ne deplasăm „în jos în direcția opusă”, adică în sus. Am proceda exact în același mod atunci când rezolvăm expresia (+5)+(+2).

Elevii folosesc în mod activ înlocuirea scăderii cu adunarea atunci când încep să studieze algebra și, prin urmare, această operație se numește "adunare algebrică". De fapt, acest lucru nu este în întregime corect, deoarece o astfel de operație este evident aritmetică și deloc algebrică.

Aceste cunoștințe sunt neschimbate pentru toată lumea, așa că, chiar dacă primiți educație în Austria prin www.salls.ru, deși studiul în străinătate este apreciat mai mult, veți putea aplica aceste reguli și acolo.

Aproape întregul curs de matematică se bazează pe operații cu numere pozitive și negative. La urma urmei, de îndată ce începem să studiem linia de coordonate, numerele cu semne plus și minus încep să apară peste tot, în fiecare subiect nou. Nu este nimic mai ușor decât adunarea numerelor pozitive obișnuite; nu este dificil să scazi unul din celălalt. Chiar și aritmetica cu două numere negative este rareori o problemă.

Cu toate acestea, mulți oameni devin confuzi cu privire la adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite. Să ne amintim regulile după care au loc aceste acțiuni.

Adunarea numerelor cu semne diferite

Dacă pentru a rezolva o problemă trebuie să adăugăm un număr negativ „-b” unui număr „a”, atunci trebuie să acționăm după cum urmează.

• Să luăm modulele ambelor numere - |a| și |b| - și comparați aceste valori absolute între ele.
• Să notăm care modul este mai mare și care este mai mic și scădem valoarea mai mică din valoarea mai mare.
• Să punem în fața numărului rezultat semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Acesta va fi răspunsul. O putem spune mai simplu: dacă în expresia a + (-b) modulul numărului „b” este mai mare decât modulul „a”, atunci scădem „a” din „b” și punem un „minus”. ” în fața rezultatului. Dacă modulul „a” este mai mare, atunci „b” se scade din „a” - iar soluția se obține cu semnul „plus”.

De asemenea, se întâmplă ca modulele să fie egale. Dacă da, atunci ne putem opri în acest moment - vorbim de numere opuse, iar suma lor va fi întotdeauna egală cu zero.

Scăderea numerelor cu semne diferite

Ne-am ocupat de adunare, acum să ne uităm la regula pentru scădere. De asemenea, este destul de simplu - și, în plus, repetă complet o regulă similară pentru scăderea a două numere negative.

Pentru a scădea dintr-un anumit număr „a” - arbitrar, adică cu orice semn - un număr negativ „c”, trebuie să adăugați la numărul nostru arbitrar „a” numărul opus „c”. De exemplu:

• Dacă „a” este un număr pozitiv și „c” este negativ și trebuie să scazi „c” din „a”, atunci îl scriem astfel: a – (-c) = a + c.
• Dacă „a” este un număr negativ, iar „c” este pozitiv, iar „c” trebuie să fie scăzut din „a”, atunci îl scriem după cum urmează: (- a)– c = - a+ (-c).

Astfel, la scăderea numerelor cu semne diferite ajungem să revenim la regulile adunării, iar la adunarea numerelor cu semne diferite, revenim la regulile scăderii. Memorarea acestor reguli vă permite să rezolvați problemele rapid și ușor.