Abilitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă atunci când se rezolvă o serie de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune figuri este piramida. În acest articol vom lua în considerare atât piramidele complete, cât și cele trunchiate.

Piramida ca o figură tridimensională

Toată lumea știe despre piramidele egiptene, așa că au o idee bună despre ce fel de figură vom vorbi. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.

Obiectul geometric luat în considerare în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este legat de un anumit punct din spațiu care nu aparține planului bazei. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.

Orice piramidă este formată din n+1 fețe, 2*n muchii și n+1 vârfuri. Deoarece figura în cauză este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă egalitatea lui Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligonul situat la bază dă numele piramidei, de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Un set de piramide cu baze diferite este prezentat în fotografia de mai jos.

Punctul în care se întâlnesc n triunghiuri ale unei figuri se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea pe bază și o intersectează la centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci apare o piramidă înclinată.

O figură dreaptă a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (echiunghiular) se numește regulată.

Formula pentru volumul unei piramide

Pentru a calcula volumul piramidei, vom folosi calculul integral. Pentru a face acest lucru, împărțim figura tăind planuri paralele cu baza într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care patrulaterul marchează stratul subțire al secțiunii.

Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată folosind formula:

A(z) = A0 *(h-z)2/h2.

Aici A 0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z = 0, atunci formula dă valoarea A 0 .

Pentru a obține formula pentru volumul unei piramide, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Înlocuind dependența A(z) și calculând antiderivată, ajungem la expresia:

V = -A0 *(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Am obținut formula pentru volumul unei piramide. Pentru a găsi valoarea lui V, înmulțiți doar înălțimea figurii cu aria bazei, apoi împărțiți rezultatul la trei.

Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de orice tip. Adică poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.

și volumul acestuia

Formula generală pentru volum obținută în paragraful de mai sus poate fi rafinată în cazul unei piramide cu o bază regulată. Aria unei astfel de baze se calculează folosind următoarea formulă:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este numărul pi.

Înlocuind expresia pentru A 0 în formula generală, obținem volumul unei piramide regulate:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă are ca rezultat următoarea expresie:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, formula volumului ia forma:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Determinarea volumelor piramidelor obișnuite necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.

Piramida trunchiată

Să presupunem că am luat o piramidă arbitrară și am tăiat o parte din suprafața ei laterală care conține vârful. Figura rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze paralele similare. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeilalte cu un anumit coeficient k.

Figura de mai sus prezintă una regulată trunchiată.Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.

Formula care poate fi derivată folosind calcul integral similar cu cea de mai sus este:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Unde A 0 și A 1 sunt zonele bazei inferioare (mare) și, respectiv, superioară (mici). Variabila h desemnează înălțimea piramidei trunchiate.

Volumul piramidei lui Keops

Este interesant de rezolvat problema determinării volumului pe care cea mai mare piramidă egipteană îl conține în interiorul ei.

În 1984, egiptologii britanici Mark Lehner și Jon Goodman au stabilit dimensiunile exacte ale piramidei lui Cheops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungimea medie a fiecăreia dintre cele patru laturi ale structurii a fost de 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.

Să folosim cifrele date pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este patruunghiulară regulată, atunci formula este valabilă pentru ea:

Înlocuind numerele, obținem:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumul piramidei lui Keops este de aproape 2,6 milioane m3. Pentru comparație, observăm că piscina olimpică are un volum de 2,5 mii m 3. Adică pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops vei avea nevoie de peste 1000 de astfel de bazine!

este un poliedru care este format din baza piramidei și o secțiune paralelă cu aceasta. Putem spune că o piramidă trunchiată este o piramidă cu vârful tăiat. Această cifră are multe proprietăți unice:

• Fețele laterale ale piramidei sunt trapeze;
• Marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de aceeași lungime și înclinate față de bază la același unghi;
• Bazele sunt poligoane asemănătoare;
• Într-o piramidă trunchiată obișnuită, fețele sunt trapeze isoscele identice, a căror zonă este egală. Ele sunt, de asemenea, înclinate către bază la un unghi.

Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este suma ariilor laturilor sale:

Deoarece laturile unei piramide trunchiate sunt trapeze, pentru a calcula parametrii va trebui să utilizați formula zona trapezoidală. Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, puteți aplica o formulă diferită pentru calcularea ariei. Deoarece toate laturile, fețele și unghiurile sale de la bază sunt egale, este posibil să se aplice perimetrele bazei și ale apotemului și, de asemenea, să se obțină aria prin unghiul de la bază.

Dacă, conform condițiilor dintr-o piramidă trunchiată obișnuită, sunt date apotema (înălțimea laturii) și lungimile laturilor bazei, atunci aria poate fi calculată prin semiprodusul sumei perimetrelor de bazele și apotema:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.
Dată o piramidă pentagonală regulată. Apotema l= 5 cm, lungimea marginii din baza mare este A= 6 cm, iar marginea este la baza mai mică b= 4 cm Calculați aria piramidei trunchiate.

Mai întâi, să găsim perimetrele bazelor. Deoarece ni se oferă o piramidă pentagonală, înțelegem că bazele sunt pentagoane. Aceasta înseamnă că bazele conțin o figură cu cinci laturi identice. Să găsim perimetrul bazei mai mari:

În același mod găsim perimetrul bazei mai mici:

Acum putem calcula aria unei piramide trunchiate obișnuite. Înlocuiți datele în formula:

Astfel, am calculat aria unei piramide trunchiate obișnuite prin perimetre și apotema.

O altă modalitate de a calcula suprafața laterală a unei piramide obișnuite este formula prin unghiurile de la bază și zona acestor baze.

Să ne uităm la un exemplu de calcul. Ne amintim că această formulă se aplică numai unei piramide trunchiate obișnuite.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Marginea bazei inferioare este a = 6 cm, iar marginea bazei superioare este b = 4 cm. Unghiul diedric la bază este β = 60°. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite.

Mai întâi, să calculăm aria bazelor. Deoarece piramida este regulată, toate marginile bazelor sunt egale între ele. Având în vedere că baza este un patrulater, înțelegem că va fi necesar să se calculeze zona pătratului. Este produsul lățimii și lungimii, dar la pătrat aceste valori sunt aceleași. Să găsim aria bazei mai mari:


Acum folosim valorile găsite pentru a calcula suprafața laterală.

Cunoscând câteva formule simple, am calculat cu ușurință aria trapezului lateral al unei piramide trunchiate folosind diferite valori.

Un poliedru în care una dintre fețele sale este un poligon și toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun, se numește piramidă.

Aceste triunghiuri care alcătuiesc piramida se numesc fetele laterale, iar poligonul rămas este bază piramide.

La baza piramidei se află o figură geometrică - un n-gon. În acest caz, se mai numește și piramida n-carbon.

Se numește o piramidă triunghiulară ale cărei margini sunt toate egale tetraedru.

Marginile piramidei care nu aparțin bazei se numesc lateral, iar punctul lor comun este vârf piramide. Celelalte margini ale piramidei sunt de obicei numite părți la bază.

Piramida se numește corect, dacă are un poligon regulat la bază și toate marginile laterale sunt egale între ele.

Se numește distanța de la vârful piramidei până la planul bazei înălţime piramide. Putem spune că înălțimea piramidei este un segment perpendicular pe bază, ale cărui capete se află în vârful piramidei și pe planul bazei.

Pentru orice piramidă se aplică următoarele formule:

1) S plin = S lateral + S principal, Unde

S total - suprafața totală a piramidei;

Partea S – zona suprafeței laterale, adică suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei;

S principal - zona bazei piramidei.

2) V = 1/3 S baza N, Unde

V – volumul piramidei;

H – înălțimea piramidei.

Pentru piramida regulata apare:

Latura S = 1/2 P h principal, Unde

P principal – perimetrul bazei piramidei;

h este lungimea apotemului, adică lungimea înălțimii feței laterale coborâte din vârful piramidei.

Partea piramidei cuprinsă între două plane - planul bazei și planul de tăiere paralel cu bază se numește trunchi de piramidă.

Se numesc baza piramidei și secțiunea piramidei printr-un plan paralel motive trunchi de piramidă. Fețele rămase sunt numite lateral. Distanța dintre planele bazelor se numește înălţime trunchi de piramidă. Muchiile care nu aparțin bazelor sunt numite lateral.

În plus, baza piramidei trunchiate n-gonuri similare. Dacă bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane regulate și toate marginile laterale sunt egale între ele, atunci o astfel de piramidă trunchiată se numește corect.

Pentru piramidă trunchiată arbitrară se aplică următoarele formule:

1) S plin = S latura + S 1 + S 2, Unde

S total – suprafața totală;

Partea S – zona suprafeței laterale, adică suma ariilor tuturor fețelor laterale ale unei piramide trunchiate, care sunt trapeze;

S 1, S 2 – zone de bază;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Unde

V – volumul piramidei trunchiate;

H – înălțimea piramidei trunchiate.

Pentru piramida trunchiată obișnuită de asemenea avem:

Latura S = 1/2(P 1 + P 2) h, Unde

P 1, P 2 – perimetrele bazelor;

h – apotema (înălțimea feței laterale, care este un trapez).

Să luăm în considerare câteva probleme care implică o piramidă trunchiată.

Sarcina 1.

Într-o piramidă trunchiată triunghiulară cu înălțimea egală cu 10, laturile uneia dintre baze sunt 27, 29 și 52. Determinați volumul trunchiului piramidal dacă perimetrul celeilalte baze este 72.

Soluţie.

Luați în considerare piramida trunchiată ABCA 1 B 1 C 1 prezentată în Figura 1.

1. Volumul unei piramide trunchiate poate fi găsit folosind formula

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), unde S 1 este aria uneia dintre baze, poate fi găsit folosind formula lui Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

deoarece Problema oferă lungimile celor trei laturi ale unui triunghi.

Avem: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida este trunchiată, ceea ce înseamnă că la baze se află poligoane similare. În cazul nostru, triunghiul ABC este similar cu triunghiul A 1 B 1 C 1. În plus, coeficientul de similitudine poate fi găsit ca raport al perimetrelor triunghiurilor luate în considerare, iar raportul ariilor acestora va fi egal cu pătratul coeficientului de asemănare. Astfel avem:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Prin urmare, S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Deci, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Răspuns: 1900.

Sarcina 2.

Într-o piramidă trunchiată triunghiulară, un plan este trasat prin latura bazei superioare paralelă cu marginea laterală opusă. În ce raport se împarte volumul unei piramide trunchiate dacă laturile corespunzătoare ale bazelor sunt în raport de 1:2?

Soluţie.

Luați în considerare ABCA 1 B 1 C 1 - o piramidă trunchiată prezentată în orez. 2.

Deoarece laturile bazelor sunt în raportul 1:2, ariile bazelor sunt în raportul 1:4 (triunghiul ABC este similar cu triunghiul A 1 B 1 C 1).

Atunci volumul piramidei trunchiate este:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, unde S 2 – zona bazei superioare, h – înălțime.

Dar volumul prismei ADEA 1 B 1 C 1 este V 1 = S 2 h și, prin urmare,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Deci, V 2: V 1 = 3: 4.

Răspuns: 3:4.

Sarcina 3.

Laturile bazelor unei piramide trunchiate obișnuite sunt egale cu 2 și 1, iar înălțimea este 3. Un plan este trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor piramidei, paralel cu bazele piramidei, împărțind piramida în două părți. Aflați volumul fiecăruia dintre ele.

Soluţie.

Luați în considerare piramida trunchiată ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prezentată în orez. 3.

Să notăm O 1 O 2 = x, apoi OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Luați în considerare triunghiul B 1 O 2 D 1 și triunghiul BO 2 D:

unghiul B 1 O 2 D 1 este egal cu unghiul BO 2 D ca vertical;

unghiul BDO 2 este egal cu unghiul D 1 B 1 O 2 și unghiul O 2 ВD este egal cu unghiul B 1 D 1 O 2 situat transversal la B 1 D 1 || BD și secantele B₁D și, respectiv, BD₁.

Prin urmare, triunghiul B 1 O 2 D 1 este similar cu triunghiul BO 2 D și raportul laturilor este:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 sau 1/2 = x/(x – 3), de unde x = 1.

Luați în considerare triunghiul B 1 D 1 B și triunghiul LO 2 B: unghiul B este comun și există și o pereche de unghiuri unilaterale la B 1 D 1 || LM, ceea ce înseamnă că triunghiul B 1 D 1 B este similar cu triunghiul LO 2 B, din care B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, adică.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Atunci S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Deci, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Raspuns: 152/27; 37/27.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară cu toate muchiile egale tetraedru .

Coastă laterală a unei piramide este latura feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotema . Secțiune diagonală se numește secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafața laterală piramida este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă toate marginile laterale ale unei piramide au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc circumscris lângă bază.

3. Dacă toate fețele dintr-o piramidă sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula corectă este:

Unde V- volum;

S baza– suprafata de baza;

H– înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

h a– apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S baza– suprafata de baza;

V– volumul unei piramide regulate.

Piramida trunchiată numită partea de piramidă închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată obișnuită numită partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Motive trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale – trapeze. Înălţime a unei piramide trunchiate este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală este o secțiune a unei trunchi de piramidă printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 – zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin– suprafata totala;

partea S– suprafata laterala;

H- inaltimea;

V– volumul unei piramide trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 – perimetrele bazelor;

h a– apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Exemplul 1.Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedric de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că la bază există un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul Aîntre două perpendiculare: etc. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumferitor și cercul înscris al triunghiului ABC). Unghiul de înclinare a marginii laterale (de exemplu S.B.) este unghiul dintre marginea însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă S.B. acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEȘi O.B.. Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 A. Punct DESPRE segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate regulate dacă diagonalele bazelor sale sunt egale cu cm și cm, iar înălțimea ei este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt egale cu 2 cm și, respectiv, 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date în funcție de stare, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde A 1 E perpendicular de la un punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D– perpendicular de la A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. A găsi DE Să facem un desen suplimentar care arată vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE– proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine– raza înscrisă în cerc şi OM– raza înscrisă într-un cerc:

MK = DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze AȘi b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE– proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul bazei. Folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plane, obținem:

La fel înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Să desenăm un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE– centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Din teorema lui Pitagora avem