Semnificația fizică a funcției de undă electronică. Funcția de undă

Confirmare experimentală a ideii lui Louis de Broglie despre universalitatea dualismului particule-undă, aplicarea limitată a mecanicii clasice la micro-obiecte, dictată de relația de incertitudine, precum și contradicțiile unui număr de experimente cu teoriile folosite la început. al secolului XX a condus la o nouă etapă în dezvoltarea fizicii cuantice - crearea mecanicii cuantice, care descrie legile mișcării și interacțiunii microparticulelor ținând cont de proprietățile undelor acestora. Crearea și dezvoltarea sa acoperă perioada cuprinsă între 1900 (formularea lui Planck a ipotezei cuantice) până în anii 20 ai secolului XX și este asociată în primul rând cu lucrările fizicianului austriac E. Schrödinger, ale fizicianului german W. Heisenberg și ale fizicianului englez P. Dirac.

Necesitatea unei abordări probabilistice a descrierii microparticulelor este cea mai importantă trăsătură distinctivă a teoriei cuantice. Undele de Broglie pot fi interpretate ca unde de probabilitate, adică presupunem că probabilitatea detectării unei microparticule în diferite puncte din spațiu se modifică conform legii undelor? Această interpretare a undelor de Broglie nu mai este corectă, fie și numai pentru că atunci probabilitatea de a detecta o particule în anumite puncte din spațiu poate fi negativă, ceea ce nu are sens.

Pentru a elimina aceste dificultăţi, fizicianul german M. Născut în 1926 a sugerat că Conform legii undelor, nu probabilitatea în sine se schimbă,și amploarea,numit amplitudinea probabilității și notat cu . Această cantitate se mai numește funcția de undă (sau -funcția). Amplitudinea probabilității poate fi complexă, iar probabilitatea W este proporțională cu pătratul modulului său:

(4.3.1)

unde , unde este funcția conjugată complexă a lui Ψ.

Astfel, descrierea stării unui microobiect folosind funcția de undă are statistic, probabilistică caracter: pătratul modulului funcției de undă (pătratul modulului amplitudinii undei de Broglie) determină probabilitatea de a găsi o particulă la un instant de timp în regiunea cu coordonate Xși d X, yși d y, zși d z.

Deci, în mecanica cuantică, starea unei particule este descrisă într-un mod fundamental nou - folosind funcția de undă, care este principalul purtător de informații despre proprietățile lor corpusculare și de undă.

.

(4.3.2)

Magnitudinea (modulul pătrat al funcției Ψ) are sens probabilitate densitate , adică determină probabilitatea de a găsi o particulă pe unitatea de volum în vecinătatea unui punct,având coordonateX, y, z. Astfel, nu funcția Ψ în sine are un sens fizic, ci pătratul modulului său, care determină intensitatea undei de Broglie .

Probabilitatea de a găsi o particulă la un moment dat tîn volumul final V, conform teoremei de adunare a probabilităților, este egal cu:

.

Deoarece este definită ca o probabilitate, atunci este necesar să se reprezinte funcția de undă Ψ astfel încât probabilitatea unui eveniment de încredere să devină unitate dacă pentru volum V acceptă volumul infinit al întregului spațiu. Aceasta înseamnă că, într-o anumită condiție, particula trebuie să fie localizată undeva în spațiu. Prin urmare, condiția pentru normalizarea probabilităților este:

(4.3.3)

unde această integrală este calculată pe întregul spațiu infinit, i.e. prin coordonate X, y, z de la catre . Astfel, condiția de normalizare vorbește despre existența obiectivă a unei particule în timp și spațiu.

Pentru ca funcția de undă să fie o caracteristică obiectivă a stării unei microparticule, aceasta trebuie să îndeplinească o serie de condiții restrictive. Funcția Ψ, care caracterizează probabilitatea detectării unei microparticule într-un element de volum, ar trebui să fie:

· finit (probabilitatea nu poate fi mai mare de unu);

· lipsit de ambiguitate (probabilitatea nu poate fi o valoare ambiguă);

· continuu (probabilitatea nu se poate schimba brusc).

Funcția de undă satisface principiul suprapunerii: dacă un sistem poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă , , ..., atunci poate fi într-o stare descrisă printr-o combinație liniară a acestor funcții:

Unde ( n= 1, 2, 3...) sunt numere complexe, în general, arbitrare.

Adăugarea funcțiilor de undă(amplitudini de probabilitate determinate de modulii pătrați ai funcțiilor de undă) distinge fundamental teoria cuantică de teoria statistică clasică, în care teorema de adunare a probabilităților este valabilă pentru evenimente independente.

Funcția de undăΨ este principala caracteristică a stării microobiectelor. De exemplu, distanța medie a unui electron față de nucleu este calculată prin formula

,

După cum știți, sarcina principală a mecanicii clasice este de a determina poziția unui macro-obiect în orice moment. Pentru a face acest lucru, este compilat un sistem de ecuații, a cărui soluție ne permite să aflăm dependența vectorului rază de timp t. În mecanica clasică, starea unei particule în timp ce se mișcă în fiecare moment este dată de două mărimi: vectorul rază și impulsul. Astfel, descrierea clasică a mișcării unei particule este valabilă dacă aceasta are loc într-o regiune cu o dimensiune caracteristică mult mai mare decât lungimea de undă de Broglie. În caz contrar (de exemplu, lângă nucleul atomic), ar trebui luate în considerare proprietățile undei ale microparticulelor. Aplicabilitatea limitată a descrierii clasice a micro-obiectelor cu proprietăți de undă este indicată de relațiile de incertitudine.

Ținând cont de prezența proprietăților undei ale unei microparticule, starea acesteia în mecanica cuantică este specificată folosind o anumită funcție de coordonate și timp. (x, y, z, t) , numit val sau - funcţie . În fizica cuantică, este introdusă o funcție complexă care descrie starea pură a unui obiect, care se numește funcție de undă. În cea mai comună interpretare, această funcție este legată de probabilitatea de a detecta un obiect în una dintre stările pure (pătratul modulului funcției de undă reprezintă densitatea probabilității).

După ce s-a renunțat la descrierea mișcării unei particule folosind traiectorii obținute din legile dinamicii și s-a determinat în schimb funcția de undă, este necesar să se introducă o ecuație echivalentă cu legile lui Newton și să se furnizeze o rețetă pentru găsirea de soluții la anumite probleme fizice. O astfel de ecuație este ecuația Schrödinger.

Se numește teoria care descrie mișcarea particulelor mici ținând cont de proprietățile undelor lor cuantic , sau mecanica valurilor. Multe prevederi ale acestei teorii par ciudate și neobișnuite din punctul de vedere al ideilor care s-au dezvoltat în studiul fizicii clasice. Trebuie amintit întotdeauna că criteriul de corectitudine a unei teorii, oricât de ciudat ar părea la început, este coincidența consecințelor acesteia cu datele experimentale. Mecanica cuantică în domeniul său (structura și proprietățile atomilor, moleculelor și nucleelor ​​parțial atomice) este perfect confirmată de experiență.

Funcția de undă descrie starea unei particule în toate punctele din spațiu și pentru orice moment în timp. Pentru a înțelege semnificația fizică a funcției de undă, să ne întoarcem la experimente privind difracția electronilor. (Experimentele lui Thomson și Tartakovsky privind trecerea electronilor printr-o folie metalică subțire). Se dovedește că modelele de difracție clare sunt detectate chiar dacă electronii individuali sunt direcționați către țintă, adică. când fiecare electron următor este emis după ce cel anterior ajunge pe ecran. După un bombardament suficient de lung, imaginea de pe ecran va corespunde exact cu cea obținută atunci când un număr mare de electroni sunt îndreptați simultan către țintă.

Din aceasta putem concluziona că mișcarea oricărei microparticule în mod individual, inclusiv locația detectării acesteia, este supusă unor legi statistice (probabilistice), iar când un singur electron este îndreptat către țintă, punctul de pe ecran în care va fi înregistrat este 100% sigur în prealabil.-Este imposibil de prezis cu certitudine.

În experimentele de difracție ale lui Thomson, pe o placă fotografică s-a format un sistem de inele concentrice întunecate. Este sigur să spunem că probabilitatea de a detecta (lovi) fiecare electron emis în locuri diferite de pe placa fotografică nu este aceeași. În zona inelelor concentrice întunecate, această probabilitate este mai mare decât în ​​alte zone ale ecranului. Distribuția electronilor pe întregul ecran se dovedește a fi aceeași cu distribuția intensității unei unde electromagnetice într-un experiment de difracție similar: unde intensitatea undei de raze X este mare, multe particule sunt înregistrate în experimentul lui Thomson, iar acolo unde intensitatea este scăzută, aproape nu apar particule.

Din punct de vedere al undei, prezența unui număr maxim de electroni în unele direcții înseamnă că aceste direcții corespund celei mai mari intensități a undei de Broglie. Aceasta a servit drept bază pentru interpretarea statistică (probabilistă) a undei de Broglie. Funcția de undă este tocmai o expresie matematică care ne permite să descriem propagarea unei unde în spațiu. În special, probabilitatea de a găsi o particulă într-o anumită regiune a spațiului este proporțională cu pătratul amplitudinii undei asociate particulei.

Pentru mișcare unidimensională (de exemplu, în direcția axei Bou) probabilitate dP detectarea unei particule în spațiul dintre puncte XȘi x + dx la un moment dat t egal cu

dP = , (6.1)

unde | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) este pătratul modulului funcției de undă (simbolul * indică o conjugare complexă).

În general, atunci când o particulă se mișcă în spațiul tridimensional, probabilitatea dP detectarea unei particule într-un punct cu coordonate (x,y,z)într-un volum infinitezimal dV este dat de o ecuație similară : dP =|(x,y,z,t)|2 dV. Born a fost primul care a oferit o interpretare probabilistică a funcției de undă în 1926.

Probabilitatea de a detecta o particulă în întreg spațiul infinit este egală cu unu. Aceasta implică condiția pentru normalizarea funcției de undă:

. (6.2)

Valoarea este probabilitate densitate , sau, care este același lucru, distribuția densității coordonatelor particulelor. În cel mai simplu caz al mișcării particulelor unidimensionale de-a lungul axei BOU valoarea medie a coordonatei sale se calculează prin următoarea relație:

<x(t)>= . (6.3)

Pentru ca funcția de undă să fie o caracteristică obiectivă a stării unei microparticule, aceasta trebuie să îndeplinească o serie de condiții restrictive. Funcția Ψ, care caracterizează probabilitatea detectării unei microparticule într-un element de volum, trebuie să fie finită (probabilitatea nu poate fi mai mare de unu), neechivocă (probabilitatea nu poate fi o valoare ambiguă), continuă (probabilitatea nu poate fi schimbată brusc) și netedă (fără îndoituri) în întreg spațiul.

Funcția de undă satisface principiul suprapunerii: dacă sistemul poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă Ψ1, Ψ2, Ψ n, atunci poate fi într-o stare descrisă de o combinație liniară a acestor funcții:

, (6.4)

Unde Cn(n= 1, 2, 3) sunt numere complexe arbitrare, în general.

Adunarea funcțiilor de undă (amplitudini de probabilitate determinate de modulele pătrate ale funcțiilor de undă) distinge fundamental teoria cuantică de teoria statistică clasică, în care adăugarea teoremei probabilităților este valabilă pentru evenimente independente.

Funcția de undă Ψ este principala caracteristică a stării microobiectelor.

De exemplu, distanța medie<r> electronul nucleului se calculează prin formula:

,

unde calculele sunt efectuate ca în cazul (6.3). Astfel, este imposibil de prezis cu acuratețe în experimentele de difracție unde un anumit electron va fi înregistrat pe ecran, chiar cunoscând funcția sa de undă în avans. Se poate presupune doar cu o anumită probabilitate că electronul va fi fixat într-un anumit loc. Aceasta este diferența dintre comportamentul obiectelor cuantice și al celor clasice. În mecanica clasică, când descriem mișcarea macrocorpurilor, știam în avans cu 100% probabilitate unde ar fi situat în spațiu un punct material (de exemplu, o stație spațială) în orice moment în timp.

De Broglie a folosit conceptul de unde de fază (unde de materie sau unde de Broglie) pentru a interpreta vizual regula lui Bohr pentru cuantificarea orbitelor electronilor dintr-un atom în cazul unui atom cu un singur electron. El a examinat o undă de fază care călătorește în jurul nucleului pe o orbită circulară a unui electron. Dacă un număr întreg al acestor unde se potrivește de-a lungul lungimii orbitei, atunci unda, atunci când ocolește nucleul, se va întoarce de fiecare dată la punctul de plecare cu aceeași fază și amplitudine. În acest caz, orbita devine staționară și nu apare nicio radiație. De Broglie a notat condiția pentru orbită staționară sau regula de cuantizare sub forma:

Unde R- raza orbitei circulare, P- întreg (număr cuantic principal). Crezând aici și având în vedere că L=RP este momentul unghiular al electronului, obținem:

care coincide cu regula cuantizării orbitelor electronilor dintr-un atom de hidrogen conform lui Bohr.

Ulterior, condiția (6.5) a fost generalizată în cazul orbitelor eliptice, când lungimea de undă variază de-a lungul traiectoriei electronilor. Cu toate acestea, în raționamentul lui de Broglie s-a presupus că unda nu se propagă în spațiu, ci de-a lungul unei linii - de-a lungul orbitei staționare a electronului. Această aproximare poate fi folosită în cazul limită, când lungimea de undă este neglijabilă în comparație cu raza orbitei electronului.

Funcția de undă
Funcția de undă

Funcția de undă (sau vector de stare) este o funcție complexă care descrie starea unui sistem mecanic cuantic. Cunoașterea acestuia vă permite să obțineți cele mai complete informații despre sistem, care sunt în mod fundamental realizabile în microcosmos. Deci, cu ajutorul lui, puteți calcula toate caracteristicile fizice măsurabile ale sistemului, probabilitatea de a se afla într-un anumit loc din spațiu și evoluția sa în timp. Funcția de undă poate fi găsită prin rezolvarea ecuației de undă Schrödinger.
Funcția de undă ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t) a unei particule punctuale fără structură este o funcție complexă a coordonaților acestei particule și a timpului. Cel mai simplu exemplu de astfel de funcție este funcția de undă a unei particule libere cu impuls și energie totală E (undă plană)

.

Funcția de undă a sistemului A de particule conține coordonatele tuturor particulelor: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Modulul pătrat al funcției de undă a unei particule individuale | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) dă probabilitatea detectării unei particule la momentul t într-un punct din spațiu descris de coordonate, și anume, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz este probabilitatea de a găsi o particulă într-o regiune a spațiului cu volum dv = dxdydz în jurul punctului x, y, z. În mod similar, probabilitatea de a găsi la momentul t un sistem A de particule cu coordonatele 1, 2,..., A într-un element de volum al unui spațiu multidimensional este dată de | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Funcția de undă determină complet toate caracteristicile fizice ale unui sistem cuantic. Astfel, valoarea medie observată a mărimii fizice F a sistemului este dată de expresie

,

unde este operatorul acestei marimi si integrarea se realizeaza pe intreaga regiune a spatiului multidimensional.
În loc de coordonatele particulelor x, y, z, momentele lor p x , p y , p z sau alte seturi de mărimi fizice pot fi alese ca variabile independente ale funcției de undă. Această alegere depinde de reprezentare (coordonată, impuls sau alta).
Funcția de undă ψ (,t) a unei particule nu ia în considerare caracteristicile sale interne și gradele de libertate, adică descrie mișcarea sa ca un întreg obiect (punct) fără structură de-a lungul unei anumite traiectorii (orbită) în spațiu. Aceste caracteristici interne ale unei particule pot fi spinul său, helicitatea, isospinul (pentru particulele care interacționează puternic), culoarea (pentru quarci și gluoni) și altele. Caracteristicile interne ale unei particule sunt specificate de o funcție de undă specială a stării sale interne φ. În acest caz, funcția de undă totală a particulei Ψ poate fi reprezentată ca produsul dintre funcția de mișcare orbitală ψ și funcția internă φ:

deoarece, de obicei, caracteristicile interne ale unei particule și gradele sale de libertate, care descriu mișcarea orbitală, nu depind unele de altele.
Ca exemplu, ne vom limita la cazul în care singura caracteristică internă luată în considerare de funcție este spinul particulei, iar acest spin este egal cu 1/2. O particulă cu un astfel de spin poate fi în una din două stări - cu o proiecție de spin pe axa z egală cu +1/2 (spin în sus) și cu o proiecție de spin pe axa z egală cu -1/2 (spin). jos). Această dualitate este descrisă de o funcție de spin luată sub forma unui spinor cu două componente:

Atunci funcția de undă Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ va descrie mișcarea unei particule cu spin 1/2 îndreptată în sus de-a lungul unei traiectorii determinate de funcția ψ și funcția de undă Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ va descrie mișcarea pe aceeași traiectorie a aceleiași particule, dar cu spinul îndreptat în jos.
În concluzie, observăm că în mecanica cuantică sunt posibile stări care nu pot fi descrise folosind funcția de undă. Astfel de stări se numesc mixte și sunt descrise în cadrul unei abordări mai complexe folosind conceptul de matrice de densitate. Stările unui sistem cuantic descrise de funcția de undă se numesc pure.

Derivarea formulei pentru nucleu în cazul unei particule libere, dată în problema 4.11, este nesatisfăcătoare din două motive, care sunt interdependente. În primul rând, conceptul de sumă peste diferite stări și folosit în expresia (4.62) nu este satisfăcător dacă stările aparțin unui spectru continuu, ceea ce este cazul în cazul unei particule libere. În al doilea rând, funcțiile de undă pentru particulele libere (unde plane), deși ortogonale, nu pot fi normalizate, deoarece

iar condiția de egalitate (4.47), care a fost folosită la derivarea expresiei (4.62), nu este îndeplinită. Ambele puncte pot fi corectate simultan, pur matematic. Să revenim la extinderea unei funcții arbitrare în termeni de funcții proprii:

(4.65)

și luați în considerare faptul că toate sau o parte din stările pot aparține unui spectru continuu, astfel încât o parte din suma peste ar trebui înlocuită cu o integrală. Este posibil să se obțină matematic strict o expresie corectă pentru nucleu, similară expresiei (4.62), dar aplicabilă și în cazul în care stările se află în partea continuă a spectrului.

Normalizare la volumul final. Mulți fizicieni preferă o abordare diferită, mai puțin riguroasă. Ceea ce fac ei este o modificare a problemei inițiale, iar rezultatele (în sensul lor fizic) se schimbă nesemnificativ, dar toate stările se dovedesc a fi discrete ca energie și, prin urmare, toate expansiunile iau forma unor sume simple. În exemplul nostru, acest lucru poate fi realizat după cum urmează. Considerăm amplitudinea probabilității de a trece de la un punct la altul într-un timp finit. Dacă aceste două puncte sunt la o distanță finită unul de celălalt și intervalul de timp care le separă nu este prea lung, atunci cu siguranță nu vor exista diferențe vizibile în amplitudine, indiferent dacă electronul este de fapt liber sau ar trebui să fie plasat într-un volum mare cutie cu peretii situati foarte departe de puncte si . Dacă particulele ar putea ajunge la pereți și să se întoarcă înapoi în timp, acest lucru ar putea afecta amplitudinea; dar dacă pereții sunt suficient de departe, nu vor afecta în niciun fel amplitudinea.

Desigur, această presupunere poate deveni incorectă cu o alegere specială de pereți; de exemplu, dacă punctul se află în focarul undelor care ies din punct și se reflectă de pe pereți. Uneori, din cauza inerției, fac greșeala de a înlocui un sistem situat în spațiul liber cu un sistem situat în centrul unei sfere mari. Faptul că sistemul rămâne exact în centrul unei sfere perfecte poate produce un anumit efect (similar cu apariția unui punct luminos în centrul umbrei unui obiect perfect rotund) care nu dispare chiar dacă raza sfera tinde spre infinit. Influența suprafeței ar fi neglijabilă în cazul pereților de altă formă sau pentru un sistem decalat față de centrul acestei sfere.

Să luăm mai întâi în considerare cazul unidimensional. Funcțiile de undă în funcție de coordonată au forma , unde ia ambele semne. Ce formă vor avea funcțiile dacă intervalul de modificare este limitat la un interval arbitrar de la până la? Răspunsul depinde de condițiile la limită care determină valorile în puncte și . Cele mai simple din punct de vedere fizic sunt condițiile de limită în cazul pereților care creează un potențial respingător puternic pentru particule, limitând astfel aria de mișcare a acesteia (adică, cu reflexie ideală). În acest caz, la punctele și . Soluții ale ecuației de undă

, (4.66)

corespunzătoare energiei din regiune vor fi exponențiale și sau orice combinație liniară a acestora. Ambele și nu îndeplinesc condițiile de limită alese, totuși, pentru (unde este un întreg), proprietățile necesare sunt posedate în cazul imparului cu jumătatea lor (adică), iar în cazul parului - împărțite la lor. jumătate de diferență (adică), așa cum este prezentat schematic în Fig. 4.1. Astfel, funcțiile de undă ale stărilor au forma de sinus și cosinus, iar nivelurile de energie corespunzătoare sunt discrete și nu formează un continuum.

Smochin. 4.1. Vedere a funcțiilor de undă unidimensionale normalizate într-o casetă.

Primele patru dintre ele sunt prezentate. Energiile nivelurilor corespunzătoare sunt egale , , Și . Valoarea absolută a energiei, care depinde de dimensiunea cutiei noastre fictive, nu este importantă pentru majoritatea problemelor din viața reală. Ceea ce contează cu adevărat este relația dintre energiile diferitelor stări.

Dacă soluțiile sunt scrise sub forma și , atunci ele vor fi normalizate, deoarece

. (4.67)

Suma peste toate statele este suma peste . Dacă luăm în considerare, de exemplu, funcțiile de undă sinusoidală (adică, valorile pare), atunci pentru valori mici și o valoare foarte mare (pereții sunt departe de punctul de interes pentru noi), numerele funcției învecinate diferă foarte puțin. Diferența lor

(4.68)

aproximativ proporțional cu valoarea mică. Prin urmare, suma peste poate fi înlocuită cu integrala peste . Deoarece valorile valide sunt localizate secvenţial cu un interval, stările sunt situate în interval. Toate acestea se aplică și stărilor cu funcție de undă cosinus, astfel încât în ​​toate formulele noastre putem înlocui sumele cu integrale

, (4.69)

fără a uita că la final trebuie să adunați rezultatele pentru ambele tipuri de funcții de undă, și anume și .

Este adesea incomod de utilizat și ca funcții de undă, iar combinațiile lor liniare sunt mai de preferat

Și .

Cu toate acestea, prin introducerea unui volum limitat, suntem nevoiți să folosim sinusuri și cosinusuri, și nu combinațiile lor liniare, deoarece pentru o valoare dată, doar una dintre aceste funcții va fi o soluție, și nu ambele deodată. Dar dacă neglijăm micile erori rezultate din diferențe atât de mici ale valorilor lui , atunci ne putem aștepta să obținem rezultate corecte cu aceste noi combinații liniare. După normalizare iau forma și . Deoarece o undă poate fi privită ca o undă, dar cu o valoare negativă, noua noastră procedură, inclusiv combinarea celor două tipuri de funcții de undă, se reduce la următoarea regulă generală: luați funcțiile de undă ale unei particule libere, normalizați-le pe intervalul lungimii de modificare a variabilei (adică, set ) și înlocuiți sumele peste stări cu integrale peste o variabilă, astfel încât numărul de stări cu valori conținute în interval să fie egal cu , și el însuși se schimbă de la .

Condiții la limită periodice. Uneori, o astfel de excursie la cosinus și sinusuri, și apoi înapoi la exponențiale, poate fi ocolită folosind următorul argument. Deoarece introducerea unui perete este o tehnică artificială, poziția sa specifică și condiția de limită corespunzătoare nu ar trebui să aibă nicio semnificație fizică, cu excepția cazului în care peretele este îndepărtat suficient. Prin urmare, în loc de condiții fizice simple, putem folosi altele, ale căror soluții se vor dovedi imediat exponențiale. Aceste condiții sunt

(4.70)

. (4.71)

Ele se numesc condiții la limită periodice deoarece necesitatea periodicității cu o perioadă în spațiu ar duce la aceleași condiții. Este ușor de verificat dacă funcțiile sunt soluții normalizate pe intervalul cu condiția ca , unde este orice număr întreg (pozitiv sau negativ) sau zero. Aceasta urmează direct regula formulată mai sus.

Putem înțelege ce se întâmplă în cazul celor trei dimensiuni dacă luăm în considerare o cutie dreptunghiulară cu laturile egale cu , , . Folosim condiții la limită periodice, adică solicităm ca valorile funcției de undă și derivatele sale prima de pe o parte a cutiei să fie simetric egale cu valorile lor de pe partea opusă. Funcția de undă normalizată a unei particule libere va fi produsul

, (4.72)

unde este volumul casetei, iar valorile valide vor fi , iar (, , sunt numere întregi). În plus, numărul de soluții cu valori, , , situate, respectiv, în intervalele , , , este egal cu produsul, trebuie să introduceți un factor suplimentar . [Expresia (4.64) conține produsul a două funcții de undă.] În al doilea rând, simbolul sumei trebuie înlocuit cu integrala . Toate acestea justifică ceea ce s-a făcut în § 2 al Capitolului. 4, precum și rezultatul rezultat în problema 4.11.

Trebuie remarcat faptul că multiplicatorii se anulează, așa cum ar trebui, deoarece nucleul nu ar trebui să depindă de dimensiunea casetei.

Câteva note despre rigoarea matematică. Cititorul, văzând volumul micșorându-se la sfârșitul calculului, poate avea una dintre două reacții: fie satisfacție că se micșorează, așa cum ar trebui, deoarece pereții nu afectează nimic, fie nedumerire de ce se face totul așa. mod lax, „murdar” și confuz, folosind pereți care nu au sens real etc., când toate acestea s-ar putea face mult mai elegant și riguros matematic fără pereți și altele asemenea. Tipul de reacție pe care îl aveți depinde dacă gândiți fizic sau matematic. Există o mulțime de neînțelegeri între matematicieni și fizicieni cu privire la rigoarea matematică în fizică, așa că ar putea fi potrivit să evaluăm fiecare metodă: raționament cu casete și rigoare matematică.

Aceasta, desigur, conține o întrebare mai banală: care metodă ne este mai familiară, adică necesită un minim de cunoștințe noi? Înainte de a număra numărul de stări diferite dintr-o cutie, acesta a fost primul lucru la care s-au gândit majoritatea fizicienilor.

Odată cu aceasta, o soluție riguroasă din punct de vedere matematic poate să nu fie riguroasă din punct de vedere fizic; cu alte cuvinte, este posibil ca cutia să existe efectiv. Este posibil să nu fie neapărat o cutie dreptunghiulară, deoarece nu se dovedește adesea că experimentele sunt efectuate sub stele; mai des sunt petrecute în cameră. Deși din punct de vedere fizic pare destul de rezonabil ca pereții să nu influențeze experimentul, totuși, o astfel de afirmație a problemei ar trebui considerată ca o idealizare. Îndepărtarea pereților la infinit nu este mai bună decât înlocuirea lor cu oglinzi ideale suficient de îndepărtate. În primul caz, se încalcă și rigoarea matematică, deoarece pereții reali nu sunt la infinit.

Abordarea peretelui la distanță este pe cât de corectă și riguroasă, pe atât de justificată. Are mai multe avantaje. De exemplu, atunci când volumul din formulele finale este redus, vedem că cel puțin un aspect al idealizării este irelevant - cât de departe sunt îndepărtați pereții. Acest rezultat intuitiv ne convinge și mai mult că adevărata locație a mediului real poate să nu fie semnificativă. În cele din urmă, formula rezultată este foarte utilă atunci când avem de fapt un caz de dimensiuni finite. De exemplu, în cap. 8 îl vom folosi pentru a număra numărul de unde sonore diferite dintr-un bloc dreptunghiular mare de materie.

Pe de altă parte, avantajul unei abordări riguroase din punct de vedere matematic este eliminarea detaliilor esențial inutile care nu sunt incluse în rezultat. Deși introducerea pereților ne permite să învățăm câte ceva despre motivul pentru care ei încă nu afectează nimic, puteți totuși să vă convingeți de validitatea acestui lucru fără a aprofunda în detalii.

Problema normalizării funcțiilor de undă este un exemplu destul de particular, dar ilustrează punctul principal. Un fizician nu poate înțelege precauția arătată de un matematician atunci când rezolvă o problemă fizică idealizată. El știe că adevărata problemă este mult mai dificilă. Ea a fost deja simplificată de intuiție, care renunță la neesențial și aproximează ceea ce rămâne.

· Observabil cuantic · Funcția de undă· Suprapunere cuantică · Încurcare cuantică · Stare mixtă · Măsurare · Incertitudine · Principiul Pauli · Dualism · Decoerență · Teorema lui Ehrenfest · Efect de tunel

Experimente
Experiment Davisson-Germer · Experiment Popper · Experiment Stern-Gerlach · Experiment tânăr · Testul inegalităților lui Bell · Efect fotoelectric · Efect Compton

Formulări
Reprezentare Schrödinger · Reprezentare Heisenberg · Reprezentare interacțiune · Mecanica cuantică matrice · Integrale de cale · Diagrame Feynman

Ecuații
Ecuația Schrödinger · Ecuația Pauli · Ecuația Klein-Gordon · Ecuația Dirac · Ecuația Schwinger-Tomonaga · Ecuația Von Neumann · Ecuația Bloch · Ecuația Lindblad · Ecuația Heisenberg

Interpretări
Copenhaga · Teoria parametrilor ascunși · Multi-lumi · Teoria De Broglie-Bohm

Dezvoltarea teoriei
Teoria câmpului cuantic · Electrodinamică cuantică · Teoria Glashow-Weinberg-Salam · Cromodinamică cuantică · Model standard · Gravitația cuantică

Oameni de știință renumiți
Planck · Einstein · Schrödinger · Heisenberg · Jordan · Bohr · Pauli · Dirac · Fock · Născut · de Broglie · Landau · Feynman · Bohm · Everett

Vezi si: Portal: Fizica

Funcția de undă, sau funcția psi $\backslash psi$ este o funcție cu valori complexe utilizată în mecanica cuantică pentru a descrie starea pură a unui sistem. Este coeficientul de expansiune al vectorului de stare pe o bază (de obicei una de coordonate):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

Unde $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$ este vectorul de bază de coordonate și $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$- funcţia de undă în reprezentarea în coordonate.

Normalizarea funcției de undă

Funcția de undă $\backslash Psi$în sensul său trebuie să satisfacă așa-numita condiție de normalizare, de exemplu, în reprezentarea în coordonate având forma:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Această condiție exprimă faptul că probabilitatea de a găsi o particulă cu o funcție de undă dată oriunde în spațiu este egală cu unu. În cazul general, integrarea trebuie efectuată asupra tuturor variabilelor de care depinde funcția de undă într-o reprezentare dată.

Principiul suprapunerii stărilor cuantice

Pentru funcțiile de undă, principiul suprapunerii este valabil, adică dacă un sistem poate fi în stări descrise de funcțiile de undă $\backslash Psi\_1$Și $\backslash Psi\_2$, atunci poate fi și într-o stare descrisă de funcția de undă

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ pentru orice complex $c\_1$Și $c\_2$.

Evident, putem vorbi despre suprapunerea (impunerea) oricărui număr de stări cuantice, adică despre existența unei stări cuantice a sistemului, care este descrisă de funcția de undă. $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

În această stare, pătratul modulului coeficientului $(c)\_n$ determină probabilitatea ca, atunci când este măsurat, sistemul să fie detectat într-o stare descrisă de funcția de undă $(\backslash Psi)\_n$.

Prin urmare, pentru funcțiile de undă normalizate $\backslash sum\_(n=1)^(N)\backslash left|c\_(n)\backslash right|^2=1$.

Condiții pentru regularitatea funcției de undă

Sensul probabilistic al funcției de undă impune anumite restricții, sau condiții, asupra funcțiilor de undă în probleme de mecanică cuantică. Aceste condiții standard sunt adesea numite condiţii pentru regularitatea funcţiei de undă.

1. Condiție pentru caracterul finit al funcției de undă. Funcția de undă nu poate lua valori infinite, astfel încât integrala $(1)$ vor deveni divergente. În consecință, această condiție necesită ca funcția de undă să fie o funcție integrabilă pătratic, adică să aparțină spațiului Hilbert $L^2$. În special, în problemele cu o funcție de undă normalizată, modulul pătrat al funcției de undă trebuie să tinde spre zero la infinit.
2. Condiție pentru unicitatea funcției de undă. Funcția de undă trebuie să fie o funcție clară de coordonate și timp, deoarece densitatea de probabilitate de detectare a unei particule trebuie să fie determinată în mod unic în fiecare problemă. În problemele care utilizează un sistem de coordonate cilindric sau sferic, condiția de unicitate duce la periodicitatea funcțiilor de undă în variabile unghiulare.
3. Condiție pentru continuitatea funcției de undă.În orice moment, funcția de undă trebuie să fie o funcție continuă a coordonatelor spațiale. În plus, derivatele parțiale ale funcției de undă trebuie să fie și ele continue $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; x)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; y)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; z)$. Aceste derivate parțiale ale funcțiilor numai în cazuri rare de probleme cu câmpuri de forțe idealizate pot suferi o discontinuitate în acele puncte din spațiu în care energia potențială care descrie câmpul de forță în care se mișcă particula experimentează o discontinuitate de al doilea fel.

Funcția de undă în diferite reprezentări

Setul de coordonate care acționează ca argumente ale funcției reprezintă un sistem complet de navetă observabile. În mecanica cuantică, este posibil să se selecteze mai multe seturi complete de observabile, astfel încât funcția de undă a aceleiași stări poate fi scrisă în termeni de argumente diferite. Setul complet de mărimi alese pentru înregistrarea funcției de undă determină reprezentarea funcţiei de undă. Astfel, sunt posibile o reprezentare în coordonate, o reprezentare a impulsului; în teoria cuantică a câmpului se utilizează cuantizarea secundară și reprezentarea numerelor de ocupație sau reprezentarea Fock etc.

Dacă funcția de undă, de exemplu, a unui electron dintr-un atom, este dată în reprezentare în coordonate, atunci modulul pătrat al funcției de undă reprezintă densitatea de probabilitate a detectării unui electron într-un anumit punct din spațiu. Dacă aceeași funcție de undă este dată în reprezentarea impulsului, atunci pătratul modulului său reprezintă densitatea de probabilitate a detectării unui anumit impuls.

Formulări matrice și vectoriale

Funcția de undă a aceleiași stări în reprezentări diferite va corespunde expresiei aceluiași vector în sisteme de coordonate diferite. Alte operații cu funcții de undă vor avea, de asemenea, analogi în limbajul vectorilor. În mecanica ondulatorie, este utilizată o reprezentare în care argumentele funcției psi sunt sistemul complet continuu naveta observabile, iar reprezentarea matriceală folosește o reprezentare în care argumentele funcției psi sunt sistemul complet discret observabile de navetă. Prin urmare, formulările funcționale (undă) și matricele sunt în mod evident echivalente din punct de vedere matematic.

Sensul filozofic al funcției de undă

Funcția de undă este o metodă de descriere a stării pure a unui sistem mecanic cuantic. Stările cuantice mixte (în statistica cuantică) ar trebui descrise de către un operator ca o matrice de densitate. Adică, o funcție generalizată a două argumente trebuie să descrie corelația dintre locația unei particule în două puncte.

Trebuie înțeles că problema pe care o rezolvă mecanica cuantică este problema însăși esenței metodei științifice de cunoaștere a lumii.

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Funcția de undă”

Literatură

• Dicționar enciclopedic fizic / Ch. ed. A. M. Prohorov. Ed. numara D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov și alții - M.: Sov. Enciclopedie, 1984. - 944 p.

Legături

• Mecanica cuantică- articol din Marea Enciclopedie Sovietică.

Această scrisoare nu fusese încă înaintată suveranului când Barclay i-a spus lui Bolkonsky la cină că suveranul ar dori să-l vadă personal pe prințul Andrei pentru a-l întreba despre Turcia și că prințul Andrei va apărea la apartamentul lui Bennigsen la ora șase. seară. În aceeași zi, în apartamentul suveranului s-a primit vești despre noua mișcare a lui Napoleon, care ar putea fi periculoasă pentru armată - știri care ulterior s-au dovedit a fi nedreapte. Și în aceeași dimineață, colonelul Michaud, făcând turul fortificațiilor Dries cu suveranul, i-a dovedit suveranului că această tabără fortificată, construită de Pfuel și considerată până acum maestru al tacticii, era destinată să-l distrugă pe Napoleon, - că această tabără era o prostie și distrugerea rusă. armată. Prințul Andrei a ajuns în apartamentul generalului Bennigsen, care ocupa o mică casă de moșier chiar pe malul râului. Nici Bennigsen, nici suveranul nu au fost acolo, dar Cernîșev, aghiotantul suveranului, l-a primit pe Bolkonsky și l-a anunțat că suveranul a plecat cu generalul Bennigsen și marchizul Paulucci altă dată în acea zi să viziteze fortificațiile taberei Drissa, a cărui comoditate începea să fie serios pusă la îndoială. Cernîșev stătea cu o carte dintr-un roman francez la fereastra primei camere. Această cameră a fost probabil anterior o sală; mai era în ea o orgă, pe care erau îngrămădite niște covoare, iar într-un colț stătea patul pliant al adjutantului Bennigsen. Acest adjutant a fost aici. El, aparent epuizat de o sărbătoare sau de afaceri, s-a așezat pe un pat suflat și a moștenit. Două uși duceau dinspre hol: una direct în fosta sufragerie, cealaltă spre dreapta în birou. De la prima ușă se auzeau voci care vorbeau în germană și uneori în franceză. Acolo, în fosta sufragerie, la cererea suveranului, nu s-a adunat un consiliu militar (suveranul iubea incertitudinea), ci niște oameni ale căror păreri asupra dificultăților care se vor apropia el dorea să le cunoască. Acesta nu era un consiliu militar, ci, parcă, un consiliu al celor aleși pentru a clarifica personal anumite probleme pentru suveran. La acest semiconsiliu au fost invitați: generalul suedez Armfeld, generalul adjutant Wolzogen, Wintzingerode, pe care Napoleon l-a numit supus fugar francez, Michaud, Tol, deloc militar - contele Stein și, în cele din urmă, însuși Pfuel, care, ca Prințul Andrei a auzit, a fost la cheville ouvriere [baza] întregii chestiuni. Prințul Andrei a avut ocazia să-l privească bine, deoarece Pfuhl a sosit la scurt timp după el și a intrat în sufragerie, oprindu-se un minut să discute cu Cernîșev. La prima vedere, Pfuel, în uniforma lui prost croită de general rus, care stătea stângaci pe el, parcă îmbrăcat, i se părea cunoscut prințului Andrei, deși nu-l văzuse niciodată. Acesta includea Weyrother, Mack, Schmidt și mulți alți generali teoreticii germani pe care prințul Andrei a reușit să-i vadă în 1805; dar el era mai tipic decât toți. Prințul Andrei nu văzuse niciodată un asemenea teoretician german, care să îmbine în sine tot ce era în acei nemți. Pfuel era scund, foarte subțire, dar cu oase late, de o construcție aspră, sănătoasă, cu un bazin larg și omoplați osoși. Fața lui era foarte ridată, cu ochii adânci. Părul lui din față, lângă tâmple, era evident netezit în grabă cu o perie și ieșit naiv cu ciucuri la spate. El, uitându-se în jur neliniștit și supărat, a intrat în cameră, de parcă i-ar fi fost frică de tot în camera mare în care a intrat. El, ținând sabia cu o mișcare stânjenitoare, s-a întors spre Cernîșev, întrebând în germană unde este suveranul. Se pare că voia să treacă prin camere cât mai repede posibil, să termine înclinațiile și salutările și să se așeze să lucreze în fața hărții, unde se simțea ca acasă. A dat din cap în grabă la cuvintele lui Cernîșev și a zâmbit ironic, ascultându-i cuvintele că suveranul inspectează fortificațiile pe care el, Pfuel însuși, le așezase conform teoriei sale. A mormăit ceva calm și rece, așa cum spun germanii încrezători în sine, pentru sine: Dummkopf... sau: zu Grunde die ganze Geschichte... sau: s"wird was gescheites d"raus werden... [prostii... la naiba cu toată treaba... (germană) ] Prințul Andrei nu a auzit și a vrut să treacă, dar Cernîșev l-a prezentat pe prințul Andrei lui Pful, constatând că prințul Andrei a venit din Turcia, unde războiul s-a încheiat atât de fericit. Pful aproape că se uită nu atât la prințul Andrei, cât prin el și a spus râzând: „Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein”. [„Trebuie să fi fost un război tactic corect.” (germană)] - Și, râzând disprețuitor, a intrat în camera din care se auzeau voci. Aparent, Pfuel, care era mereu pregătit pentru o iritare ironică, era acum deosebit de entuziasmat de faptul că au îndrăznit să-i inspecteze tabăra fără el și să-l judece. Prințul Andrei, din această scurtă întâlnire cu Pfuel, datorită amintirilor sale de la Austerlitz, a alcătuit o descriere clară a acestui om. Pfuel a fost unul dintre acei oameni fără speranță, invariabil, încrezători în sine până la martiriu, ceea ce numai germanii pot fi și tocmai pentru că numai germanii sunt încrezători pe baza unei idei abstracte - știința, adică cunoașterea imaginară. a adevărului perfect. Francezul are încredere în sine pentru că se consideră personal, atât la minte, cât și la trup, a fi irezistibil de fermecător atât pentru bărbați, cât și pentru femei. Un englez are încredere în sine pe motiv că este un cetățean al celui mai confortabil stat din lume și, prin urmare, ca englez, știe întotdeauna ce trebuie să facă și știe că tot ceea ce face ca englez este, fără îndoială, bun. Italianul are încredere în sine pentru că este entuziasmat și uită ușor de sine și de ceilalți. Rusul este încrezător în sine tocmai pentru că nu știe nimic și nu vrea să știe, pentru că nu crede că este posibil să știe complet nimic. Neamtul este cel mai prost încrezător în sine dintre toți, și cel mai ferm dintre toți și cel mai dezgustător dintre toate, pentru că își imaginează că cunoaște adevărul, o știință pe care a inventat-o ​​el însuși, dar care pentru el este adevărul absolut. Acesta, evident, era Pfuhl. Avea o știință - teoria mișcării fizice, pe care a derivat-o din istoria războaielor lui Frederic cel Mare și tot ceea ce a întâlnit în istoria modernă a războaielor lui Frederic cel Mare și tot ceea ce a întâlnit în cele mai recente. istoria militară, i s-a părut o prostie, o barbarie, o ciocnire urâtă, în care s-au făcut atâtea greșeli de ambele părți, încât aceste războaie nu puteau fi numite războaie: nu se potriveau teoriei și nu puteau servi drept subiect de știință. În 1806, Pfuel a fost unul dintre redactorii planului pentru războiul care s-a încheiat cu Jena și Auerstätt; dar în rezultatul acestui război el nu a văzut nici cea mai mică dovadă a incorectitudinii teoriei sale. Dimpotrivă, abaterile făcute de la teoria sa, conform concepțiilor sale, au fost singurul motiv al întregului eșec, iar el, cu ironia sa vesela caracteristică, a spus: „Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird. ” [La urma urmei, am spus că toată treaba va merge dracului (germană)] Pfuel a fost unul dintre acei teoreticieni care își iubesc atât de mult teoria încât uită scopul teoriei - aplicarea ei în practică; În dragostea lui pentru teorie, el ura toată practica și nu voia să o știe. S-a bucurat chiar de eșec, pentru că eșecul, care a rezultat dintr-o abatere în practică de la teorie, nu i-a dovedit decât validitatea teoriei sale. A spus câteva cuvinte cu Prințul Andrei și Cernizev despre adevăratul război cu expresia unui om care știe dinainte că totul va fi rău și că nici măcar nu este nemulțumit de asta. Ciufurile neîngrijite de păr care ieșeau pe ceafă și tâmplele alunecate în grabă au confirmat în mod deosebit elocvent acest lucru. A intrat într-o altă cameră, și de acolo s-au auzit imediat sunetele smerite și mormăioase ale vocii sale. Înainte ca prințul Andrei să aibă timp să-l urmărească cu privirea pe Pfuel, contele Bennigsen a intrat în grabă în cameră și, dând din cap către Bolkonsky, fără să se oprească, a intrat în birou, dând niște ordine adjutantului său. Împăratul îl urmărea, iar Bennigsen se grăbi înainte să pregătească ceva și să aibă timp să-l întâlnească pe împărat. Cernîșev și prințul Andrei au ieșit pe verandă. Împăratul a coborât de pe cal cu o privire obosită. Marchizul Paulucci i-a spus ceva suveranului. Împăratul, plecând capul spre stânga, l-a ascultat cu o privire nemulțumită pe Paulucci, care vorbea cu o fervoare deosebită. Împăratul a înaintat, aparent dorind să pună capăt conversației, dar italianul înroșit, entuziasmat, uitând decența, l-a urmat, continuând să spună: „Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [În ceea ce privește cel care a sfătuit tabăra Drissa”, a spus Paulucci, în timp ce suveranul, intrând pe trepte și observând prințul Andrei, se uita la o față necunoscută.