Zapisywanie ułamka zwykłego w postaci nieskończonej liczby dziesiętnej. Jak zapisać liczbę w kropce

§ 114. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny polega na znalezieniu ułamka dziesiętnego, który będzie równy podanemu ułamkowi zwykłemu. Zamieniając ułamki zwykłe na dziesiętne, napotkamy dwa przypadki:

1) kiedy ułamki zwykłe można zamienić na ułamki dziesiętne Dokładnie;

2) gdy ułamki zwykłe można zamienić tylko na ułamki dziesiętne około. Rozważmy te przypadki po kolei.

1. Jak zamienić zwykły ułamek nieredukowalny na ułamek dziesiętny, czyli innymi słowy, jak zamienić ułamek zwykły na równy mu ułamek dziesiętny?

W przypadku, gdy mogą być zwykłe ułamki Dokładnie przekonwertowane na dziesiętny, tak jest dwie drogi takie leczenie.

Przypomnijmy sobie, jak zamienić jeden ułamek na inny, równy pierwszemu, lub jak przejść z jednego ułamka na drugi, nie zmieniając wartości pierwszego. Zrobiliśmy to, gdy sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (§86). Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, postępujemy w następujący sposób: znajdujemy wspólny mianownik tych ułamków, obliczamy dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, a następnie mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez ten współczynnik.

Zauważywszy to, weźmy nieredukowalny ułamek 3/20 i spróbujmy zamienić go na ułamek dziesiętny. Mianownik tego ułamka wynosi 20, ale należy go sprowadzić do innego mianownika, który byłby reprezentowany przez jedynkę z zerami. Będziemy szukać najmniejszego mianownika składającego się z jedynki i zer.

Pierwszy sposób zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny polega na rozłożeniu mianownika na czynniki pierwsze.

Musisz dowiedzieć się, przez jaką liczbę należy pomnożyć 20, aby iloczyn był wyrażony jako jedynka z zerami. Aby się tego dowiedzieć, musisz najpierw pamiętać, na jakie czynniki pierwsze rozkładają się liczby reprezentowane przez jeden i zera. Oto rozkłady:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Widzimy, że liczba reprezentowana przez jedynkę z zerami jest rozkładana tylko na dwójki i piątki i nie ma innych czynników w rozwinięciu. Ponadto dwójki i piątki są zawarte w rozszerzeniu w tej samej liczbie. I wreszcie liczba tych i innych czynników osobno jest równa liczbie zer po jedynce na obrazie danej liczby.

Zobaczmy teraz, jak 20 rozkłada się na czynniki pierwsze: 20 = 2 2 5. Z tego jasno wynika, że ​​w rozkładzie liczby 20 występują dwie dwójki i jedna piątka. Oznacza to, że jeśli dodamy do tych czynników jedną piątkę, otrzymamy liczbę reprezentowaną przez jedynkę z zerami. Innymi słowy, aby w mianowniku była liczba reprezentowana przez jedynkę z zerami zamiast 20, należy pomnożyć 20 przez 5, a aby wartość ułamka się nie zmieniła, należy pomnożyć jego licznik przez 5 , tj.

Zatem, aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, należy rozłożyć mianownik tego ułamka zwykłego na czynniki pierwsze, a następnie wyrównać w nim liczbę dwójek i piątek, wprowadzając do niego (i oczywiście do licznika ) brakujące czynniki w wymaganej liczbie.

Zastosujmy ten wniosek do niektórych ułamków.

Zamień 3/50 na ułamek dziesiętny. Mianownik tego ułamka rozwija się w następujący sposób:

Oznacza to, że brakuje mu jednej dwójki. Dodajmy to:

Zamień 7/40 na ułamek dziesiętny.

Mianownik tego ułamka rozkłada się w następujący sposób: 40 = 2 2 2 5, tj. brakuje mu dwóch piątek. Wprowadźmy je do licznika i mianownika jako czynniki:

Z tego, co zostało powiedziane, nie jest trudno wywnioskować, które ułamki zwykłe zamieniają się dokładnie na ułamki dziesiętne. Jest całkiem oczywiste, że nieredukowalny ułamek zwyczajny, którego mianownik nie zawiera żadnych innych czynników pierwszych innych niż 2 i 5, zamienia się dokładnie na ułamek dziesiętny. Ułamek dziesiętny, który otrzymuje się przez odwrócenie ułamka zwykłego, będzie miał tyle miejsc po przecinku, ile razy w mianowniku ułamka zwykłego po jego zmniejszeniu uwzględniono dominujący liczbowo współczynnik 2 lub 5.

Jeśli weźmiemy ułamek 9/40, to po pierwsze zamieni się on w ułamek dziesiętny, ponieważ jego mianownik obejmuje czynniki 2 2 2 5, a po drugie powstały ułamek dziesiętny będzie miał 3 miejsca po przecinku, ponieważ liczbowo dominujący czynnik 2 wchodzi w ekspansję trzykrotnie. Rzeczywiście:

Drugi sposób(poprzez podzielenie licznika przez mianownik).

Załóżmy, że chcesz zamienić 3/4 na ułamek dziesiętny. Wiemy, że 3/4 to iloraz 3 podzielony przez 4. Możemy znaleźć ten iloraz, dzieląc 3 przez 4. Zróbmy to:

Zatem 3/4 = 0,75.

Inny przykład: zamień 5/8 na ułamek dziesiętny.

Zatem 5/8 = 0,625.

Aby więc zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wystarczy podzielić licznik ułamka przez jego mianownik.

2. Rozważmy teraz drugi z przypadków wskazanych na początku akapitu, tj. przypadek, gdy ułamka zwykłego nie można zamienić na dokładny dziesiętny.

Zwykłego nieredukowalnego ułamka, którego w mianowniku znajdują się jakiekolwiek czynniki pierwsze inne niż 2 i 5, nie można dokładnie przeliczyć na ułamek dziesiętny. W rzeczywistości na przykład ułamka 8/15 nie można zamienić na ułamek dziesiętny, ponieważ jego mianownik 15 rozkłada się na dwa czynniki: 3 i 5.

Nie możemy wyeliminować trójki z mianownika i nie możemy wybrać takiej liczby całkowitej, aby po pomnożeniu przez nią danego mianownika iloczyn wyrażał się jako jedynka z zerami.

W takich przypadkach możemy tylko rozmawiać przybliżenie Ułamki zwykłe na dziesiętne.

Jak to jest zrobione? Odbywa się to poprzez podzielenie licznika ułamka zwykłego przez mianownik, tj. w tym przypadku stosuje się drugą metodę konwersji ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że metodę tę stosuje się zarówno do manipulacji precyzyjnej, jak i przybliżonej.

Jeśli ułamek zwykły zostanie zamieniony dokładnie na ułamek dziesiętny, wówczas dzielenie daje końcowy ułamek dziesiętny.

Jeśli ułamek zwykły nie jest konwertowany na ułamek dokładny dziesiętny, wówczas dzielenie daje nieskończony ułamek dziesiętny.

Ponieważ nie możemy przeprowadzić nieskończonego procesu dzielenia, musimy zatrzymać dzielenie na jakimś miejscu po przecinku, czyli wykonać dzielenie przybliżone. Możemy np. przestać dzielić od pierwszego miejsca po przecinku, czyli ograniczyć się do części dziesiątych; jeśli to konieczne, możemy zatrzymać się na drugim miejscu po przecinku, uzyskując części setne itp. W takich przypadkach mówimy, że zaokrąglamy nieskończony ułamek dziesiętny. Zaokrąglanie odbywa się z dokładnością wymaganą do rozwiązania tego problemu.

§ 115. Pojęcie ułamka okresowego.

Wieczysty ułamek dziesiętny, w którym jedna lub więcej cyfr niezmiennie powtarza się w tej samej kolejności, nazywany jest okresowym ułamkiem dziesiętnym. Na przykład:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Nazywa się zbiór powtarzających się liczb okres ten ułamek. Okres pierwszego z zapisanych powyżej ułamków wynosi 3, okres drugiego ułamka wynosi 12, okres trzeciego ułamka wynosi 234. Oznacza to, że okres może składać się z kilku cyfr - jednej, dwóch, trzech itd. Pierwszy zestaw powtarzających się cyfr nazywany jest pierwszym okresem, drugi całością - drugim okresem itd., tj.

Frakcje okresowe mogą być czyste lub mieszane. Ułamek okresowy nazywa się czystym, jeśli jego okres rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku. Oznacza to, że zapisane powyżej ułamki okresowe będą czyste. Wręcz przeciwnie, ułamek okresowy nazywany jest mieszanym, jeśli zawiera jedną lub więcej niepowtarzających się cyfr między przecinkiem a pierwszą kropką, na przykład:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Aby skrócić literę, numery okresów można wpisać jednorazowo w nawiasie i nie wstawiać elipsy po nawiasie, czyli zamiast 0,33... można wpisać 0,(3); zamiast 2,515151... możesz napisać 2,(51); zamiast 0,2333... możesz napisać 0,2(3); zamiast 0,8333... możesz napisać 0,8(3).

Ułamki okresowe odczytuje się w następujący sposób:

0,(3) - 0 liczb całkowitych z okresem 3.

7,2 ust. 3 - 7 liczb całkowitych, 2 przed kropką, 3 w okresie.

5,00(17) - 5 liczb całkowitych, dwa zera przed kropką, 17 w okresie.

Jak powstają ułamki okresowe? Widzieliśmy już, że przy zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne mogą wystąpić dwa przypadki.

Po pierwsze, w mianowniku ułamka zwykłego nieredukowalnego nie występują żadne czynniki inne niż 2 i 5; w tym przypadku ułamek zwykły staje się końcowym ułamkiem dziesiętnym.

Po drugie, w mianowniku zwykłego nieredukowalnego ułamka znajdują się dowolne czynniki pierwsze inne niż 2 i 5; w tym przypadku ułamek zwykły nie zamienia się w końcowy ułamek dziesiętny. W tym drugim przypadku próba zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny poprzez podzielenie licznika przez mianownik skutkuje ułamkiem nieskończonym, który zawsze będzie okresowy.

Aby to zobaczyć, spójrzmy na przykład. Spróbujmy zamienić ułamek zwykły 18/7 na dziesiętny.

Wiemy oczywiście z góry, że ułamka o takim mianowniku nie da się zamienić na końcowy ułamek dziesiętny i mówimy jedynie o przybliżonej konwersji. Podziel licznik 18 przez mianownik 7.

W iloraz mamy osiem miejsc po przecinku. Nie ma potrzeby dalszego kontynuowania podziału, bo on i tak się nie zakończy. Ale z tego jasno wynika, że ​​dzielenie można kontynuować w nieskończoność i w ten sposób uzyskać nowe liczby w ilorazu. Te nowe liczby powstaną, ponieważ zawsze będziemy mieć resztki; ale żadna reszta nie może być większa niż dzielnik, który dla nas wynosi 7.

Zobaczmy jakie mieliśmy salda: 4; 5; 1; 3; 2; b, czyli były to liczby mniejsze niż 7. Oczywiście nie może ich być więcej niż sześć i przy dalszej kontynuacji dzielenia trzeba będzie je powtórzyć, a po nich powtórzone zostaną cyfry ilorazu. Powyższy przykład potwierdza tę tezę: miejsca po przecinku w ilorazu są w następującej kolejności: 571428, po czym ponownie pojawiają się cyfry 57. Oznacza to, że skończył się pierwszy okres i zaczął się drugi.

Zatem, nieskończony ułamek dziesiętny uzyskany przez odwrócenie ułamka zwykłego będzie zawsze okresowy.

Jeśli podczas rozwiązywania problemu napotkany zostanie ułamek okresowy, wówczas jest on brany z dokładnością wymaganą przez warunki problemu (do dziesiątej, setnej, tysięcznej itp.).

§ 116. Sprawy łączne z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi.

Rozwiązując różne problemy, napotkamy przypadki, w których problem obejmuje zarówno ułamki zwykłe, jak i dziesiętne.

W takich przypadkach możesz postępować na różne sposoby.

1. Zamień wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne. Jest to wygodne, ponieważ obliczenia na ułamkach dziesiętnych są łatwiejsze niż w przypadku zwykłych ułamków zwykłych. Na przykład,

Zamieńmy ułamki zwykłe 3/4 i 1 1/5 na dziesiętne:

2. Zamień wszystkie ułamki zwykłe na ułamki zwykłe. Najczęściej robi się to w przypadkach, gdy istnieją ułamki zwykłe, które nie zamieniają się w końcowe miejsca po przecinku.

Na przykład,

Zamieńmy ułamki dziesiętne na zwykłe:

3. Obliczenia przeprowadza się bez zamiany niektórych ułamków na inne.

Jest to szczególnie przydatne, gdy przykład dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Na przykład,

Przepiszmy przykład w następujący sposób:

4. W niektórych przypadkach zamień wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne(nawet te, które zamieniają się w okresowe) i znajdź przybliżony wynik. Na przykład,

Zamieńmy 2/3 na ułamek dziesiętny, ograniczając się do części tysięcznych.

Nieskończone ułamki dziesiętne

Miejsca dziesiętne po przecinku mogą zawierać nieskończoną liczbę cyfr.

Nieskończone ułamki dziesiętne- są to ułamki dziesiętne, które zawierają nieskończoną liczbę cyfr.

Całkowite zapisanie nieskończonego ułamka dziesiętnego jest prawie niemożliwe, dlatego podczas ich zapisywania ograniczają się tylko do określonej skończonej liczby cyfr po przecinku, po czym wstawiają wielokropek, który wskazuje na nieskończenie ciągłą sekwencję cyfr.

Przykład 1

Na przykład $0,443340831\dots ; 3,1415935432\kropki ; 135,126730405\dots ; 4,33333333333\kropki ; 676,68349349\kropki$.

Spójrzmy na dwa ostatnie nieskończone miejsca po przecinku. W ułamku $4,33333333333\dots$ cyfra 3$ powtarza się w nieskończoność, a we ułamku $676,68349349\dots$ grupa cyfr $3$, $4$ i $9$ powtarza się od trzeciego miejsca po przecinku. Takie nieskończone ułamki dziesiętne nazywane są okresowymi.

Okresowe ułamki dziesiętne

Okresowe ułamki dziesiętne(Lub frakcje okresowe) to nieskończone ułamki dziesiętne, w których zapisie pewna liczba lub grupa liczb, zwana okresem ułamka, jest powtarzana w nieskończoność od określonego miejsca po przecinku).

Przykład 2

Na przykład okres ułamka okresowego $4,33333333333\dots$ to cyfra 3$, a okres ułamka $676,68349349\dots$ to grupa cyfr 349$.

Aby zachować zwięzłość przy pisaniu nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych, zwyczajowo zapisuje się kropkę raz, umieszczając ją w nawiasach. Na przykład ułamek okresowy $4,33333333333\dots$ jest zapisywany jako $4,(3)$, a ułamek okresowy $676,68349349\dots$ jest zapisywany jako $676,68(349)$.

Nieskończone okresowe ułamki dziesiętne uzyskuje się poprzez przekształcenie ułamków zwykłych, których mianowniki zawierają czynniki pierwsze inne niż 2 $ i 5 $, na ułamki dziesiętne.

Dowolny skończony ułamek dziesiętny (i liczbę całkowitą) można zapisać jako ułamek okresowy, dodając po prawej stronie nieskończoną liczbę cyfr $0$.

Przykład 3

Na przykład skończoną liczbę dziesiętną 45,12 $ można zapisać jako ułamek okresowy jako 45,12 (0) $, a liczbę całkowitą $ (74) $ jako nieskończoną okresową liczbę dziesiętną będzie to 74 (0) $.

W przypadku ułamków okresowych o okresie 9 należy zastosować przejście do innego zapisu ułamka okresowego o okresie 0 $. Tylko w tym celu kropkę 9 zastępuje się kropką $0$, a wartość kolejnej największej cyfry zwiększa się o 1$.

Przykład 4

Na przykład ułamek okresowy 7,45(9)$ można zastąpić ułamkiem okresowym 7,46(0)$ lub równoważnym ułamkiem dziesiętnym 7,46$.

Nieskończone dziesiętne ułamki okresowe są reprezentowane przez liczby wymierne. Innymi słowy, dowolny ułamek okresowy można przekształcić w ułamek zwykły, a każdy ułamek zwykły można przedstawić jako ułamek okresowy.

Zamiana ułamków zwykłych na skończone i nieskończone okresowe ułamki dziesiętne

Na ułamek dziesiętny można zamienić nie tylko zwykłe ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, \dots$.

W niektórych przypadkach pierwotny ułamek zwykły można łatwo sprowadzić do mianownika 10 $, 100 $ lub 1\000 $, po czym powstały ułamek można przedstawić jako ułamek dziesiętny.

Przykład 5

Aby zamienić ułamek $\frac(3)(5)$ na ułamek o mianowniku 10$, należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez 2$, po czym otrzymamy $\frac(6)( 10)$, co nie jest trudne do przeliczenia na ułamek dziesiętny 0,6$.

W innych przypadkach stosuje się inną metodę konwersji ułamka zwykłego na dziesiętny):

licznik należy zastąpić ułamkiem dziesiętnym z dowolną liczbą zer po przecinku;

podziel licznik ułamka przez mianownik (dzielenie odbywa się jako dzielenie liczb naturalnych na kolumnę, a w ilorazie stawia się przecinek po zakończeniu dzielenia całej części dywidendy).

Przykład 6

Zamień ułamek $\frac(621)(4)$ na dziesiętny.

Rozwiązanie.

Przedstawmy liczbę 621 $ w liczniku jako ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, dodaj przecinek dziesiętny i na początek dwa zera po nim. Następnie, jeśli to konieczne, możesz dodać więcej zer. Otrzymaliśmy więc 621,00 $.

Podzielmy liczbę 621,00 $ przez 4 $ w kolumnie:

Obrazek 1.

Podział osiągnął przecinek w dywidendzie, a reszta nie była równa zero. W takim przypadku w iloraz umieszcza się przecinek dziesiętny i dzielenie jest kontynuowane w kolumnie, niezależnie od przecinków:

Rysunek 2.

Reszta wynosi zero, co oznacza koniec dzielenia.

Odpowiedź: $155,25$.

Możliwe jest, że przy dzieleniu licznika i mianownika ułamka zwykłego reszta nie da $0. W takim przypadku podział można kontynuować w nieskończoność. Począwszy od pewnego momentu reszty z dzielenia powtarzają się okresowo, co oznacza, że ​​powtarzają się również liczby w ilorazu. Z tego możemy wywnioskować, że ten ułamek zwykły zostanie zamieniony na nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Przykład 7

Zamień ułamek $\frac(19)(44)$ na dziesiętny.

Rozwiązanie.)

Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wykonaj długie dzielenie:

Rysunek 3.

Przy dzieleniu powtarzają się reszty 8$ i 36$, a w ilorazie powtarzają się także liczby 1$ i 8$. Zatem pierwotny ułamek zwykły $\frac(19)(44)$ został przekształcony w ułamek okresowy $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$.

Odpowiedź: $0,43(18)$.

Ogólny wniosek dotyczący zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne:

jeśli mianownik da się rozłożyć na czynniki pierwsze, wśród których znajdą się tylko liczby $2$ i $5$, to taki ułamek można zamienić na końcowy ułamek dziesiętny;

jeśli oprócz liczb $2$ i $5$ rozwinięcie mianownika zawiera inne liczby pierwsze, wówczas taki ułamek jest zamieniany na nieskończony dziesiętny ułamek okresowy.

Pamiętasz, jak na pierwszej lekcji o ułamkach dziesiętnych powiedziałem, że istnieją ułamki liczbowe, których nie można przedstawić w postaci ułamków dziesiętnych (patrz lekcja „Ułamki dziesiętne”)? Dowiedzieliśmy się także, jak rozłożyć mianowniki ułamków na czynniki, aby sprawdzić, czy istnieją liczby inne niż 2 i 5.

Zatem: skłamałem. A dzisiaj dowiemy się, jak zamienić absolutnie dowolny ułamek liczbowy na ułamek dziesiętny. Jednocześnie poznamy całą klasę ułamków z nieskończenie znaczącą częścią.

Okresowy ułamek dziesiętny to dowolny ułamek dziesiętny, który:

1. Znaczna część składa się z nieskończonej liczby cyfr;
2. W określonych odstępach czasu liczby w znacznej części powtarzają się.

Zbiór powtarzających się cyfr tworzących część znaczącą nazywa się częścią okresową ułamka, a liczba cyfr w tym zestawie nazywa się okresem ułamka. Pozostały odcinek znacznej części, który się nie powtarza, nazywany jest częścią nieokresową.

Ponieważ istnieje wiele definicji, warto szczegółowo rozważyć kilka z tych ułamków:

Frakcja ta pojawia się najczęściej w problemach. Część nieokresowa: 0; część okresowa: 3; długość okresu: 1.

Część nieokresowa: 0,58; część okresowa: 3; długość okresu: ponownie 1.

Część nieokresowa: 1; część okresowa: 54; długość okresu: 2.

Część nieokresowa: 0; część okresowa: 641025; długość okresu: 6. Dla wygody powtarzające się części oddzielono od siebie spacją – w tym rozwiązaniu nie jest to konieczne.

Część nieokresowa: 3066; część okresowa: 6; długość okresu: 1.

Jak widać, definicja ułamka okresowego opiera się na koncepcji znacząca część liczby. Dlatego jeśli zapomniałeś, co to jest, radzę to powtórzyć - zobacz lekcję „”.

Przejście na okresowy ułamek dziesiętny

Rozważmy ułamek zwykły postaci a/b. Rozłóżmy jego mianownik na czynniki pierwsze. Istnieją dwie opcje:

1. Rozwinięcie zawiera tylko czynniki 2 i 5. Ułamki te można łatwo przekształcić w ułamki dziesiętne - zobacz lekcję „Ułamki dziesiętne”. Nie interesują nas takie osoby;
2. W rozwinięciu jest coś innego niż 2 i 5. W tym przypadku ułamka zwykłego nie można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego, ale można go zamienić na okresowy ułamek dziesiętny.

Aby zdefiniować okresowy ułamek dziesiętny, musisz znaleźć jego części okresowe i nieokresowe. Jak? Zamień ułamek na ułamek niewłaściwy, a następnie podziel licznik przez mianownik, korzystając z narożnika.

Wydarzy się co następuje:

1. Najpierw się podzielę cała część, jeśli istnieje;
2. Po przecinku może znajdować się kilka cyfr;
3. Po chwili zaczną się cyfry powtarzać.

To wszystko! Liczby powtarzające się po przecinku są oznaczone częścią okresową, a liczby poprzedzające – częścią nieokresową.

Zadanie. Zamień ułamki zwykłe na okresowe ułamki dziesiętne:

Wszystkie ułamki bez części całkowitej, dlatego po prostu dzielimy licznik przez mianownik za pomocą „rogu”:

Jak widać, reszty się powtarzają. Zapiszmy ułamek w „poprawnej” formie: 1,733 ... = 1,7 (3).

Wynikiem jest ułamek: 0,5833 ... = 0,58(3).

Zapisujemy to w postaci normalnej: 4,0909 ... = 4,(09).

Otrzymujemy ułamek: 0,4141 ... = 0, (41).

Przejście z okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Rozważmy okresowy ułamek dziesiętny X = abc (a 1 b 1 c 1). Wymagana jest jego przebudowa na klasyczną „dwupiętrową”. Aby to zrobić, wykonaj cztery proste kroki:

1. Znajdź okres ułamka, tj. policz, ile cyfr znajduje się w części okresowej. Niech to będzie liczba k;
2. Znajdź wartość wyrażenia X · 10 k. Jest to równoznaczne z przesunięciem przecinka w prawo o pełną kropkę - zobacz lekcję „Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych”;
3. Od otrzymanej liczby należy odjąć oryginalne wyrażenie. W tym przypadku część okresowa zostaje „spalona” i pozostaje ułamek wspólny;
4. Znajdź X w otrzymanym równaniu. Zamieniamy wszystkie ułamki dziesiętne na zwykłe.

Zadanie. Zamień liczbę na zwykły ułamek niewłaściwy:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Pracujemy z pierwszym ułamkiem: X = 9,(6) = 9,666 ...

Nawiasy zawierają tylko jedną cyfrę, więc okres wynosi k = 1. Następnie mnożymy ten ułamek przez 10 k = 10 1 = 10. Mamy:

10X = 10 9,6666... ​​\u003d 96,666...

Odejmij ułamek wyjściowy i rozwiąż równanie:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Teraz spójrzmy na drugi ułamek. Zatem X = 32,(39) = 32,393939...

Okres k = 2, więc pomnóż wszystko przez 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Odejmij ponownie pierwotny ułamek i rozwiąż równanie:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Przejdźmy do trzeciego ułamka: X = 0,30(5) = 0,30555... Wykres jest ten sam, więc podam tylko obliczenia:

Okres k = 1 ⇒ pomnóż wszystko przez 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Na koniec ostatni ułamek: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ponownie, dla wygody, części okresowe oddzielono od siebie spacjami. Mamy:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Zdarza się, że dla wygody obliczeń trzeba zamienić ułamek zwykły na dziesiętny i odwrotnie. Porozmawiamy o tym, jak to zrobić w tym artykule. Przyjrzyjmy się zasadom konwersji ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne i odwrotnie, a także podaj przykłady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rozważymy zamianę ułamków zwykłych na dziesiętne, zachowując określoną kolejność. Najpierw przyjrzyjmy się, jak ułamki zwykłe o mianowniku będącym wielokrotnością 10 są zamieniane na ułamki dziesiętne: 10, 100, 1000 itd. Ułamki zwykłe o takich mianownikach są w rzeczywistości bardziej uciążliwym zapisem ułamków dziesiętnych.

Następnie przyjrzymy się, jak zamienić ułamki zwykłe o dowolnym mianowniku, a nie tylko wielokrotnościach 10, na ułamki dziesiętne. Należy pamiętać, że podczas konwersji ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne uzyskuje się nie tylko skończone ułamki dziesiętne, ale także nieskończone okresowe ułamki dziesiętne.

Zacznijmy!

Tłumaczenie ułamków zwykłych o mianownikach 10, 100, 1000 itd. do ułamków dziesiętnych

Po pierwsze, powiedzmy, że niektóre ułamki zwykłe wymagają pewnego przygotowania przed konwersją do postaci dziesiętnej. Co to jest? Przed liczbą w liczniku należy dodać tyle zer, aby liczba cyfr w liczniku była równa liczbie zer w mianowniku. Na przykład w przypadku ułamka 3100 liczbę 0 należy dodać raz na lewo od 3 w liczniku. Frakcja 610 zgodnie z zasadą podaną powyżej nie wymaga modyfikacji.

Spójrzmy na jeszcze jeden przykład, po którym sformułujemy regułę, która będzie szczególnie wygodna w użyciu na początku, podczas gdy nie ma dużego doświadczenia w konwertowaniu ułamków. Zatem ułamek 1610000 po dodaniu zer w liczniku będzie wyglądał jak 001510000.

Jak przekonwertować ułamek zwykły o mianowniku 10, 100, 1000 itd. do dziesiętnego?

Zasada zamiany ułamków zwykłych zwykłych na dziesiętne

1. Zapisz 0 i postaw po nim przecinek.
2. Liczbę zapisujemy z licznika, który otrzymaliśmy po dodaniu zer.

Przejdźmy teraz do przykładów.

Przykład 1: Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Zamieńmy ułamek zwykły 39 100 na ułamek dziesiętny.

Najpierw patrzymy na ułamek i widzimy, że nie ma potrzeby wykonywania żadnych działań przygotowawczych - liczba cyfr w liczniku pokrywa się z liczbą zer w mianowniku.

Zgodnie z zasadą zapisujemy 0, stawiamy po nim kropkę dziesiętną i zapisujemy liczbę z licznika. Otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,39.

Spójrzmy na rozwiązanie innego przykładu na ten temat.

Przykład 2. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

Zapiszmy ułamek 105 10000000 jako ułamek dziesiętny.

Liczba zer w mianowniku wynosi 7, a licznik ma tylko trzy cyfry. Dodajmy jeszcze 4 zera przed liczbą w liczniku:

0000105 10000000

Teraz zapisujemy 0, stawiamy po nim kropkę dziesiętną i zapisujemy liczbę z licznika. Otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,0000105.

Ułamki uwzględnione we wszystkich przykładach są zwykłymi ułamkami właściwymi. Ale jak zamienić ułamek niewłaściwy na dziesiętny? Powiedzmy od razu, że nie ma potrzeby przygotowania z dodawaniem zer dla takich ułamków. Sformułujmy regułę.

Zasada zamiany zwykłych ułamków niewłaściwych na dziesiętne

1. Zapisz liczbę znajdującą się w liczniku.
2. Przecinkiem dziesiętnym oddzielamy po prawej stronie tyle cyfr, ile jest zer w mianowniku ułamka pierwotnego.

Poniżej znajduje się przykład użycia tej reguły.

Przykład 3. Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Zamieńmy ułamek 56888038009 100000 ze zwykłego ułamka nieregularnego na dziesiętny.

Najpierw zapiszmy liczbę z licznika:

Teraz po prawej stronie oddzielamy pięć cyfr przecinkiem (liczba zer w mianowniku wynosi pięć). Otrzymujemy:

Kolejne pytanie, które naturalnie się pojawia, brzmi: jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny, jeśli mianownikiem jej części ułamkowej jest liczba 10, 100, 1000 itd. Aby zamienić taką liczbę na ułamek dziesiętny, możesz skorzystać z poniższej reguły.

Zasada zamiany liczb mieszanych na dziesiętne

1. W razie potrzeby przygotowujemy część ułamkową liczby.
2. Zapisujemy całą część pierwotnej liczby i stawiamy po niej przecinek.
3. Liczbę z licznika części ułamkowej zapisujemy wraz z dodanymi zerami.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 4: Konwersja liczb mieszanych na dziesiętne

Zamieńmy liczbę mieszaną 23 17 10000 na ułamek dziesiętny.

W części ułamkowej mamy wyrażenie 17 10000. Przygotujmy go i dodajmy jeszcze dwa zera po lewej stronie licznika. Otrzymujemy: 0017 10000.

Teraz zapisujemy całą część liczby i stawiamy po niej przecinek: 23, . .

Po przecinku zapisz liczbę z licznika wraz z zerami. Otrzymujemy wynik:

23 17 10000 = 23 , 0017

Zamiana ułamków zwykłych na ułamki okresowe skończone i nieskończone

Oczywiście można konwertować na ułamki dziesiętne i zwykłe o mianowniku różnym od 10, 100, 1000 itd.

Często ułamek można łatwo sprowadzić do nowego mianownika, a następnie zastosować regułę przedstawioną w pierwszym akapicie tego artykułu. Na przykład wystarczy pomnożyć licznik i mianownik ułamka 25 przez 2 i otrzymamy ułamek 410, który łatwo przeliczyć na postać dziesiętną 0,4.

Jednak ta metoda konwersji ułamka zwykłego na dziesiętny nie zawsze może być zastosowana. Poniżej zastanowimy się, co zrobić, jeśli nie można zastosować rozważanej metody.

Całkowicie nowym sposobem zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny jest podzielenie licznika przez mianownik za pomocą kolumny. Ta operacja jest bardzo podobna do dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę, ale ma swoje własne cechy.

Podczas dzielenia licznik jest przedstawiany jako ułamek dziesiętny – po prawej stronie ostatniej cyfry licznika stawia się przecinek i dodaje się zera. W otrzymanym ilorazie kropkę dziesiętną umieszcza się, gdy kończy się dzielenie części całkowitej licznika. Jak dokładnie działa ta metoda, stanie się jasne po zapoznaniu się z przykładami.

Przykład 5. Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Zamieńmy ułamek zwykły 621 4 na postać dziesiętną.

Przedstawmy liczbę 621 z licznika jako ułamek dziesiętny, dodając kilka zer po przecinku. 621 = 621,00

Teraz podzielmy 621,00 przez 4 za pomocą kolumny. Pierwsze trzy kroki dzielenia będą takie same jak przy dzieleniu liczb naturalnych i otrzymamy.

Kiedy dochodzimy do przecinka w dzielnej, a reszta jest różna od zera, stawiamy przecinek w ilorazu i kontynuujemy dzielenie, nie zwracając już uwagi na przecinek w dywidendzie.

W rezultacie otrzymujemy ułamek dziesiętny 155, 25, który jest wynikiem odwrócenia ułamka zwykłego 621 4

621 4 = 155 , 25

Spójrzmy na inny przykład wzmocnienia materiału.

Przykład 6. Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Odwróćmy ułamek zwykły 21 800.

Aby to zrobić, podziel ułamek 21 000 na kolumnę przez 800. Dzielenie całej części zakończy się na pierwszym etapie, więc zaraz po nim stawiamy przecinek w ilorazu i kontynuujemy dzielenie, nie zwracając uwagi na przecinek w dzielnej, aż do momentu, gdy otrzymamy resztę równą zero.

W rezultacie otrzymaliśmy: 21 800 = 0,02625.

Co jednak, jeśli przy dzieleniu nadal nie otrzymamy reszty równej 0. W takich przypadkach dzielenie można kontynuować w nieskończoność. Jednakże, począwszy od pewnego etapu, pozostałości będą powtarzane okresowo. W związku z tym liczby w ilorazu zostaną powtórzone. Oznacza to, że ułamek zwykły jest zamieniany na dziesiętny nieskończony ułamek okresowy. Zilustrujmy to przykładem.

Przykład 7. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

Zamieńmy ułamek zwykły 19 44 na ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, wykonujemy dzielenie według kolumn.

Widzimy, że podczas dzielenia powtarzają się reszty 8 i 36. W tym przypadku liczby 1 i 8 powtarzają się w ilorazie. Jest to okres w ułamku dziesiętnym. Podczas nagrywania liczby te są umieszczane w nawiasach.

W ten sposób pierwotny ułamek zwykły zostaje przekształcony w nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Zobaczmy nieredukowalny ułamek zwykły. Jaką formę przyjmie? Które ułamki zwykłe zamienia się na skończone ułamki dziesiętne, a które na nieskończone ułamki okresowe?

Załóżmy najpierw, że jeśli ułamek można sprowadzić do jednego z mianowników 10, 100, 1000..., to będzie on miał postać końcowego ułamka dziesiętnego. Aby ułamek został zredukowany do jednego z tych mianowników, jego mianownik musi być dzielnikiem co najmniej jednej z liczb 10, 100, 1000 itd. Z zasad rozkładania liczb na czynniki pierwsze wynika, że ​​dzielnikiem liczb jest 10, 100, 1000 itd. musi, po rozłożeniu na czynniki pierwsze, zawierać tylko liczby 2 i 5.

Podsumujmy co zostało powiedziane:

1. Ułamek zwykły można sprowadzić do ułamka dziesiętnego, jeśli jego mianownik można rozłożyć na czynniki pierwsze 2 i 5.
2. Jeżeli oprócz liczb 2 i 5 w rozwinięciu mianownika znajdują się inne liczby pierwsze, ułamek jest redukowany do postaci nieskończonej okresowej części dziesiętnej.

Podajmy przykład.

Przykład 8. Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Który z tych ułamków 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 zamienia się na końcowy ułamek dziesiętny, a który tylko na okresowy. Odpowiedzmy na to pytanie bez bezpośredniej konwersji ułamka zwykłego na dziesiętny.

Ułamek 47 20, jak łatwo zauważyć, mnożąc licznik i mianownik przez 5, redukuje się do nowego mianownika 100.

47 20 = 235 100. Z tego wnioskujemy, że ułamek ten jest konwertowany na końcowy ułamek dziesiętny.

Rozłożenie mianownika ułamka na czynniki daje 12 = 2 · 2 · 3. Ponieważ czynnik pierwszy 3 różni się od 2 i 5, ułamka tego nie można przedstawić jako skończonego ułamka dziesiętnego, ale będzie on miał postać nieskończonego ułamka okresowego.

Najpierw należy zmniejszyć ułamek 21 56. Po redukcji przez 7 otrzymujemy ułamek nieredukowalny 3 8, którego mianownik jest rozkładany na czynniki w celu uzyskania 8 = 2 · 2 · 2. Jest to zatem końcowy ułamek dziesiętny.

W przypadku ułamka 31 17 mianownikiem jest sama liczba pierwsza 17. W związku z tym ułamek ten można przekształcić w nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Ułamka zwykłego nie można zamienić na nieskończony i nieokresowy ułamek dziesiętny

Powyżej mówiliśmy tylko o skończonych i nieskończonych ułamkach okresowych. Ale czy każdy zwykły ułamek można przekształcić w nieskończony ułamek nieokresowy?

Odpowiadamy: nie!

Ważny!

Podczas konwersji ułamka nieskończonego na ułamek dziesiętny wynikiem jest albo skończona liczba dziesiętna, albo nieskończona okresowa liczba dziesiętna.

Reszta dzielenia jest zawsze mniejsza od dzielnika. Innymi słowy, zgodnie z twierdzeniem o podzielności, jeśli podzielimy jakąś liczbę naturalną przez liczbę q, to ​​reszta z dzielenia w żadnym wypadku nie może być większa niż q-1. Po zakończeniu podziału możliwa jest jedna z następujących sytuacji:

1. Otrzymujemy resztę równą 0 i na tym dzielenie się kończy.
2. Otrzymujemy resztę, która jest powtarzana przy kolejnym dzieleniu, w wyniku czego otrzymujemy nieskończony ułamek okresowy.

Nie ma innej możliwości zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny. Powiedzmy również, że długość okresu (liczba cyfr) nieskończonego ułamka okresowego jest zawsze mniejsza niż liczba cyfr w mianowniku odpowiedniego ułamka zwykłego.

Zamiana ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Teraz czas przyjrzeć się odwrotnemu procesowi zamiany ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły. Sformułujmy regułę tłumaczenia, która obejmuje trzy etapy. Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Zasada zamiany ułamków dziesiętnych na zwykłe

1. W liczniku zapisujemy liczbę z pierwotnego ułamka dziesiętnego, odrzucając przecinek i wszystkie zera po lewej stronie, jeśli występują.
2. W mianowniku zapisujemy jedynkę i tyle zer, ile jest cyfr po przecinku w pierwotnym ułamku dziesiętnym.
3. Jeśli to konieczne, zmniejsz powstałą ułamek zwykły.

Przyjrzyjmy się zastosowaniu tej zasady na przykładach.

Przykład 8. Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe

Wyobraźmy sobie liczbę 3,025 jako ułamek zwykły.

1. Do licznika wpisujemy sam ułamek dziesiętny, odrzucając przecinek: 3025.
2. W mianowniku piszemy jeden, a po nim trzy zera - dokładnie tyle cyfr zawiera się w pierwotnym ułamku po przecinku: 3025 1000.
3. Powstały ułamek 3025 1000 można zmniejszyć o 25, otrzymując: 3025 1000 = 121 40.

Przykład 9. Konwersja ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Zamieńmy ułamek 0,0017 z dziesiętnego na zwykły.

1. W liczniku zapisujemy ułamek 0, 0017, odrzucając przecinek i zera po lewej stronie. Okazuje się, że będzie to 17.
2. W mianowniku zapisujemy jedynkę, a po niej cztery zera: 17 10000. Ułamek ten jest nieredukowalny.

Jeśli ułamek dziesiętny ma część całkowitą, wówczas taki ułamek można natychmiast przekształcić w liczbę mieszaną. Jak to zrobić?

Sformułujmy jeszcze jedną zasadę.

Zasada zamiany ułamków dziesiętnych na liczby mieszane.

1. Liczbę przed przecinkiem ułamkowym zapisuje się jako część całkowitą liczby mieszanej.
2. W liczniku zapisujemy liczbę po przecinku ułamka zwykłego, odrzucając zera po lewej stronie, jeśli takie istnieją.
3. Do mianownika części ułamkowej dodajemy jeden i tyle zer, ile jest cyfr po przecinku w części ułamkowej.

Weźmy przykład

Przykład 10. Konwersja ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną

Wyobraźmy sobie ułamek 155, 06005 jako liczbę mieszaną.

1. Liczbę 155 zapisujemy jako część całkowitą.
2. W liczniku zapisujemy liczby po przecinku, odrzucając zero.
3. W mianowniku zapisujemy jeden i pięć zer

Nauczmy się liczby mieszanej: 155 6005 100000

Część ułamkową można zmniejszyć o 5. Skracamy go i otrzymujemy efekt końcowy:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Zamiana nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Spójrzmy na przykłady zamiany okresowych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe. Zanim zaczniemy, wyjaśnijmy: każdy okresowy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek zwykły.

Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy okres ułamka wynosi zero. Ułamek okresowy z kropką zerową zastępuje się końcowym ułamkiem dziesiętnym, a proces odwracania takiego ułamka sprowadza się do odwracania końcowego ułamka dziesiętnego.

Przykład 11. Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Odwróćmy ułamek okresowy 3, 75 (0).

Eliminując zera po prawej stronie, otrzymujemy końcowy ułamek dziesiętny 3,75.

Przekształcając ten ułamek na ułamek zwykły, stosując algorytm omówiony w poprzednich akapitach, otrzymujemy:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

A co jeśli okres ułamka jest różny od zera? Część okresową należy traktować jako sumę wyrazów postępu geometrycznego, który maleje. Wyjaśnijmy to na przykładzie:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Istnieje wzór na sumę wyrazów nieskończonego malejącego postępu geometrycznego. Jeśli pierwszym wyrazem ciągu jest b, a mianownik q jest taki, że 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Przyjrzyjmy się kilku przykładom wykorzystania tej formuły.

Przykład 12. Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Mamy ułamek okresowy 0, (8) i musimy go zamienić na ułamek zwykły.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Tutaj mamy nieskończony malejący postęp geometryczny z pierwszym wyrazem 0, 8 i mianownikiem 0, 1.

Zastosujmy wzór:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Jest to wymagany ułamek zwykły.

Aby skonsolidować materiał, rozważ inny przykład.

Przykład 13. Konwersja okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Odwróćmy ułamek 0, 43 (18).

Najpierw zapisujemy ułamek jako sumę nieskończoną:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Spójrzmy na terminy w nawiasach. Ten postęp geometryczny można przedstawić w następujący sposób:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Wynik dodajemy do ułamka końcowego 0, 43 = 43 100 i otrzymujemy wynik:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Po dodaniu tych ułamków i skróceniu otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

0 , 43 (18) = 19 44

Na zakończenie tego artykułu powiemy, że nieokresowych nieskończonych ułamków dziesiętnych nie można przekształcić w ułamki zwykłe.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ten artykuł jest o miejsca dziesiętne. Tutaj zrozumiemy zapis dziesiętny liczb ułamkowych, wprowadzimy pojęcie ułamka dziesiętnego i podamy przykłady ułamków dziesiętnych. Następnie porozmawiamy o cyfrach ułamków dziesiętnych i podamy nazwy cyfr. Następnie skupimy się na nieskończonych ułamkach dziesiętnych, porozmawiajmy o ułamkach okresowych i nieokresowych. Następnie wymienimy podstawowe operacje na ułamkach dziesiętnych. Podsumowując, ustalmy położenie ułamków dziesiętnych na belce współrzędnych.

Nawigacja strony.

Zapis dziesiętny liczby ułamkowej

Czytanie ułamków dziesiętnych

Powiedzmy kilka słów o zasadach czytania ułamków dziesiętnych.

Ułamki dziesiętne, które odpowiadają właściwym ułamkom zwykłym, czyta się w taki sam sposób, jak ułamki zwykłe, z tą różnicą, że najpierw dodaje się „liczbę całkowitą zero”. Na przykład ułamek dziesiętny 0,12 odpowiada ułamkowi zwykłemu 12/100 (czytaj „dwanaście setnych”), dlatego 0,12 odczytuje się jako „przecinek zerowy dwanaście setnych”.

Ułamki dziesiętne odpowiadające liczbom mieszanym czyta się dokładnie tak samo, jak liczby mieszane. Na przykład ułamek dziesiętny 56,002 odpowiada liczbie mieszanej, więc ułamek dziesiętny 56,002 odczytuje się jako „pięćdziesiąt sześć przecinek dwie tysięczne”.

Miejsca po przecinku

Zapisując ułamki dziesiętne, a także zapisując liczby naturalne, znaczenie każdej cyfry zależy od jej położenia. Rzeczywiście liczba 3 w ułamku dziesiętnym 0,3 oznacza trzy dziesiąte, w ułamku dziesiętnym 0,0003 - trzy dziesięciotysięczne, a w ułamku dziesiętnym 30 000,152 - trzy dziesiątki tysięcy. Więc możemy porozmawiać miejsca dziesiętne, a także o cyfrach liczb naturalnych.

Nazwy cyfr ułamka dziesiętnego aż do kropki dziesiętnej całkowicie pokrywają się z nazwami cyfr liczb naturalnych. Nazwy miejsc dziesiętnych po przecinku można zobaczyć w poniższej tabeli.

Na przykład w ułamku dziesiętnym 37,051 cyfra 3 znajduje się na miejscu dziesiątek, 7 na miejscu jedności, 0 na miejscu dziesiątym, 5 na miejscu setnym, a 1 na miejscu tysięcznym.

Miejsca w ułamkach dziesiętnych również różnią się priorytetem. Jeśli zapisując ułamek dziesiętny będziemy przechodzić od cyfry do cyfry od lewej do prawej, to będziemy się przesuwać seniorzy Do stopnie juniorskie. Na przykład miejsce setek jest starsze niż miejsce dziesiątych, a miejsce milionów jest niższe niż miejsce setne. W danym końcowym ułamku dziesiętnym możemy mówić o cyfrach większych i mniejszych. Na przykład w ułamku dziesiętnym 604,9387 starszy (najwyższy) to miejsce jest miejscem setek i junior (najniższy)- cyfra dziesięciotysięczna.

W przypadku ułamków dziesiętnych następuje rozwinięcie do cyfr. Przypomina to rozwinięcie liczb naturalnych na cyfry. Na przykład rozwinięcie liczby 45,6072 do miejsc dziesiętnych wygląda następująco: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A właściwości dodawania z rozkładu ułamka dziesiętnego na cyfry pozwalają przejść do innych reprezentacji tego ułamka dziesiętnego, na przykład 45,6072=45+0,6072 lub 45,6072=40,6+5,007+0,0002 lub 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Kończenie ułamków dziesiętnych

Do tego momentu mówiliśmy jedynie o ułamkach dziesiętnych, w których zapisie po przecinku znajduje się skończona liczba cyfr. Takie ułamki nazywane są skończonymi ułamkami dziesiętnymi.

Definicja.

Kończenie ułamków dziesiętnych- Są to ułamki dziesiętne, których zapisy zawierają skończoną liczbę znaków (cyfr).

Oto kilka przykładów końcowych ułamków dziesiętnych: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Jednak nie każdy ułamek można przedstawić jako ułamek dziesiętny. Na przykład ułamka 5/13 nie można zastąpić ułamkiem równym o jednym z mianowników 10, 100, ... dlatego nie można go przekształcić w końcowy ułamek dziesiętny. Porozmawiamy o tym więcej w części teoretycznej, zamieniając ułamki zwykłe na dziesiętne.

Nieskończone ułamki dziesiętne: ułamki okresowe i ułamki nieokresowe

Zapisując ułamek dziesiętny po przecinku, można założyć możliwość nieskończonej liczby cyfr. W tym przypadku rozważymy tak zwane nieskończone ułamki dziesiętne.

Definicja.

Nieskończone ułamki dziesiętne- Są to ułamki dziesiętne, które zawierają nieskończoną liczbę cyfr.

Jest oczywiste, że nie możemy zapisać nieskończonych ułamków dziesiętnych w pełnej formie, dlatego w ich zapisie ograniczamy się tylko do pewnej skończonej liczby cyfr po przecinku i stawiamy wielokropek wskazujący nieskończenie ciągły ciąg cyfr. Oto kilka przykładów nieskończonych ułamków dziesiętnych: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Jeśli przyjrzysz się uważnie dwóm ostatnim nieskończonym ułamkom dziesiętnym, to w ułamku 2,111111111... wyraźnie widać powtarzającą się w nieskończoność liczbę 1, a w ułamku 69,74152152152... zaczynając od trzeciego miejsca po przecinku, powtarzającą się grupę liczb 1, 5 i 2 są wyraźnie widoczne. Takie nieskończone ułamki dziesiętne nazywane są okresowymi.

Definicja.

Okresowe ułamki dziesiętne(lub po prostu frakcje okresowe) to nieskończone ułamki dziesiętne, przy zapisie których, zaczynając od określonego miejsca po przecinku, powtarza się w nieskończoność pewna liczba lub grupa liczb, co nazywa się okres ułamka.

Na przykład okres ułamka okresowego 2,111111111... to cyfra 1, a okres ułamka 69,74152152152... to grupa cyfr postaci 152.

W przypadku nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych przyjmuje się specjalną formę zapisu. Dla skrócenia zgodziliśmy się na jednorazowe zapisanie kropki, umieszczając ją w nawiasie. Na przykład ułamek okresowy 2,111111111... jest zapisywany jako 2,(1) , a ułamek okresowy 69,74152152152... jest zapisywany jako 69,74(152) .

Warto zauważyć, że dla tego samego okresowego ułamka dziesiętnego można określić różne okresy. Na przykład okresowy ułamek dziesiętny 0,73333... można uznać za ułamek 0,7(3) z okresem 3, a także jako ułamek 0,7(33) z okresem 33 i tak dalej 0,7(333), 0,7 (3333), ... Możesz także spojrzeć na ułamek okresowy 0,73333 ... w ten sposób: 0,733 (3) lub w ten sposób 0,73 (333) itd. Tutaj, aby uniknąć dwuznaczności i rozbieżności, zgodzimy się uznać za okres ułamka dziesiętnego najkrótszy ze wszystkich możliwych ciągów powtarzających się cyfr, zaczynając od pozycji najbliższej przecinkowi dziesiętnemu. Oznacza to, że za okres ułamka dziesiętnego 0,73333... będziemy uważać ciąg jednej cyfry 3, a okresowość zaczyna się od drugiej pozycji po przecinku, czyli 0,73333...=0,7(3). Inny przykład: ułamek okresowy 4,7412121212... ma okres 12, okresowość zaczyna się od trzeciej cyfry po przecinku, czyli 4,7412121212...=4,74(12).

Nieskończone dziesiętne ułamki okresowe otrzymuje się poprzez przekształcenie na ułamki dziesiętne zwykłych ułamków, których mianowniki zawierają czynniki pierwsze inne niż 2 i 5.

Warto tutaj wspomnieć o ułamkach okresowych z okresem 9. Podajmy przykłady takich ułamków: 6,43(9) , 27,(9) . Ułamki te są kolejnym zapisem ułamków okresowych z okresem 0 i zwykle są zastępowane ułamkami okresowymi z okresem 0. W tym celu okres 9 zastępuje się okresem 0, a wartość kolejnej największej cyfry zwiększa się o jeden. Na przykład ułamek o okresie 9 w postaci 7,24(9) zastępuje się ułamkiem okresowym o okresie 0 w postaci 7,25(0) lub równym końcowym ułamkiem dziesiętnym 7,25. Inny przykład: 4,(9)=5,(0)=5. Równość ułamka z okresem 9 i odpowiadającego mu ułamka z okresem 0 można łatwo ustalić po zastąpieniu tych ułamków dziesiętnych równymi ułamkami zwykłymi.

Na koniec przyjrzyjmy się bliżej nieskończonym ułamkom dziesiętnym, które nie zawierają nieskończenie powtarzającej się sekwencji cyfr. Nazywa się je nieokresowymi.

Definicja.

Niepowtarzające się ułamki dziesiętne(lub po prostu frakcje nieokresowe) to nieskończone ułamki dziesiętne bez kropki.

Czasami ułamki nieokresowe mają postać podobną do ułamków okresowych, np. 8.02002000200002... jest ułamkiem nieokresowym. W takich przypadkach należy szczególnie uważać, aby zauważyć różnicę.

Należy pamiętać, że ułamki nieokresowe nie są konwertowane na ułamki zwykłe; nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne reprezentują liczby niewymierne.

Operacje na ułamkach dziesiętnych

Jedną z operacji na ułamkach dziesiętnych jest porównywanie, definiuje się także cztery podstawowe funkcje arytmetyczne operacje na ułamkach dziesiętnych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Rozważmy osobno każdą z akcji z ułamkami dziesiętnymi.

Porównanie ułamków dziesiętnych zasadniczo opiera się na porównaniu ułamków zwykłych odpowiadających porównywanym ułamkom dziesiętnym. Jednak przekształcanie ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe jest procesem dość pracochłonnym, a nieskończonych ułamków nieokresowych nie można przedstawić jako ułamka zwykłego, dlatego wygodnie jest zastosować porównanie ułamków dziesiętnych w oparciu o miejsca. Porównanie miejsc ułamków dziesiętnych jest podobne do porównywania liczb naturalnych. Aby uzyskać bardziej szczegółowe informacje, zalecamy przestudiowanie artykułu: porównanie ułamków dziesiętnych, reguły, przykłady, rozwiązania.

Przejdźmy do następnego kroku – mnożenie ułamków dziesiętnych. Mnożenie skończonych ułamków dziesiętnych odbywa się analogicznie do odejmowania ułamków dziesiętnych, zasady, przykłady, rozwiązania mnożenia przez kolumnę liczb naturalnych. W przypadku ułamków okresowych mnożenie można sprowadzić do mnożenia ułamków zwykłych. Z kolei mnożenie nieskończonych nieokresowych ułamków dziesiętnych po ich zaokrągleniu sprowadza się do mnożenia skończonych ułamków dziesiętnych. Polecamy do dalszego przestudiowania materiał w artykule: mnożenie ułamków dziesiętnych, zasady, przykłady, rozwiązania.

Miejsca dziesiętne na promieniu współrzędnych

Istnieje zgodność jeden do jednego między kropkami i miejscami dziesiętnymi.

Zastanówmy się, jak zbudowane są punkty na promieniu współrzędnych, które odpowiadają danemu ułamkowi dziesiętnemu.

Możemy zastąpić skończone ułamki dziesiętne i nieskończone okresowe ułamki dziesiętne równymi ułamkami zwykłymi, a następnie skonstruować odpowiednie ułamki zwyczajne na promieniu współrzędnych. Na przykład ułamek dziesiętny 1,4 odpowiada ułamkowi zwykłemu 14/10, więc punkt o współrzędnej 1,4 jest usuwany od początku w kierunku dodatnim o 14 segmentów równych jednej dziesiątej segmentu jednostkowego.

Ułamki dziesiętne można zaznaczyć na promieniu współrzędnych, zaczynając od rozłożenia danego ułamka dziesiętnego na cyfry. Przykładowo, musimy zbudować punkt o współrzędnych 16.3007, ponieważ 16.3007=16+0.3+0.0007, to możemy dojść do tego punktu układając kolejno 16 odcinków jednostkowych od początku współrzędnych, 3 odcinki o długości równej jednej dziesiątej jednostki i 7 odcinków, których długość jest równa dziesięciotysięcznej części jednostkowej.

Ta metoda konstruowania liczb dziesiętnych na promieniu współrzędnych pozwala zbliżyć się tak blisko punktu odpowiadającego nieskończonej części dziesiętnej.

Czasami możliwe jest dokładne wykreślenie punktu odpowiadającego nieskończonej części dziesiętnej. Na przykład, , to ten nieskończony ułamek dziesiętny 1,41421... odpowiada punktowi na promieniu współrzędnych, oddalonym od początku współrzędnych o długość przekątnej kwadratu o boku 1 odcinka jednostkowego.

Odwrotny proces uzyskiwania ułamka dziesiętnego odpowiadającego danemu punktowi na promieniu współrzędnych to tzw dziesiętna miara segmentu. Zastanówmy się, jak to się robi.

Niech naszym zadaniem będzie dotarcie od początku do zadanego punktu na linii współrzędnych (lub dotarcie do niego w nieskończoność, jeśli nie możemy się do niego dostać). Dzięki dziesiętnemu pomiarowi odcinka możemy kolejno odsunąć od początku dowolną liczbę segmentów jednostkowych, następnie segmenty, których długość jest równa jednej dziesiątej jednostki, następnie odcinki, których długość jest równa setnej części jednostki itp. Zapisując liczbę odłożonych odcinków każdej długości, otrzymujemy ułamek dziesiętny odpowiadający danemu punktowi na promieniu współrzędnych.

Przykładowo, aby dostać się do punktu M na powyższym rysunku, należy odłożyć 1 odcinek jednostkowy i 4 odcinki, których długość jest równa jednej dziesiątej jednostki. Zatem punkt M odpowiada ułamkowi dziesiętnemu 1,4.

Oczywiste jest, że punkty promienia współrzędnych, do których nie można dotrzeć w procesie pomiaru dziesiętnego, odpowiadają nieskończonym ułamkom dziesiętnym.

Bibliografia.

• Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematyka. Klasa 6: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Tak, Vilenkin i inni]. - wyd. 22, wyd. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.