Praktyka ubiegłorocznych jednolitych egzaminów państwowych i egzaminów państwowych pokazuje, że problemy z geometrią sprawiają wielu uczniom trudności. Możesz łatwo sobie z nimi poradzić, jeśli zapamiętasz wszystkie niezbędne formuły i przećwiczysz rozwiązywanie problemów.

W tym artykule zobaczysz wzory na znalezienie pola trapezu, a także przykłady problemów z rozwiązaniami. Na te same można natknąć się w KIM-ach podczas egzaminów certyfikacyjnych czy na olimpiadach. Dlatego traktuj je ostrożnie.

Co musisz wiedzieć o trapezie?

Na początek pamiętajmy o tym trapez nazywa się czworobokiem, w którym dwa przeciwległe boki, zwane także podstawami, są równoległe, a pozostałe dwa nie.

W trapezie wysokość (prostopadle do podstawy) można również obniżyć. Rysowana jest linia środkowa - jest to linia prosta równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy. Jak również przekątne, które mogą się przecinać, tworząc kąty ostre i rozwarte. Lub, w niektórych przypadkach, pod kątem prostym. Ponadto, jeśli trapez jest równoramienny, można w niego wpisać okrąg. I opisz okrąg wokół niego.

Wzory na pole trapezu

Najpierw spójrzmy na standardowe wzory na znalezienie obszaru trapezu. Poniżej rozważymy sposoby obliczania powierzchni trapezów równoramiennych i krzywoliniowych.

Wyobraźmy sobie więc trapez o podstawach a i b, w którym wysokość h jest obniżona do większej podstawy. Obliczenie pola figury w tym przypadku jest tak proste, jak łuskanie gruszek. Wystarczy podzielić sumę długości podstaw przez dwa i pomnożyć wynik przez wysokość: S = 1/2(a + b)*h.

Weźmy inny przypadek: załóżmy, że w trapezie oprócz wysokości znajduje się linia środkowa m. Znamy wzór na znalezienie długości linii środkowej: m = 1/2(a + b). Dlatego słusznie możemy uprościć wzór na pole trapezu do następującej postaci: S = m* godz. Innymi słowy, aby znaleźć pole trapezu, należy pomnożyć linię środkową przez wysokość.

Rozważmy inną opcję: trapez zawiera przekątne d 1 i d 2, które nie przecinają się pod kątem prostym α. Aby obliczyć pole takiego trapezu, należy podzielić iloczyn przekątnych przez dwa i pomnożyć wynik przez grzech kąta między nimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Rozważmy teraz wzór na znalezienie pola trapezu, jeśli nie wiadomo o nim nic poza długościami wszystkich jego boków: a, b, c i d. Jest to uciążliwa i złożona formuła, ale na wszelki wypadek warto ją zapamiętać: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + do 2 – re 2)) 2.

Nawiasem mówiąc, powyższe przykłady dotyczą również przypadku, gdy potrzebny jest wzór na pole prostokątnego trapezu. Jest to trapez, którego bok łączy się z podstawami pod kątem prostym.

Trapez równoramienny

Trapez, którego boki są równe, nazywa się równoramiennymi. Rozważymy kilka opcji wzoru na obszar trapezu równoramiennego.

Opcja pierwsza: dla przypadku, gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w trapez równoramienny, a bok i większa podstawa tworzą kąt ostry α. W trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości boków.

Pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób: pomnóż kwadrat promienia wpisanego koła przez cztery i podziel przez sinα: S = 4r 2 /sinα. Inny wzór na pole jest szczególnym przypadkiem dla opcji, gdy kąt między dużą podstawą a bokiem wynosi 30 0: S = 8r2.

Opcja druga: tym razem bierzemy trapez równoramienny, w którym dodatkowo narysowane są przekątne d 1 i d 2 oraz wysokość h. Jeżeli przekątne trapezu są do siebie prostopadłe, wysokość stanowi połowę sumy podstaw: h = 1/2(a + b). Wiedząc o tym, łatwo jest przekształcić znany już wzór na pole trapezu do tej postaci: S = godz. 2.

Wzór na pole zakrzywionego trapezu

Zacznijmy od ustalenia, czym jest zakrzywiony trapez. Wyobraźmy sobie oś współrzędnych i wykres ciągłej, nieujemnej funkcji f, która nie zmienia znaku w obrębie danego odcinka na osi x. Trapez krzywoliniowy tworzy wykres funkcji y = f(x) - u góry oś x znajduje się na dole (odcinek), a po bokach - linie proste poprowadzone pomiędzy punktami a i b oraz wykres funkcja.

Niemożliwe jest obliczenie powierzchni tak niestandardowej figury za pomocą powyższych metod. Tutaj musisz zastosować analizę matematyczną i użyć całki. Mianowicie: wzór Newtona-Leibniza - S = ∫ b za f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). W tym wzorze F jest funkcją pierwotną naszej funkcji na wybranym segmencie. A pole trapezu krzywoliniowego odpowiada przyrostowi funkcji pierwotnej na danym odcinku.

Przykładowe problemy

Aby ułatwić zrozumienie wszystkich tych wzorów w głowie, oto kilka przykładów problemów ze znalezieniem pola trapezu. Najlepiej będzie, jeśli najpierw spróbujesz samodzielnie rozwiązać problemy, a dopiero potem porównasz otrzymaną odpowiedź z gotowym rozwiązaniem.

Zadanie 1: Biorąc pod uwagę trapez. Jego większa podstawa ma 11 cm, mniejsza 4 cm. Trapez ma przekątne, jedna o długości 12 cm, druga o długości 9 cm.

Rozwiązanie: Zbuduj trapez AMRS. Poprowadź prostą РХ przez wierzchołek P tak, aby była równoległa do przekątnej MC i przecinała prostą AC w ​​punkcie X. Otrzymasz trójkąt APХ.

Rozważymy dwie figury uzyskane w wyniku tych manipulacji: trójkąt APX i równoległobok CMRX.

Dzięki równoległobokowi dowiadujemy się, że PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Skąd możemy obliczyć bok AX trójkąta ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Można także udowodnić, że trójkąt APX jest prostokątny (w tym celu należy zastosować twierdzenie Pitagorasa – AX 2 = AP 2 + PX 2). I oblicz jego pole: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Następnie musisz udowodnić, że trójkąty AMP i PCX mają równe pola. Podstawą będzie równość stron MR i CX (udowodniona już powyżej). A także wysokości, które obniżysz po tych bokach - są one równe wysokości trapezu AMRS.

Wszystko to pozwoli Ci powiedzieć, że SAMPC = S APX = 54 cm 2.

Zadanie nr 2: Dany jest trapez KRMS. Na jego bocznych stronach znajdują się punkty O i E, natomiast OE i KS są równoległe. Wiadomo również, że pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5. RM = a i KS = b. Musisz znaleźć OE.

Rozwiązanie: Narysuj prostą równoległą do RK przez punkt M i oznacz punkt jej przecięcia z OE jako T. A jest punktem przecięcia prostej poprowadzonej przez punkt E równoległej do RK z podstawą KS.

Wprowadźmy jeszcze jedną notację - OE = x. A także wysokość h 1 dla trójkąta TME i wysokość h 2 dla trójkąta AEC (możesz samodzielnie udowodnić podobieństwo tych trójkątów).

Zakładamy, że b > a. Pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5, co daje nam prawo do utworzenia równania: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Przekształćmy i otrzymamy: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Ponieważ trójkąty TME i AEC są podobne, mamy h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Połączmy oba wpisy i otrzymamy: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zatem OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Wniosek

Geometria nie jest nauką najłatwiejszą, ale z pytaniami egzaminacyjnymi z pewnością sobie poradzisz. Wystarczy wykazać się odrobiną wytrwałości w przygotowaniach. I oczywiście pamiętaj o wszystkich niezbędnych formułach.

Staraliśmy się zebrać wszystkie wzory na obliczenie pola trapezu w jednym miejscu, aby można było z nich skorzystać podczas przygotowań do egzaminów i powtórki materiału.

Pamiętaj, aby poinformować o tym artykule swoich kolegów z klasy i znajomych w sieciach społecznościowych. Niech będzie więcej dobrych ocen z Jednolitego Egzaminu Państwowego i Egzaminów Państwowych!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Instrukcje

Aby obie metody były bardziej zrozumiałe, możemy podać kilka przykładów.

Przykład 1: długość linii środkowej trapezu wynosi 10 cm, a jego pole wynosi 100 cm². Aby znaleźć wysokość tego trapezu, musisz wykonać:

h = 100/10 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 10 cm

Przykład 2: pole trapezu wynosi 100 cm², długości podstaw wynoszą 8 cm i 12 cm. Aby znaleźć wysokość tego trapezu, należy wykonać następującą czynność:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 20 cm

notatka

Istnieje kilka rodzajów trapezów:
Trapez równoramienny to trapez, którego boki są sobie równe.
Trapez prostokątny to trapez, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 90 stopni.
Warto zauważyć, że w trapezie prostokątnym wysokość pokrywa się z długością boku pod kątem prostym.
Można narysować okrąg wokół trapezu lub dopasować go do danej figury. W okrąg można wpisać tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego przeciwnych boków. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego.

Pomocna rada

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu, ponieważ definicja trapezu w żaden sposób nie jest sprzeczna z definicją równoległoboku. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są do siebie równoległe. W przypadku trapezu definicja odnosi się tylko do pary jego boków. Dlatego każdy równoległobok jest również trapezem. Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Źródła:

• jak znaleźć obszar wzoru trapezu

Wskazówka 2: Jak znaleźć wysokość trapezu, jeśli znana jest jego powierzchnia

Trapez to czworokąt, w którym dwa z czterech boków są do siebie równoległe. Boki równoległe są podstawami danego, dwa pozostałe są bokami danego. trapezoidy. Znajdować wysokość trapezoidy, Jeśli jest znany kwadrat, będzie to bardzo łatwe.

Instrukcje

Musisz dowiedzieć się, jak obliczyć kwadrat oryginalny trapezoidy. Istnieje na to kilka wzorów, w zależności od danych początkowych: S = ((a+b)*h)/2, gdzie a i b są podstawami trapezoidy, a h to jego wysokość (Height trapezoidy- prostopadły, obniżony z jednej podstawy trapezoidy do innego);
S = m*h, gdzie m jest linią trapezoidy(Środkowa linia to odcinek z podstawami trapezoidy i łącząc środki jego boków).

Aby było to jaśniejsze, można rozważyć podobne problemy: Przykład 1: Biorąc pod uwagę trapez z kwadrat 68 cm², którego środkowa linia wynosi 8 cm, musisz znaleźć wysokość dany trapezoidy. Aby rozwiązać ten problem, należy skorzystać z wcześniej wyprowadzonego wzoru:
h = 68/8 = 8,5 cm Odpowiedź: wysokość tego trapezoidy wynosi 8,5 cm. Przykład 2: Niech y trapezoidy kwadrat wynosi 120 cm², długość jego podstaw trapezoidy Musisz znaleźć odpowiednio 8 cm i 12 cm wysokość Ten trapezoidy. Aby to zrobić, musisz zastosować jedną z wyprowadzonych formuł:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmOdpowiedź: podana wysokość trapezoidy równa 12 cm

Wideo na ten temat

notatka

Każdy trapez ma wiele właściwości:

Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw;

Odcinek łączący przekątne trapezu jest równy połowie różnicy jego podstaw;

Jeżeli przez środki podstaw poprowadzono linię prostą, to przetnie ona punkt przecięcia przekątnych trapezu;

W trapez można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie jego boków.

Użyj tych właściwości podczas rozwiązywania problemów.

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trapezu, jeśli znane są podstawy

Z definicji geometrycznej trapez jest czworokątem mającym tylko jedną parę boków równoległych. Te strony są jej powodów. Odległość pomiędzy powodów zwany wzrostem trapezoidy. Znajdować kwadrat trapezoidy możliwe za pomocą wzorów geometrycznych.

Instrukcje

Zmierz podstawy i trapezoidy ABCD. Zwykle podaje się je w zadaniach. Niech w tym przykładzie problem bazowy AD (a) trapezoidy będzie wynosić 10 cm, podstawa BC (b) - 6 cm, wysokość trapezoidy BK (h) - 8 cm Użyj geometrii, aby znaleźć pole trapezoidy, jeśli znane są długości jego podstaw i wysokości - S= 1/2 (a+b)*h, gdzie: - a - wielkość podstawy AD trapezoidy ABCD, - b - wartość podstawy BC, - h - wartość wysokości BK.

Co to jest trapez równoramienny? Jest to figura geometryczna, której przeciwne, nierównoległe boki są równe. Istnieje kilka różnych wzorów na znalezienie pola trapezu z różnymi warunkami podanymi w zadaniach. Oznacza to, że obszar można znaleźć, jeśli podana zostanie wysokość, boki, kąty, przekątne itp. Nie sposób też nie wspomnieć, że dla trapezów równoramiennych istnieją pewne „wyjątki”, dzięki którym poszukiwanie pola i sam wzór są znacznie uproszczone. Poniżej znajdują się szczegółowe rozwiązania dla każdego przypadku wraz z przykładami.

Niezbędne właściwości do znalezienia obszaru trapezu równoramiennego

Dowiedzieliśmy się już, że figura geometryczna, która ma przeciwne, nie równoległe, ale równe boki, to trapez i równoramienny. Istnieją szczególne przypadki, gdy trapez jest uważany za równoramienny.

• Są to warunki równości kątów. Zatem obowiązkowy punkt: kąty u podstawy (zrób zdjęcie poniżej) muszą być równe. W naszym przypadku kąt BAD = kąt CDA, a kąt ABC = kąt BCD
• Drugą ważną zasadą jest to, że w takim trapezie przekątne muszą być równe. Zatem AC = BD.
• Trzeci aspekt: ​​przeciwne kąty trapezu muszą sumować się do 180 stopni. Oznacza to, że kąt ABC + kąt CDA = 180 stopni. To samo dotyczy kątów BCD i BAD.
• Po czwarte, jeśli trapez pozwala opisać wokół niego okrąg, to jest to równoramienny.

Jak znaleźć pole trapezu równoramiennego - wzory i ich opisy

• S = (a+b)h/2 to najczęstszy wzór na znalezienie pola, gdzie A – dolna podstawa, B jest górną podstawą, a h jest wysokością.

• Jeśli wysokość nie jest znana, można ją wyszukać, korzystając z podobnego wzoru: h = c*sin(x), gdzie c oznacza AB lub CD. sin(x) to sinus kąta przy dowolnej podstawie, czyli kąt DAB = kąt CDA = x. Ostatecznie formuła przyjmuje następującą postać: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Wysokość można również obliczyć za pomocą następującego wzoru:

• Ostateczna formuła wygląda następująco:

• Obszar trapezu równoramiennego można znaleźć poprzez linię środkową i wysokość. Formuła to: S = mh.

Rozważmy sytuację, w której okrąg jest wpisany w trapez.

W przypadku pokazanym na zdjęciu,

QN = D = H – średnica okręgu i jednocześnie wysokość trapezu;

LO, ON, OQ = R – promienie okręgu;

DC = a – górna podstawa;

AB = b – dolna podstawa;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – kąty podstawy trapezu.

W podobnym przypadku obszar można znaleźć za pomocą następujących wzorów:

• Spróbujmy teraz znaleźć pole poprzez przekątne i kąty między nimi.

Na rysunku oznaczamy AC, DB – przekątne – d. Kąty COB, DOB – alfa; DOC, AOB – wersja beta. Wzór na pole trapezu równoramiennego wykorzystujący przekątne i kąt między nimi, ( S ) Jest:

Trapez wieloboczny... Może być dowolny, równoramienny lub prostokątny. I w każdym przypadku musisz wiedzieć, jak znaleźć obszar trapezu. Oczywiście najłatwiej jest zapamiętać podstawowe wzory. Ale czasami łatwiej jest użyć takiego, który został wyprowadzony z uwzględnieniem wszystkich cech konkretnej figury geometrycznej.

Kilka słów o trapezie i jego elementach

Każdy czworokąt, którego dwa boki są równoległe, można nazwać trapezem. Ogólnie rzecz biorąc, nie są one równe i nazywane są podstawami. Większy to dolny, a drugi to górny.

Pozostałe dwie strony okazują się boczne. W dowolnym trapezie mają one różne długości. Jeśli są równe, figura staje się równoramienna.

Jeśli nagle kąt między dowolnym bokiem a podstawą okaże się równy 90 stopni, wówczas trapez jest prostokątny.

Wszystkie te funkcje mogą pomóc w rozwiązaniu problemu znalezienia obszaru trapezu.

Wśród elementów rysunku, które mogą być niezbędne w rozwiązywaniu problemów, możemy wyróżnić następujące:

• wysokość, czyli odcinek prostopadły do ​​obu podstaw;
• linia środkowa, która ma na końcach środki boków bocznych.

Jakiego wzoru można użyć do obliczenia pola, jeśli znana jest podstawa i wysokość?

Wyrażenie to podano jako podstawowe, gdyż najczęściej można rozpoznać te wielkości nawet wtedy, gdy nie są one podane wprost. Aby więc zrozumieć, jak znaleźć obszar trapezu, musisz dodać obie podstawy i podzielić je przez dwa. Następnie pomnóż wynikową wartość przez wartość wysokości.

Jeśli oznaczymy podstawy jako 1 i 2 oraz wysokość jako n, to wzór na pole będzie wyglądał następująco:

S = ((za 1 + za 2)/2)*n.

Wzór na obliczenie powierzchni jeżeli podana jest jej wysokość i linia środkowa

Jeśli uważnie przyjrzymy się poprzedniej formule, łatwo zauważyć, że wyraźnie zawiera ona wartość linii środkowej. Mianowicie suma zasad podzielona przez dwa. Niech linia środkowa zostanie oznaczona literą l, wówczas wzór na pole będzie wyglądał następująco:

S = l * n.

Możliwość znalezienia obszaru za pomocą przekątnych

Ta metoda pomoże, jeśli znany będzie kąt utworzony przez nie. Załóżmy, że przekątne są oznaczone literami d 1 i d 2, a kąty między nimi to α i β. Następnie wzór na znalezienie obszaru trapezu zostanie zapisany w następujący sposób:

S = ((d 1 * re 2)/2) * grzech α.

W tym wyrażeniu możesz łatwo zastąpić α przez β. Wynik się nie zmieni.

Jak znaleźć obszar, jeśli znane są wszystkie boki figury?

Zdarzają się również sytuacje, gdy znane są dokładnie boki tej figury. Formuła ta jest uciążliwa i trudna do zapamiętania. Ale prawdopodobnie. Niech boki mają oznaczenie: 1 i 2, podstawa a 1 jest większa niż 2. Wówczas wzór na pole przyjmie następującą postać:

S = ((a 1 + za 2) / 2) * √ (w 1 2 - [(a 1 - za 2) 2 + w 1 2 - w 2 2) / (2 * (za 1 - za 2)) ] 2 ).

Metody obliczania pola trapezu równoramiennego

Pierwsza wynika z faktu, że można w nią wpisać okrąg. A znając jego promień (jest oznaczony literą r), a także kąt u podstawy - γ, możesz użyć następującego wzoru:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Ostatni ogólny wzór, który opiera się na znajomości wszystkich stron figury, zostanie znacznie uproszczony ze względu na to, że boki mają to samo znaczenie:

S = ((za 1 + za 2) / 2) * √ (w 2 - [(za 1 - za 2) 2 / (2 * (za 1 - za 2))] 2 ).

Metody obliczania pola prostokątnego trapezu

Oczywiste jest, że którekolwiek z powyższych jest odpowiednie dla dowolnej figury. Ale czasami warto wiedzieć o jednej cesze takiego trapezu. Polega ona na tym, że różnica kwadratów długości przekątnych jest równa różnicy utworzonej z kwadratów podstaw.

Często zapomina się o wzorach na trapez, zapamiętując wyrażenia na pola prostokąta i trójkąta. Następnie możesz zastosować prostą metodę. Podziel trapez na dwa kształty, jeśli jest prostokątny, lub trzy. Jeden z pewnością będzie prostokątem, a drugi lub pozostałe dwa będą trójkątami. Po obliczeniu pól tych figur pozostaje tylko je zsumować.

Jest to dość prosty sposób na znalezienie pola prostokątnego trapezu.

A co jeśli znane są współrzędne wierzchołków trapezu?

W takim przypadku będziesz musiał użyć wyrażenia, które pozwoli ci określić odległość między punktami. Można go zastosować trzykrotnie: w celu znalezienia obu podstaw i jednej wysokości. A potem wystarczy zastosować pierwszą formułę, która jest opisana nieco wyżej.

Aby zilustrować tę metodę, można podać następujący przykład. Dane wierzchołki o współrzędnych A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Musisz znaleźć obszar figury.

Przed znalezieniem obszaru trapezu należy obliczyć długości podstaw ze współrzędnych. Będziesz potrzebować następującej formuły:

długość odcinka = √((różnica pierwszych współrzędnych punktów) 2 + (różnica drugich współrzędnych punktów) 2 ).

Górna podstawa oznaczona jest AB, co oznacza, że ​​jej długość będzie równa √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Dolna to CD = √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) = √81 = 9.

Teraz musisz narysować wysokość od góry do podstawy. Niech jego początek będzie w punkcie A. Koniec odcinka będzie na dolnej podstawie w punkcie o współrzędnych (5; 1), niech to będzie punkt H. Długość odcinka AN będzie równa √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Pozostaje tylko zastąpić otrzymane wartości wzorem na pole trapezu:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem rozwiązano bez jednostek miary, gdyż nie określono skali siatki współrzędnych. Może to być milimetr lub metr.

Przykładowe problemy

Nr 1. Stan. Znany jest kąt między przekątnymi dowolnego trapezu; wynosi on 30 stopni. Mniejsza przekątna ma wartość 3 dm, a druga jest 2 razy większa. Konieczne jest obliczenie pola trapezu.

Rozwiązanie. Najpierw musisz znaleźć długość drugiej przekątnej, ponieważ bez tego nie będzie możliwe obliczenie odpowiedzi. Obliczenie nie jest trudne, 3 * 2 = 6 (dm).

Teraz należy skorzystać z odpowiedniego wzoru na pole:

S = ((3 * 6) / 2) * grzech 30° = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem jest rozwiązany.

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 4,5 dm2.

Nr 2. Stan. W trapezie ABCD podstawami są odcinki AD i BC. Punkt E jest środkiem boku SD. Wyprowadzono z niego prostopadłą do prostej AB, koniec tego odcinka oznaczono literą H. Wiadomo, że długości AB i EH wynoszą odpowiednio 5 i 4 cm. Należy obliczyć pole trapez.

Rozwiązanie. Najpierw musisz zrobić rysunek. Ponieważ wartość prostopadłej jest mniejsza niż bok, do którego jest narysowana, trapez zostanie lekko wydłużony w górę. Zatem EH będzie wewnątrz figury.

Aby wyraźnie zobaczyć postęp w rozwiązywaniu problemu, konieczne będzie wykonanie dodatkowej konstrukcji. Mianowicie narysuj linię prostą, która będzie równoległa do boku AB. Punkty przecięcia tej prostej z AD to P, a z kontynuacją BC to X. Wynikowa figura VHRA jest równoległobokiem. Co więcej, jego powierzchnia jest równa wymaganej. Wynika to z faktu, że trójkąty uzyskane podczas dodatkowej budowy są równe. Wynika to z równości boku i dwóch sąsiadujących z nim kątów, jednego pionowego, drugiego leżącego poprzecznie.

Pole równoległoboku można znaleźć za pomocą wzoru zawierającego iloczyn boku i opuszczonej na niego wysokości.

Zatem powierzchnia trapezu wynosi 5 * 4 = 20 cm 2.

Odpowiedź: S = 20 cm2.

Nr 3. Stan. Elementy trapezu równoramiennego mają wartości: podstawa dolna - 14 cm, górna - 4 cm, kąt ostry - 45°. Musisz obliczyć jego pole.

Rozwiązanie. Niech mniejsza podstawa będzie oznaczona jako BC. Wysokość narysowana z punktu B będzie nazywana VH. Ponieważ kąt wynosi 45°, trójkąt ABH będzie prostokątny i równoramienny. Zatem AN=VN. Co więcej, AN jest bardzo łatwy do znalezienia. Jest równa połowie różnicy zasad. To znaczy (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Podstawy są znane, wysokości są obliczane. Możesz użyć pierwszego wzoru, który został tutaj omówiony dla dowolnego trapezu.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Odpowiedź: Wymagana powierzchnia wynosi 45 cm 2.

Nr 4. Stan. Istnieje dowolny trapez ABCD. Punkty O i E są brane na jego bocznych stronach, tak że OE jest równoległe do podstawy AD. Powierzchnia trapezu AOED jest pięć razy większa niż powierzchnia OVSE. Oblicz wartość OE, jeśli znane są długości podstaw.

Rozwiązanie. Będziesz musiał narysować dwie równoległe linie AB: pierwszą przechodzącą przez punkt C, jej przecięcie z OE - punkt T; drugi przez E, a punkt przecięcia z AD będzie M.

Niech nieznane OE=x. Wysokość mniejszego trapezu OVSE wynosi n 1, większego AOED wynosi n 2.

Ponieważ pola tych dwóch trapezów są powiązane od 1 do 5, możemy napisać następującą równość:

(x + za 2) * n 1 = 1/5 (x + za 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + za 1) / (5 (x + za 2)).

Wysokości i boki trójkątów są ze względu na konstrukcję proporcjonalne. Dlatego możemy zapisać jeszcze jedną równość:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

W dwóch ostatnich wpisach po lewej stronie znajdują się równe wartości, co oznacza, że ​​możemy napisać, że (x + a 1) / (5(x + a 2)) jest równe (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Wymaganych jest tu szereg przekształceń. Najpierw pomnóż w poprzek. Pojawią się nawiasy wskazujące różnicę kwadratów, po zastosowaniu tej formuły otrzymasz krótkie równanie.

Musisz w nim otworzyć nawiasy i przesunąć wszystkie terminy z nieznanym „x” w lewo, a następnie wyodrębnić pierwiastek kwadratowy.

Odpowiedź: x = √ ((za 1 2 + 5 za 2 2) / 6).

W matematyce znanych jest kilka rodzajów czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok. Wśród nich jest trapez – rodzaj wypukłego czworoboku, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie. Równoległe przeciwległe boki nazywane są podstawami, a pozostałe dwa nazywane są bocznymi bokami trapezu. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową. Istnieje kilka rodzajów trapezów: równoramienny, prostokątny, zakrzywiony. Dla każdego rodzaju trapezu istnieją wzory na znalezienie pola.

Powierzchnia trapezu

Aby znaleźć pole trapezu, musisz znać długość jego podstaw i wysokość. Wysokość trapezu to odcinek prostopadły do ​​podstaw. Niech górna podstawa będzie równa a, dolna podstawa będzie b, a wysokość będzie h. Następnie możesz obliczyć pole S, korzystając ze wzoru:

S = ½ * (a+b) * godz

te. weź połowę sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

Możliwe będzie również obliczenie pola trapezu, jeśli znana będzie wysokość i linia środkowa. Oznaczmy linię środkową - m. Następnie

Rozwiążmy bardziej skomplikowany problem: znane są długości czterech boków trapezu - a, b, c, d. Następnie obszar zostanie znaleziony za pomocą wzoru:

Jeżeli znane są długości przekątnych i kąt między nimi, wówczas obszar przeszukiwany jest w następujący sposób:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

gdzie d z indeksami 1 i 2 są przekątnymi. W tym wzorze w obliczeniach podaje się sinus kąta.

Mając znane długości podstaw a i b oraz dwa kąty przy dolnej podstawie, pole oblicza się w następujący sposób:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Powierzchnia trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny jest szczególnym przypadkiem trapezu. Różnica polega na tym, że taki trapez jest wypukłym czworokątem, którego oś symetrii przechodzi przez środki dwóch przeciwległych boków. Jego boki są równe.

Istnieje kilka sposobów znalezienia obszaru trapezu równoramiennego.

• Przez długości trzech boków. W takim przypadku długości boków będą się pokrywać, dlatego są one oznaczone jedną wartością - c oraz a i b - długości podstaw:

• Jeżeli znana jest długość podstawy górnej, bok i kąt przy podstawie dolnej, wówczas powierzchnię oblicza się w następujący sposób:

S = do * grzech α * (a + c * cos α)

gdzie a jest górną podstawą, c jest bokiem.

• Jeżeli zamiast górnej podstawy znana jest długość dolnej - b, powierzchnię oblicza się ze wzoru:

S = do * sin α * (b – c * cos α)

• Jeżeli znane są dwie podstawy i kąt przy dolnej podstawie, pole oblicza się poprzez tangens kąta:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Pole oblicza się również na podstawie przekątnych i kąta między nimi. W tym przypadku przekątne są równej długości, dlatego każdą oznaczamy literą d bez indeksów dolnych:

S = ½ * d2 * sin α

• Obliczmy pole trapezu, znając długość boku, linię środkową i kąt przy dolnej podstawie.

Niech bok boczny będzie wynosił c, linia środkowa m, a kąt a, wówczas:

S = m * do * grzech α

Czasami w trapez równoboczny można wpisać okrąg, którego promień będzie wynosił r.

Wiadomo, że w dowolny trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego boków. Następnie pole można obliczyć poprzez promień okręgu wpisanego i kąt przy dolnej podstawie:

S = 4r2 / sin α

To samo obliczenie przeprowadza się na podstawie średnicy D okręgu wpisanego (nawiasem mówiąc, pokrywa się ona z wysokością trapezu):

Znając podstawę i kąt, pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób:

S = a * b / grzech α

(ten i kolejne wzory obowiązują tylko dla trapezów z wpisanym okręgiem).

Korzystając z podstaw i promienia okręgu, pole obliczamy w następujący sposób:

Jeśli znane są tylko podstawy, wówczas pole oblicza się ze wzoru:

Przez podstawy i linię boczną pole trapezu z wpisanym okręgiem oraz przez podstawy i linię środkową - m oblicza się w następujący sposób:

Pole prostokątnego trapezu

Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego boków jest prostopadły do ​​podstawy. W tym przypadku długość boku pokrywa się z wysokością trapezu.

Trapez prostokątny składa się z kwadratu i trójkąta. Po znalezieniu obszaru każdej z figur zsumuj wyniki i uzyskaj całkowitą powierzchnię figury.

Również ogólne wzory do obliczania pola trapezu nadają się do obliczania pola prostokątnego trapezu.

• Jeżeli znane są długości podstaw i wysokość (lub bok prostopadły), to pole obliczamy ze wzoru:

S = (a + b) * godz / 2

Strona boczna c może pełnić funkcję h (wysokość). Wtedy formuła wygląda następująco:

S = (a + b) * do / 2

• Innym sposobem obliczenia powierzchni jest pomnożenie długości linii środkowej przez wysokość:

lub przez długość bocznego prostopadłego boku:

• Następny sposób obliczenia polega na przeliczeniu połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Jeżeli przekątne są prostopadłe, wzór upraszcza się do postaci:

S = ½ * d1 * d2

• Innym sposobem obliczenia jest półobwód (suma długości dwóch przeciwległych boków) i promień okręgu wpisanego.

Wzór ten obowiązuje dla zasad. Jeśli weźmiemy długości boków, jeden z nich będzie równy dwukrotności promienia. Formuła będzie wyglądać następująco:

S = (2r + c) * r

• Jeżeli w trapez wpisano okrąg, to jego pole oblicza się w ten sam sposób:

gdzie m jest długością linii środkowej.

Powierzchnia zakrzywionego trapezu

Trapez krzywoliniowy to figura płaska ograniczona wykresem nieujemnej funkcji ciągłej y = f(x), określonej na odcinku, osi odciętych i prostych x = a, x = b. Zasadniczo dwa jego boki są do siebie równoległe (podstawy), trzeci bok jest prostopadły do ​​podstaw, a czwarty jest krzywą odpowiadającą wykresowi funkcji.

Pole trapezu krzywoliniowego wyznacza się poprzez całkę za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

W ten sposób obliczane są pola różnych typów trapezów. Ale oprócz właściwości boków trapezy mają te same właściwości kątów. Podobnie jak wszystkie istniejące czworokąty, suma kątów wewnętrznych trapezu wynosi 360 stopni. A suma kątów przylegających do boku wynosi 180 stopni.