Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

Zastosowanie całki do rozwiązywania problemów stosowanych

Obliczanie powierzchni

Całka oznaczona ciągłej nieujemnej funkcji f(x) jest liczbowo równa obszar krzywoliniowego trapezu ograniczony krzywą y = f(x), osią O x i liniami prostymi x = a i x = b. Zgodnie z tym wzór na powierzchnię zapisuje się w następujący sposób:

Spójrzmy na kilka przykładów obliczania pól figur płaskich.

Zadanie nr 1. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rozwiązanie. Skonstruujmy figurę, której pole będziemy musieli obliczyć.

y = x 2 + 1 to parabola, której ramiona są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę w stosunku do osi O y (rysunek 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1

Zadanie nr 2. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 – 1, y = 0 w zakresie od 0 do 1.

Rozwiązanie. Wykres tej funkcji jest parabolą gałęzi skierowanych w górę, przy czym parabola jest przesunięta względem osi O y w dół o jedną jednostkę (rysunek 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji y = x 2 – 1

Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rozwiązanie. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z ramionami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, a druga linia to linia prosta przecinająca obie osie współrzędnych.

Aby skonstruować parabolę, znajdujemy współrzędne jej wierzchołka: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – odcięta wierzchołka; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jego rzędna, N(1;9) to jego wierzchołek.

Znajdźmy teraz punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:

Zrównywanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.

Otrzymujemy 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 lub x 2 – 12 = 0, skąd .

Zatem punkty są punktami przecięcia paraboli i linii prostej (rysunek 1).

Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruujemy prostą y = 2x – 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2;0) na osiach współrzędnych.

Do skonstruowania paraboli można także wykorzystać jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x – x 2 = 0 lub x 2 – 2x – 8 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, jest to łatwe znaleźć pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = 4.

Rysunek 3 pokazuje figurę (odcinek paraboliczny M 1 N M 2) ograniczoną tymi liniami.

Drugą częścią problemu jest znalezienie obszaru tej figury. Jego pole można obliczyć korzystając z całki oznaczonej ze wzoru .

W odniesieniu do tego warunku otrzymujemy całkę:

2 Obliczanie objętości ciała wirującego

Objętość ciała otrzymaną z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi O x oblicza się ze wzoru:

Przy obrocie wokół osi O y formuła wygląda następująco:

Zadanie nr 4. Wyznacz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego liniami prostymi x = 0 x = 3 i krzywą y = wokół osi O x.

Rozwiązanie. Narysujmy obrazek (ryc. 4).

Rysunek 4. Wykres funkcji y =

Wymagana objętość to

Zadanie nr 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 i liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y.

Rozwiązanie. Mamy:

Przejrzyj pytania

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Słowa kluczowe: integralny, krzywoliniowy trapez, obszar figur ograniczony liliami

Sprzęt: tablica markerowa, komputer, projektor multimedialny

Typ lekcji: lekcja-wykład

Cele Lekcji:

• edukacyjny: stworzyć kulturę pracy umysłowej, stworzyć każdemu uczniowi sytuację sukcesu i stworzyć pozytywną motywację do nauki; rozwijać umiejętność mówienia i słuchania innych.
• rozwijanie: kształtowanie samodzielnego myślenia ucznia w stosowaniu wiedzy w różnych sytuacjach, umiejętność analizowania i wyciągania wniosków, rozwój logiki, rozwój umiejętności prawidłowego stawiania pytań i znajdowania na nie odpowiedzi. Doskonalenie kształtowania umiejętności obliczeniowych i obliczeniowych, rozwijanie myślenia uczniów w trakcie wykonywania proponowanych zadań, rozwijanie kultury algorytmicznej.
• edukacyjny: formułować pojęcia o trapezie krzywoliniowym, o całce, opanować umiejętność obliczania pól figur płaskich

Metoda nauczania: wyjaśniające i ilustrujące.

Podczas zajęć

Na poprzednich zajęciach uczyliśmy się obliczać pola figur, których brzegi wyznaczają linie łamane. W matematyce istnieją metody, które pozwalają obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi. Takie figury nazywane są trapezami krzywoliniowymi, a ich pole oblicza się za pomocą funkcji pierwotnych.

Trapez krzywoliniowy ( slajd 1)

Zakrzywiony trapez to figura ograniczona wykresem funkcji ( sh.m.), prosty x = a I x = b i oś x

Różne typy zakrzywionych trapezów ( slajd 2)

Rozważamy różne typy trapezów krzywoliniowych i zauważamy: jedna z prostych jest zdegenerowana do punktu, rolę funkcji ograniczającej pełni prosta

Powierzchnia zakrzywionego trapezu (slajd 3)

Napraw lewy koniec interwału A, i ten właściwy X zmienimy, czyli przesuniemy prawą ścianę trapezu krzywoliniowego i otrzymamy zmieniającą się figurę. Pole zmiennego trapezu krzywoliniowego ograniczone wykresem funkcji jest funkcją pierwotną F dla funkcji F

A w segmencie [ A; B] obszar krzywoliniowego trapezu utworzonego przez funkcję F, jest równy przyrostowi funkcji pierwotnej tej funkcji:

Ćwiczenie 1:

Znajdź obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony wykresem funkcji: f(x) = x 2 i proste y = 0, x = 1, x = 2.

Rozwiązanie: ( zgodnie z algorytmem slajd 3)

Narysujmy wykres funkcji i linii

Znajdźmy jedną z funkcji pierwotnych f(x) = x 2 :

Autotest slajdów

Całka

Rozważmy trapez krzywoliniowy zdefiniowany przez funkcję F w segmencie [ A; B] Podzielmy ten segment na kilka części. Pole całego trapezu zostanie podzielone na sumę pól mniejszych zakrzywionych trapezów. ( slajd 5). Każdy taki trapez można w przybliżeniu uznać za prostokąt. Suma obszarów tych prostokątów daje przybliżone wyobrażenie o całym obszarze zakrzywionego trapezu. Im mniejszy dzielimy odcinek [ A; B], tym dokładniej obliczymy pole.

Zapiszmy te argumenty w formie wzorów.

Podziel odcinek [ A; B] na n części za pomocą kropek x 0 = a, x1,…, xn = b. Długość k- t oznaczać przez xk = xk – xk-1. Zróbmy sumę

Geometrycznie suma ta reprezentuje obszar figury zacienionej na rysunku ( sh.m.)

Sumy postaci nazywane są sumami całkowitymi funkcji F. (sh.m.)

Sumy całkowite dają przybliżoną wartość pola. Dokładną wartość uzyskuje się przechodząc do granicy. Wyobraźmy sobie, że udoskonalamy podział segmentu [ A; B] tak, że długości wszystkich małych segmentów dążą do zera. Wtedy obszar skomponowanej figury zbliży się do obszaru zakrzywionego trapezu. Można powiedzieć, że pole zakrzywionego trapezu jest równe granicy sum całkowitych, sc.t. (sh.m.) lub integralny, tj.

Definicja:

Całka funkcji k(x) z A zanim B nazywaną granicą sum całkowitych

= (sh.m.)

Wzór Newtona-Leibniza.

Pamiętamy, że granica sum całkowitych jest równa polu trapezu krzywoliniowego, co oznacza, że ​​możemy napisać:

sc.t. = (sh.m.)

Z drugiej strony obszar zakrzywionego trapezu oblicza się za pomocą wzoru

S k.t. (sh.m.)

Porównując te wzory otrzymujemy:

= (sh.m.)

Równość ta nazywa się wzorem Newtona-Leibniza.

Dla ułatwienia obliczeń wzór zapisuje się w postaci:

= = (sh.m.)

Zadania: (sh.m.)

1. Oblicz całkę, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza: ( sprawdź na slajdzie 5)

2. Skomponuj całki zgodnie z rysunkiem ( sprawdź na slajdzie 6)

3. Znajdź obszar figury ograniczony liniami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)

Znajdowanie pól figur płaskich ( slajd 8)

Jak znaleźć obszar figur, które nie są zakrzywionymi trapezami?

Niech zostaną podane dwie funkcje, których wykresy widzisz na slajdzie . (sh.m.) Znajdź obszar zacienionej figury . (sh.m.). Czy figura, o której mowa, jest zakrzywionym trapezem? Jak obliczyć jego pole korzystając z własności addytywności pola? Rozważ dwa zakrzywione trapezy i odejmij obszar drugiego od obszaru jednego z nich ( sh.m.)

Stwórzmy algorytm wyszukiwania obszaru za pomocą animacji na slajdzie:

1. Funkcje wykresu
2. Rzuć punkty przecięcia wykresów na oś x
3. Zacieniuj figurę uzyskaną w momencie przecięcia wykresów
4. Znajdź trapezy krzywoliniowe, których przecięciem lub sumą jest podana figura.
5. Oblicz pole każdego z nich
6. Znajdź różnicę lub sumę obszarów

Zadanie ustne: Jak obliczyć pole zacienionej figury (opowiedz za pomocą animacji, slajd 8 i 9)

Praca domowa: Przejrzyj notatki nr 353 (a), nr 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 9-11 szkoły wieczorowej (zmianowej) / wyd. G.D. Glasera. - M: Oświecenie, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra i początki analizy: podręcznik dla 10-11 klas szkoły średniej / Bashmakov M.I. - M: Oświecenie, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematyka: podręcznik dla szkół rozpoczynających naukę. i środa prof. edukacja / M.I. Baszmakow. - M: Akademia, 2010.
4. Kołmogorow A.N. Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11. instytucje edukacyjne / A.N. Kołmogorow. - M: Edukacja, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Jak zrobić prezentację na lekcję?/ S.L. Ostrowski. – M.: Pierwszy września 2010 r.

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

A więc, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
• Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Podpisywanie wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu żądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z rozwiązaniem analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Przyjrzyjmy się różnym przykładom znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y = 0), prosty x = a, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 – 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, to nie jest ujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli mają wartości dodatnie. Następnie podane linie proste x = 1 I x = 3, które biegną równolegle do osi Jednostka organizacyjna, to linie graniczne figury po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, jest to także oś x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, który pochodzi z osi OH, prosty x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w obrębie których obliczana będzie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia pola figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła na przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

W poprzedniej części poświęconej analizie znaczenia geometrycznego całki oznaczonej otrzymaliśmy szereg wzorów na obliczenie pola trapezu krzywoliniowego:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] .

Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania stosunkowo prostych problemów. W rzeczywistości często będziemy musieli pracować z bardziej złożonymi figurami. W związku z tym tę sekcję poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur ograniczonych funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y).

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą określone i ciągłe na przedziale [ a ; b] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; B ] . Następnie wzór na obliczenie pola figury G, ograniczonego liniami x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będzie wyglądać jak S (G) = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do powierzchni figury ograniczonej liniami y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( sol 2 (y) - sol 1 (y) re y .

Dowód

Przyjrzyjmy się trzem przypadkom, dla których formuła będzie obowiązywać.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności pola, suma obszarów pierwotnej figury G i krzywoliniowego trapezu G 1 jest równa powierzchni figury G 2. To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) re x - ∫ a b f 1 (x) re x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) re x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Jeśli obie funkcje nie są dodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - fa 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x.

Punkty przecięcia oznaczamy jako x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Punkty te dzielą odcinek [a; b ] na n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n, gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stąd,

S (G) = ∑ ja = 1 n S (G i) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x

Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy przypadek ogólny na wykresie.

Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodniony.

Przejdźmy teraz do analizy przykładów obliczania pola figur ograniczonych liniami y = f (x) i x = g (y).

Rozważanie dowolnego z przykładów zaczniemy od skonstruowania wykresu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone kształty jako sumę prostszych kształtów. Jeśli konstruowanie na nich wykresów i figur sprawia Ci trudność, możesz przestudiować rozdział poświęcony podstawowym funkcjom elementarnym, transformacji geometrycznej wykresów funkcji, a także konstruowaniu wykresów podczas nauki funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y = - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Na odcinku [ 1 ; 4 ] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2. W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru oraz metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S(G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x + 2, y = x, x = 7.

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy tylko jedną prostą umieszczoną równolegle do osi x. To jest x = 7. Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.

Zbudujmy wykres i nanieś na niego linie podane w opisie problemu.

Mając przed oczami wykres, łatwo możemy określić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu prostej y = x i półparaboli y = x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę, że w ogólnym przykładzie na rysunku proste y = x + 2, y = x przecinają się w punkcie (2; 2), więc tak szczegółowe obliczenia mogą wydawać się niepotrzebne. Tak szczegółowe rozwiązanie podaliśmy tutaj tylko dlatego, że w bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązanie może nie być tak oczywiste. Oznacza to, że zawsze lepiej jest obliczyć współrzędne przecięcia linii analitycznie.

Na przedziale [ 2 ; 7] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2. Zastosujmy wzór do obliczenia pola:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S (G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony wykresami funkcji y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie.

Zdefiniujmy granice całkowania. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, przyrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod warunkiem, że x nie jest równe zero, równość 1 x = - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Aby odświeżyć pamięć o algorytmie rozwiązywania takich równań, możemy zapoznać się z sekcją „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastkiem tego równania jest x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2, w którym cyfra G zawarta jest nad linią niebieską i poniżej linii czerwonej. Pomaga nam to określić obszar figury:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego krzywymi y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osią odciętych.

Rozwiązanie

Narysujmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x, jeżeli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy go o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x to y = 0.

Zaznaczmy punkty przecięcia prostych.

Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y = x 3 i y = 0 przecinają się w punkcie (0; 0). Dzieje się tak, ponieważ x = 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 = 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0, więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2; 0).

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y = x 3 i y = - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 = - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, gdyż funkcja y = x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y = - log 2 x + 1 to ściśle malejące.

Dalsze rozwiązanie obejmuje kilka opcji.

Opcja 1

Możemy sobie wyobrazić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych położonych powyżej osi x, z których pierwszy znajduje się poniżej linii środkowej odcinka x ∈ 0; 1, a drugi poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .

Opcja nr 2

Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch figur, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2, a druga pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1; 2. Dzięki temu możemy znaleźć obszar w następujący sposób:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x

W tym przypadku, aby znaleźć pole, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające figurę można przedstawić jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rozwiązanie

Czerwoną linią nakreślamy linię określoną funkcją y = x. Rysujemy linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko, a linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zaznaczmy punkty przecięcia.

Znajdźmy punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sprawdź: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Czy jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdźmy punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Równanie nie ma rozwiązania

Znajdźmy punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda nr 1

Wyobraźmy sobie pole pożądanej figury jako sumę pól poszczególnych figur.

Następnie obszar figury wynosi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch innych figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii względem x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia pola figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ja n i a l i n e

Zatem obszar wynosi:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać wartości są takie same.

Odpowiedź: S (G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć pole figury ograniczone podanymi liniami, musimy skonstruować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na obliczenie pola. W tej sekcji sprawdziliśmy najczęstsze warianty zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter