Przykłady rozwiązań indukcji matematycznej dla manekinów. Zastosowanie metody indukcji matematycznej w rozwiązywaniu problemów

Aby to zrobić, najpierw sprawdź prawdziwość stwierdzenia nr 1 - podstawa indukcyjna, a następnie udowodniono, że jeśli stwierdzenie z liczbą jest prawdziwe N, to poniższe stwierdzenie z liczbą jest również prawdziwe N + 1 - krok indukcyjny, Lub przejście indukcyjne.

Dowód indukcyjny można jasno przedstawić w postaci tzw zasada domina. Niech w rzędzie ułoży się dowolną liczbę płytek domina w taki sposób, aby każda kostka domina spadając, koniecznie przewróciła podążający za nią kamień domina (jest to przejście indukcyjne). Następnie, jeśli popchniemy pierwszą kość (jest to podstawa indukcji), wówczas wszystkie kości w rzędzie spadną.

Logiczną podstawą tej metody dowodu jest tzw aksjomat indukcji, piąty z aksjomatów Peano definiujących liczby naturalne. Poprawność metody indukcji jest równoznaczna z faktem, że w dowolnym podzbiorze liczb naturalnych znajduje się element minimalny.

Istnieje również odmiana, tak zwana zasada całkowitej indukcji matematycznej. Oto jego ścisłe sformułowanie:

Zasada całkowitej indukcji matematycznej jest również równoważna aksjomatowi indukcji w aksjomatach Peano.

Przykłady

Zadanie. Aby to udowodnić, cokolwiek jest naturalne N i prawdziwe Q≠ 1, zachodzi równość

Dowód. Indukcja włączona N.

Baza, N = 1:

Przemiana: Załóżmy, że

,

co było do okazania

Komentarz: poprawność wypowiedzi P N w tym dowodzie - to samo, co ważność równości

Zobacz też

Odmiany i uogólnienia

Literatura

• N. Tak Wprowadzenie. Kombinatoryka. Podręcznik dla nauczycieli. M., Edukacja, 1976.-48 s.
• L. I. Golovina, I. M. Yaglom Indukcja w geometrii, „Popularne wykłady z matematyki”, wydanie 21, Fizmatgiz 1961.-100 s.
• R. Courant, G. Robbins„Co to jest matematyka?” Rozdział I, § 2.
• I. S. Sominsky Metoda indukcji matematycznej. „Wykłady popularne z matematyki”, nr 3, Wydawnictwo „Nauka” 1965.-58 s.

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, czym jest „Metoda indukcji matematycznej” w innych słownikach:

Indukcja matematyczna w matematyce jest jedną z metod dowodu. Służy do udowadniania prawdziwości określonego twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych. Aby to zrobić, najpierw sprawdza się prawdziwość twierdzenia z numerem 1 na podstawie indukcji, a następnie... ...Wikipedii

Sposób konstruowania teorii, w którym opiera się ona na pewnych jej postanowieniach – aksjomatach lub postulatach – z których wszystkie inne postanowienia teorii (twierdzenia) wyprowadza się w drodze rozumowania, zwany dowodami m i. Zasady według Krymu... ... Encyklopedia filozoficzna

Indukcja (łac. inductio wskazówki) to proces logicznego wnioskowania oparty na przejściu od konkretnej sytuacji do ogólnej. Wnioskowanie indukcyjne łączy poszczególne przesłanki z wnioskiem nie tyle poprzez prawa logiki, ile raczej poprzez... ...Wikipedię

METODA GENETYCZNA- sposób określenia treści i istoty badanego przedmiotu nie poprzez konwencję, idealizację czy logiczną konkluzję, ale poprzez badanie jego pochodzenia (w oparciu o badanie przyczyn, które doprowadziły do ​​​​jego powstania, mechanizmu powstawania). Szeroki... ... Filozofia nauki: Słownik podstawowych terminów

Metoda konstruowania teorii naukowej, w której opiera się ona na pewnych początkowych postanowieniach (sądach) aksjomatu (patrz Aksjomat) lub Postulatach, z których należy wyprowadzić wszystkie inne twierdzenia tej nauki (twierdzenia (patrz Twierdzenie)). .. Wielka encyklopedia radziecka

metoda aksjomatyczna- METODA AKJIOMATYCZNA (od greckiego aksjoma) to przyjęte stanowisko - metoda konstruowania teorii naukowej, w której w dowodach wykorzystuje się jedynie aksjomaty, postulaty i twierdzenia wcześniej z nich wyprowadzone. Po raz pierwszy wyraźnie zademonstrowano... ... Encyklopedia epistemologii i filozofii nauki

Jedna z metod błędu teoretycznego, służąca do szacowania nieznanych wielkości na podstawie wyników pomiarów zawierających błędy losowe. N.K.M. służy także do aproksymacji reprezentacji danej funkcji przez inne (prostsze) funkcje i często okazuje się... Encyklopedia matematyczna

Indukcja matematyczna jest jedną z metod dowodu matematycznego, służącą do udowodnienia prawdziwości pewnego twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych. Aby to zrobić, najpierw sprawdź… Wikipedię

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Indukcja. Indukcja (łac. inductio wskazówki) to proces logicznego wnioskowania oparty na przejściu od konkretnej sytuacji do ogólnej. Wnioskowanie indukcyjne łączy poszczególne przesłanki... ... Wikipedia

Korzystając z metody indukcji matematycznej, udowodnij, że dla dowolnego naturalnego N obowiązują następujące równości:
A) ;
B) .

Rozwiązanie.

a) Kiedy N= 1 równość jest prawdziwa. Zakładając ważność równości w N, pokażemy jego ważność nawet wtedy, gdy N+ 1. Rzeczywiście,

co było do okazania

b) Kiedy N= 1 ważność równości jest oczywista. Z założenia jego obowiązywania o godz N powinien

Biorąc pod uwagę równość 1 + 2 + ... + N = N(N+ 1)/2, otrzymujemy

1 3 + 2 3 + ... + N 3 + (N + 1) 3 = (1 + 2 + ... + N + (N + 1)) 2 ,

tj. stwierdzenie jest również prawdziwe kiedy N + 1.

Przykład 1. Udowodnij następujące równości

Gdzie N O N.

Rozwiązanie. a) Kiedy N= 1 równość przyjmie postać 1=1, zatem P(1) jest prawdą. Załóżmy, że ta równość jest prawdziwa, to znaczy zachodzi

. Trzeba to sprawdzić (udowodnić).P(N+ 1), tj PRAWDA. Ponieważ (stosując hipotezę indukcyjną) rozumiemy, że P(N+ 1) jest stwierdzeniem prawdziwym.

Zatem zgodnie z metodą indukcji matematycznej pierwotna równość obowiązuje dla każdego naturalnego N.

Uwaga 2. Ten przykład można było rozwiązać inaczej. Rzeczywiście suma wynosi 1 + 2 + 3 + ... + N jest sumą pierwszego N wyrazy ciągu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 = 1 i różnica D= 1. Na podstawie dobrze znanego wzoru , otrzymujemy

b) Kiedy N= 1 równość przyjmie postać: 2 1 - 1 = 1 2 lub 1=1, czyli P(1) jest prawdą. Załóżmy, że zachodzi równość

1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) = N 2 i udowodnij, że to ma miejsceP(N + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) + (2(N + 1) - 1) = (N+ 1) 2 lub 1 + 3 + 5 + ... + (2 N - 1) + (2N + 1) = (N + 1) 2 .

Korzystając z hipotezy indukcyjnej, otrzymujemy

1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) + (2N + 1) = N 2 + (2N + 1) = (N + 1) 2 .

Zatem, P(N+ 1) jest prawdziwe i dlatego udowodniono wymaganą równość.

Uwaga 3. Przykład ten można rozwiązać (podobnie jak poprzedni) bez stosowania metody indukcji matematycznej.

c) Kiedy N= 1 równość jest prawdziwa: 1=1. Załóżmy, że równość jest prawdziwa

i pokaż to to jest prawdaP(N) oznacza prawdęP(N+ 1). Naprawdę, i od 2 N 2 + 7 N + 6 = (2 N + 3)(N+ 2), otrzymujemy i dlatego pierwotna równość obowiązuje dla każdego naturalnegoN.

d) Kiedy N= 1 równość jest prawdziwa: 1=1. Załóżmy, że to ma miejsce

i udowodnimy to

Naprawdę,

e) Zatwierdzenie P(1) prawda: 2=2. Załóżmy, że zachodzi równość

jest prawdą i udowodnimy, że implikuje to równość Naprawdę,

W konsekwencji pierwotna równość obowiązuje dla każdego naturalnego N.

F) P(1) prawda: 1/3 = 1/3. Niech będzie równość P(N):

. Pokażemy, że z ostatniej równości wynika, co następuje:

Rzeczywiście, biorąc to pod uwagę P(N) trzyma się, otrzymujemy

W ten sposób udowadnia się równość.

g) Kiedy N= 1 mamy A + B = B + A i dlatego równość jest sprawiedliwa.

Niech wzór dwumianu Newtona będzie ważny dla N = k, to jest,

Następnie Korzystanie z równości dostajemy

Przykład 2. Udowodnić nierówności

a) Nierówność Bernoulliego: (1 + a) N ≥ 1 + N a , a > -1, N O N.

B) X 1 + X 2 + ... + X N ≥ N, Jeśli X 1 X 2 · ... · X N= 1 i X I > 0, .

c) Nierówność Cauchy'ego względem średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej Gdzie X I > 0, , N ≥ 2.

d) grzech 2 N a + cos 2 N a ≤ 1, N O N.

mi)

f) 2 N > N 3 , N O N, N ≥ 10.

Rozwiązanie. a) Kiedy N= 1 otrzymujemy prawdziwą nierówność

1 + za ≥ 1 + za . Załóżmy, że istnieje nierówność

(1 + a) N ≥ 1 + N A

(1)

i pokażemy, że wtedy to ma miejsce i(1 + a) N + 1 ≥ 1 + (N+ 1)a.

Rzeczywiście, ponieważ a > -1 implikuje a + 1 > 0, to mnożąc obie strony nierówności (1) przez (a + 1), otrzymujemy

(1 + a) N(1 + a) ≥ (1 + N a )(1 + a ) lub (1 + a ) N + 1 ≥ 1 + (N+ 1)a + N a 2 Od N 2 zatem ≥ 0(1 + a) N + 1 ≥ 1 + (N+ 1)a + N za 2 ≥ 1 + ( N+ 1)a.

Zatem jeśli P(N) to w takim razie prawda P(N+ 1) jest prawdziwe, zatem zgodnie z zasadą indukcji matematycznej prawdziwa jest nierówność Bernoulliego.

b) Kiedy N= 1 otrzymujemy X 1 = 1 i dlatego X 1 ≥ 1 tzn P(1) jest uczciwym stwierdzeniem. Udawajmy, że P(N) jest prawdą, to znaczy, jeśli adica, X 1 ,X 2 ,...,X N - N liczby dodatnie, których iloczyn jest równy jeden, X 1 X 2 ·...· X N= 1 i X 1 + X 2 + ... + X N ≥ N.

Pokażmy, że z tego zdania wynika prawdziwość twierdzenia: jeżeli X 1 ,X 2 ,...,X N ,X N+1 - (N+ 1) liczby dodatnie takie, że X 1 X 2 ·...· X N · X N+1 = 1, zatem X 1 + X 2 + ... + X N + X N + 1 ≥N + 1.

Rozważmy następujące dwa przypadki:

1) X 1 = X 2 = ... = X N = X N+1 = 1. Wtedy suma tych liczb wynosi ( N+ 1), a wymagana nierówność jest spełniona;

2) co najmniej jedna liczba jest różna od jedynki, niech na przykład będzie większa niż jeden. Potem, od X 1 X 2 · ... · X N · X N+ 1 = 1, istnieje co najmniej jeszcze jedna liczba różna od jedności (dokładniej mniej niż jeden). Pozwalać X N+ 1 > 1 i X N < 1. Рассмотрим N liczby dodatnie

X 1 ,X 2 ,...,X N-1 ,(X N · X N+1). Iloczyn tych liczb jest równy jeden i zgodnie z hipotezą X 1 + X 2 + ... + X N-1 + X N X N + 1 ≥ N. Ostatnią nierówność zapisuje się następująco: X 1 + X 2 + ... + X N-1 + X N X N+1 + X N + X N+1 ≥ N + X N + X N+1 lub X 1 + X 2 + ... + X N-1 + X N + X N+1 ≥ N + X N + X N+1 - X N X N+1 .

Ponieważ

(1 - X N)(X N+1 - 1) > 0, zatem N + X N + X N+1 - X N X N+1 = N + 1 + X N+1 (1 - X N) - 1 + X N =
= N + 1 + X N+1 (1 - X N) - (1 - X N) = N + 1 + (1 - X N)(X N+1 - 1) ≥ N+ 1. Dlatego X 1 + X 2 + ... + X N + X N+1 ≥ N+1, to znaczy, jeśli P(N) to w takim razie prawdaP(N+ 1) uczciwe. Nierówność została udowodniona.

Uwaga 4. Znak równości zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 = X 2 = ... = X N = 1.

c) Niech X 1 ,X 2 ,...,X N- dowolne liczby dodatnie. Rozważ następujące N liczby dodatnie:

Ponieważ ich iloczyn jest równy jeden: zgodnie z udowodnioną wcześniej nierównością b), wynika z tego Gdzie

Uwaga 5. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 = X 2 = ... = X N .

D) P(1) jest uczciwym stwierdzeniem: sin 2 a + cos 2 a = 1. Załóżmy, że P(N) jest stwierdzeniem prawdziwym:

Grzech 2 N a + cos 2 N a ≤ 1 i pokaż co się stanieP(N+ 1). Naprawdę, grzech 2( N+ 1) za + cos 2( N+ 1) a = grzech 2 N grzech 2 a + cos 2 N cos 2 a< sin 2N a + cos 2 N a ≤ 1 (jeśli sin 2 a ≤ 1, to cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1, następnie grzech 2 a < 1). Таким образом, для любого N O N grzech 2 N a + cos 2 N ≤ 1, a znak równości osiąga się tylko wtedy, gdyN = 1.

e) Kiedy N= 1 stwierdzenie jest prawdziwe: 1< 3 / 2 .

Załóżmy, że i udowodnimy to

Ponieważ
rozważając P(N), otrzymujemy

f) Biorąc pod uwagę uwagę 1, sprawdźmy P(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000 zatem dla N= 10 stwierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy, że 2 N > N 3 (N> 10) i udowodnij P(N+ 1), czyli 2 N+1 > (N + 1) 3 .

Od kiedy N> 10 mamy lub , wynika z tego

2N 3 > N 3 + 3N 2 + 3N+ 1 lub N 3 > 3N 2 + 3N + 1. Biorąc pod uwagę nierówność (2 N > N 3 ), otrzymujemy 2 N+1 = 2 N·2 = 2 N + 2 N > N 3 + N 3 > N 3 + 3N 2 + 3N + 1 = (N + 1) 3 .

Zatem zgodnie z metodą indukcji matematycznej dla dowolnego naturalnego N O N, N≥ 10 mamy 2 N > N 3 .

Przykład 3. Udowodnij to każdemu N O N

Rozwiązanie. A) P(1) jest stwierdzeniem prawdziwym (0 jest dzielone przez 6). Pozwalać P(N) jest sprawiedliwe, tzn N(2N 2 - 3N + 1) = N(N - 1)(2N- 1) jest podzielna przez 6. Pokażmy, że wtedy zachodzi P(N+ 1), czyli ( N + 1)N(2N+ 1) jest podzielna przez 6. Rzeczywiście, ponieważ

I jak N(N - 1)(2 N- 1) i 6 N 2 są podzielne przez 6, to ich suma wynosiN(N + 1)(2 N+ 1) jest podzielne przez 6.

Zatem, P(N+ 1) jest uczciwym stwierdzeniem i dlatego N(2N 2 - 3N+ 1) podzielne przez 6 dla dowolnego N O N.

b) Sprawdźmy P(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 zatem, P(1) jest uczciwym stwierdzeniem. Należy udowodnić, że jeśli 6 2 N-2 + 3 N+1 + 3 N-1 dzieli się przez 11 ( P(N)), następnie 6 2 N + 3 N+2 + 3 N jest również podzielna przez 11 ( P(N+ 1)). Rzeczywiście, od

6 2N + 3 N+2 + 3 N = 6 2N-2+2 + 3 N+1+1 + 3 N-1+1 = = 6 2 6 2 N-2 + 3 3 N+1 + 3 3 N-1 = 3·(6 2 N-2 + 3 N+1 + 3 N-1) + 33 6 2 N-2 i podobne 6 2 N-2 + 3 N+1 + 3 N-1 i 33 6 2 N-2 są podzielne przez 11, to ich suma wynosi 6 2N + 3 N+2 + 3 N jest podzielna przez 11. Twierdzenie zostało udowodnione. Indukcja w geometrii

Przykład 4. Oblicz bok prawidłowego 2 N-trójkąt wpisany w okrąg o promieniu R.

Metoda dowodu oparta na aksjomacie Peano 4 służy do udowadniania wielu właściwości matematycznych i różnych twierdzeń. Podstawą tego jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli oświadczenie A(N) ze zmienną naturalną N prawda dla n= 1 i z faktu, że jest to prawdą dla n = k, wynika, że ​​jest to prawdą dla następnej liczby n=k, potem stwierdzenie A(N) N.

Dowód. Oznaczmy przez M zbiór tych i tylko tych liczb naturalnych, dla których to stwierdzenie A(N) PRAWDA. Następnie z warunków twierdzenia mamy: 1) 1 M; 2) k MkM. Stąd, w oparciu o aksjomat 4, wnioskujemy, że M =N, tj. oświadczenie A(N) dotyczy każdego naturalnego N.

Metoda dowodu oparta na tym twierdzeniu nazywa się metodą indukcji matematycznej, a aksjomat jest aksjomatem indukcji. Dowód ten składa się z dwóch części:

1) udowodnić, że stwierdzenie A(N) prawda dla n= A(1);

2) przyjąć, że oświadczenie A(N) prawda dla n = k, i na podstawie tego założenia udowodnij, że stwierdzenie Jakiś) prawda dla n = k + 1, tj. że stwierdzenie jest prawdziwe A(k) A(k + 1).

Jeśli A( 1) A(k) A(k + 1) - stwierdzenie prawdziwe, następnie dochodzą do wniosku, że stwierdzenie Jakiś) prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej N.

Dowód metodą indukcji matematycznej można rozpocząć nie tylko od potwierdzenia prawdziwości twierdzenia n= 1, ale także z dowolnej liczby naturalnej M. W tym wypadku stwierdzenie A(N) zostanie udowodnione dla wszystkich liczb naturalnych nm.

Problem: Udowodnijmy, że dla dowolnej liczby naturalnej równość 1 + 3 + 5 … + (2 N- 1) = N.

Rozwiązanie. Równość 1 + 3 + 5 … + (2 N- 1) = N to wzór, za pomocą którego można znaleźć sumę pierwszych kolejnych nieparzystych liczb naturalnych. Na przykład 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (suma zawiera 4 wyrazy), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (suma zawiera 6 wyrazów); jeśli suma ta zawiera 20 wyrazów wskazanego typu, to jest równa 20 = 400 itd. Po udowodnieniu prawdziwości tej równości będziemy mogli znaleźć sumę dowolnej liczby wyrazów określonego typu za pomocą wzoru.

1) Sprawdźmy prawdziwość tej równości dla n= 1. Kiedy n= 1 lewa strona równości składa się z jednego wyrazu równego 1, prawa strona równa się 1= 1. Ponieważ 1 = 1, to dla n= 1 ta równość jest prawdziwa.

2) Załóżmy, że ta równość jest prawdziwa n = k, tj. że 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Na podstawie tego założenia udowadniamy, że jest to prawdą dla n = k + 1, tj. 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Spójrzmy na lewą stronę ostatniej równości.

Z założenia suma pierwszego k warunki są równe k a zatem 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Wyrażenie k+ 2k + 1 jest identycznie równa wyrażeniu ( k + 1).

Dlatego prawda tej równości dla n = k + 1 zostało udowodnione.

Zatem ta równość jest prawdziwa dla n= 1 i z jego prawdy dla n = k musi być prawdą n = k + 1.

Dowodzi to, że równość ta jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej.

Stosując metodę indukcji matematycznej można udowodnić prawdziwość nie tylko równości, ale także nierówności.

Zadanie. Udowodnij, że gdzie nN.

Rozwiązanie. Sprawdźmy prawdziwość nierówności przy n= 1. Mamy - prawdziwą nierówność.

Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla n = k, te. - prawdziwa nierówność. Udowodnijmy, opierając się na założeniu, że jest to prawdą także dla n = k + 1, tj. (*).

Przekształćmy lewą stronę nierówności (*), biorąc pod uwagę, że: .

Ale , co znaczy .

Zatem ta nierówność jest prawdziwa dla n= 1, oraz z faktu, że nierówność jest prawdziwa dla niektórych n= k, odkryliśmy, że jest to również prawdą dla n= k + 1.

Zatem korzystając z aksjomatu 4 udowodniliśmy, że nierówność ta jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej.

Pozostałe twierdzenia można udowodnić metodą indukcji matematycznej.

Zadanie. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej stwierdzenie jest prawdziwe.

Rozwiązanie. Sprawdźmy prawdziwość stwierdzenia kiedy n= 1: - stwierdzenie prawdziwe.

Załóżmy, że to stwierdzenie jest prawdziwe dla n = k: . Pokażmy za pomocą tego prawdziwość stwierdzenia kiedy n = k + 1: .

Przekształćmy wyrażenie: . Znajdźmy różnicę k I k+ 1 członków. Jeśli okaże się, że wynikowa różnica jest wielokrotnością 7 i z założenia odejmowanie jest podzielne przez 7, to odjemna jest również wielokrotnością 7:

Iloczyn jest zatem wielokrotnością 7 i .

Zatem to stwierdzenie jest prawdziwe dla n= 1 i z jego prawdy dla n = k musi być prawdą n = k + 1.

Dowodzi to, że stwierdzenie to jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej.

Zadanie. Udowodnij to dla dowolnej liczby naturalnej N 2 stwierdzenie (7-1)24 jest prawdziwe.

Rozwiązanie. 1) Sprawdźmy prawdziwość stwierdzenia kiedy N= 2: - stwierdzenie prawdziwe.

Prawdziwa wiedza zawsze opierała się na ustaleniu wzoru i udowodnieniu jego prawdziwości w określonych okolicznościach. Przez tak długi okres istnienia logicznego rozumowania podano sformułowania reguł, a Arystoteles sporządził nawet listę „poprawnych rozumowań”. Historycznie rzecz biorąc, zwyczajem było dzielenie wszystkich wniosków na dwa typy - od konkretnego do wielokrotności (indukcja) i odwrotnie (dedukcja). Należy zauważyć, że rodzaje dowodów od konkretnego do ogólnego i od ogólnego do szczegółowego istnieją tylko w połączeniu i nie mogą być wymieniane.

Indukcja w matematyce

Termin „indukcja” ma korzenie łacińskie i jest dosłownie tłumaczony jako „poradnictwo”. Po bliższym przestudiowaniu można wyróżnić strukturę słowa, a mianowicie łaciński przedrostek - in- (oznacza działanie skierowane do wewnątrz lub przebywanie w środku) i -dukcja - wprowadzenie. Warto zauważyć, że istnieją dwa rodzaje - indukcja pełna i niepełna. Pełną formę charakteryzują wnioski wyciągnięte z badań wszystkich obiektów określonej klasy.

Niekompletne - wnioski, które dotyczą wszystkich przedmiotów zajęć, ale wyciągane są na podstawie przestudiowania tylko niektórych jednostek.

Pełna indukcja matematyczna to wnioskowanie oparte na ogólnym wniosku o całej klasie dowolnych obiektów, które są funkcjonalnie połączone relacjami naturalnego ciągu liczb, oparte na znajomości tego związku funkcjonalnego. W tym przypadku proces sprawdzający przebiega w trzech etapach:

• pierwsza dowodzi słuszności stanowiska indukcji matematycznej. Przykład: f = 1, indukcja;
• kolejny etap opiera się na założeniu, że stanowisko obowiązuje dla wszystkich liczb naturalnych. Oznacza to, że f=h jest hipotezą indukcyjną;
• w trzecim etapie dowodzi się słuszności stanowiska dla liczby f=h+1 w oparciu o poprawność położenia punktu poprzedniego – jest to przejście indukcyjne, czyli krok indukcji matematycznej. Przykładem jest tzw. jeśli spadnie pierwszy kamień w rzędzie (podstawa), to wszystkie kamienie w rzędzie spadną (przejście).

I żartobliwie i poważnie

Dla łatwiejszego zrozumienia przykłady rozwiązań wykorzystujących metodę indukcji matematycznej przedstawiono w formie zadań żartobliwych. Oto zadanie „Uprzejmy kolejka”:

• Zasady postępowania zabraniają mężczyźnie skręcania przed kobietą (w takiej sytuacji może ona iść dalej). Bazując na tym stwierdzeniu, jeśli ostatni w kolejce jest mężczyzną, to wszyscy pozostali są mężczyznami.

Uderzającym przykładem metody indukcji matematycznej jest problem „lotu bezwymiarowego”:

• Wymagane jest wykazanie, że w minibusie zmieści się dowolna liczba osób. Prawdą jest, że w pojeździe bez problemu zmieści się jedna osoba (podstawa). Ale niezależnie od tego, jak zapełniony jest minibus, zawsze zmieści się w nim 1 pasażer (stopień indukcyjny).

Znane kręgi

Przykłady rozwiązywania problemów i równań metodą indukcji matematycznej są dość powszechne. Jako ilustrację tego podejścia rozważmy następujący problem.

Stan: na płaszczyźnie znajduje się h okręgów. Należy wykazać, że dla dowolnego układu figur, utworzoną przez nie mapę można poprawnie pokolorować dwoma kolorami.

Rozwiązanie: gdy h=1 prawdziwość twierdzenia jest oczywista, zatem dowód zostanie skonstruowany dla liczby okręgów h+1.

Załóżmy, że stwierdzenie to obowiązuje dla dowolnej mapy i na płaszczyźnie znajdują się okręgi h+1. Usuwając jedno z okręgów z całości, możesz otrzymać mapę poprawnie pokolorowaną dwoma kolorami (czarnym i białym).

Podczas przywracania usuniętego okręgu kolor każdego obszaru zmienia się na przeciwny (w tym przypadku wewnątrz okręgu). Rezultatem jest mapa poprawnie pokolorowana w dwóch kolorach, co należało sprawdzić.

Przykłady z liczbami naturalnymi

Poniżej wyraźnie pokazano zastosowanie metody indukcji matematycznej.

Przykłady rozwiązań:

Udowodnić, że dla dowolnego h poprawna jest równość:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Niech h=1, co oznacza:

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

Wynika z tego, że dla h=1 stwierdzenie jest prawdziwe.

2. Zakładając, że h=d otrzymujemy równanie:

R1 =d2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. Zakładając, że h=d+1 okazuje się, że:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

W ten sposób udowodniono słuszność równości dla h=d+1, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej, co pokazano na przykładowym rozwiązaniu metodą indukcji matematycznej.

Zadanie

Stan: wymagany jest dowód, że dla dowolnej wartości h wyrażenie 7 h -1 jest podzielne przez 6 bez reszty.

Rozwiązanie:

1. Powiedzmy, że h=1, w tym przypadku:

R 1 =7 1 -1=6 (tj. podzielone przez 6 bez reszty)

Zatem dla h=1 stwierdzenie jest prawdziwe;

2. Niech h=d i 7 d -1 podzielimy przez 6 bez reszty;

3. Dowodem słuszności twierdzenia dla h=d+1 jest wzór:

R re +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

W tym przypadku pierwszy wyraz jest podzielny przez 6 zgodnie z założeniem pierwszego punktu, a drugi wyraz jest równy 6. Prawdziwe jest stwierdzenie, że 7 h -1 dzieli się przez 6 bez reszty dla dowolnego naturalnego h jest prawdziwe.

Błędy w ocenie

Często w dowodach stosuje się błędne rozumowanie ze względu na niedokładność zastosowanych konstrukcji logicznych. Dzieje się tak głównie wtedy, gdy naruszona zostaje struktura i logika dowodu. Przykładem błędnego rozumowania jest poniższa ilustracja.

Zadanie

Stan: wymagany jest dowód, że stos kamieni nie jest stosem.

Rozwiązanie:

1. Załóżmy, że h=1, w tym przypadku w stosie znajduje się 1 kamień i stwierdzenie jest prawdziwe (podstawa);

2. Niech dla h=d prawdą będzie, że stos kamieni nie jest stosem (założenie);

3. Niech h=d+1, z czego wynika, że ​​po dodaniu jeszcze jednego kamienia zbiór nie będzie kupą. Wniosek sam w sobie sugeruje, że założenie jest ważne dla wszystkich naturalnych h.

Błąd polega na tym, że nie ma definicji, ile kamieni tworzy stos. Takie pominięcie nazywa się pochopnym uogólnieniem metody indukcji matematycznej. Przykład pokazuje to wyraźnie.

Indukcja i prawa logiki

Historycznie rzecz biorąc, zawsze „idą ramię w ramię”. Dyscypliny naukowe, takie jak logika i filozofia, opisują je w formie przeciwieństw.

Z punktu widzenia prawa logiki definicje indukcyjne opierają się na faktach, a prawdziwość przesłanek nie przesądza o poprawności wynikowego stwierdzenia. Często wnioski uzyskuje się z pewnym stopniem prawdopodobieństwa i wiarygodności, co oczywiście należy zweryfikować i potwierdzić dodatkowymi badaniami. Przykładem indukcji w logice może być następujące stwierdzenie:

W Estonii jest susza, susza na Łotwie, susza na Litwie.

Estonia, Łotwa i Litwa to kraje bałtyckie. We wszystkich krajach bałtyckich panuje susza.

Z przykładu możemy wywnioskować, że metodą indukcji nie da się uzyskać nowych informacji czy prawdy. Jedyne, na co można liczyć, to pewna prawdziwość wniosków. Co więcej, prawdziwość przesłanek nie gwarantuje takich samych wniosków. Nie oznacza to jednak, że indukcja schodzi na margines dedukcji: ogromną liczbę przepisów i praw naukowych uzasadnia się metodą indukcyjną. Przykładem jest ta sama matematyka, biologia i inne nauki. Wynika to głównie z metody indukcji całkowitej, choć w niektórych przypadkach ma zastosowanie również indukcja częściowa.

Czcigodny wiek indukcji pozwolił jej przeniknąć do prawie wszystkich sfer ludzkiej działalności - jest to nauka, ekonomia i codzienne wnioski.

Indukcja w środowisku naukowym

Metoda indukcyjna wymaga skrupulatnego podejścia, ponieważ zbyt wiele zależy od liczby badanych części całości: im większa liczba badanych, tym bardziej wiarygodny wynik. W oparciu o tę cechę prawa naukowe uzyskane metodą indukcji są przez długi czas testowane na poziomie założeń probabilistycznych w celu wyizolowania i zbadania wszystkich możliwych elementów strukturalnych, połączeń i wpływów.

W nauce wniosek indukcyjny opiera się na istotnych cechach, z wyjątkiem przypadkowych zapisów. Fakt ten jest istotny w związku ze specyfiką wiedzy naukowej. Widać to wyraźnie na przykładach indukcji w nauce.

W świecie naukowym wyróżnia się dwa rodzaje indukcji (w związku ze sposobem studiowania):

1. selekcja indukcyjna (lub selekcja);
2. indukcja - wykluczenie (eliminacja).

Pierwszy typ wyróżnia się metodycznym (skrupulatnym) doborem próbek klasy (podklas) z różnych jej obszarów.

Przykładem tego typu indukcji jest: srebro (lub jego sole) oczyszcza wodę. Wniosek opiera się na wieloletnich obserwacjach (rodzaj selekcji potwierdzeń i obaleń – selekcji).

Drugi typ indukcji opiera się na wnioskach ustalających związki przyczynowe i wykluczających okoliczności, które nie odpowiadają jej właściwościom, a mianowicie powszechność, przestrzeganie kolejności czasowej, konieczność i jednoznaczność.

Indukcja i dedukcja ze stanowiska filozofii

Patrząc wstecz, termin indukcja został po raz pierwszy wspomniany przez Sokratesa. Arystoteles opisał przykłady indukcji w filozofii w bardziej przybliżonym słowniku terminologicznym, jednak kwestia indukcji niepełnej pozostaje otwarta. Po prześladowaniu sylogizmu arystotelesowskiego metodę indukcyjną zaczęto uznawać za owocną i jedyną możliwą w naukach przyrodniczych. Bacon uważany jest za ojca indukcji jako niezależnej metody specjalnej, nie udało mu się jednak oddzielić indukcji od metody dedukcyjnej, jak tego domagali się jego współcześni.

Indukcję rozwinął dalej J. Mill, który rozważał teorię indukcyjną z perspektywy czterech głównych metod: zgodności, różnicy, reszt i odpowiadających im zmian. Nic dziwnego, że dziś wymienione metody, szczegółowo zbadane, mają charakter dedukcyjny.

Uświadomienie sobie niespójności teorii Bacona i Milla skłoniło naukowców do zbadania probabilistycznych podstaw indukcji. Jednak i tutaj istniały pewne skrajności: próbowano zredukować indukcję do teorii prawdopodobieństwa ze wszystkimi wynikającymi z tego konsekwencjami.

Indukcja otrzymuje wotum zaufania dzięki praktycznemu zastosowaniu w niektórych obszarach tematycznych i dzięki dokładności metrycznej podstawy indukcyjnej. Przykładem indukcji i dedukcji w filozofii można uznać Prawo Powszechnego Grawitacji. W dniu odkrycia prawa Newtonowi udało się je zweryfikować z dokładnością do 4%. A sprawdzane ponad dwieście lat później, poprawność została potwierdzona z dokładnością do 0,0001 procent, chociaż weryfikację przeprowadzono na podstawie tych samych uogólnień indukcyjnych.

Współczesna filozofia większą wagę przywiązuje do dedukcji, która podyktowana jest logiczną chęcią wyciągnięcia nowej wiedzy (lub prawd) z tego, co już znane, bez uciekania się do doświadczenia i intuicji, ale przy użyciu „czystego” rozumowania. Odnosząc się do prawdziwych przesłanek w metodzie dedukcyjnej, we wszystkich przypadkach wynikiem jest stwierdzenie prawdziwe.

Ta bardzo ważna cecha nie powinna przyćmiewać wartości metody indukcyjnej. Indukcja bowiem, bazując na dorobku doświadczenia, staje się także środkiem jego przetwarzania (w tym uogólniania i systematyzacji).

Zastosowanie indukcji w ekonomii

Indukcja i dedukcja są od dawna stosowane jako metody badania gospodarki i prognozowania jej rozwoju.

Zakres zastosowania metody indukcyjnej jest dość szeroki: badanie spełnienia wskaźników prognozowanych (zyski, amortyzacja itp.) oraz ogólna ocena stanu przedsiębiorstwa; kształtowanie skutecznej polityki promocji przedsiębiorstwa opartej na faktach i ich relacjach.

Tę samą metodę indukcji zastosowano w „Mapach Shewharta”, gdzie przy założeniu podziału procesów na kontrolowane i niesterowane stwierdza się, że szkielet procesu kontrolowanego jest nieaktywny.

Należy zaznaczyć, że prawa nauki uzasadnia się i potwierdza metodą indukcji, a że ekonomia jest nauką, która często posługuje się analizą matematyczną, teorią ryzyka i statystyką, wcale nie dziwi fakt, że indukcja znajduje się na liście głównych metod.

Przykładem indukcji i dedukcji w ekonomii jest następująca sytuacja. Wzrost cen żywności (z koszyka konsumenckiego) i dóbr pierwszej potrzeby skłania konsumenta do myślenia o pojawiających się wysokich kosztach w państwie (indukcja). Jednocześnie z faktu wysokich cen można, wykorzystując metody matematyczne, wyprowadzić wskaźniki wzrostu cen dla poszczególnych towarów lub kategorii towarów (odliczenie).

Najczęściej kadra kierownicza, menedżerowie i ekonomiści sięgają po metodę indukcyjną. Aby móc z wystarczającą prawdziwością przewidzieć rozwój przedsiębiorstwa, zachowania rynku i skutki konkurencji, konieczne jest indukcyjno-dedukcyjne podejście do analizy i przetwarzania informacji.

Wyraźny przykład indukcji w ekonomii związanej z błędnymi sądami:

• zysk spółki spadł o 30%;
  firma konkurencyjna rozszerzyła swoją linię produktów;
  nic więcej się nie zmieniło;
• polityka produkcyjna konkurencyjnej firmy spowodowała 30% redukcję zysków;
• dlatego należy wdrożyć tę samą politykę produkcyjną.

Przykład jest barwną ilustracją tego, jak nieudolne zastosowanie metody indukcyjnej przyczynia się do ruiny przedsiębiorstwa.

Dedukcja i indukcja w psychologii

Skoro istnieje metoda, to logicznie rzecz biorąc, istnieje również odpowiednio zorganizowane myślenie (aby zastosować metodę). Psychologia jako nauka badająca procesy psychiczne, ich powstawanie, rozwój, relacje, interakcje, zwraca uwagę na myślenie „dedukcyjne”, jako jedną z form przejawu dedukcji i indukcji. Niestety na stronach poświęconych psychologii w Internecie praktycznie nie ma uzasadnienia dla integralności metody dedukcyjno-indukcyjnej. Chociaż profesjonalni psychologowie częściej spotykają się z przejawami indukcji, a raczej błędnymi wnioskami.

Przykładem indukcji w psychologii, jako ilustracja błędnych sądów, jest stwierdzenie: moja matka oszukuje, zatem wszystkie kobiety są oszustami. Możesz znaleźć jeszcze bardziej „błędne” przykłady indukcji z życia:

• uczeń jest niezdolny do niczego, jeśli dostanie złą ocenę z matematyki;
• on jest głupcem;
• jest mądry;
• Mogę zrobić wszystko;

Oraz wiele innych sądów wartościujących opartych na całkowicie przypadkowych i czasami nieistotnych przesłankach.

Należy zauważyć: kiedy błędny osąd danej osoby osiąga poziom absurdu, dla psychoterapeuty pojawia się granica pracy. Przykład wprowadzenia na wizytę specjalistyczną:

„Pacjent ma całkowitą pewność, że kolor czerwony jest dla niego niebezpieczny tylko w jakiejkolwiek formie. W rezultacie osoba wykluczyła tę kolorystykę ze swojego życia - w jak największym stopniu. Możliwości komfortowego pobytu w domu jest wiele. Możesz odrzucić wszystkie czerwone przedmioty lub zastąpić je analogami wykonanymi w innej kolorystyce. Ale w miejscach publicznych, w pracy, w sklepie - to niemożliwe. Kiedy pacjent znajduje się w sytuacji stresowej, za każdym razem doświadcza „przypływu” zupełnie innych stanów emocjonalnych, które mogą stanowić zagrożenie dla innych.

Ten przykład indukcji i nieświadomej indukcji nazywany jest „utrwalonymi ideami”. Jeśli przydarzy się to osobie zdrowej psychicznie, możemy mówić o braku organizacji aktywności umysłowej. Sposobem na pozbycie się stanów obsesyjnych może być elementarny rozwój myślenia dedukcyjnego. W innych przypadkach psychiatrzy pracują z takimi pacjentami.

Powyższe przykłady indukcji wskazują, że „nieznajomość prawa nie zwalnia od konsekwencji (błędnych sądów)”.

Psychologowie pracujący nad myśleniem dedukcyjnym opracowali listę zaleceń, które mają pomóc ludziom opanować tę metodę.

Punkt pierwszy to rozwiązywanie problemów. Jak widać, formę indukcji stosowaną w matematyce można uznać za „klasyczną”, a zastosowanie tej metody przyczynia się do „dyscypliny” umysłu.

Kolejnym warunkiem rozwoju myślenia dedukcyjnego jest poszerzanie horyzontów (ci, którzy myślą jasno, wyrażają się jasno). Zalecenie to kieruje „cierpienie” do skarbnic nauki i informacji (biblioteki, strony internetowe, inicjatywy edukacyjne, podróże itp.).

Na szczególną uwagę zasługuje tzw. „indukcja psychologiczna”. Termin ten, choć nieczęsto, można spotkać w Internecie. Żadne źródła nie podają choćby krótkiego sformułowania definicji tego terminu, lecz odwołują się do „przykładów z życia”, podając jako nowy rodzaj indukcji albo sugestię, albo pewne formy choroby psychicznej, albo skrajne stany psychiczne. ludzka psychika. Z powyższego jasno wynika, że ​​próba wyprowadzenia „nowego terminu” w oparciu o fałszywe (często nieprawdziwe) przesłanki skazuje eksperymentatora na uzyskanie błędnego (lub pochopnego) stwierdzenia.

Należy zaznaczyć, że nawiązanie do eksperymentów z 1960 roku (bez wskazania miejsca, nazwisk eksperymentatorów, próby badanych i przede wszystkim celu eksperymentu) wygląda, delikatnie mówiąc, nieprzekonująco, a Stwierdzenie, że mózg odbiera informacje z pominięciem wszystkich narządów percepcji (w tym przypadku sformułowanie „jest dotknięty” pasowałoby bardziej organicznie), każe pomyśleć o łatwowierności i bezkrytyczności autora stwierdzenia.

Zamiast wniosków

Nie bez powodu królowa nauk, matematyka, wykorzystuje wszystkie możliwe rezerwy metody indukcji i dedukcji. Rozważane przykłady pozwalają stwierdzić, że powierzchowne i nieudolne (jak to się mówi bezmyślne) stosowanie nawet najbardziej dokładnych i niezawodnych metod zawsze prowadzi do błędnych wyników.

W świadomości zbiorowej metoda dedukcji kojarzona jest ze słynnym Sherlockiem Holmesem, który w swoich konstrukcjach logicznych coraz częściej posługuje się przykładami indukcji, stosując dedukcję w odpowiednich sytuacjach.

W artykule zbadano przykłady zastosowania tych metod w różnych naukach i sferach działalności człowieka.

Wykład 6. Metoda indukcji matematycznej.

Nową wiedzę w nauce i życiu zdobywa się na różne sposoby, ale wszystkie (jeśli nie wdawać się w szczegóły) dzielą się na dwa typy - przejście od ogółu do szczegółu i od szczegółu do ogółu. Pierwsza to dedukcja, druga to indukcja. W matematyce powszechnie nazywa się to rozumowaniem dedukcyjnym. logiczne rozumowanie, a w naukach matematycznych dedukcja jest jedyną uprawnioną metodą dochodzenia. Zasady logicznego rozumowania zostały sformułowane dwa i pół tysiąca lat temu przez starożytnego greckiego naukowca Arystotelesa. Stworzył pełną listę najprostszych poprawnych rozumowań, sylogizmy– „cegiełki” logiki, jednocześnie wskazując typowe rozumowanie, które jest bardzo podobne do prawidłowego, ale błędne (z takim „pseudologicznym” rozumowaniem często spotykamy się w mediach).

Indukcja (indukcja - po łacinie przewodnictwo) doskonale ilustruje słynna legenda o tym, jak Izaak Newton sformułował prawo powszechnego ciążenia po tym, jak jabłko spadło mu na głowę. Kolejny przykład z fizyki: w zjawisku takim jak indukcja elektromagnetyczna pole elektryczne wytwarza, „indukuje” pole magnetyczne. „Jabłko Newtona” jest typowym przykładem sytuacji, w której jeden lub więcej szczególnych przypadków, tj. obserwacje„sugerować” stwierdzenie ogólne; na podstawie konkretnych przypadków wyciąga się ogólny wniosek. Metoda indukcyjna jest główną metodą uzyskiwania ogólnych wzorców zarówno w naukach przyrodniczych, jak i humanistycznych. Ma jednak bardzo istotną wadę: na podstawie konkretnych przykładów można wyciągnąć błędne wnioski. Hipotezy wynikające z prywatnych obserwacji nie zawsze są trafne. Rozważmy przykład ze względu na Eulera.

Obliczymy wartość trójmianu dla niektórych pierwszych wartości N:

Należy pamiętać, że liczby uzyskane w wyniku obliczeń są liczbami pierwszymi. I można to bezpośrednio sprawdzić dla każdego N Wartość wielomianu od 1 do 39
jest liczbą pierwszą. Jednak kiedy N=40 otrzymujemy liczbę 1681=41 2, która nie jest liczbą pierwszą. Zatem hipoteza, która mogłaby tu powstać, czyli hipoteza, że ​​dla każdego N numer
jest proste, okazuje się fałszywe.

Leibniz udowodnił to w XVII wieku dla każdej pozytywnej całości N numer
podzielna przez 3, liczba
podzielna przez 5 itd. Na tej podstawie założył, że dla każdego nieparzystego k i wszelkie naturalne N numer
podzielony przez k, ale wkrótce to zauważyłem
nie jest podzielna przez 9.

Rozważone przykłady pozwalają na wyciągnięcie ważnego wniosku: wypowiedź może być słuszna w wielu szczególnych przypadkach i jednocześnie nieuczciwa w ogóle. Kwestię ważności twierdzenia w ogólnym przypadku można rozstrzygnąć, stosując specjalną metodę rozumowania zwaną poprzez indukcję matematyczną(indukcja całkowita, indukcja doskonała).

6.1. Zasada indukcji matematycznej.

♦ Metoda indukcji matematycznej opiera się na zasada indukcji matematycznej , czyli następująco:

1) sprawdza się ważność tego oświadczeniaN=1 (podstawa indukcyjna) ,

2) przyjmuje się za ważność tego oświadczeniaN= k, Gdziek– dowolna liczba naturalna 1(założenie indukcyjne) , i biorąc pod uwagę to założenie, ustala się jego ważnośćN= k+1.

Dowód. Załóżmy odwrotnie, to znaczy załóżmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe dla każdego naturalnego N. Wtedy jest coś naturalnego M, Co:

1) oświadczenie dot N=M niesprawiedliwe,

2) dla wszystkich N, mniejszy M, stwierdzenie jest prawdziwe (innymi słowy, M jest pierwszą liczbą naturalną, dla której stwierdzenie nie jest prawdziwe).

To oczywiste M>1, ponieważ Dla N=1 stwierdzenie jest prawdziwe (warunek 1). Stąd,
- Liczba naturalna. Okazuje się, że dla liczby naturalnej
stwierdzenie jest prawdziwe i dla następnej liczby naturalnej M to niesprawiedliwe. Jest to sprzeczne z warunkiem 2. ■

Należy zauważyć, że w dowodzie wykorzystano aksjomat, że każdy zbiór liczb naturalnych zawiera najmniejszą liczbę.

Dowód oparty na zasadzie indukcji matematycznej nazywa się metodą całkowitej indukcji matematycznej .

 Przykład6.1. Udowodnij to dla dowolnego naturalnego N numer
podzielna przez 3.

Rozwiązanie.

1) Kiedy N=1, więc A 1 jest podzielna przez 3, a stwierdzenie jest prawdziwe, gdy N=1.

2) Załóżmy, że stwierdzenie jest prawdziwe dla N=k,
, czyli ta liczba
jest podzielna przez 3 i ustalamy to kiedy N=k Liczba +1 jest podzielna przez 3.

Rzeczywiście,

Ponieważ Każdy wyraz jest podzielny przez 3, wówczas ich suma jest również podzielna przez 3. ■ 

 Przykład6.2. Udowodnić, że suma pierwszego N naturalne liczby nieparzyste są równe kwadratowi ich liczby, to znaczy.

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę całkowitej indukcji matematycznej.

1) Sprawdzamy ważność tego stwierdzenia, kiedy N=1: 1=1 2 – to prawda.

2) Załóżmy, że suma pierwszego k (
) liczb nieparzystych jest równy kwadratowi liczby tych liczb, tj. Na podstawie tej równości ustalamy, że suma pierwszego k+1 liczb nieparzystych jest równe
, to jest .

Korzystamy z naszego założenia i otrzymujemy

. ■ 

Do udowodnienia niektórych nierówności stosuje się metodę całkowitej indukcji matematycznej. Udowodnimy nierówność Bernoulliego.

 Przykład6.3. Udowodnij, że kiedy
i wszelkie naturalne N nierówność jest prawdziwa
(nierówność Bernoulliego).

Rozwiązanie. 1) Kiedy N=1 otrzymujemy
, co jest prawdą.

2) Zakładamy, że kiedy N=k istnieje nierówność
(*). Korzystając z tego założenia, udowodnimy to
. Zwróć uwagę, kiedy
nierówność ta jest spełniona i dlatego wystarczy rozważyć ten przypadek
.

Pomnóżmy obie strony nierówności (*) przez liczbę
i otrzymujemy:

To znaczy (1+
.■ 

Dowód metodą niepełna indukcja matematyczna jakieś stwierdzenie w zależności od N, Gdzie
przeprowadza się w podobny sposób, tyle że na początku uczciwość ustala się dla najmniejszej wartości N.

Niektóre problemy nie zawierają wyraźnie stwierdzenia, które można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej. W takich przypadkach należy samodzielnie ustalić wzór i postawić hipotezę o słuszności tego wzorca, a następnie skorzystać z metody indukcji matematycznej, aby przetestować zaproponowaną hipotezę.

 Przykład6.4. Znajdź kwotę
.

Rozwiązanie. Znajdźmy sumy S 1 , S 2 , S 3. Mamy
,
,
. Zakładamy, że dotyczy to każdego naturalnego N formuła jest aktualna
. Aby przetestować tę hipotezę, zastosujemy metodę całkowitej indukcji matematycznej.

1) Kiedy N=1 hipoteza jest poprawna, ponieważ
.

2) Załóżmy, że hipoteza jest prawdziwa dla N=k,
, to jest
. Korzystając z tego wzoru, ustalamy, że hipoteza jest prawdziwa nawet wtedy, gdy N=k+1, tzn

Rzeczywiście,

Opierając się więc na założeniu, że hipoteza jest prawdziwa, gdy N=k,
, udowodniono, że jest to prawdą również dla N=k+1 i na podstawie zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że wzór jest ważny dla dowolnej liczby naturalnej N. ■ 

 Przykład6.5. W matematyce udowodniono, że suma dwóch funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą. Na podstawie tego stwierdzenia musisz udowodnić, że suma dowolnej liczby
funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą. Ponieważ jednak nie wprowadziliśmy jeszcze pojęcia „funkcji jednostajnie ciągłej”, postawmy problem bardziej abstrakcyjnie: niech będzie wiadomo, że suma dwóch funkcji mających jakąś własność S, sam ma tę właściwość S. Udowodnimy, że suma dowolnej liczby funkcji ma tę własność S.

Rozwiązanie. Podstawą indukcji jest tutaj sformułowanie samego problemu. Po przyjęciu założenia indukcyjnego rozważmy
Funkcje F 1 , F 2 , …, F N , F N+1, które mają tę właściwość S. Następnie . Po prawej stronie pierwszy termin ma właściwość S zgodnie z hipotezą indukcyjną drugi człon ma tę właściwość S według warunku. W związku z tym ich suma ma własność S– dla dwóch kadencji baza indukcji „działa”.

To potwierdza stwierdzenie i będziemy z niego dalej korzystać. ■ 

 Przykład6.6. Znajdź wszystko naturalne N, dla którego nierówność jest prawdziwa

.

Rozwiązanie. Rozważmy N=1, 2, 3, 4, 5, 6. Mamy: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Możemy zatem postawić hipotezę: nierówność
ma miejsce dla każdego
. Aby udowodnić prawdziwość tej hipotezy, skorzystamy z zasady niepełnej indukcji matematycznej.

1) Jak ustalono powyżej, hipoteza ta jest prawdziwa, gdy N=5.

2) Załóżmy, że jest to prawdą dla N=k,
, czyli nierówność jest prawdziwa
. Korzystając z tego założenia, udowadniamy, że nierówność
.

Ponieważ
i o godz
istnieje nierówność

Na
,

wtedy to zrozumiemy
. Zatem prawdziwość hipotezy przy N=k+1 wynika z założenia, że ​​prawdą jest, gdy N=k,
.

Z akapitów. 1 i 2, bazując na zasadzie niepełnej indukcji matematycznej, wynika z nierówności
dotyczy każdego naturalnego
. ■ 

 Przykład6.7. Udowodnij to dla dowolnej liczby naturalnej N wzór na różniczkowanie jest ważny
.

Rozwiązanie. Na N=1 wygląda ta formuła
lub 1=1, czyli jest poprawne. Przyjmując założenie indukcyjne, mamy:

co było do okazania ■ 

 Przykład6.8. Udowodnić, że zbiór składający się z N elementy, ma podzbiory

Rozwiązanie. Zestaw składający się z jednego elementu A, ma dwa podzbiory. Jest to prawdą, ponieważ wszystkie jego podzbiory są zbiorem pustym i samym zbiorem pustym oraz 2 1 =2.

Załóżmy, że każdy zbiór N elementy ma podzbiory Jeśli zbiór A składa się z N+1 elementy, następnie ustalamy w nim jeden element - oznaczamy go D i podziel wszystkie podzbiory na dwie klasy - te, które nie zawierają D i zawierający D. Wszystkie podzbiory pierwszej klasy są podzbiorami zbioru B otrzymanego z A poprzez usunięcie elementu D.

Zestaw B składa się z N elementy, a zatem, przez indukcję, ma podzbiorów, a więc w pierwszej klasie podzbiory

Ale w drugiej klasie jest taka sama liczba podzbiorów: każdy z nich otrzymuje się z dokładnie jednego podzbioru pierwszej klasy przez dodanie elementu D. Zatem w sumie zbiór A
podzbiory

W ten sposób stwierdzenie zostało udowodnione. Zauważ, że dotyczy to również zbioru składającego się z 0 elementów – zbioru pustego: ma on pojedynczy podzbiór – sam siebie oraz 2 0 = 1. ■ 