Znaczenie fizyczne funkcji falowej elektronu. Funkcja falowa

Eksperymentalne potwierdzenie idei Louisa de Broglie o uniwersalności dualizmu cząstkowo-falowego, ograniczonym zastosowaniu mechaniki klasycznej do mikroobiektów, podyktowanym zależnością niepewności, a także sprzeczności szeregu eksperymentów z przyjętymi na początku teoriami XX wieku zapoczątkowały nowy etap w rozwoju fizyki kwantowej – powstanie mechaniki kwantowej, która opisuje prawa ruchu i interakcji mikrocząstek z uwzględnieniem ich właściwości falowych. Jej powstanie i rozwój obejmuje okres od roku 1900 (sformułowanie hipotezy kwantowej przez Plancka) do lat 20. XX wieku i wiąże się przede wszystkim z pracami austriackiego fizyka E. Schrödingera, niemieckiego fizyka W. Heisenberga i angielskiego fizyka P. Dirac.

Najważniejszą cechą wyróżniającą teorię kwantową jest potrzeba probabilistycznego podejścia do opisu mikrocząstek. Czy fale de Broglie'a można interpretować jako fale prawdopodobieństwa, tj. założyć, że prawdopodobieństwo wykrycia mikrocząstki w różnych punktach przestrzeni zmienia się zgodnie z prawem falowym? Taka interpretacja fal de Broglie’a nie jest już słuszna, chociażby dlatego, że wówczas prawdopodobieństwo wykrycia cząstki w niektórych punktach przestrzeni może być ujemne, co nie ma sensu.

Aby wyeliminować te trudności, zasugerował to niemiecki fizyk M. urodzony w 1926 roku Zgodnie z prawem falowym zmienia się nie samo prawdopodobieństwo,i wielkość,o imieniu amplituda prawdopodobieństwa i oznaczone przez . Ilość ta jest również nazywana funkcja falowa (lub -funkcja). Amplituda prawdopodobieństwa może być złożona, podobnie jak prawdopodobieństwo W jest proporcjonalna do kwadratu jego modułu:

(4.3.1)

gdzie , gdzie jest złożoną funkcją sprzężoną Ψ.

Zatem opis stanu mikroobiektu za pomocą funkcji falowej ma statystyczny, probabilistyczny charakter: kwadrat modułu funkcji falowej (kwadrat modułu amplitudy fali de Broglie'a) określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danej chwili w obszarze o współrzędnych X i d X, y i d y, z i d z.

Zatem w mechanice kwantowej stan cząstki opisuje się w zupełnie nowy sposób – wykorzystując funkcję falową, która jest głównym nośnikiem informacji o ich właściwościach korpuskularnych i falowych.

.

(4.3.2)

Ogrom (kwadratowy moduł funkcji Ψ) ma sens gęstości prawdopodobieństwa , tj. określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na jednostkę objętości w pobliżu punktu,mający współrzędneX, y, z. Zatem to nie sama funkcja Ψ ma znaczenie fizyczne, ale kwadrat jej modułu , który określa intensywność fali de Broglie’a .

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym momencie T w ostatnim tomie V zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw jest równe:

.

Ponieważ definiuje się jako prawdopodobieństwo, to należy przedstawić funkcję falową Ψ tak, aby prawdopodobieństwo wystąpienia wiarygodnego zdarzenia stało się jednością, jeśli dla objętości V zaakceptować nieskończoną objętość całej przestrzeni. Oznacza to, że w danych warunkach cząstka musi znajdować się gdzieś w przestrzeni. Zatem warunkiem normalizacji prawdopodobieństw jest:

(4.3.3)

gdzie tę całkę oblicza się po całej nieskończonej przestrzeni, tj. według współrzędnych X, y, z od do . Zatem warunek normalizacji mówi o obiektywnym istnieniu cząstki w czasie i przestrzeni.

Aby funkcja falowa była obiektywną charakterystyką stanu mikrocząstki, musi spełniać szereg restrykcyjnych warunków. Funkcja Ψ, charakteryzująca prawdopodobieństwo wykrycia mikrocząstki w elemencie objętościowym, powinna wynosić:

· skończone (prawdopodobieństwo nie może być większe niż jeden);

· jednoznaczne (prawdopodobieństwo nie może być wartością niejednoznaczną);

· ciągły (prawdopodobieństwo nie może zmieniać się gwałtownie).

Funkcja falowa spełnia zasadę superpozycji: jeżeli układ może znajdować się w różnych stanach opisanych funkcjami falowymi , , ..., to może znajdować się w stanie opisanym liniową kombinacją tych funkcji:

Gdzie ( N= 1, 2, 3...) są dowolnymi, ogólnie mówiąc, liczbami zespolonymi.

Dodawanie funkcji falowych(amplitudy prawdopodobieństwa określone przez kwadraty modułów funkcji falowych) zasadniczo odróżnia teorię kwantową od klasycznej teorii statystycznej, w którym dodanie twierdzenia o prawdopodobieństwie obowiązuje dla zdarzeń niezależnych.

Funkcja falowaΨ jest główną cechą stanu mikroobiektów. Na przykład średnią odległość elektronu od jądra oblicza się ze wzoru

,

Jak wiadomo, głównym zadaniem mechaniki klasycznej jest określenie w dowolnym momencie położenia makroobiektu. Aby to zrobić, kompiluje się układ równań, którego rozwiązanie pozwala nam poznać zależność wektora promienia od czasu T. W mechanice klasycznej stan cząstki w danym momencie jest określony przez dwie wielkości: wektor promienia i pęd. Zatem klasyczny opis ruchu cząstki jest ważny, jeśli zachodzi on w obszarze o charakterystycznym rozmiarze znacznie większym niż długość fali de Broglie'a. W przeciwnym razie (na przykład w pobliżu jądra atomowego) należy wziąć pod uwagę właściwości falowe mikrocząstek. Na ograniczoną przydatność klasycznego opisu mikroobiektów posiadających właściwości falowe wskazują relacje niepewności.

Biorąc pod uwagę obecność właściwości falowych mikrocząstki, jej stan w mechanice kwantowej określa się za pomocą określonej funkcji współrzędnych i czasu (x, y, z, t) , zwany fala Lub - funkcjonować . W fizyce kwantowej wprowadzono złożoną funkcję opisującą czysty stan obiektu, którą nazywa się funkcją falową. W najpowszechniejszej interpretacji funkcja ta związana jest z prawdopodobieństwem wykrycia obiektu w jednym ze stanów czystych (kwadrat modułu funkcji falowej oznacza gęstość prawdopodobieństwa).

Porzucając opis ruchu cząstki za pomocą trajektorii uzyskanych z praw dynamiki i wyznaczając w zamian funkcję falową, należy wprowadzić równanie równoważne prawom Newtona i dające receptę na znalezienie rozwiązań poszczególnych problemów fizycznych. Takie równanie to równanie Schrödingera.

Nazywa się teorię opisującą ruch małych cząstek z uwzględnieniem ich właściwości falowych kwant , Lub mechanika fal. Wiele zapisów tej teorii wydaje się dziwnych i niezwykłych z punktu widzenia idei, które rozwinęły się w badaniu fizyki klasycznej. Należy zawsze pamiętać, że kryterium poprawności teorii, niezależnie od tego, jak dziwnie może się to początkowo wydawać, jest zbieżność jej konsekwencji z danymi eksperymentalnymi. Mechanika kwantowa w swojej dziedzinie (budowa i właściwości atomów, cząsteczek i częściowo jąder atomowych) doskonale potwierdza doświadczenie.

Funkcja falowa opisuje stan cząstki we wszystkich punktach przestrzeni i w dowolnym momencie. Aby zrozumieć fizyczne znaczenie funkcji falowej, przejdźmy do eksperymentów z dyfrakcją elektronów. (Eksperymenty Thomsona i Tartakovsky'ego dotyczące przepuszczania elektronów przez cienką metalową folię). Okazuje się, że wyraźne wzory dyfrakcyjne są wykrywane nawet wtedy, gdy pojedyncze elektrony są skierowane na cel, tj. gdy każdy kolejny elektron zostaje wyemitowany po tym, jak poprzedni dotrze do ekranu. Po odpowiednio długim bombardowaniu obraz na ekranie będzie dokładnie odpowiadał obrazowi uzyskanemu, gdy na cel zostanie jednocześnie skierowana duża liczba elektronów.

Z tego możemy wywnioskować, że ruch dowolnej mikrocząstki indywidualnie, łącznie z miejscem jej wykrycia, podlega prawom statystycznym (probabilistycznym), a gdy pojedynczy elektron zostanie skierowany na cel, punkt na ekranie, w którym będzie nagrane jest z góry 100% pewne. - Nie da się tego przewidzieć z całą pewnością.

W eksperymentach dyfrakcyjnych Thomsona na kliszy fotograficznej uformowano układ ciemnych koncentrycznych pierścieni. Można śmiało powiedzieć, że prawdopodobieństwo wykrycia (uderzenia) każdego wyemitowanego elektronu w różnych miejscach kliszy fotograficznej nie jest takie samo. W obszarze ciemnych koncentrycznych pierścieni prawdopodobieństwo to jest większe niż w innych obszarach ekranu. Rozkład elektronów na całym ekranie okazuje się taki sam, jak rozkład natężenia fali elektromagnetycznej w podobnym eksperymencie dyfrakcyjnym: tam, gdzie natężenie fali rentgenowskiej jest duże, w doświadczeniu Thomsona rejestruje się wiele cząstek, a tam, gdzie intensywność jest niska, prawie nie pojawiają się żadne cząsteczki.

Z falowego punktu widzenia obecność maksymalnej liczby elektronów w niektórych kierunkach oznacza, że ​​kierunki te odpowiadają największej intensywności fali de Broglie'a. Stanowiło to podstawę do statystycznej (probabilistycznej) interpretacji fali de Broglie’a. Funkcja falowa jest właśnie wyrażeniem matematycznym, które pozwala nam opisać rozchodzenie się fali w przestrzeni. W szczególności prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym obszarze przestrzeni jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali związanej z cząstką.

W przypadku ruchu jednowymiarowego (na przykład w kierunku osi Wół) prawdopodobieństwo dP wykrywanie cząstki w szczelinie między punktami X I x + dx w pewnym momencie T równy

dP = , (6.1)

gdzie | (x, t)| 2 = (x, t) *(x, t) jest kwadratem modułu funkcji falowej (symbol * oznacza sprzężenie zespolone).

Ogólnie rzecz biorąc, gdy cząstka porusza się w przestrzeni trójwymiarowej, prawdopodobieństwo dP wykrycie cząstki w punkcie o współrzędnych (x, y, z) w nieskończenie małej objętości dV jest dana przez podobne równanie : dP =|(x, y, z, t)|2 dV. Born jako pierwszy przedstawił probabilistyczną interpretację funkcji falowej w 1926 roku.

Prawdopodobieństwo wykrycia cząstki w całej nieskończonej przestrzeni jest równe jeden. Implikuje to warunek normalizacji funkcji falowej:

. (6.2)

Wartość jest gęstości prawdopodobieństwa lub, co jest tym samym, rozkładem gęstości współrzędnych cząstek. W najprostszym przypadku jednowymiarowy ruch cząstek wzdłuż osi WÓŁśrednią wartość jej współrzędnej oblicza się z zależności:

<x(t)>= . (6.3)

Aby funkcja falowa była obiektywną charakterystyką stanu mikrocząstki, musi spełniać szereg restrykcyjnych warunków. Funkcja Ψ, charakteryzująca prawdopodobieństwo wykrycia mikrocząstki w elemencie objętościowym, musi być skończona (prawdopodobieństwo nie może być większe od jedności), jednoznaczna (prawdopodobieństwo nie może być wartością niejednoznaczną), ciągła (prawdopodobieństwo nie może zmieniać się gwałtownie) oraz gładka (bez załamań) na całej przestrzeni.

Funkcja falowa spełnia zasadę superpozycji: jeżeli układ może znajdować się w różnych stanach opisanych funkcjami falowymi Ψ1, Ψ2, Ψ N, to może znajdować się w stanie opisanym liniową kombinacją tych funkcji:

, (6.4)

Gdzie Cn(N= 1, 2, 3) są dowolnymi, ogólnie rzecz biorąc, liczbami zespolonymi.

Dodanie funkcji falowych (amplitudy prawdopodobieństwa określone przez kwadraty modułów funkcji falowych) zasadniczo odróżnia teorię kwantową od klasycznej teorii statystycznej, w której dodanie twierdzenia o prawdopodobieństwie obowiązuje dla niezależnych zdarzeń.

Główną cechą stanu mikroobiektów jest funkcja falowa Ψ.

Na przykład średnia odległość<R> elektron jądra oblicza się ze wzoru:

,

gdzie obliczenia przeprowadza się jak w przypadku (6.3). Dlatego w eksperymentach dyfrakcyjnych nie da się dokładnie przewidzieć, gdzie dany elektron zostanie zarejestrowany na ekranie, nawet znając wcześniej jego funkcję falową. Można jedynie z pewnym prawdopodobieństwem założyć, że elektron zostanie unieruchomiony w określonym miejscu. Na tym polega różnica między zachowaniem obiektów kwantowych i klasycznych. W mechanice klasycznej opisując ruch makrociał, wiedzieliśmy z góry ze 100% prawdopodobieństwem, gdzie w przestrzeni w dowolnym momencie będzie się znajdował punkt materialny (np. stacja kosmiczna).

De Broglie wykorzystał koncepcję fal fazowych (fal materii lub fal de Broglie'a), aby wizualnie zinterpretować regułę Bohra dotyczącą kwantowania orbit elektronów w atomie w przypadku atomu jednoelektronowego. Zbadał falę fazową przemieszczającą się wokół jądra po kołowej orbicie elektronu. Jeżeli na długości orbity zmieści się całkowita liczba tych fal, wówczas fala, przechodząc wokół jądra, za każdym razem powróci do punktu początkowego z tą samą fazą i amplitudą. W tym przypadku orbita staje się nieruchoma i nie występuje żadne promieniowanie. De Broglie zapisał warunek orbity stacjonarnej lub regułę kwantyzacji w postaci:

Gdzie R- promień orbity kołowej, P- liczba całkowita (główna liczba kwantowa). Wierzę tutaj i biorąc to pod uwagę L=RP jest momentem pędu elektronu, otrzymujemy:

co pokrywa się z zasadą kwantyzacji orbit elektronów w atomie wodoru według Bohra.

Następnie warunek (6.5) uogólniono na przypadek orbit eliptycznych, gdy długość fali zmienia się wzdłuż trajektorii elektronu. Jednak w rozumowaniu de Broglie'a przyjęto, że fala nie rozchodzi się w przestrzeni, ale wzdłuż linii - wzdłuż stacjonarnej orbity elektronu. Przybliżenie to można zastosować w przypadku granicznym, gdy długość fali jest znikoma w porównaniu z promieniem orbity elektronu.

Funkcja falowa
Funkcja falowa

Funkcja falowa (lub wektor stanu) to złożona funkcja opisująca stan układu mechaniki kwantowej. Znajomość tego pozwala uzyskać najpełniejszą informację o systemie, co jest zasadniczo możliwe do osiągnięcia w mikrokosmosie. Za jego pomocą można więc obliczyć wszystkie mierzalne cechy fizyczne układu, prawdopodobieństwo jego znalezienia się w określonym miejscu w przestrzeni i jego ewolucję w czasie. Funkcję falową można znaleźć rozwiązując równanie falowe Schrödingera.
Funkcja falowa ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) punktowej cząstki bez struktury jest złożoną funkcją współrzędnych tej cząstki i czasu. Najprostszym przykładem takiej funkcji jest funkcja falowa cząstki swobodnej o pędzie i energii całkowitej E (fala płaska)

.

Funkcja falowa układu A cząstek zawiera współrzędne wszystkich cząstek: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Moduł kwadratowy funkcji falowej pojedynczej cząstki | ψ(,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) podaje prawdopodobieństwo wykrycia cząstki w chwili t w punkcie przestrzeni opisanym współrzędnymi, czyli | ψ(,t)| 2 dw ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze przestrzeni o objętości dv = dxdydz wokół punktu x, y, z. Podobnie prawdopodobieństwo znalezienia w chwili t układu A cząstek o współrzędnych 1, 2,..., A w elemencie objętościowym przestrzeni wielowymiarowej wyraża się wzorem | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Funkcja falowa całkowicie determinuje wszystkie cechy fizyczne układu kwantowego. Zatem średnią obserwowaną wartość wielkości fizycznej F układu podaje się za pomocą wyrażenia

,

gdzie jest operatorem tej wielkości, a całkowanie odbywa się po całym obszarze przestrzeni wielowymiarowej.
Zamiast współrzędnych cząstek x, y, z, jako zmienne niezależne funkcji falowej można wybrać ich pędy p x , p y , p z lub inne zbiory wielkości fizycznych. Wybór ten zależy od reprezentacji (współrzędna, impuls lub inna).
Funkcja falowa ψ(,t) cząstki nie uwzględnia jej cech wewnętrznych i stopni swobody, czyli opisuje jej ruch jako całości bezstrukturalnego (punktowego) obiektu po określonej trajektorii (orbicie) w przestrzeni. Tymi wewnętrznymi cechami cząstki mogą być jej spin, helikalność, izospin (w przypadku cząstek silnie oddziałujących), kolor (w przypadku kwarków i gluonów) i kilka innych. Wewnętrzne cechy cząstki są określone przez specjalną funkcję falową jej stanu wewnętrznego φ. W tym przypadku całkowitą funkcję falową cząstki Ψ można przedstawić jako iloczyn funkcji ruchu orbitalnego ψ i funkcji wewnętrznej φ:

ponieważ zwykle wewnętrzne cechy cząstki i jej stopnie swobody, które opisują ruch orbitalny, nie zależą od siebie.
Jako przykład ograniczymy się do przypadku, gdy jedyną cechą wewnętrzną uwzględnianą przez funkcję jest spin cząstki, a spin ten wynosi 1/2. Cząstka o takim spinie może znajdować się w jednym z dwóch stanów - z rzutem spinu na oś z równym +1/2 (spin do góry) i z rzutem spinu na oś z równym -1/2 (spin w dół). Dualizm ten opisuje funkcja spinowa w postaci dwuskładnikowego spinora:

Wówczas funkcja falowa Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ będzie opisywać ruch cząstki o spinie 1/2 skierowanym w górę po trajektorii określonej funkcją ψ, a funkcją falową Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ będzie opisywać ruch tej samej cząstki po tej samej trajektorii, ale ze spinem skierowanym w dół.
Podsumowując, zauważamy, że w mechanice kwantowej możliwe są stany, których nie można opisać za pomocą funkcji falowej. Stany takie nazywane są mieszanymi i opisywane są w ramach bardziej złożonego podejścia wykorzystującego koncepcję macierzy gęstości. Stany układu kwantowego opisane funkcją falową nazywane są czystymi.

Wyprowadzenie wzoru na jądro w przypadku cząstki swobodnej, podanego w Zadaniu 4.11, jest niezadowalające z dwóch powiązanych ze sobą powodów. Po pierwsze, koncepcja sumy po różnych stanach zastosowana w wyrażeniu (4.62) nie jest zadowalająca, jeżeli stany te należą do widma ciągłego, co ma miejsce w przypadku cząstki swobodnej. Po drugie, funkcji falowych dla cząstek swobodnych (fal płaskich), choć ortogonalnych, nie da się bowiem znormalizować

oraz warunek równości (4.47), który został użyty do wyprowadzenia wyrażenia (4.62), nie jest spełniony. Obydwa te punkty można jednocześnie skorygować czysto matematycznie. Wróćmy do rozwinięcia dowolnej funkcji w kategoriach funkcji własnych:

(4.65)

i wziąć pod uwagę, że wszystkie lub część stanów może należeć do widma ciągłego, więc część sumy należy zastąpić całką. Można matematycznie ściśle otrzymać poprawne wyrażenie dla jądra, podobne do wyrażenia (4.62), ale mające zastosowanie także w przypadku, gdy stany leżą w ciągłej części widma.

Normalizacja do końcowej objętości. Wielu fizyków preferuje inne, mniej rygorystyczne podejście. Dokonują oni pewnej modyfikacji pierwotnego problemu, a wyniki (w sensie fizycznym) zmieniają się nieznacznie, ale wszystkie stany okazują się dyskretne pod względem energii i dlatego wszystkie rozwinięcia przyjmują postać prostych sum. W naszym przykładzie można to osiągnąć w następujący sposób. Rozważamy amplitudę prawdopodobieństwa przejścia z punktu do punktu w skończonym czasie. Jeżeli te dwa punkty znajdują się w pewnej skończonej odległości od siebie i dzielący je odstęp czasu nie jest zbyt długi, to z pewnością nie będzie zauważalnych różnic w amplitudzie niezależnie od tego, czy elektron jest rzeczywiście swobodny, czy też ma być umieszczony w jakimś bardzo duża objętość skrzynki ze ścianami położonymi bardzo daleko od punktów i . Gdyby cząstka mogła dotrzeć do ścian i wrócić w czasie, mogłoby to wpłynąć na amplitudę; ale jeśli ściany są wystarczająco daleko, nie będą miały żadnego wpływu na amplitudę.

Oczywiście to założenie może okazać się błędne w przypadku specjalnego wyboru ścian; na przykład, jeśli punkt znajduje się w ognisku fal wychodzących z punktu i odbijanych od ścian. Czasem na skutek bezwładności popełniają błąd zastępując układ znajdujący się w wolnej przestrzeni układem znajdującym się w środku dużej kuli. Fakt, że układ pozostaje dokładnie w środku doskonałej kuli, może wywołać pewien efekt (podobny do pojawienia się plamki świetlnej w środku cienia idealnie okrągłego obiektu), który nie znika nawet wtedy, gdy promień kuli kula dąży do nieskończoności. Wpływ powierzchni byłby znikomy w przypadku ścian o innym kształcie lub w przypadku układu przesuniętego względem środka tej kuli.

Rozważmy najpierw przypadek jednowymiarowy. Funkcje falowe w zależności od współrzędnej mają postać , gdzie przyjmuje oba znaki. Jaką postać będą miały funkcje, jeśli zakres zmian zostanie ograniczony do dowolnego przedziału od do? Odpowiedź zależy od warunków brzegowych, które określają wartości w punktach i . Najprostsze z fizycznego punktu widzenia są warunki brzegowe w przypadku ścian, które tworzą dla cząstki silny potencjał odpychający, ograniczając tym samym obszar jej ruchu (czyli z idealnym odbiciem). W tym przypadku w punktach i . Rozwiązania równania falowego

, (4.66)

odpowiadające energii w obszarze będą wykładnicze i/lub dowolna ich kombinacja liniowa. Obydwa , i nie spełniają wybranych warunków brzegowych, jednak dla (gdzie jest liczbą całkowitą) wymagane właściwości posiadają w przypadku nieparzystych ich półsumy (tj.), a w przypadku parzystych - podzielone przez ich połowa różnicy (tj.), jak pokazano schematycznie na ryc. 4.1. Zatem funkcje falowe stanów mają postać sinusów i cosinusów, a odpowiadające im poziomy energii są dyskretne i nie tworzą kontinuum.

Figa. 4.1. Widok jednowymiarowych funkcji falowych znormalizowanych w pudełku.

Pokazano pierwsze cztery z nich. Energie odpowiednich poziomów są równe , , I . Wartość bezwzględna energii, która zależy od wielkości naszego fikcyjnego pudełka, jest nieistotna w przypadku większości problemów występujących w życiu codziennym. To, co naprawdę ma znaczenie, to związek pomiędzy energiami różnych stanów.

Jeśli rozwiązania są zapisane w postaci i , wówczas zostaną znormalizowane, ponieważ

. (4.67)

Suma po wszystkich stanach jest sumą po . Jeśli weźmiemy pod uwagę np. funkcje falowe sinusoidalne (czyli parzyste wartości), to dla małych wartości i bardzo dużej wartości (ściany są daleko od interesującego nas punktu) numery sąsiednich funkcji różnią się bardzo mało. Ich różnica

(4.68)

w przybliżeniu proporcjonalna do małej wartości. Dlatego sumę można zastąpić całką. Ponieważ prawidłowe wartości znajdują się sekwencyjnie z odstępem, stany znajdują się w przedziale. Wszystko to dotyczy również stanów z funkcją fali cosinus, dlatego we wszystkich naszych wzorach możemy zastąpić sumy całkami

, (4.69)

nie zapominając, że na koniec należy zsumować wyniki dla obu typów funkcji falowych, a mianowicie i .

Często jest to niewygodne w użyciu i jako funkcje falowe, a ich kombinacje liniowe są bardziej preferowane

I .

Jednak wprowadzając ograniczoną objętość, jesteśmy zmuszeni posługiwać się sinusami i cosinusami, a nie ich kombinacjami liniowymi, gdyż dla danej wartości rozwiązaniem będzie tylko jedna z tych funkcji, a nie obie na raz. Jeśli jednak pominiemy małe błędy wynikające z tak małych różnic w wartościach , wówczas możemy spodziewać się uzyskania poprawnych wyników dzięki nowym kombinacjom liniowym. Po normalizacji przyjmują one postać i . Ponieważ falę można postrzegać jako falę, ale z wartością ujemną, nasza nowa procedura, obejmująca połączenie dwóch typów funkcji falowych, sprowadza się do następującej praktycznej zasady: weź funkcje falowe cząstki swobodnej i znormalizuj je przedział długości zmiany zmiennej (tj. set ) i zamień sumy po stanach na całki po zmiennej tak, aby liczba stanów o wartościach zawartych w przedziale była równa , a sama zmieniała się z na .

Okresowe warunki brzegowe. Czasami taką wycieczkę do cosinusów i sinusów, a następnie z powrotem do wykładniczych można obejść, korzystając z następującego argumentu. Ponieważ wprowadzenie ściany jest techniką sztuczną, jej specyficzne położenie i odpowiadający mu warunek brzegowy nie powinny mieć żadnego znaczenia fizycznego, chyba że ściana zostanie dostatecznie usunięta. Dlatego zamiast warunków prostych fizycznie możemy zastosować inne, dla których rozwiązania od razu okażą się wykładnicze. Warunki te są

(4.70)

. (4.71)

Nazywa się je okresowymi warunkami brzegowymi, ponieważ wymaganie okresowości z okresem w całej przestrzeni prowadziłoby do tych samych warunków. Łatwo sprawdzić, że funkcje są rozwiązaniami znormalizowanymi na przedziale pod warunkiem, że , gdzie jest dowolna liczba całkowita (dodatnia lub ujemna) lub zero. Wynika to bezpośrednio z reguły sformułowanej powyżej.

Możemy zrozumieć, co dzieje się w przypadku trzech wymiarów, jeśli rozważymy prostokątne pudełko o bokach równych , , . Stosujemy okresowe warunki brzegowe, czyli wymagamy, aby wartości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej po jednej stronie pudełka były symetrycznie równe ich wartościom po przeciwnej stronie. Produktem będzie znormalizowana funkcja falowa swobodnej cząstki

, (4.72)

gdzie jest objętość pudełka, a prawidłowymi wartościami będą , i (, , są liczbami całkowitymi). Dodatkowo liczba rozwiązań o wartościach , , leżących odpowiednio w przedziałach , , , jest równa iloczynowi, należy wprowadzić dodatkowy współczynnik . [Wyrażenie (4.64) zawiera iloczyn dwóch funkcji falowych.] Po drugie, symbol sumy należy zastąpić całką . Wszystko to uzasadnia to, co uczyniono w § 2 rozdziału. 4, a także wyniki wyjściowe w Zadaniu 4.11.

Należy zauważyć, że mnożniki znoszą się tak, jak powinny, ponieważ jądro nie powinno zależeć od wielkości pudełka.

Kilka uwag o rygorze matematycznym. Czytelnik widząc, jak objętość zmniejsza się pod koniec obliczeń, może mieć jedną z dwóch reakcji: albo satysfakcję, że zmniejsza się tak, jak powinno, bo ściany na nic nie wpływają, albo zdziwienie, dlaczego to wszystko się dzieje zbyt luźne, „brudne” i zagmatwane, używając ścian, które nie mają prawdziwego znaczenia itp., podczas gdy wszystko to można zrobić znacznie bardziej elegancko i rygorystycznie matematycznie, bez żadnych ścian i tym podobnych. Rodzaj reakcji zależy od tego, czy myślisz fizycznie, czy matematycznie. Istnieje wiele nieporozumień między matematykami i fizykami na temat rygoru matematycznego w fizyce, dlatego właściwe może być dokonanie oceny każdej metody: rozumowania pudełkowego i rygoru matematycznego.

To oczywiście zawiera bardziej trywialne pytanie: która metoda jest nam bardziej znana, tj. Wymaga minimum nowej wiedzy? Przed policzeniem liczby różnych stanów w pudełku była to pierwsza rzecz, o której pomyślała większość fizyków.

Oprócz tego rozwiązanie rygorystyczne matematycznie może nie być rygorystyczne z fizycznego punktu widzenia; innymi słowy, możliwe jest, że pudełko faktycznie istnieje. Niekoniecznie musi to być prostokątne pudełko, bo nie często okazuje się, że eksperymenty przeprowadza się pod gwiazdami; częściej spędza się je w pokoju. Chociaż fizycznie wydaje się całkiem rozsądne, że ściany nie powinny mieć wpływu na eksperyment, niemniej jednak takie sformułowanie problemu należy uznać za idealizację. Usuwanie ścian w nieskończoność nie jest lepsze niż zastąpienie ich wystarczająco odległymi idealnymi lustrami. W pierwszym przypadku naruszony zostaje również rygor matematyczny, ponieważ rzeczywiste ściany nie są w nieskończoności.

Podejście oparte na odległej ścianie jest równie sprawiedliwe i rygorystyczne, jak jest uzasadnione. Ma kilka zalet. Na przykład, gdy zmniejszamy objętość w końcowych wzorach, widzimy, że przynajmniej jeden aspekt idealizacji jest nieistotny – jak daleko odsunięto ściany. Wynik ten intuicyjnie dodatkowo przekonuje nas, że prawdziwa lokalizacja rzeczywistego środowiska może nie być znacząca. Wreszcie otrzymany wzór jest bardzo przydatny, gdy faktycznie mamy przypadek o skończonych wymiarach. Na przykład w rozdz. 8 użyjemy go do obliczenia liczby różnych fal dźwiękowych w dużym prostokątnym bloku materii.

Z drugiej strony zaletą rygorystycznego matematycznego podejścia jest wyeliminowanie zasadniczo niepotrzebnych szczegółów, które nie są uwzględnione w wyniku. Choć wprowadzenie ścian pozwala nam dowiedzieć się czegoś o tym, dlaczego nadal na nic nie wpływają, to jednak o słuszności tego można się przekonać bez zagłębiania się w szczegóły.

Problem normalizacji funkcji falowych jest raczej szczególnym przykładem, ale ilustruje główny punkt. Fizyk nie może zrozumieć ostrożności, jaką wykazuje matematyk przy rozwiązywaniu wyidealizowanego problemu fizycznego. Wie, że prawdziwy problem jest znacznie trudniejszy. Zostało to już uproszczone przez intuicję, która odrzuca to, co nieistotne i przybliża to, co pozostaje.

· Obserwowalny kwantowo · Funkcja falowa· Superpozycja kwantowa · Splątanie kwantowe · Stan mieszany · Pomiar · Niepewność · Zasada Pauliego · Dualizm · Dekoherencja · Twierdzenie Ehrenfesta · Efekt tunelowy

Eksperymenty
Eksperyment Davissona-Germera · Eksperyment Poppera · Eksperyment Sterna-Gerlacha · Eksperyment Younga · Test nierówności Bella · Efekt fotoelektryczny · Efekt Comptona

Formuły
Reprezentacja Schrödingera · Reprezentacja Heisenberga · Reprezentacja interakcji · Macierzowa mechanika kwantowa · Całki po drodze · Diagramy Feynmana

Równania
Równanie Schrödingera · Równanie Pauliego · Równanie Kleina-Gordona · Równanie Diraca · Równanie Schwingera-Tomonagi · Równanie von Neumanna · Równanie Blocha · Równanie Lindblada · Równanie Heisenberga

Interpretacje
Kopenhaga · Teoria ukrytych parametrów · Wiele światów · Teoria De Broglie-Bohma

Rozwój teorii
Kwantowa teoria pola · Elektrodynamika kwantowa · Teoria Glashowa-Weinberga-Salama · Chromodynamika kwantowa · Model standardowy · Grawitacja kwantowa

Znani naukowcy
Planck · Einstein · Schrödinger · Heisenberg · Jordania · Bohr · Pauli · Dirac · Fock · Urodzony · de Broglie · Landau · Feynman · Bohm · Everett

Zobacz też: Portal:Fizyka

Funkcja falowa, Lub funkcja psi $\backslash psi$ jest funkcją o wartościach zespolonych stosowaną w mechanice kwantowej do opisu czystego stanu układu. Czy współczynnik rozwinięcia wektora stanu po bazie (zwykle współrzędnej):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

Gdzie $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$ jest wektorem bazowym współrzędnych, oraz $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash lange\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$- funkcja falowa w reprezentacji współrzędnych.

Normalizacja funkcji falowej

Funkcja falowa $\backslash Psi$ w swoim rozumieniu musi spełniać tzw. warunek normalizacji, np. w reprezentacji współrzędnych mającej postać:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Warunek ten wyraża fakt, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki o danej funkcji falowej w dowolnym miejscu przestrzeni jest równe jeden. W ogólnym przypadku całkowanie należy przeprowadzić po wszystkich zmiennych, od których zależy funkcja falowa w danej reprezentacji.

Zasada superpozycji stanów kwantowych

W przypadku funkcji falowych obowiązuje zasada superpozycji, czyli jeśli układ może znajdować się w stanach opisanych funkcjami falowymi $\backslash Psi\_1$ I $\backslash Psi\_2$, to może też znajdować się w stanie opisanym funkcją falową

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ dla każdego kompleksu $c\_1$ I $c\_2$.

Oczywiście można mówić o superpozycji (narzuceniu) dowolnej liczby stanów kwantowych, czyli o istnieniu stanu kwantowego układu, który opisuje funkcja falowa $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

W tym stanie kwadrat modułu współczynnika $(c)\_n$ określa prawdopodobieństwo, że po zmierzeniu układ zostanie wykryty w stanie opisanym funkcją falową $(\backslash Psi)\_n$.

Dlatego dla znormalizowanych funkcji falowych $\backslash suma\_(n=1)^(N)\backslash lewo|c\_(n)\backslash prawo|^2=1$.

Warunki regularności funkcji falowej

Probabilistyczne znaczenie funkcji falowej nakłada pewne ograniczenia lub warunki na funkcje falowe w zagadnieniach mechaniki kwantowej. Te standardowe warunki są często nazywane warunki regularności funkcji falowej.

1. Warunek na skończoność funkcji falowej. Funkcja falowa nie może przyjmować nieskończonych wartości, takich jak całka $(1)$ staną się rozbieżne. W konsekwencji warunek ten wymaga, aby funkcja falowa była funkcją całkowalną kwadratowo, czyli należała do przestrzeni Hilberta $L^2$. W szczególności w przypadku problemów ze znormalizowaną funkcją falową moduł kwadratowy funkcji falowej musi dążyć do zera w nieskończoności.
2. Warunek jednoznaczności funkcji falowej. Funkcja falowa musi być jednoznaczną funkcją współrzędnych i czasu, ponieważ gęstość prawdopodobieństwa wykrycia cząstki musi być określona jednoznacznie w każdym zadaniu. W problemach z wykorzystaniem cylindrycznego lub sferycznego układu współrzędnych warunek jednoznaczności prowadzi do okresowości funkcji falowych w zmiennych kątowych.
3. Warunek ciągłości funkcji falowej. W dowolnym momencie funkcja falowa musi być ciągłą funkcją współrzędnych przestrzennych. Ponadto pochodne cząstkowe funkcji falowej również muszą być ciągłe $\backslash frac(\backslash częściowe\; \backslash Psi)(\backslash częściowe\; x)$, $\backslash frac(\backslash częściowe\; \backslash Psi)(\backslash częściowe\; y)$, $\backslash frac(\backslash częściowe\; \backslash Psi)(\backslash częściowe\; z)$. Te częściowe pochodne funkcji tylko w rzadkich przypadkach problemów z wyidealizowanymi polami siłowymi mogą wykazywać nieciągłość w tych punktach przestrzeni, w których energia potencjalna opisująca pole siłowe, w którym porusza się cząstka, doświadcza nieciągłości drugiego rodzaju.

Funkcja falowa w różnych przedstawieniach

Zbiór współrzędnych pełniących funkcję argumentów funkcji reprezentuje kompletny system dojeżdżających obserwabli. W mechanice kwantowej można wybrać kilka pełnych zbiorów obserwacji, dzięki czemu funkcję falową tego samego stanu można zapisać w postaci różnych argumentów. Określa się pełny zbiór wielkości wybranych do rejestracji funkcji falowej reprezentacja funkcji falowej. Zatem możliwa jest reprezentacja współrzędnych, reprezentacja pędu, w kwantowej teorii pola stosowana jest kwantyzacja wtórna i reprezentacja liczb zajętości lub reprezentacja Focka itp.

Jeśli funkcja falowa, na przykład elektronu w atomie, jest podana w reprezentacji współrzędnych, wówczas kwadratowy moduł funkcji falowej reprezentuje gęstość prawdopodobieństwa wykrycia elektronu w określonym punkcie przestrzeni. Jeżeli w reprezentacji impulsu podana jest ta sama funkcja falowa, to kwadrat jej modułu reprezentuje gęstość prawdopodobieństwa wykrycia konkretnego impulsu.

Preparaty macierzowe i wektorowe

Funkcja falowa tego samego stanu w różnych reprezentacjach będzie odpowiadać wyrażeniu tego samego wektora w różnych układach współrzędnych. Inne operacje na funkcjach falowych również będą miały swoje odpowiedniki w języku wektorów. W mechanice falowej stosuje się reprezentację, w której argumenty funkcji psi stanowią kompletny system ciągły dojeżdżające obserwable, a reprezentacja macierzowa wykorzystuje reprezentację, w której argumenty funkcji psi stanowią pełny system oddzielny obserwacje dojeżdżające do pracy. Zatem sformułowania funkcyjne (falowe) i macierzowe są oczywiście matematycznie równoważne.

Filozoficzne znaczenie funkcji falowej

Funkcja falowa to metoda opisu stanu czystego układu mechaniki kwantowej. Mieszane stany kwantowe (w statystyce kwantowej) powinny być opisywane operatorem niczym macierz gęstości. Oznacza to, że pewna uogólniona funkcja dwóch argumentów musi opisywać korelację między położeniem cząstki w dwóch punktach.

Należy rozumieć, że problem, który rozwiązuje mechanika kwantowa, jest problemem samej istoty naukowej metody poznania świata.

Zobacz też

Napisz recenzję o artykule „Funkcja falowa”

Literatura

• Fizyczny słownik encyklopedyczny / rozdz. wyd. A. M. Prochorow. wyd. liczyć D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov i inni - M .: Sov. Encyklopedia, 1984. - 944 s.

Spinki do mankietów

• Mechanika kwantowa- artykuł z Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej.

List ten nie został jeszcze przekazany władcy, kiedy Barclay powiedział Bolkońskiemu podczas kolacji, że władca chciałby osobiście spotkać się z księciem Andriejem, aby zapytać go o Turcję, oraz że książę Andriej pojawi się w mieszkaniu Bennigsena o szóstej rano w wieczór. Tego samego dnia w mieszkaniu władcy nadeszły wieści o nowym ruchu Napoleona, który mógł być niebezpieczny dla armii – wiadomość, która później okazała się niesprawiedliwa. I tego samego ranka pułkownik Michaud, zwiedzając z władcą fortyfikacje Dries, udowodnił władcy, że ten ufortyfikowany obóz, zbudowany przez Pfuela i dotychczas uważany za mistrza taktyki, mający na celu zniszczenie Napoleona, - że ten obóz to bzdura i zniszczenie rosyjskie armia. Książę Andriej przybył do mieszkania generała Bennigsena, który zajmował mały dom ziemiański na samym brzegu rzeki. Ani Bennigsena, ani władcy tam nie było, lecz Czernyszew, adiutant władcy, przyjął Bolkońskiego i oznajmił mu, że władca udał się tego samego dnia jeszcze raz z generałem Bennigsenem i markizem Pauluccim, aby zwiedzić fortyfikacje obozu Drissy, którego wygodę zaczęto poważnie wątpić. Czernyszew siedział z książką francuskiej powieści przy oknie pierwszego pokoju. Pokój ten prawdopodobnie był dawniej holem; znajdowały się w nim jeszcze organy, na których ułożono stosy dywanów, a w jednym rogu stało składane łóżko adiutanta Bennigsena. Ten adiutant tu był. On, najwyraźniej wyczerpany ucztą lub sprawami służbowymi, usiadł na zwiniętym łóżku i drzemał. Z sieni prowadziło dwoje drzwi: jedne prosto do dawnego salonu, drugie na prawo do gabinetu. Już od pierwszych drzwi słychać było głosy mówiące po niemiecku i czasami po francusku. Tam, w dawnym salonie, na prośbę władcy, nie zebrała się rada wojskowa (władca uwielbiał niepewność), ale osoby, których zdanie na temat nadchodzących trudności chciał poznać. Nie była to rada wojskowa, ale niejako rada wybranych w celu osobistego wyjaśnienia suwerenowi pewnych kwestii. Do tej półrady zostali zaproszeni: szwedzki generał Armfeld, adiutant generalny Wolzogen, Wintzingerode, którego Napoleon nazwał zbiegłym poddanym francuskim, Michaud, Tol, wcale nie wojskowy - hrabia Stein i wreszcie sam Pfuel, który jako Książę Andriej usłyszał, że była la cheville ouvriere [podstawa] całej sprawy. Książę Andriej miał okazję dobrze mu się przyjrzeć, gdyż wkrótce po nim przybył Pfuhl i wszedł do salonu, zatrzymując się na chwilę, aby porozmawiać z Czernyszewem. Na pierwszy rzut oka Pfuel w źle skrojonym mundurze rosyjskiego generała, który siedział na nim niezgrabnie, jakby ubrany, wydawał się księciu Andriejowi znajomy, choć nigdy go nie widział. Byli wśród nich Weyrother, Mack, Schmidt i wielu innych niemieckich generałów teoretyków, z którymi książę Andriej zdążył się spotkać w 1805 roku; ale był bardziej typowy niż oni wszyscy. Książę Andriej nigdy nie widział takiego niemieckiego teoretyka, który łączył w sobie wszystko, co było w tych Niemcach. Pfuel był niski, bardzo szczupły, ale o szerokich kościach, szorstkiej, zdrowej budowie, z szeroką miednicą i kościstymi łopatkami. Jego twarz była bardzo pomarszczona i głęboko osadzone oczy. Włosy z przodu, przy skroniach, najwyraźniej były pospiesznie przygładzone szczotką, a z tyłu naiwnie sterczały frędzlami. Rozglądając się niespokojnie i ze złością, wszedł do pokoju, jakby bał się wszystkiego w dużym pokoju, do którego wszedł. Trzymając miecz niezdarnym ruchem, zwrócił się do Czernyszewa, pytając po niemiecku, gdzie jest władca. Najwyraźniej chciał jak najszybciej przejść się po pokojach, dokończyć ukłony i pozdrowienia oraz zasiąść do pracy przed mapą, gdzie czuł się jak w domu. Pospiesznie kiwnął głową na słowa Czernyszewa i uśmiechnął się ironicznie, słuchając jego słów, że władca dokonuje przeglądu fortyfikacji, które on, sam Pfuel, zbudował według swojej teorii. Mruknął coś basowo i chłodno, jak mówią do siebie pewni siebie Niemcy: Dummkopf... albo: zu Grunde die ganze Geschichte... albo: s"wird was gescheites d"raus werden... [nonsens... do cholery z tym wszystkim... (niemiecki) ] Książę Andriej nie słyszał i nie chciał przejść, ale Czernyszew przedstawił księcia Andrieja Pfulowi, zauważając, że książę Andriej pochodził z Turcji, gdzie wojna tak szczęśliwie się zakończyła. Pful niemal spojrzał nie tyle na księcia Andrieja, ile przez niego i powiedział ze śmiechem: „Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein”. [„To musiała być wojna właściwie taktyczna.” (Niemiecki)] - I śmiejąc się pogardliwie, wszedł do pokoju, z którego słychać było głosy. Najwyraźniej Pfuel, zawsze gotowy na ironiczną irytację, był teraz szczególnie podekscytowany faktem, że odważyli się bez niego sprawdzić jego obóz i osądzić go. Książę Andriej na podstawie tego jednego krótkiego spotkania z Pfuelem, dzięki wspomnieniom z Austerlitz, sporządził jasny opis tego człowieka. Pfuel należał do tych beznadziejnie, niezmiennie pewnych siebie aż do męczeństwa osób, którymi mogą być tylko Niemcy, i właśnie dlatego, że tylko Niemcy są pewni siebie w oparciu o abstrakcyjną ideę – naukę, czyli wiedzę wyimaginowaną doskonałej prawdy. Francuz jest pewny siebie, ponieważ uważa się, zarówno na umyśle, jak i na ciele, za osobę nieodparcie czarującą zarówno dla mężczyzn, jak i kobiet. Anglik jest pewny siebie na tej podstawie, że jest obywatelem najwygodniejszego państwa na świecie, dlatego też jako Anglik zawsze wie, co ma robić i wie, że wszystko, co robi jako Anglik, jest niewątpliwie Dobry. Włoch jest pewny siebie, ponieważ jest podekscytowany i łatwo zapomina o sobie i innych. Rosjanin jest pewny siebie właśnie dlatego, że nic nie wie i nie chce wiedzieć, ponieważ nie wierzy, że można poznać wszystko całkowicie. Niemiec jest ze wszystkich najbardziej pewny siebie, najbardziej stanowczy i najbardziej obrzydliwy ze wszystkich, ponieważ wyobraża sobie, że zna prawdę, naukę, którą sam wymyślił, ale która dla niego jest prawdą absolutną. To oczywiście był Pfuhl. Miał naukę – teorię ruchu fizycznego, którą wyprowadził z historii wojen Fryderyka Wielkiego i wszystkiego, co zetknął się we współczesnej historii wojen Fryderyka Wielkiego, i wszystkiego, co zetknął się w najnowszej historia wojskowości wydawała mu się bzdurą, barbarzyństwem, brzydkim starciem, w którym obie strony popełniły tyle błędów, że tych wojen nie można nazwać wojnami: nie pasowały do ​​​​teorii i nie mogły służyć jako przedmiot nauki. W 1806 roku Pfuel był jednym z autorów planu wojny, która zakończyła się Jeną i Auerstätt; ale w wyniku tej wojny nie widział najmniejszego dowodu na błędność swojej teorii. Wręcz przeciwnie, odstępstwa od jego teorii, wedle jego koncepcji, były jedyną przyczyną całej porażki, a on z charakterystyczną dla siebie radosną ironią powiedział: „Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird. ” [Przecież powiedziałem, że to wszystko pójdzie do piekła (niemiecki)] Pfuel był jednym z tych teoretyków, którzy tak kochają swoją teorię, że zapominają o celu teorii - jej zastosowaniu w praktyce; W swoim zamiłowaniu do teorii nienawidził wszelkiej praktyki i nie chciał jej znać. Nawet cieszył się z porażki, bo porażka, która wynikała z odchylenia praktyki od teorii, tylko udowodniła mu słuszność jego teorii. O prawdziwej wojnie powiedział kilka słów z księciem Andriejem i Czernyszewem z wyrazem twarzy człowieka, który wie z góry, że wszystko będzie źle i że nawet nie jest z tego niezadowolony. Szczególnie wymownie potwierdzały to niechlujne kępki włosów sterczące z tyłu głowy i pospiesznie przylizane skronie. Przeszedł do innego pokoju i stamtąd natychmiast usłyszano basowe i narzekające dźwięki jego głosu. Zanim książę Andriej zdążył śledzić wzrokiem Pfuela, hrabia Bennigsen pospiesznie wszedł do pokoju i kiwając głową Bolkońskiemu, nie zatrzymując się, wszedł do biura, wydając rozkazy swojemu adiutantowi. Cesarz szedł za nim, a Bennigsen pospieszył do przodu, aby coś przygotować i mieć czas na spotkanie z cesarzem. Czernyszew i książę Andriej wyszli na ganek. Cesarz zsiadł z konia ze zmęczonym wyrazem twarzy. Markiz Paulucci powiedział coś do władcy. Cesarz, pochylając głowę w lewo, z wyrazem niezadowolenia słuchał Paulucciego, który mówił ze szczególnym zapałem. Cesarz ruszył naprzód, najwyraźniej chcąc zakończyć rozmowę, lecz zarumieniony, podekscytowany Włoch, zapominając o przyzwoitości, poszedł za nim, mówiąc dalej: „Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Jeśli chodzi o tego, który doradzał obozowi Drissa” – powiedział Paulucci, podczas gdy władca wchodząc po schodach i zauważając księcia Andrieja, zajrzał w nieznaną twarz.