Co to jest oś symetrii? Jest to zbiór punktów tworzących linię prostą, która jest podstawą symetrii, to znaczy, jeśli odsuniemy pewną odległość od linii prostej z jednej strony, wówczas zostanie ona odbita w drugim kierunku w tym samym rozmiarze . Oś może być czymkolwiek – punktem, linią prostą, płaszczyzną i tak dalej. Ale lepiej porozmawiać o tym z jasnymi przykładami.

Symetria

Aby zrozumieć, czym jest oś symetrii, należy zagłębić się w samą definicję symetrii. Jest to zgodność określonego fragmentu ciała względem dowolnej osi, gdy jego struktura pozostaje niezmieniona, a właściwości i kształt takiego obiektu pozostają takie same w zależności od jego przekształceń. Można powiedzieć, że symetria jest właściwością ciał do pokazania. Kiedy fragment nie może mieć takiej zgodności, nazywa się to asymetrią lub arytmią.

Niektóre figury nie mają symetrii, dlatego nazywane są nieregularnymi lub asymetrycznymi. Należą do nich różne trapezy (z wyjątkiem równoramiennych), trójkąty (z wyjątkiem równoramiennych i równobocznych) i inne.

Rodzaje symetrii

Omówimy także niektóre rodzaje symetrii, aby w pełni poznać tę koncepcję. Są one podzielone w następujący sposób:

Osiowy. Oś symetrii to linia prosta przechodząca przez środek ciała. Lubię to? Jeśli nałożysz części wokół osi symetrii, będą one równe. Można to zobaczyć na przykładzie kuli.

Lustro. Oś symetrii jest tutaj linią prostą, względem której można odbić ciało i uzyskać odwrotny obraz. Na przykład skrzydła motyla są lustrzanie symetryczne.

Centralny. Oś symetrii to punkt w środku ciała, względem którego przy wszystkich przekształceniach części ciała po nałożeniu są równe.

Historia symetrii

Samo pojęcie symetrii jest często punktem wyjścia w teoriach i hipotezach naukowców starożytności, którzy byli pewni matematycznej harmonii wszechświata, a także przejawu boskiej zasady. Starożytni Grecy mocno wierzyli, że Wszechświat jest symetryczny, ponieważ symetria jest wspaniała. Człowiek od dawna wykorzystuje ideę symetrii w swojej wiedzy o obrazie wszechświata.

W V wieku p.n.e. Pitagoras uważał kulę za najdoskonalszą formę i uważał, że Ziemia ma kształt kuli i porusza się w ten sam sposób. Wierzył także, że Ziemia porusza się w formie swego rodzaju „centralnego ognia”, wokół którego powinno krążyć 6 znanych wówczas planet, Księżyc, Słońce i wszystkie inne gwiazdy.

A filozof Platon uważał wielościany za uosobienie czterech naturalnych żywiołów:

• czworościan jest ogniem, ponieważ jego wierzchołek jest skierowany w górę;
• sześcian - ziemia, ponieważ jest to najbardziej stabilne ciało;
• ośmiościan - powietrze, bez wyjaśnienia;
• dwudziestościan - woda, ponieważ ciało nie ma szorstkich geometrycznych kształtów, kątów i tak dalej;
• Obrazem całego Wszechświata był dwunastościan.

Ze względu na te wszystkie teorie wielościany foremne nazywane są bryłami platońskimi.

Architekci starożytnej Grecji stosowali symetrię. Wszystkie ich budynki były symetryczne, o czym świadczą obrazy starożytnej świątyni Zeusa w Olimpii.

Holenderski artysta M.C. Escher również stosował symetrię w swoich obrazach. W szczególności mozaika dwóch lecących w ich kierunku ptaków stała się podstawą obrazu „Dzień i noc”.

Również nasi krytycy sztuki nie zaniedbali zasad symetrii, co widać na przykładzie obrazu Wasnetsowa „Bogatyrs”.

Cóż można powiedzieć, symetria była przez wiele stuleci kluczową koncepcją dla wszystkich artystów, ale w XX wieku jej znaczenie docenili także wszyscy pracownicy nauk ścisłych. Dokładnych dowodów dostarczają teorie fizyczne i kosmologiczne, na przykład teoria względności, teoria strun i absolutnie cała mechanika kwantowa. Od czasów starożytnego Babilonu, a skończywszy na zaawansowanych odkryciach współczesnej nauki, śledzone są sposoby badania symetrii i odkrywania jej podstawowych praw.

Symetria geometrycznych kształtów i ciał

Przyjrzyjmy się bliżej ciałom geometrycznym. Przykładowo osią symetrii paraboli jest linia prosta przechodząca przez jej wierzchołek i przecinająca daną bryłę na pół. Ta figura ma jedną oś.

Ale w przypadku figur geometrycznych sytuacja jest inna. Oś symetrii prostokąta również jest prosta, ale jest ich kilka. Można narysować oś równolegle do segmentów szerokości lub równolegle do segmentów długości. Ale to nie jest takie proste. Tutaj prosta nie ma osi symetrii, ponieważ jej koniec nie jest określony. Mogłaby istnieć tylko centralna symetria, ale w związku z tym takiej nie będzie.

Powinieneś także wiedzieć, że niektóre ciała mają wiele osi symetrii. Nie jest to trudne do odgadnięcia. O tym, ile osi symetrii ma okrąg, nie trzeba nawet mówić. Taka jest każda linia prosta przechodząca przez środek koła, a takich linii prostych jest nieskończenie wiele.

Niektóre czworokąty mogą mieć dwie osie symetrii. Ale te drugie muszą być prostopadłe. Dzieje się tak w przypadku rombu i prostokąta. W pierwszym osie symetrii to przekątne, w drugim linie środkowe. Tylko kwadrat ma wiele takich osi.

Symetria w przyrodzie

Natura zadziwia wieloma przykładami symetrii. Nawet nasze ludzkie ciało jest symetryczne. Dwoje oczu, dwoje uszu, nos i usta są umiejscowione symetrycznie względem środkowej osi twarzy. Ramiona, nogi i ogólnie całe ciało są ułożone symetrycznie do osi przechodzącej przez środek naszego ciała.

A ile przykładów otacza nas cały czas! Są to kwiaty, liście, płatki, warzywa i owoce, zwierzęta, a nawet plastry miodu pszczół, które mają wyraźny geometryczny kształt i symetrię. Cała przyroda jest uporządkowana, wszystko ma swoje miejsce, co po raz kolejny potwierdza doskonałość praw natury, w której głównym warunkiem jest symetria.

Wniosek

Jesteśmy stale otoczeni pewnymi zjawiskami i przedmiotami, na przykład tęczą, kroplą, kwiatami, płatkami i tak dalej. Ich symetria jest oczywista, w pewnym stopniu wynika to z grawitacji. Często w naturze pojęcie „symetrii” rozumie się jako regularną zmianę dnia i nocy, pór roku i tak dalej.

Podobne właściwości obserwuje się wszędzie tam, gdzie panuje porządek i równość. Również same prawa natury - astronomiczne, chemiczne, biologiczne, a nawet genetyczne - podlegają pewnym zasadom symetrii, ponieważ są doskonale systematyczne, co oznacza, że ​​równowaga ma wszechogarniającą skalę. W związku z tym symetria osiowa jest jednym z podstawowych praw wszechświata jako całości.

Zwrotnica M I M 1 nazywane są symetrycznymi względem danej prostej L, jeśli ta linia jest dwusieczną prostopadłą do odcinka MM 1 (rysunek 1). Każdy punkt jest prosty L symetryczny względem siebie. Transformacja płaszczyzny, w której każdy punkt jest odwzorowywany na punkt symetryczny względem danej prostej L, zwany symetria osiowa z osią L i jest wyznaczony S L :S L (M) = M 1 .

Zwrotnica M I M 1 są wzajemnie symetryczne względem L, Dlatego S L (M 1 )=M. W konsekwencji transformacja odwrotna do symetrii osiowej jest tą samą symetrią osiową: S L -1= S L ,S L° S L = E. Innymi słowy, osiowa symetria płaszczyzny wynosi inwolucyjne transformacja.

Obraz danego punktu o symetrii osiowej można w prosty sposób skonstruować za pomocą tylko jednego kompasu. Pozwalać L- oś symetrii, A I B- dowolne punkty tej osi (rysunek 2). Jeśli S L (M) = M 1, to z własności punktów dwusiecznej prostopadłej do odcinka mamy: AM = AM 1 I BM = BM 1. Więc kropka M 1 należy do dwóch okręgów: okręgu ze środkiem A promień JESTEM. i okręgi ze środkiem B promień B.M. (M- dany punkt). Postać F i jej wizerunek F 1 z symetrią osiową nazywane są figurami symetrycznymi względem linii prostej L(Rysunek 3).

Twierdzenie. Symetria osiowa płaszczyzny to ruch.

Jeśli A I W- dowolne punkty płaszczyzny i S L (A) = A 1 , S L (B) = B 1, to musimy to udowodnić A 1 B 1 = AB. Aby to zrobić, wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych OXY tak, aby oś WÓŁ pokrywa się z osią symetrii. Zwrotnica A I W mają współrzędne Topór 1 ,-y 1 ) I B(x 1 ,-y 2 ) .Zwrotnica A 1 i W 1 ma współrzędne A 1 (X 1 , j 1 ) I B 1 (X 1 , j 2 ) (Rysunek 4 - 8). Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami znajdujemy:

Z tych relacji wynika, że AB=A 1 W 1, co należało wykazać.

Z porównania orientacji trójkąta i jego obrazu otrzymujemy, że osiowa symetria płaszczyzny wynosi ruch drugiego rodzaju.

Symetria osiowa odwzorowuje każdą linię na linię prostą. W szczególności każda z linii prostopadłych do osi symetrii jest odwzorowywana na siebie przez tę symetrię.

Twierdzenie. Linia prosta inna niż prostopadła do osi symetrii i jej obraz na tej symetrii przecinają się na osi symetrii lub są do niej równoległe.

Dowód. Niech zostanie podana linia prosta, a nie prostopadła do osi L symetria. Jeśli M? L=P I S L (m)=m 1, zatem M 1 ?M I S L (P)=P, Dlatego Pm1(Rysunek 9). Jeśli m || L, To M 1 || L, ponieważ w przeciwnym razie proste M I M 1 przecinałby się w punkcie na linii prostej L, co jest sprzeczne z warunkiem m ||L(Rysunek 10).

Z definicji figur równych, linie proste są symetryczne względem linii prostej L, tworzą linię prostą L równe kąty (rysunek 9).

Prosty L zwany oś symetrii figury F, jeśli z symetrią do osi L postać F mapuje do siebie: S L (F) = F. Mówią, że postać F symetrycznie względem linii prostej L.

Na przykład dowolna linia prosta zawierająca środek okręgu jest osią symetrii tego okręgu. Rzeczywiście, niech M- dowolny punkt na okręgu sch z centrum O, OL, S L (M)=M 1. Następnie S L (O) = O I OM 1 =OM, tj. M 1 є ь. Zatem obraz dowolnego punktu na okręgu należy do tego okręgu. Stąd, S L (u)=ty.

Osie symetrii pary nierównoległych linii to dwie prostopadłe linie zawierające dwusieczne kątów między tymi liniami. Osią symetrii odcinka jest prosta zawierająca ten odcinek oraz dwusieczna prostopadła do tego odcinka.

Własności symetrii osiowej

• 1. Przy symetrii osiowej obraz linii prostej jest linią prostą, obraz linii równoległych to linie równoległe
• 3. Symetria osiowa zachowuje prostą zależność trzech punktów.
• 3. Przy symetrii osiowej segment przechodzi w segment, promień w promień, półpłaszczyzna w półpłaszczyznę.
• 4. Przy symetrii osiowej kąt przekształca się w kąt mu równy.
• 5. Przy symetrii osiowej z osią d, każda prosta prostopadła do osi d pozostaje na swoim miejscu.
• 6. Przy symetrii osiowej układ ortonormalny przekształca się w układ ortonormalny. W tym przypadku punkt M o współrzędnych x i y względem punktu odniesienia R przechodzi do punktu M` o tych samych współrzędnych x i y, ale względem punktu odniesienia R`.
• 7. Osiowa symetria płaszczyzny przekształca prawy układ ortonormalny w lewy i odwrotnie lewy układ ortonormalny w prawy.
• 8. Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach równoległych jest równoległym przesunięciem na wektor prostopadły do ​​danych linii, którego długość jest dwukrotnością odległości między danymi liniami

Dziś porozmawiamy o zjawisku, z którym każdy z nas nieustannie spotyka się w życiu: symetrii. Co to jest symetria?

Wszyscy z grubsza rozumiemy znaczenie tego terminu. Słownik mówi: symetria to proporcjonalność i pełna zgodność układu części czegoś względem linii prostej lub punktu. Istnieją dwa rodzaje symetrii: osiowa i promieniowa. Przyjrzyjmy się najpierw osiowemu. Jest to, powiedzmy, symetria „lustrzana”, gdy połowa obiektu jest całkowicie identyczna z drugą, ale powtarza się jako odbicie. Spójrz na połówki arkusza. Są lustrzanie symetryczne. Połówki ludzkiego ciała są również symetryczne (widok z przodu) - identyczne ręce i nogi, identyczne oczy. Ale nie dajmy się zwieść, tak naprawdę w organicznym (żywym) świecie nie można znaleźć absolutnej symetrii! Połówki arkusza kopiują się daleko od siebie, to samo dotyczy ludzkiego ciała (przyjrzyj się sobie); To samo dotyczy innych organizmów! Przy okazji warto dodać, że każde symetryczne ciało jest symetryczne względem widza tylko w jednym położeniu. Warto, powiedzmy, odwrócić kartkę papieru, podnieść jedną rękę i co się stanie? – sam widzisz.

Ludzie osiągają prawdziwą symetrię w dziełach swojej pracy (rzeczach) - ubraniach, samochodach... W naturze jest to charakterystyczne dla formacji nieorganicznych, na przykład kryształów.

Ale przejdźmy do praktyki. Nie należy zaczynać od skomplikowanych obiektów, takich jak ludzie i zwierzęta, spróbujmy dokończyć rysowanie lustrzanej połowy arkusza jako pierwsze ćwiczenie w nowym polu.

Rysowanie obiektu symetrycznego - lekcja 1

Dbamy o to, aby wyszło jak najbardziej podobnie. Aby to zrobić, dosłownie zbudujemy naszą bratnią duszę. Nie myśl, że narysowanie linii lustrzanej jednym pociągnięciem, zwłaszcza za pierwszym razem, jest takie proste!

Zaznaczmy kilka punktów odniesienia dla przyszłej linii symetrycznej. Postępujemy w ten sposób: ołówkiem, bez naciskania, rysujemy kilka prostopadłych do osi symetrii - nerwu liścia. Na razie wystarczy cztery, pięć. I na tych prostopadłych mierzymy po prawej stronie taką samą odległość jak po lewej stronie od linii krawędzi liścia. Radzę używać linijki, nie polegać zbytnio na oku. Z reguły mamy tendencję do zmniejszania rysunku - to zaobserwowano z doświadczenia. Nie zalecamy pomiaru odległości palcami: błąd jest zbyt duży.

Połączmy powstałe punkty linią ołówkową:

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo, czy połówki rzeczywiście są takie same. Jeśli wszystko się zgadza, zakreślimy to flamastrem i wyjaśnimy naszą linię:

Liść topoli został ukończony, teraz możesz zamachnąć się liściem dębu.

Narysujmy figurę symetryczną - lekcja 2

W tym przypadku trudność polega na tym, że żyły są zaznaczone i nie są prostopadłe do osi symetrii i trzeba będzie ściśle przestrzegać nie tylko wymiarów, ale i kąta nachylenia. Cóż, trenujmy nasze oko:

Narysowaliśmy więc symetryczny liść dębu, a raczej zbudowaliśmy go według wszystkich zasad:

Jak narysować obiekt symetryczny - lekcja 3

I skonsolidujmy temat - zakończymy rysowanie symetrycznego liścia bzu.

Ma też ciekawy kształt - w kształcie serca i z uszami u nasady, trzeba je zaciągnąć:

Oto co narysowali:

Przyjrzyj się powstałej pracy z daleka i oceń, jak trafnie udało nam się oddać wymagane podobieństwo. Oto wskazówka: spójrz na swoje zdjęcie w lustrze, a ono powie Ci, czy są jakieś błędy. Inny sposób: zegnij obraz dokładnie wzdłuż osi (nauczyliśmy się już, jak poprawnie go zgiąć) i wytnij liść wzdłuż oryginalnej linii. Spójrz na samą figurę i na wycięty papier.

Cele:

• edukacyjny:
  • dać wyobrażenie o symetrii;
  • przedstawić główne rodzaje symetrii na płaszczyźnie i w przestrzeni;
  • rozwijać silne umiejętności konstruowania figur symetrycznych;
  • poszerz swoją wiedzę o znanych postaciach, wprowadzając właściwości związane z symetrią;
  • pokazać możliwości wykorzystania symetrii w rozwiązywaniu różnych problemów;
  • utrwalić zdobytą wiedzę;
• ogólne wykształcenie:
  • naucz się przygotowywać do pracy;
  • naucz panować nad sobą i sąsiadem przy biurku;
  • naucz oceniać siebie i sąsiada przy biurku;
• rozwijanie:
  • zintensyfikować samodzielną działalność;
  • rozwijać aktywność poznawczą;
  • nauczyć się podsumowywać i systematyzować otrzymane informacje;
• edukacyjny:
  • rozwijać u uczniów „zmysł ramion”;
  • rozwijać umiejętności komunikacyjne;
  • zaszczepić kulturę komunikacji.

PODCZAS ZAJĘĆ

Przed każdą osobą znajdują się nożyczki i kartka papieru.

Ćwiczenie 1(3 minuty).

- Weźmy kartkę papieru, złóżmy ją na kawałki i wytnijmy jakąś figurę. Teraz rozłóżmy arkusz i spójrzmy na linię zagięcia.

Pytanie: Jaką funkcję pełni ta linia?

Sugerowana odpowiedź: Linia ta dzieli figurę na pół.

Pytanie: W jaki sposób wszystkie punkty figury znajdują się na dwóch powstałych połówkach?

Sugerowana odpowiedź: Wszystkie punkty połówek znajdują się w równej odległości od linii zagięcia i na tym samym poziomie.

– Oznacza to, że linia zagięcia dzieli figurę na pół tak, aby 1 połowa była kopią 2 połówek, tj. linia ta nie jest prosta, ma niezwykłą właściwość (wszystkie punkty względem niej znajdują się w tej samej odległości), linia ta jest osią symetrii.

Zadanie 2 (2 minuty).

– Wytnij płatek śniegu, znajdź oś symetrii, scharakteryzuj go.

Zadanie 3 (5 minut).

– Narysuj okrąg w zeszycie.

Pytanie: Określić, jak przebiega oś symetrii?

Sugerowana odpowiedź: Różnie.

Pytanie: Ile zatem osi symetrii ma okrąg?

Sugerowana odpowiedź: Dużo.

– Zgadza się, okrąg ma wiele osi symetrii. Równie niezwykłą figurą jest kula (figura przestrzenna)

Pytanie: Jakie inne figury mają więcej niż jedną oś symetrii?

Sugerowana odpowiedź: Kwadrat, prostokąt, równoramienny i trójkąt równoboczny.

– Rozważ figury trójwymiarowe: sześcian, piramida, stożek, walec itp. Figury te również posiadają oś symetrii.Wyznacz, ile osi symetrii mają kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny i proponowane figury trójwymiarowe?

Rozdaję uczniom połówki figurek z plasteliny.

Zadanie 4 (3 minuty).

– Korzystając z otrzymanych informacji, uzupełnij brakującą część rysunku.

Notatka: figura może być zarówno płaska, jak i trójwymiarowa. Ważne jest, aby uczniowie określili, jak przebiega oś symetrii i uzupełnili brakujący element. Poprawność pracy ocenia sąsiad przy biurku i ocenia, jak poprawnie została wykonana praca.

Linia (zamknięta, otwarta, z samoprzecięciem, bez samoprzecięcia) jest ułożona z koronki tego samego koloru na pulpicie.

Zadanie 5 (praca w grupach 5 min).

– Wizualnie określ oś symetrii i względem niej uzupełnij drugą część koronką w innym kolorze.

Poprawność wykonanej pracy oceniają sami studenci.

Elementy rysunków prezentowane są studentom

Zadanie 6 (2 minuty).

– Znajdź symetryczne części tych rysunków.

Dla utrwalenia przerobionego materiału proponuję następujące zadania zaplanowane na 15 minut:

Nazwij wszystkie równe elementy trójkąta KOR i KOM. Jakiego rodzaju są to trójkąty?

2. Narysuj w swoim notatniku kilka trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie 6 cm.

3. Narysuj odcinek AB. Skonstruuj odcinek AB prostopadły i przechodzący przez jego środek. Zaznacz na nim punkty C i D tak, aby czworokąt ACBD był symetryczny względem prostej AB.

– Nasze początkowe wyobrażenia o formie sięgają bardzo odległej epoki starożytnej epoki kamienia – paleolitu. Przez setki tysięcy lat tego okresu ludzie żyli w jaskiniach, w warunkach niewiele różniących się od życia zwierząt. Ludzie wytwarzali narzędzia służące do łowiectwa i rybołówstwa, rozwinęli język umożliwiający wzajemne porozumiewanie się, a w epoce późnego paleolitu upiększali swoje istnienie, tworząc dzieła sztuki, figurki i rysunki, które odznaczały się niezwykłym wyczuciem formy.
Kiedy nastąpiło przejście od prostego gromadzenia żywności do jej aktywnej produkcji, od łowiectwa i rybołówstwa do rolnictwa, ludzkość wkroczyła w nową epokę kamienia, neolit.
Człowiek neolityczny miał głębokie wyczucie form geometrycznych. Wypalanie i malowanie naczyń glinianych, wytwarzanie mat z trzciny, koszy, tkanin, a później obróbka metalu rozwinęła idee figur planarnych i przestrzennych. Ozdoby neolityczne cieszyły oko, podkreślały równość i symetrię.
– Gdzie w przyrodzie występuje symetria?

Sugerowana odpowiedź: skrzydła motyli, chrząszczy, liście drzew...

– Symetrię można zaobserwować także w architekturze. Budując budynki, budowniczowie ściśle przestrzegają symetrii.

Dlatego budynki okazują się takie piękne. Przykładem symetrii są także ludzie i zwierzęta.

Praca domowa:

1. Wymyśl własną ozdobę, narysuj ją na kartce formatu A4 (możesz narysować ją w formie dywanu).
2. Narysuj motyle, zwróć uwagę, gdzie występują elementy symetrii.

Będziesz potrzebować

• - właściwości punktów symetrycznych;
• - właściwości figur symetrycznych;
• - linijka;
• - kwadrat;
• - kompas;
• - ołówek;
• - papier;
• - komputer z edytorem graficznym.

Instrukcje

Narysuj linię prostą a, która będzie osią symetrii. Jeśli jego współrzędne nie są określone, narysuj go dowolnie. Po jednej stronie tej prostej umieść dowolny punkt A. Musisz znaleźć punkt symetryczny.

Pomocna rada

Właściwości symetrii są stale używane w programie AutoCAD. Aby to zrobić, użyj opcji Lustro. Aby skonstruować trójkąt równoramienny lub trapez równoramienny, wystarczy narysować dolną podstawę i kąt między nią a bokiem. Odbij je za pomocą określonego polecenia i rozciągnij boki do wymaganego rozmiaru. W przypadku trójkąta będzie to punkt ich przecięcia, a dla trapezu będzie to podana wartość.

Ciągle spotykasz się z symetrią w edytorach graficznych, gdy używasz opcji „odwróć w pionie/poziomie”. W tym przypadku za oś symetrii przyjmuje się linię prostą odpowiadającą jednemu z pionowych lub poziomych boków ramy obrazu.

Źródła:

• jak narysować centralną symetrię

Skonstruowanie przekroju stożka nie jest zadaniem trudnym. Najważniejsze jest przestrzeganie ścisłej sekwencji działań. Wtedy to zadanie będzie łatwe do wykonania i nie będzie wymagało od ciebie dużego wysiłku.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis;
• - koło;
• - linijka.

Instrukcje

Odpowiadając na to pytanie, należy najpierw zdecydować, jakie parametry definiują przekrój.
Niech będzie to prosta przecięcia płaszczyzny l z płaszczyzną i punktem O, będącym przecięciem jej przekroju.

Konstrukcję pokazano na rys. 1. Pierwszym krokiem w konstruowaniu przekroju jest przejście przez środek przekroju jego średnicy, przedłużonego do l prostopadle do tej linii. Rezultatem jest punkt L. Następnie narysuj linię prostą LW przez punkt O i skonstruuj dwa stożki prowadzące leżące w głównych odcinkach O2M i O2C. Na przecięciu tych prowadnic leży punkt Q, a także pokazany już punkt W. Są to pierwsze dwa punkty żądanego odcinka.

Teraz narysuj prostopadłą MS u podstawy stożka BB1 ​​i skonstruuj tworzące odcinki prostopadłe O2B i O2B1. Na tym odcinku przez punkt O poprowadź linię prostą RG równoległą do BB1. Т.R i Т.G to kolejne dwa punkty żądanego odcinka. Gdyby znany był przekrój kuli, można by ją zbudować już na tym etapie. Nie jest to jednak wcale elipsa, ale coś eliptycznego, które ma symetrię względem odcinka QW. Dlatego należy zbudować jak najwięcej punktów przekroju, aby później połączyć je gładką krzywą, aby uzyskać jak najbardziej wiarygodny szkic.

Skonstruuj dowolny punkt przekroju. Aby to zrobić, narysuj dowolną średnicę AN u podstawy stożka i skonstruuj odpowiednie prowadnice O2A i O2N. Przez t.O narysuj linię prostą przechodzącą przez PQ i WG, aż przetnie się z nowo skonstruowanymi prowadnicami w punktach P i E. Są to kolejne dwa punkty pożądanego odcinka. Kontynuując w ten sam sposób, możesz znaleźć dowolną liczbę punktów.

To prawda, że ​​\u200b\u200bprocedurę ich uzyskania można nieco uprościć, stosując symetrię względem QW. Aby to zrobić, możesz narysować linie proste SS’ w płaszczyźnie żądanego przekroju, równolegle do RG, aż przetną się z powierzchnią stożka. Konstrukcję kończy się zaokrągleniem zbudowanej polilinii z pasów. Wystarczy zbudować połowę pożądanego przekroju ze względu na wspomnianą już symetrię względem QW.

Wideo na ten temat

Wskazówka 3: Jak wykreślić funkcję trygonometryczną

Musisz narysować harmonogram trygonometryczny Funkcje? Opanuj algorytm działań na przykładzie konstrukcji sinusoidy. Aby rozwiązać problem, użyj metody badawczej.

Będziesz potrzebować

• - linijka;
• - ołówek;
• - znajomość podstaw trygonometrii.

Instrukcje

Wideo na ten temat

notatka

Jeżeli dwie półosie hiperboloidy jednopasmowej są równe, wówczas figurę można uzyskać obracając hiperbolę z półosiami, z których jedna jest powyższa, a druga, różna od dwóch równych, wokół wyimaginowana oś.

Pomocna rada

Badając tę ​​figurę w odniesieniu do osi Oxz i Oyz, jasne jest, że jej głównymi sekcjami są hiperbole. A kiedy tę przestrzenną figurę obrotu przecina płaszczyzna Oxy, jej przekrój jest elipsą. Elipsa szyi jednopasmowego hiperboloidu przechodzi przez początek współrzędnych, ponieważ z=0.

Elipsę gardzieli opisuje równanie x²/a² +y²/b²=1, a pozostałe elipsy tworzy równanie x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Źródła:

• Elipsoidy, paraboloidy, hiperboloidy. Generatory prostoliniowe

Kształt pięcioramiennej gwiazdy był szeroko stosowany przez człowieka od czasów starożytnych. Uważamy jego kształt za piękny, ponieważ nieświadomie rozpoznajemy w nim relacje złotego podziału, tj. piękno pięcioramiennej gwiazdy jest uzasadnione matematycznie. Euklides jako pierwszy opisał budowę gwiazdy pięcioramiennej w swoich Elementach. Dołączmy się do jego doświadczenia.

Będziesz potrzebować

• linijka;
• ołówek;
• kompas;
• kątomierz.

Instrukcje

Budowa gwiazdy sprowadza się do zbudowania i późniejszego połączenia jej wierzchołków ze sobą sekwencyjnie poprzez jeden. Aby zbudować właściwy, musisz podzielić okrąg na pięć.
Zbuduj dowolny okrąg za pomocą kompasu. Zaznacz jego środek punktem O.

Zaznacz punkt A i za pomocą linijki narysuj odcinek OA. Teraz należy podzielić odcinek OA na pół, w tym celu z punktu A narysuj łuk o promieniu OA, aż przetnie on okrąg w dwóch punktach M i N. Skonstruuj odcinek MN. Punkt E, w którym MN przecina OA, przetnie odcinek OA na pół.

Przywróć prostopadłość OD do promienia OA i połącz punkty D i E. Wykonaj nacięcie B na OA od punktu E o promieniu ED.

Teraz za pomocą odcinka DB zaznacz okrąg na pięć równych części. Oznacz wierzchołki pięciokąta foremnego kolejno liczbami od 1 do 5. Połącz kropki w następującej kolejności: 1 z 3, 2 z 4, 3 z 5, 4 z 1, 5 z 2. Oto zwykły pięcioramienny gwiazdę, w foremny pięciokąt. Dokładnie tak to zbudowałem