Első szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol lesz rájuk szüksége? Miért érdemes időt szánni ezek tanulmányozására?

Olvassa el ezt a cikket, hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire van szükségük, és hogyan használhatja tudását a mindennapi életben.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az egységes államvizsga vagy egyesített államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos jegyzet! Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete 1 méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó területét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha egy méter méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen lapokat? A csempe nagy valószínűséggel cm-es lesz, és akkor megkínozzák az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy mondhatjuk, hogy harmincnégyzetes lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alja egy méter nagyságú és egy méter mély, és próbáld meg kiszámolni, hány méteres méteres kocka lesz. belefér a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik meg önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát, amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „ujjal számolsz”, akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy évben? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen diplomaalap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, szerinted? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5) példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. A nullával nem egyenlő szám negatív hatványa azonos szám pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Emlékezzünk a szabályra: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk le a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg magával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY ELMEGYED! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatalom hatalommá emelésének szabályával, ami nálunk már megszokott:

Most nézd meg a mutatót. Nem emlékeztet semmire? Emlékezzünk vissza a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokon ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémák könnyebb megoldása érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára vonatkozik!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következő egyszerű szabályokat lehet megfogalmazni:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy a bázis kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a 3. szabály alkalmazható lenne. De hogyan? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így alakul:

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: Minden jel egyszerre változik! Nem helyettesítheti azzal, hogy csak egy olyan hátrányt változtat meg, amelyet nem szeretünk!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzünk a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Első szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol lesz rájuk szüksége? Miért érdemes időt szánni ezek tanulmányozására?

Olvassa el ezt a cikket, hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire van szükségük, és hogyan használhatja tudását a mindennapi életben.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az egységes államvizsga vagy egyesített államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos jegyzet! Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete 1 méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó területét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha egy méter méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen lapokat? A csempe nagy valószínűséggel cm-es lesz, és akkor megkínozzák az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy mondhatjuk, hogy harmincnégyzetes lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alja egy méter nagyságú és egy méter mély, és próbáld meg kiszámolni, hány méteres méteres kocka lesz. belefér a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik meg önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát, amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „ujjal számolsz”, akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy évben? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen diplomaalap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, szerinted? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5) példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. A nullával nem egyenlő szám negatív hatványa azonos szám pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Emlékezzünk a szabályra: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk le a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg magával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY ELMEGYED! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatalom hatalommá emelésének szabályával, ami nálunk már megszokott:

Most nézd meg a mutatót. Nem emlékeztet semmire? Emlékezzünk vissza a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokon ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémák könnyebb megoldása érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára vonatkozik!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következő egyszerű szabályokat lehet megfogalmazni:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy a bázis kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a 3. szabály alkalmazható lenne. De hogyan? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így alakul:

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: Minden jel egyszerre változik! Nem helyettesítheti azzal, hogy csak egy olyan hátrányt változtat meg, amelyet nem szeretünk!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzünk a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Szakaszok: Matematika

Az óra típusa: az ismeretek általánosítása és rendszerezése

Célok:

nevelési- megismételni a diploma meghatározását, a fokozatok szorzásának és osztásának szabályait, a fokozat hatványra emelését, megszilárdítani a fokozatokat tartalmazó példák megoldási készségeit,

fejlesztés- a tanulók logikus gondolkodásának, a tanult anyag iránti érdeklődésének fejlesztése,

emelés– a tanuláshoz való felelősségteljes hozzáállás, a kommunikációs kultúra és a kollektivizmus érzésének elősegítése.

Felszerelés: számítógép, multimédiás kivetítő, interaktív tábla, „Fokozatok” bemutatása fejben történő számításhoz, feladatkártyák, szóróanyagok.

Tanterv:

Idő szervezése.

Szabályok ismétlése

Verbális számolás.

Történelmi hivatkozás.

Dolgozzon a fórumon.

Testnevelés perc.

Interaktív táblán dolgozni.

Önálló munkavégzés.

Házi feladat.

Összegezve a tanulságot.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

Közölje az óra témáját és céljait.

Az előző leckéken felfedezted a hatalmak csodálatos világát, megtanultad az erők szorzását és megosztását, és hatalommá emelését. Ma a megszerzett tudást példák megoldásával kell megszilárdítanunk.

II. Szabályok ismétlése(orálisan)

1. Adja meg a fok definícióját természetes kitevővel? (A szám ereje A 1-nél nagyobb természetes kitevővel szorzatnak nevezzük n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A.)
2. Hogyan lehet két hatványt szorozni? (A hatványok azonos bázisokkal való szorzásához meg kell hagynia az alapot, és hozzá kell adnia a kitevőket.)
3. Hogyan osztjuk el a diplomát a diplomával? (A hatványok azonos bázisokkal való felosztásához az alapot ugyanazon kell hagyni, és ki kell vonni a kitevőket.)
4. Hogyan lehet egy terméket teljesítményre emelni? (Egy szorzat hatványra emeléséhez minden tényezőt erre a hatványra kell emelni)
5. Hogyan lehet egy fokozatot hatalomra emelni? (Egy hatvány hatványra emeléséhez az alapot ugyanazon kell hagyni, és meg kell szorozni a kitevőket)

III. Verbális számolás(multimédiával)

IV. Történelmi hivatkozás

Minden probléma az Ahmesz papiruszból származik, amelyet ie 1650 körül írtak. e. építési gyakorlattal, telkek lehatárolásával, stb. kapcsolatos feladatok témakörök szerint csoportosítva. Ezek főként a háromszög, a négyszög és a kör területeinek megtalálására vonatkozó feladatok, különféle műveletek egészekkel és törtekkel, arányos osztás, arányok keresése, van még különböző hatványokra emelés, első és másodfokú egyenletek megoldása ismeretlennel.

Teljesen hiányzik minden magyarázat vagy bizonyíték. A kívánt eredményt vagy közvetlenül megadják, vagy megadják a kiszámításához egy rövid algoritmust. Ez a tudományra az ókori Kelet országaiban jellemző bemutatási mód arra utal, hogy ott a matematika olyan általánosítások és találgatások révén fejlődött ki, amelyek nem alkottak általános elméletet. A papirusz azonban számos bizonyítékot tartalmaz arra vonatkozóan, hogy az egyiptomi matematikusok tudták, hogyan kell gyököket kinyerni és hatványokra emelni, egyenleteket megoldani, és még az algebra alapjait is elsajátították.

V. Munka a testületnél

Keresse meg a kifejezés jelentését racionális módon:

Számítsa ki a kifejezés értékét:



VI. Testnevelés perc

6. szemek számára
7. a nyakra
8. kezek számára
9. a törzs számára
10. lábaknak

VII. Problémamegoldás(interaktív táblán való megjelenítéssel)

Az egyenlet gyöke pozitív szám?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Hatványok és gyökerek képletei.

Fokozatképletekösszetett kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:



Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:



3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

Minden fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó arányával:



3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:



4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n a th hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:



5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:



Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy osztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:



Képlet a m :a n =a m - n nem csak arra használható m > n, hanem azzal is m 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m :a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n-th fokozattól m- ennek a számnak a hatványa A:



Fokozatképletek.

6. a — n = - fokozatok felosztása;

7. - fokozatok felosztása;

8. a 1/n = ;

A cselekvési szabályok fokozatai fokozatokkal

1. Két vagy több tényező szorzatának foka megegyezik ezen tényezők fokszámainak szorzatával (ugyanolyan kitevővel):

(abc…) n = a n b n c n …

1. példa (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. 2. példa (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

A gyakorlatban a fordított átalakítás fontosabb:

a n b n c n … = (abc…) n

azok. több mennyiség azonos hatványainak szorzata egyenlő e mennyiségek szorzatának azonos hatványával.

3. példa 4. példa (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Egy hányados (tört) hatványa megegyezik az osztó ugyanazon hatványának azonos hatványával való osztásának hányadosával:

5. példa 6. példa.

Fordított átalakítás:. 7. példa. . 8. példa. .

3. Ha a fokokat azonos alapokkal szorozzuk, a fokok kitevőit összeadjuk:

9.2. példa 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. 10. példa (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

11. példa 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. 12. példa (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Ha egy fokot egy hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

13. példa (2 3) 2 =2 6 =64. 14. példa.

www.maths.yfa1.ru

Hatalmak és gyökerek

Hatványokkal és gyökerekkel végzett műveletek. Fokozat negatívval ,

nulla és tört indikátor. Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük.

Műveletek fokozatokkal.

1. Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevőjüket hozzáadjuk:

a m · a n = a m + n.

2. A fokok azonos bázisú osztásakor a kitevőik levonásra kerülnek .



3. Két vagy több tényező szorzatának mértéke megegyezik e tényezők fokozatainak szorzatával.

4. Az arány (tört) mértéke megegyezik az osztó (számláló) és az osztó (nevező) fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőjüket megszorozzuk:

A fenti képletek mindegyike beolvasásra és végrehajtásra kerül mindkét irányban balról jobbra és fordítva.

PÉLDA (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Műveletek gyökerekkel. Az összes alábbi képletben a szimbólum azt jelenti számtani gyök(a radikális kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és az osztó gyökének arányával:



3. Ha gyökérre emelünk egy hatványt, elég, ha erre a hatalomra emelünk gyökszám:



4. Ha m-szeresére növeljük a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az m-edik hatványra emeljük, akkor a gyök értéke nem változik:



5. Ha m-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám m-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:




A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatalommal és a gyökérrel végzett műveletek oda is vezethetnek negatív, nullaÉs töredékes mutatók. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:



Most a képlet a m : a n = a m - n nem csak arra használható m, több mint n, hanem azzal is m, kevesebb, mint n .

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ha a képletet akarjuk a m : a n = a m — n igazságos volt, amikor m = n, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell bontani az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:



Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

Ahol a ≠ 0 , nem létezik.

Sőt, ha azt feltételezzük x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0· x, azaz a= 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

— bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egyenlő valamilyen számmal x, akkor az osztási művelet definíciója szerint: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség akkor következik be tetszőleges számú x, amit bizonyítani kellett.

0 0 — bármilyen szám.



Megoldás Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem felel meg ennek az egyenletnek

2) mikor x> 0 kapjuk: x/x= 1, azaz 1 = 1, ami azt jelenti

Mit x- bármilyen szám; de ezt figyelembe véve

a mi esetünkben x> 0, a válasz az x > 0 ;

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. A racionális kitevőkkel rendelkező hatványokról és tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes kitevővel rendelkező hatványnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek lehetővé teszik, hogy egyszerűsítsük a számításokat a hatványokkal rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk meg, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

• Egyszerűsítse a kifejezést.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Mutassa be diplomaként.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Mutassa be diplomaként.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a megadott tulajdonságban csak a hatványok azonos alapokon történő szorzásáról beszéltünk. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számolás (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

A hatványok azonos bázisú osztásakor az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

• Írja fel a hányadost hatványként!
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. számú tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Példa.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Példa. Fejezd ki a 3 20-at hatványként 3 2 bázissal.

A fokozat hatalommá emelésének tulajdonságával Ismeretes, hogy ha hatványra emeljük, a kitevők megszorozódnak, ami azt jelenti:

Tulajdonságok 4
A termék teljesítménye

Ha egy hatványt szorzathatványra emelünk, minden tényezőt erre a hatványra emelünk, és az eredményeket megszorozzuk.

(a b) n = a n b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám; "n" bármely természetes szám.

• 1. példa
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• 2. példa
  (-x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. számú tulajdonság, mint a fokok többi tulajdonsága, szintén fordított sorrendben kerül alkalmazásra.

(a n b n)= (a b) n

Vagyis a hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg lehet szorozni az alapokat, de a kitevőt változatlanul hagyni.

• Példa. Kiszámítja.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Példa. Kiszámítja.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Bonyolultabb példákban előfordulhatnak olyan esetek, amikor a szorzást és az osztást különböző bázisú és különböző kitevőkkel rendelkező hatványokon kell végrehajtani. Ebben az esetben azt tanácsoljuk, hogy tegye a következőket.

Például 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Példa a tizedesjegy hatványra emelésére.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Tulajdonságok 5
Hányados hatványa (tört)

Ha hányadost szeretne hatványra emelni, az osztó és az osztó külön-külön erre a hatványra emelhető, és az első eredményt eloszthatja a másodikkal.

(a: b) n = a n: b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám, b ≠ 0, n – bármely természetes szám.

• Példa. Fejezd ki a kifejezést a hatványok hányadosaként!
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Az óra típusa: az ismeretek általánosítása és rendszerezése

Célok:

• nevelési- megismételni a diploma meghatározását, a fokozatok szorzásának és osztásának szabályait, a fokozat hatványra emelését, megszilárdítani a fokozatokat tartalmazó példák megoldási készségeit,
• fejlesztés- a tanulók logikus gondolkodásának, a tanult anyag iránti érdeklődésének fejlesztése,
• emelés– a tanuláshoz való felelősségteljes hozzáállás, a kommunikációs kultúra és a kollektivizmus érzésének elősegítése.

Felszerelés: számítógép, multimédiás kivetítő, interaktív tábla, „Fokozatok” bemutatása fejszámoláshoz, feladatkártyák, szóróanyagok.

Tanterv:

1. Idő szervezése.
2. Szabályok ismétlése
3. Verbális számolás.
4. Történelmi hivatkozás.
5. Dolgozzon a fórumon.
6. Testnevelés perc.
7. Interaktív táblán dolgozni.
8. Önálló munkavégzés.
9. Házi feladat.
10. Összegezve a tanulságot.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

Közölje az óra témáját és céljait.

Az előző leckéken felfedezted a hatalmak csodálatos világát, megtanultad az erők szorzását és megosztását, és hatalommá emelését. Ma a megszerzett tudást példák megoldásával kell megszilárdítanunk.

II. Szabályok ismétlése(orálisan)

1. Adja meg a fok definícióját természetes kitevővel? (A szám ereje A 1-nél nagyobb természetes kitevővel szorzatnak nevezzük n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A.)
2. Hogyan lehet két hatványt szorozni? (A hatványok azonos bázisokkal való szorzásához meg kell hagynia az alapot, és hozzá kell adnia a kitevőket.)
3. Hogyan osztjuk el a diplomát a diplomával? (A hatványok azonos bázisokkal való felosztásához az alapot ugyanazon kell hagyni, és ki kell vonni a kitevőket.)
4. Hogyan lehet egy terméket teljesítményre emelni? (Egy szorzat hatványra emeléséhez minden tényezőt erre a hatványra kell emelni)
5. Hogyan lehet egy fokozatot hatalomra emelni? (Egy hatvány hatványra emeléséhez az alapot ugyanazon kell hagyni, és meg kell szorozni a kitevőket)

III. Verbális számolás(multimédiával)

IV. Történelmi hivatkozás

Minden probléma az Ahmesz papiruszból származik, amelyet ie 1650 körül írtak. e. építési gyakorlattal, telkek lehatárolásával, stb. kapcsolatos feladatok témakörök szerint csoportosítva. Ezek főként a háromszög, a négyszög és a kör területeinek megtalálására vonatkozó feladatok, különféle műveletek egészekkel és törtekkel, arányos osztás, arányok keresése, van még különböző hatványokra emelés, első és másodfokú egyenletek megoldása ismeretlennel.

Teljesen hiányzik minden magyarázat vagy bizonyíték. A kívánt eredményt vagy közvetlenül megadják, vagy megadják a kiszámításához egy rövid algoritmust. Ez a tudományra az ókori Kelet országaiban jellemző bemutatási mód arra utal, hogy ott a matematika olyan általánosítások és találgatások révén fejlődött ki, amelyek nem alkottak általános elméletet. A papirusz azonban számos bizonyítékot tartalmaz arra vonatkozóan, hogy az egyiptomi matematikusok tudták, hogyan kell gyököket kinyerni és hatványokra emelni, egyenleteket megoldani, és még az algebra alapjait is elsajátították.

V. Munka a testületnél

Keresse meg a kifejezés jelentését racionális módon:

Számítsa ki a kifejezés értékét:

VI. Testnevelés perc

1. szemek számára
2. a nyakra
3. kezek számára
4. a törzs számára
5. lábaknak

VII. Problémamegoldás(interaktív táblán való megjelenítéssel)

Az egyenlet gyöke pozitív szám?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Önálló munkavégzés

IX. Házi feladat

X. A lecke összegzése

Eredmények elemzése, osztályzatok kihirdetése.

A diplomákról megszerzett ismereteket a középiskolai egyenletek és feladatok megoldása során hasznosítjuk, ezek gyakran megtalálhatók az egységes államvizsgán is.

ÉN. Munka n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A hívott n-a szám hatványa Aés ki van jelölve An.

Példák. Írja a terméket diplomának.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Megoldás.

1) mmmm=m 4, mivel a fok definíciója szerint négy tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő m, lesz negyedik hatványa m.

2) aaabb=a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Azt a műveletet, amellyel több egyenlő tényező szorzatát megtaláljuk, hatványozásnak nevezzük. A hatványra emelt számot a hatvány alapjának nevezzük. Kitevőnek nevezzük azt a számot, amely megmutatja, hogy a bázis milyen hatványra van emelve. Így, An- diploma, A- a végzettség alapja, n– kitevő. Például:

2 3 — ez egy diploma. Szám 2 a fok alapja, a kitevő egyenlő 3 . Fokozat értéke 2 3 egyenlő 8, mert 2 3 =2·2·2=8.

Példák. Írja fel a következő kifejezéseket kitevő nélkül!

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Megoldás.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III.és 0 =1 A nulla hatványhoz tartozó bármely szám (nulla kivételével) egyenlő eggyel. Például 25 0 =1.
IV. a 1 =aAz első hatvány bármely szám egyenlő önmagával.

V. a m∙ a n= a m + n Ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk meg, az alap és a kitevők változatlanok maradnak összehajtogatva

Példák. Egyszerűsítés:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 · c 0 · c · c 4 .

Megoldás.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b2+3=1+b5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nHa azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alapot változatlannak hagyjuk, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

Példák. Egyszerűsítés:

12) a 8:a 3; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13)m 11:m 4=m 11-4 = m7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m) n= a mn Ha egy hatványt hatványra emelünk, az alap változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

Példák. Egyszerűsítés:

15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3,4 =a 12; 16) (c) 5) 2=c 5 2 =c 10.

jegyzet, amely, mivel a szorzat nem változik a tényezők átrendezésétől, Hogy:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Vén II. (a∙b) n =a n ∙b n Ha egy szorzatot egy hatványra emelünk, akkor minden tényezőt erre a hatványra emelünk.

Példák. Egyszerűsítés:

17) (2a) 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Megoldás.

17) (2a) 2) 5=2 5 ·a 2 · 5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Ha egy tört hatványra emel, a tört számlálója és nevezője is erre a hatványra emelkedik.

Példák. Egyszerűsítés:

Megoldás.

1/1 oldal 1