Harmonikus rezgésekkel a kezdőben. Harmonikus oszcillációk – Tudáshipermarket

Bármely mennyiség változását a szinusz vagy koszinusz törvényei segítségével írjuk le, majd az ilyen rezgéseket harmonikusnak nevezzük. Tekintsünk egy áramkört, amely egy kondenzátorból (amelyet az áramkörbe helyezés előtt fel volt töltve) és egy induktorból (1. ábra) áll.

1. kép

A harmonikus rezgésegyenlet a következőképpen írható fel:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

ahol $t$ az idő; $q$ töltés, $q_0$-- a töltés maximális eltérése az átlagos (nulla) értékétől a változtatások során; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- oszcillációs fázis; $(\alpha )_0$- kezdeti fázis; $(\omega )_0$ - ciklikus frekvencia. Az időszak alatt a fázis $2\pi $-val változik.

A forma egyenlete:

a harmonikus rezgések differenciális formájú egyenlete olyan rezgőkörhöz, amely nem tartalmaz aktív ellenállást.

Bármilyen típusú periodikus rezgés pontosan ábrázolható harmonikus rezgések összegeként, az úgynevezett harmonikus sorozatként.

Egy tekercsből és kondenzátorból álló áramkör rezgési periódusára megkapjuk a Thomson-képletet:

Ha az (1) kifejezést az idő függvényében megkülönböztetjük, megkapjuk a $I(t)$ függvény képletét:

A kondenzátoron lévő feszültség a következőképpen nézhető meg:

Az (5) és (6) képletből az következik, hogy az áramerősség $\frac(\pi )(2) értékkel megelőzi a kondenzátor feszültségét.$

A harmonikus rezgések egyenletek, függvények és vektordiagramok formájában is ábrázolhatók.

Az (1) egyenlet szabad csillapítatlan rezgéseket jelent.

Csillapított oszcillációs egyenlet

Az áramkörben lévő kondenzátorlapokon a töltés változását ($q$) az ellenállás figyelembevételével (2. ábra) a következő alakú differenciálegyenlet írja le:

2. ábra.

Ha az ellenállás, amely az áramkör része $R\

ahol $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ a ciklikus oszcillációs frekvencia. $\beta =\frac(R)(2L)-$csillapítási együttható. A csillapított rezgések amplitúdója a következőképpen fejezhető ki:

Ha $t=0$-nál a kondenzátor töltése $q=q_0$ és nincs áram az áramkörben, akkor $A_0$-ra írhatjuk:

Az oszcillációk fázisa az idő kezdeti pillanatában ($(\alpha )_0$) egyenlő:

Amikor $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ a töltésváltozás nem rezgés, a kondenzátor kisülését periodikusnak nevezzük.

1. példa

Gyakorlat: A maximális terhelési érték $q_0=10\ C$. Harmonikusan változik $T= 5 s$ periódussal. Határozza meg a lehetséges maximális áramerősséget.

Megoldás:

A probléma megoldásához a következőket használjuk:

Az áramerősség meghatározásához az (1.1) kifejezést az idő függvényében meg kell különböztetni:

ahol az áramerősség maximuma (amplitúdója) a következő kifejezés:

A feladat feltételeiből ismerjük a töltés amplitúdóértékét ($q_0=10\ C$). Meg kell találnia az oszcillációk természetes frekvenciáját. Fogalmazzuk meg így:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1,4\right).\]

Ebben az esetben a kívánt értéket az (1.3) és (1.2) egyenletekkel találjuk meg:

Mivel a problémafeltételekben szereplő összes mennyiséget az SI rendszerben mutatjuk be, a számításokat elvégezzük:

Válasz:$I_0=12,56\ A.$

2. példa

Gyakorlat: Mennyi a rezgés periódusa egy $L=1$H tekercset és egy kondenzátort tartalmazó áramkörben, ha az áramkörben az áramerősség a törvény szerint változik: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Mekkora a kondenzátor kapacitása?

Megoldás:

Az áramingadozások egyenletéből, amelyet a probléma feltételei között adunk meg:

látjuk, hogy $(\omega )_0=20\pi $, ezért az oszcilláció periódusát a következő képlettel számíthatjuk ki:

\ \

A Thomson-féle képlet szerint egy induktivitást és egy kondenzátort tartalmazó áramkörre vonatkozóan a következőket kapjuk:

Számítsuk ki a kapacitást:

Válasz:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

Oszcillációk nevezzük azokat a mozgásokat vagy folyamatokat, amelyekre bizonyos időbeli ismételhetőség jellemző. Az oszcillációk széles körben elterjedtek a környező világban, és nagyon eltérő természetűek lehetnek. Ezek lehetnek mechanikus (inga), elektromágneses (oszcillációs áramkör) és más típusú rezgések.
Ingyenes, vagy saját oszcillációnak nevezzük azokat az oszcillációkat, amelyek egy magára hagyott rendszerben fordulnak elő, miután azt külső hatás kihozta az egyensúlyból. Példa erre a húron felfüggesztett labda oszcillációja.

Különleges szerep az oszcillációs folyamatokban az oszcilláció legegyszerűbb formája van - harmonikus rezgések. A harmonikus rezgések képezik az alapját a különböző természetű rezgések vizsgálatának egységes megközelítésének, hiszen a természetben és a technológiában fellelhető rezgések gyakran közel állnak a harmonikusokhoz, és az eltérő formájú periodikus folyamatok harmonikus rezgések szuperpozíciójaként ábrázolhatók.

Harmonikus rezgések Olyan rezgéseknek nevezzük, amelyekben a rezgési mennyiség a törvény szerint idővel változik szinusz vagy koszinusz.

Harmonikus egyenleta következő formában van:

hol egy - rezgés amplitúdója (a rendszer egyensúlyi helyzettől való legnagyobb eltérésének nagysága); -körkörös (ciklikus) frekvencia. A koszinusz periodikusan változó argumentumát ún oszcillációs fázis . Az oszcillációs fázis meghatározza a rezgő mennyiség egyensúlyi helyzetből való elmozdulását egy adott t időpontban. A φ konstans a fázisértéket jelenti t = 0 időpontban, és meghívásra kerül az oszcilláció kezdeti fázisa . A kezdeti fázis értékét a referenciapont megválasztása határozza meg. Az x érték -A és +A közötti értékeket vehet fel.

A T időintervallum, amelyen keresztül az oszcillációs rendszer bizonyos állapotai ismétlődnek, az oszcilláció periódusának nevezzük . A koszinusz 2π periódusú periodikus függvény, ezért a T időtartam alatt, amely után az oszcillációs fázis 2π-vel egyenlő növekményt kap, a harmonikus rezgéseket végző rendszer állapota megismétlődik. Ezt a T időtartamot harmonikus rezgések periódusának nevezzük.

A harmonikus rezgések periódusa egyenlő : T = 2π/ .

Az egységnyi idő alatti rezgések számát ún rezgési frekvencia ν.
Harmonikus frekvencia egyenlő: ν = 1/T. Frekvencia egység hertz(Hz) - egy oszcilláció másodpercenként.

A körfrekvencia = 2π/T = 2πν megadja a rezgések számát 2π másodpercben.

Grafikusan a harmonikus rezgések ábrázolhatók x t-től való függéseként (1.1.A ábra), és forgó amplitúdó módszer (vektordiagram módszer)(1.1.B ábra) .

A forgó amplitúdó módszer lehetővé teszi a harmonikus rezgésegyenletben szereplő összes paraméter megjelenítését. Valóban, ha az amplitúdóvektor A az x tengellyel φ szöget zár be (lásd 1.1. B ábra), akkor az x tengelyre vetülete egyenlő lesz: x = Acos(φ). A φ szög a kezdeti fázis. Ha a vektor A a rezgések körfrekvenciájával megegyező szögsebességgel forog, akkor a vektor végének vetülete az x tengely mentén elmozdul és -A és +A közötti értékeket vesz fel, és ennek a vetületnek a koordinátája törvény szerint idővel változik:
.

Így a vektor hossza megegyezik a harmonikus rezgés amplitúdójával, a vektor iránya a kezdeti pillanatban az x tengellyel olyan szöget zár be, amely megegyezik a φ rezgések kezdeti fázisával, és az irányszög változása idővel egyenlő a harmonikus rezgések fázisával. Az az idő, amely alatt az amplitúdóvektor egy teljes fordulatot tesz, megegyezik a harmonikus rezgések T periódusával. A vektorfordulatok száma másodpercenként megegyezik a ν oszcillációs frekvenciával.

>>Harmonikus rezgések

22. § HARMONIKUS REZGÉSEK

Tudva, hogy egy rezgő test gyorsulása és koordinátája hogyan függ össze egymással, matematikai elemzés alapján meg lehet határozni a koordináta időfüggőségét.

A gyorsulás a koordináták második deriváltja az idő függvényében. A pont pillanatnyi sebessége, amint azt egy matematika kurzusból tudja, a pont koordinátáinak deriváltja az idő függvényében. Egy pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja, vagy a koordináta időhöz viszonyított második deriváltja. Ezért a (3.4) egyenlet a következőképpen írható fel:

ahol x " - a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A (3.11) egyenlet szerint a szabad rezgések során az x koordináta idővel úgy változik, hogy a koordináta időbeli második deriváltja magával a koordinátával egyenesen arányos és ellentétes előjelű.

A matematika tudományából ismert, hogy a szinusz és a koszinusz második deriváltjai az argumentummal arányosak magukkal az ellenkező előjellel vett függvényekkel. A matematikai elemzés bizonyítja, hogy más függvények nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Mindez lehetővé teszi számunkra, hogy jogosan állítsuk, hogy a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a szinusz vagy pasine törvénye szerint változik. A 3.6. ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja a koszinusztörvény szerint.

A fizikai mennyiségnek az időtől függő, a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint bekövetkező periodikus változásait harmonikus rezgéseknek nevezzük.

A rezgések amplitúdója. A harmonikus rezgések amplitúdója a test egyensúlyi helyzetéből való legnagyobb elmozdulásának modulusa.

Az amplitúdó eltérő értékű lehet attól függően, hogy a kezdeti időpontban mennyire mozdítjuk el a testet az egyensúlyi helyzetből, vagy attól, hogy milyen sebességgel jut el a test. Az amplitúdót a kezdeti feltételek, pontosabban a testnek adott energia határozza meg. De a szinuszmodulus és a koszinuszmodulus maximális értéke eggyel egyenlő. Ezért a (3.11) egyenlet megoldása nem fejezhető ki egyszerűen szinuszként vagy koszinuszként. A lengési amplitúdó x m szinuszos vagy koszinuszos szorzata formájában kell megjelennie.

A szabad rezgéseket leíró egyenlet megoldása.Írjuk fel a (3.11) egyenlet megoldását a következő formában:

és a második derivált egyenlő lesz:

Megkaptuk a (3.11) egyenletet. Következésképpen a (3.12) függvény az eredeti (3.11) egyenlet megoldása. Ennek az egyenletnek a megoldása is a függvény lesz

A test koordinátáinak idő függvényében a (3.14) szerinti grafikonja koszinuszhullám (lásd 3.6. ábra).

A harmonikus rezgések periódusa és gyakorisága. Lengéskor a test mozgásai periodikusan ismétlődnek. Azt a T időtartamot, amely alatt a rendszer befejez egy teljes rezgésciklust, rezgésperiódusnak nevezzük.

A periódus ismeretében meghatározható az oszcillációk gyakorisága, azaz az időegységenkénti, például másodpercenkénti rezgések száma. Ha egy rezgés következik be a T időben, akkor a másodpercenkénti oszcillációk száma

A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) az oszcilláció frekvenciája eggyel egyenlő, ha másodpercenként egy oszcilláció történik. A frekvencia mértékegységét G. Hertz német fizikus tiszteletére hertznek (rövidítve: Hz) nevezik.

A rezgések száma 2 s alatt egyenlő:

A mennyiség a rezgések ciklikus vagy körkörös frekvenciája. Ha a (3.14) egyenletben t idő egyenlő egy periódussal, akkor T = 2. Így ha t időpontban t = 0 x = x m, akkor t = T időpontban x = x m, azaz eggyel egyenlő időtartamon keresztül periódusban az oszcillációk ismétlődnek.

A szabad rezgések frekvenciáját az oszcillációs rendszer 1 sajátfrekvenciája határozza meg.

A szabad rezgések gyakoriságának és periódusának függősége a rendszer tulajdonságaitól. A rugóra erősített test természetes rezgési frekvenciája a (3.13) egyenlet szerint egyenlő:

Minél nagyobb a k rugómerevség, annál nagyobb, és minél kisebb, annál nagyobb az m testtömeg. Ez könnyen érthető: a merev rugó nagyobb gyorsulást kölcsönöz a testnek, és gyorsabban változtatja a test sebességét. És minél masszívabb a test, annál lassabban változtatja a sebességet az erő hatására. Az oszcilláció periódusa:

Különböző merevségű rugókészlettel és különböző tömegű testekkel, tapasztalatból könnyen ellenőrizhető, hogy a (3.13) és (3.18) képletek helyesen írják le a és T függésének természetét k és m függvényében.

Figyelemre méltó, hogy a test rugón való rezgési periódusa és az inga kis elhajlási szögű lengési periódusa nem függ a rezgések amplitúdójától.

Az inga lengéseit leíró (3.10) egyenletben a t gyorsulás és az x elmozdulás közötti arányossági együttható modulusa a (3.11) egyenlethez hasonlóan a ciklikus frekvencia négyzete. Következésképpen a matematikai inga természetes rezgési frekvenciája a szál függőlegestől való kis eltérési szögeinél az inga hosszától és a gravitációs gyorsulástól függ:

Ezt a képletet először G. Huygens holland tudós, I. Newton kortársa szerezte meg és tesztelte kísérletileg. Csak kis menetelhajlási szögekre érvényes.

1 A következőkben a rövidség kedvéért gyakran egyszerűen a ciklikus frekvenciára hivatkozunk frekvenciaként. A ciklikus frekvenciát a normál frekvenciától jelöléssel lehet megkülönböztetni.

Az oszcilláció periódusa az inga hosszának növekedésével növekszik. Nem függ az inga tömegétől. Ez különféle ingákkal kísérletileg könnyen ellenőrizhető. Az oszcilláció periódusának a gravitáció gyorsulásától való függése is kimutatható. Minél kisebb g, annál hosszabb az inga rezgési periódusa, és ennélfogva annál lassabban fut az ingaóra. Így a rúdon lévő súly formájában ingával ellátott óra napi 3 másodperccel lemarad, ha felemeli az alagsorból a Moszkvai Egyetem legfelső emeletére (magasság 200 m). És ez csak a szabadesés gyorsulásának a magassággal való csökkenésének köszönhető.

Az inga lengési periódusának g értékétől való függését a gyakorlatban alkalmazzák. Az oszcillációs periódus mérésével g nagyon pontosan meghatározható. A gravitáció gyorsulása a földrajzi szélesség függvényében változik. De még egy adott szélességi fokon sem mindenhol egyforma. Hiszen a földkéreg sűrűsége nem mindenhol egyforma. Azokon a területeken, ahol sűrű kőzetek fordulnak elő, a g gyorsulás valamivel nagyobb. Ezt figyelembe veszik az ásványok keresésekor.

Így a vasérc sűrűsége nagyobb a közönséges kőzetekhez képest. A Kurszk melletti gravitációs gyorsulás mérései, amelyeket A. A. Mihajlov akadémikus vezetésével végeztek, lehetővé tették a vasérc helyének tisztázását. Először mágneses mérésekkel fedezték fel őket.

A mechanikai rezgések tulajdonságait a legtöbb elektronikus mérleg eszközei alkalmazzák. A lemérendő testet egy platformra helyezik, amely alá merev rugót szerelnek fel. Ennek eredményeként mechanikai rezgések keletkeznek, amelyek frekvenciáját egy megfelelő érzékelő méri. Az ehhez az érzékelőhöz tartozó mikroprocesszor az oszcillációs frekvenciát a mérendő test tömegévé alakítja, mivel ez a frekvencia a tömegtől függ.

A rezgési periódusra kapott (3.18) és (3.20) képletek azt jelzik, hogy a harmonikus rezgések periódusa függ a rendszer paramétereitől (rugó merevsége, menethossz stb.).

Myakishev G. Ya., fizika. 11. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek / G. Ya Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; szerkesztette V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. kiadás, átdolgozva. és további - M.: Oktatás, 2008. - 399 p.: ill.

A témakörök teljes listája évfolyamonként, naptárterv az iskolai fizika tanterv szerint online, videóanyag a fizikáról 11. évfolyam letöltése

Az óra tartalma leckejegyzetek támogató keretóra prezentációgyorsítási módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsiskodóknak bölcsők tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckékévre vonatkozó naptári javaslatok; Integrált leckék

(lat. amplitúdó- magnitúdó) az oszcilláló test legnagyobb eltérése az egyensúlyi helyzetétől.

Inga esetében ez az a maximális távolság, amennyit a labda elmozdul egyensúlyi helyzetétől (az alábbi ábra). Kis amplitúdójú oszcillációk esetén ez a távolság a 01 vagy 02 ív hosszának és ezen szakaszok hosszának tekinthető.

A rezgések amplitúdóját hosszegységekben mérik - méter, centiméter stb. Az oszcillációs grafikonon az amplitúdó a szinuszos görbe maximális (modulo) ordinátájaként van definiálva (lásd az alábbi ábrát).

Oszcillációs periódus.

Oszcillációs periódus- ez az a legrövidebb időtartam, amelyen keresztül egy rezgő rendszer ismét visszatér ugyanabba az állapotba, amelyben a kezdeti, önkényesen kiválasztott időpontban volt.

Más szóval, az oszcillációs periódus ( T) az az idő, amely alatt egy teljes rezgés következik be. Például az alábbi ábrán ez az az idő, amely alatt az inga lengése a jobb szélső ponttól az egyensúlyi ponton áthalad. RÓL RŐL a bal szélső pontig és vissza a ponton keresztül RÓL RŐL ismét a jobb szélen.

Egy teljes rezgési periódus alatt a test így négy amplitúdóval megegyező utat jár be. Az oszcilláció periódusát időegységekben mérik - másodpercben, percben stb. A rezgés periódusát egy jól ismert oszcillációs grafikonból határozhatjuk meg (lásd az alábbi ábrát).

Az „oszcillációs periódus” fogalma szigorúan csak akkor érvényes, ha az oszcilláló mennyiség értékei egy bizonyos idő elteltével pontosan megismétlődnek, azaz harmonikus rezgések esetén. Ez a fogalom azonban a megközelítőleg ismétlődő mennyiségek eseteire is vonatkozik, például for csillapított rezgések.

Oszcillációs frekvencia.

Oszcillációs frekvencia- ez az időegység alatt végrehajtott oszcillációk száma, például 1 s alatt.

A frekvencia SI mértékegysége a neve hertz(Hz) G. Hertz (1857-1894) német fizikus tiszteletére. Ha az oszcillációs frekvencia ( v) egyenlő 1 Hz, ez azt jelenti, hogy minden másodpercben van egy rezgés. A rezgések gyakoriságát és periódusát a következő összefüggések kapcsolják össze:

Az oszcilláció elméletében ők is használják ezt a fogalmat ciklikus, vagy körkörös frekvencia ω . Ez a normál frekvenciához kapcsolódik vés az oszcillációs periódus T arányok:

.

Ciklikus frekvencia az egyenként végrehajtott rezgések száma 2π másodpercig