Egy függvény antiderivatívája egy pontban. Antiderivatív és határozatlan integrál, tulajdonságaik

Határozatlan integrál

A differenciálszámítás fő feladata egy adott függvény deriváltjának vagy differenciáljának kiszámítása volt. Az integrálszámítás, amelynek tanulmányozására továbbhaladunk, az inverz problémát oldja meg, nevezetesen magát a függvényt annak deriváltjából vagy differenciáljából. Vagyis birtokában dF(x)= f(x)d (7.1) vagy F′(x)= f(x),

Ahol f(x)- ismert függvény, meg kell találni a függvényt F(x).

Meghatározás:Meghívjuk az F(x) függvényt antiderivatív f(x) függvény a szakaszon, ha az egyenlőség a szakasz minden pontjában teljesül: F′(x) = f(x) vagy dF(x)= f(x)d.

Például, a funkció egyik antiderivatív funkciója f(x)=3x2 akarat F(x)= x 3, mert ( x 3)′=3x2. De a funkció prototípusa f(x)=3x2 függvények is lesznek és , mivel .

Tehát ez a funkció f(x)=3x2 végtelen számú primitíve van, amelyek mindegyike csak egy állandó tagban tér el egymástól. Mutassuk meg, hogy ez az eredmény általános esetben is érvényes.

Tétel Egy adott intervallumban meghatározott, azonos függvény két különböző antideriváltja ezen az intervallumon konstans taggal különbözik egymástól.

Bizonyíték

Legyen a függvény f(x) intervallumon határozzuk meg (a¸b)És F 1 (x) És F 2 (x) - származékellenes szerek, azaz. F 1 ′(x)= f(x) és F 2 ′(x)= f(x).

Akkor F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Innen, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Ahol VAL VEL - konstans (itt a Lagrange-tétel következményét használjuk).

A tétel tehát bizonyítást nyer.

Geometriai illusztráció. Ha nál nél = F 1 (x) És nál nél = F 2 (x) – azonos funkciójú antiderivatívek f(x), majd a grafikonjaik érintőjét a közös abszcissza pontokban x egymással párhuzamosan (7.1. ábra).

Ebben az esetben ezen görbék közötti távolság a tengely mentén görbül OUállandó marad F 2 (x) - F 1 (x) = C , vagyis ezek a görbék be némi megértés"párhuzamos" egymással.

Következmény .

Hozzáadása valamilyen származékellenes szerhez F(x) ehhez a funkcióhoz f(x), az intervallumon meghatározott x, minden lehetséges állandó VAL VEL, megkapjuk a függvény összes lehetséges antideriváltját f(x).

Tehát a kifejezés F(x)+C , hol , és F(x) – egy függvény valamilyen antideriváltja f(x) tartalmazza az összes lehetséges antiderivatívet f(x).

1. példa Ellenőrizze, hogy vannak-e funkciók a funkció antideriváltjai

Megoldás:

Válasz: antiderivatívek egy funkcióhoz lesznek funkciók És

Meghatározás: Ha az F(x) függvény az f(x) függvény valamilyen antideriváltja, akkor az összes F(x)+ C antiderivált halmazát ún. határozatlan integrálja f(x) és jelölje:

∫f(х)dх.

A-prioritás:

f(x) - integráns függvény,

f(х)dх - integráns kifejezés

Ebből következik, hogy a határozatlan integrál általános alakú függvény, amelynek differenciálja egyenlő az integrandusszal, és amelynek deriváltja a változóhoz képest x minden pontban egyenlő az integrandusszal.

Geometriai szempontból a határozatlan integrál olyan görbék családja, amelyek mindegyikét úgy kapjuk meg, hogy az egyik görbét önmagával párhuzamosan eltoljuk felfelé vagy lefelé, azaz a tengely mentén. OU(7.2. ábra).

Egy bizonyos függvény határozatlan integráljának kiszámításának műveletét ún integráció ezt a funkciót.

Megjegyezzük, hogy ha egy elemi függvény deriváltja mindig elemi függvény, akkor egy elemi függvény antideriváltja nem feltétlenül reprezentálható véges számú elemi függvénnyel.

Most mérlegeljük a határozatlan integrál tulajdonságai.

A 2. definícióból ez következik:

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, vagyis ha F′(x) = f(x) , Azt

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal

. (7.4)

A differenciál és a tulajdonság definíciójából (7.3)

3. Egy bizonyos függvény differenciáljának határozatlan integrálja egy állandó tagig egyenlő ezzel a függvénnyel, azaz (7.5)

Funkció F(x ) hívott antiderivatív funkcióhoz f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség

F"(x ) = f(x ) .

Például a függvény F(x) = x 2 f(x ) = 2x , mert

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Az antiderivatív fő tulajdonsága

Ha F(x) - egy függvény antideriváltja f(x) adott intervallumon, akkor a függvény f(x) végtelenül sok antiderivatíva van, és mindezek az antideriválták a formába írhatók F(x) + C, Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Például. Funkció F(x) = x 2 + 1 a függvény antideriváltja f(x ) = 2x , mert F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkció F(x) = x 2 - 1 a függvény antideriváltja f(x ) = 2x , mert F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkció F(x) = x 2 - 3 a függvény antideriváltja f(x) = 2x , mert F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bármilyen funkciót F(x) = x 2 + VAL VEL , Ahol VAL VEL - tetszőleges állandó, és csak egy ilyen függvény a függvény antideriváltja f(x) = 2x . ◄

Az antiderivatívek kiszámításának szabályai

1. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , A G(x) - antiderivatív a g(x) , Azt F(x) + G(x) - antiderivatív a f(x) + g(x) . Más szavakkal, az összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével .
2. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , És k - akkor állandó k · F(x) - antiderivatív a k · f(x) . Más szavakkal, a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből .
3. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , És k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt 1 / k F( k x+ b ) - antiderivatív a f(k x+ b) .

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál funkcióból f(x) kifejezésnek nevezzük F(x) + C, vagyis egy adott függvény összes antideriváltjának halmaza f(x) . A határozatlan integrált a következőképpen jelöljük:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- hívnak integrand függvény ;

f(x)dx- hívnak integrand ;

x - hívnak integrációs változó ;

F(x) - az egyik primitív függvény f(x) ;

VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Például, ∫ 2 x dx =x 2 + VAL VEL , ∫ kötözősalátax dx = bűn x + VAL VEL stb. ◄

Az „integrál” szó a latin szóból származik egész szám , ami azt jelenti, hogy "helyreállítva". Figyelembe véve a határozatlan integrálját 2 x, úgy tűnik, helyreállítjuk a funkciót x 2 , amelynek deriváltja egyenlő 2 x. Egy függvény deriváltjából való visszaállítását, vagy ami ugyanaz, egy adott integrandus felett határozatlan integrált találni ún. integráció ezt a funkciót. Az integráció a differenciálás inverz művelete Az integráció helyes végrehajtásának ellenőrzéséhez elegendő az eredményt megkülönböztetni és megkapni az integrandust.

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Az integrandus állandó tényezője kivehető az integráljelből:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. A függvények összegének (különbségének) integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak összegével (különbségével):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ha k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Az antiderivált és határozatlan integrálok táblázata

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ÉN.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmátrix)+C $$
A táblázatban megadott antiderivatív és határozatlan integrálokat általában ún táblázatos antiderivatívok És táblázat integrálok .

Határozott integrál

Engedj közbe [a; b] folytonos függvény adott y = f(x) , Akkor határozott integrál a-tól b-ig funkciókat f(x) az antiderivált növekményének nevezzük F(x) ez a funkció, vagyis

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Számok aÉs b ennek megfelelően hívják Alsó És tetejére az integráció határai.

A határozott integrál kiszámításának alapszabályai

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ahol k - állandó;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ahol f(x) — egyenletes funkció;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ahol f(x) egy páratlan függvény.

Megjegyzés . Minden esetben feltételezzük, hogy az integrandusok olyan numerikus intervallumokon integrálhatók, amelyek határai az integráció határai.

A határozott integrál geometriai és fizikai jelentése

Geometriai jelentés határozott integrál	Fizikai jelentés határozott integrál
Négyzet S görbe trapéz (az intervallumon egy folytonos pozitív grafikonja által határolt ábra [a; b] funkciókat f(x) , tengely Ökör és egyenes x=a , x=b ) képlettel számítjuk ki $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pálya s, amelyet az anyagi pont legyőzött, egyenesen haladva, a törvény szerint változó sebességgel v(t) , egy ideig a ; b] , akkor az ábra azon területe, amelyet ezen függvények és egyenesek grafikonjai korlátoznak x = a , x = b , képlettel számítjuk ki $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Például. Számítsuk ki az ábra vonalakkal határolt területét y = x 2 És y = 2- x . Ábrázoljuk sematikusan ezeknek a függvényeknek a grafikonjait, és más színnel emeljük ki azt az ábrát, amelynek területét meg kell keresni. Az integráció határainak megtalálásához megoldjuk a következő egyenletet: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \jobb )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Egy forgástest térfogata

	Ha egy testet egy tengely körüli forgás eredményeként kapunk Ökör görbe vonalú trapéz, amelyet az intervallumon egy folytonos és nem negatív gráf határol [a; b] funkciókat y = f(x) és egyenes x = aÉs x = b , akkor úgy hívják forgástest . A forgástest térfogatát a képlet számítja ki $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ha a függvény grafikonjaival felül és alul határolt ábra elforgatása eredményeként egy forgástestet kapunk y = f(x) És y = g(x) , ennek megfelelően akkor $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Például. Számítsuk ki egy sugarú kúp térfogatát r és magasság h . Helyezzük el a kúpot téglalap alakú koordinátarendszerben úgy, hogy a tengelye egybeessen a tengellyel Ökör , és az alap közepe az origónál helyezkedett el. Generátor forgása AB kúpot határoz meg. Az egyenlet óta AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
és a nálunk lévő kúp térfogatára $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Prototípus. Szép szó.) Először is egy kis orosz. Ezt a szót pontosan így ejtik, nem "prototípus" , mint amilyennek tűnhet. Az antiderivatív minden integrálszámítás alapfogalma. Bármilyen integrál - határozatlan, határozott (ebben a félévben ismerkedhet meg velük), valamint dupla, hármas, görbe vonalú, felületi (és ezek már a második év főszereplői) - erre a kulcsfogalomra épülnek. Teljesen logikus elsajátítani. Megy.)

Mielőtt megismerkednénk az antiderivatív fogalmával, idézzük fel a legáltalánosabb kifejezésekkel a leggyakoribbakat derivált. Anélkül, hogy belemélyednénk a határok, az argumentumnövekmény és egyebek unalmas elméletébe, azt mondhatjuk, hogy a derivált (ill. különbségtétel) egyszerűen egy matematikai művelet funkció. Ez minden. Bármilyen funkciót használ (pl. f(x) = x2) És bizonyos szabályok szerintátalakul új funkció. És ez az egy új funkcióés úgy hívják derivált.

Esetünkben a differenciálás előtt volt egy függvény f(x) = x2, és a differenciálás után az lett már egyéb funkció f’(x) = 2x.

Derivált– mert új funkciónk f’(x) = 2x történt funkcióból f(x) = x2. A differenciálási művelet eredményeként. És konkrétan belőle, és nem valami más funkcióból ( x 3, Például).

Durván mondva, f(x) = x2- ez anya, és f’(x) = 2x- szeretett lánya.) Ez érthető. Menj tovább.

A matematikusok nyugtalan emberek. Minden cselekvésre megpróbálnak reakciót találni. :) Van összeadás - van kivonás is. Van szorzás és van osztás. Hatványra emelni a gyökér kivonását jelenti. Szinusz - arcszinusz. Pontosan ugyanaz különbségtétel- Ez azt jelenti, hogy van... integráció.)

Most pedig tegyünk fel egy érdekes problémát. Például van egy ilyen egyszerű függvényünk f(x) = 1. És erre a kérdésre kell válaszolnunk:

A MI függvény deriváltja adja a függvénytf(x) = 1?

Más szóval, ha egy lányt látunk, DNS-elemzés segítségével derítsük ki, ki az anyja. :) Szóval melyikből? eredeti függvény (nevezzük F(x)-nek) a mi derivált függvény f(x) = 1? Vagy matematikai formában amelyekre az F(x) függvényre a következő egyenlőség teljesül:

F’(x) = f(x) = 1?

Egy elemi példa. Megpróbáltam.) Egyszerűen kiválasztjuk az F(x) függvényt, hogy működjön az egyenlőség. :) Na, megtaláltad? Igen, persze! F(x) = x. Mert:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Természetesen a megtalált anyuka F(x) = x Valaminek kell neveznem, igen.) Találkozzunk!

Antiderivált a funkcióértf(x) egy ilyen függvényt nevezünkF(x), amelynek deriváltja egyenlőf(x), azaz amelyre az egyenlőség vonatkozikF’(x) = f(x).

Ez minden. Nincs több tudományos trükk. A szigorú meghatározásban egy további kifejezés is szerepel "X intervallumon". De ezekben a finomságokban egyelőre nem elmélyülünk, mert elsődleges feladatunk, hogy megtanuljuk megtalálni ezeket a primitíveket.

Esetünkben kiderül, hogy a függvény F(x) = x van antiderivatív funkcióhoz f(x) = 1.

Miért? Mert F’(x) = f(x) = 1. x deriváltja egy. Nincs kifogás.)

A „prototípus” kifejezés a köznyelvben „ősnőt”, „szülőt”, „ősöt” jelent. Azonnal eszünkbe jut a legközelebbi és legkedvesebb ember.) És maga az antiderivatív keresése az eredeti funkció visszaállítása. ismert származékával. Más szóval, ez egy cselekvés a differenciálódás inverze. Ez minden! Magát ezt a lenyűgöző folyamatot egészen tudományosan is nevezik - integráció. De kb integrálok- A későbbiekben. Türelem, barátok!)

Emlékezik:

Az integráció egy függvény matematikai művelete (mint például a differenciálás).

Az integráció a differenciálás fordított művelete.

Az antiderivatív az integráció eredménye.

Most bonyolítjuk a feladatot. Keressük most a függvény antideriváltját f(x) = x. Vagyis megtaláljuk ilyen funkciót F(x) , nak nek származéka egyenlő lenne X-szel:

F'(x) = x

Aki ismeri a származékokat, annak valószínűleg valami ilyesmi jut eszébe:

(x 2)' = 2x.

Nos, tisztelet és tisztelet azoknak, akik emlékeznek a származékok táblázatára!) Így van. De van egy probléma. Eredeti funkciónk f(x) = x, A (x 2)’ = 2 x. Kettő X. És a megkülönböztetés után meg kell kapnunk csak x. Nincs rendben. De…

Te és én tanult nép vagyunk. Megkaptuk a bizonyítványainkat.) Az iskolából pedig tudjuk, hogy bármely egyenlőség mindkét oldala szorozható és osztható ugyanazzal a számmal (persze nulla kivételével)! Ez az elrendezve. Éljük tehát meg ezt a lehetőséget a magunk javára.)

Azt akarjuk, hogy egy tiszta X maradjon a jobb oldalon, igaz? De a kettő akadályozza... Tehát vesszük a derivált (x 2)’ = 2x arányát, és elosztjuk annak mindkét része erre a kettőre:

Szóval, valami máris világosabbá válik. Menj tovább. Tudjuk, hogy bármilyen állandó lehet vegyük ki a származékot a jelből. Mint ez:

A matematikában minden képlet balról jobbra és fordítva - jobbról balra működik. Ez azt jelenti, hogy ugyanolyan sikerrel bármilyen állandó lehet írja be a származékos jel alá:

Esetünkben a kettőt a nevezőben (vagy ami ugyanaz, az 1/2 együtthatóban) rejtjük el a származékjel alá:

És most figyelmesen Nézzük meg közelebbről felvételünket. Mit látunk? Látunk egy egyenlőséget, amely kimondja, hogy a származéka valami(Ez valami- zárójelben) egyenlő X-szel.

A kapott egyenlőség csak azt jelenti, hogy a függvény kívánt antideriváltja f(x) = x funkciót tölt be F(x) = x 2 /2 . A zárójelben lévő a körvonal alatt. Közvetlenül az antiderivatív értelmében.) Nos, nézzük meg az eredményt. Keressük a származékot:

Nagy! Az eredeti függvényt megkapjuk f(x) = x. Amitől táncoltak, ahhoz visszatértek. Ez azt jelenti, hogy az antiderivatívunkat megfelelően találták meg.)

És ha f(x) = x2? Mi az antideriváltja? Nincs mit! Te és én tudjuk (ismét a megkülönböztetés szabályaiból), hogy:

3x 2 = (x 3)"

ÉS, vagyis

Megvan? Most, saját magunk számára észrevétlenül, megtanultuk megszámolni az antiderivátumokat bármelyikhez hatványfüggvény f(x)=x n. Az elmében.) Vegyük a kezdeti jelzőt n, növeljük eggyel, és kompenzációként osszuk el a teljes szerkezetet n+1:

A kapott képlet egyébként helyes nem csak a természetes indikátorra fokon n, hanem bármely más – negatív, töredékes. Ez megkönnyíti az antiderivátumok egyszerű megtalálását törtekÉs gyökerei

Például:

Természetesen, n ≠ -1 , ellenkező esetben a képlet nevezője nullának bizonyul, és a képlet értelmét veszti.) Erről a speciális esetről n = -1 Egy kicsit később.)

Mi az a határozatlan integrál? Integrálok táblázata.

Tegyük fel, hogy mivel egyenlő a függvény deriváltja F(x) = x? Hát egy, egy – hallom az elégedetlen válaszokat... Így van. Mértékegység. De... a funkció miatt G(x) = x+1 derivált eggyel is egyenlő lesz:

Ezenkívül a derivált egyenlő lesz a függvény egységével x+1234 , és a funkcióhoz x-10 , és az űrlap bármely más funkciójához x+C , Ahol VAL VEL – bármilyen állandó. Mivel bármely állandó deriváltja egyenlő nullával, és a nulla hozzáadásával/kivonásával senki sem érzi hidegnek vagy melegnek.)

Ez kétértelműséget eredményez. Kiderült, hogy a funkcióhoz f(x) = 1 prototípusként szolgál nem csak egy funkció F(x) = x , hanem egy funkció is F1(x) = x+1234 és funkciója F2(x) = x-10 stb!

Igen. Pontosan így.) Minden ( folyamatos az intervallumon) egy függvénynek nem csak egy antiderivatívája van, hanem végtelenül sok - az egész család! Nem csak egy anya vagy apa, hanem egy egész családfa, igen.)

De! Minden primitív rokonunknak van egy fontos közös tulajdonsága. Ezért rokonok.) A tulajdonság annyira fontos, hogy az integrációs technikák elemzése során többször is emlékezni fogunk rá. És sokáig emlékezni fogunk rá.)

Íme, ez az ingatlan:

Bármely két antiderivatív F 1 (x) ÉsF 2 (x) ugyanabból a funkcióbólf(x) konstanssal különböznek:

F 1 (x) - F 2 (x) = S.

Ha valakit érdekel a bizonyítás, tanulmányozza a szakirodalmat vagy az előadási jegyzeteket.) Jó, legyen, bebizonyítom. Szerencsére itt a bizonyítás elemi, egy lépésben. Vegyük az egyenlőséget

F 1 (x) - F 2 (x) = C

És Különböztessük meg mindkét részét. Vagyis csak hülyén adunk hozzá vonásokat:

Ez minden. Ahogy mondani szokták, CHT. :)

Mit jelent ez a tulajdonság? És arról, hogy két különböző antiderivatív ugyanabból a funkcióból f(x) nem különbözhet egymástól valamiféle kifejezés X-szel . Csak szigorúan állandó! Más szóval, ha van valamiféle menetrendünk az egyik eredeti(legyen F(x)), akkor a grafikonok mindenki más Antideriváltjainkat az F(x) gráf y tengely mentén történő párhuzamos átvitelével állítjuk elő.

Nézzük meg, hogyan néz ki a példafüggvény segítségével f(x) = x. Minden primitíve, amint azt már tudjuk, általános formájú F(x) = x 2 /2+C . A képen úgy néz ki végtelen számú parabola, amelyet az y = x 2 /2 „fő” parabolából kapunk az OY tengely mentén felfelé vagy lefelé tolva az állandó értékétől függően VAL VEL.

Emlékezzen egy függvény iskolai grafikonjára y=f(x)+a menetrendi műszak y=f(x)„a” egységekkel az Y tengely mentén?) Ugyanez itt.)

Sőt, figyelj: a paraboláinkra ne keresztezd sehol! Természetes. Végül is két különböző függvény, y 1 (x) és y 2 (x) elkerülhetetlenül megfelel az állandó két különböző értéke – C 1És C 2.

Ezért az y 1 (x) = y 2 (x) egyenletnek soha nincs megoldása:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , mert C 1 ≠ C2

És most fokozatosan közeledünk az integrálszámítás második sarokköve-fogalmához. Mint az imént megállapítottuk, bármely f(x) függvényhez létezik egy végtelen számú F(x) + C antiderivált, amelyek egymástól konstansban különböznek. Ennek a legvégtelenebb készletnek is megvan a maga különleges neve.) Nos, kérlek, szeress és szíveskedj!

Mi az a határozatlan integrál?

Egy függvény összes antideriváltjának halmaza f(x) nak, nek hívják határozatlan integrál funkcióbólf(x).

Ez a teljes definíció.)

"Bizonytalan" - mert az összes antiderivált ugyanazon funkció halmaza végtelenül. Túl sok különböző lehetőség.)

"Integrál" – ennek a brutális szónak a részletes dekódolásával ismerkedünk meg a következő nagy részben határozott integrálok. Egyelőre durva formában valamit integrálnak tekintünk általános, egységes, egész. És az integrációval - Unió, általánosítás, ebben az esetben az átmenet a sajátosból (származékból) az általánosba (antiderivált). Valami hasonló.

A határozatlan integrált így jelöljük:

Ugyanúgy szól, ahogy írva van: ef integrál x de x-ből. Vagy integrál tól től ef x de x-ből. Nos, érted.)

Most nézzük a jelölést.

∫ - integrált ikon. A jelentés ugyanaz, mint a származék prímje.)

d - ikondifferenciális. Ne féljünk! Hogy miért van rá szükség, az egy kicsit alacsonyabb.

f(x) - integrand("s"-en keresztül).

f(x)dx - integrand kifejezés. Vagy durván szólva az integrál „kitöltése”.

A határozatlan integrál jelentése szerint

Itt F(x)- ugyanaz antiderivatív funkcióhoz f(x) amit mi valahogy magunk találtuk meg. Nem az a lényeg, hogy pontosan hogyan találták meg. Például azt találtuk F(x) = x 2 /2 Mert f(x)=x.

"VAL VEL" - tetszőleges állandó. Vagy tudományosabban, integrál állandó. Vagy integrációs állandó. Minden egy.)

Most térjünk vissza az antiderivátum megtalálásának legelső példáihoz. A határozatlan integrál tekintetében nyugodtan írhatjuk:

Mi az integrál állandó és miért van rá szükség?

A kérdés nagyon érdekes. És nagyon (NAGYON!) fontos. Az egész végtelen antiderivált halmazból az integrálkonstans kiemeli a sort amely áthalad egy adott ponton.

Mi az értelme? Az antiderivatívák kezdeti végtelen halmazából (pl. határozatlan integrál) ki kell választani azt a görbét, amely áthalad az adott ponton. Néhánnyal konkrét koordináták. Ilyen feladat mindig és mindenhol előfordul az integrálokkal való kezdeti ismerkedés során. Iskolában és egyetemen is.

Tipikus probléma:

Az f=x függvény antideriváltjainak halmazából válassza ki azt, amelyik átmegy a (2;2) ponton.

Elkezdünk a fejünkkel gondolkodni... Az összes primitív halmaz azt jelenti, hogy először meg kell integráljuk eredeti funkciónkat. Vagyis x(x). Ezt egy kicsit feljebb tettük, és a következő választ kaptuk:

Most nézzük meg, mit is kaptunk pontosan. Nem csak egy funkciónk van, hanem funkciók egész családja. Melyikek? Vida y=x2/2+C . A C konstans értékétől függ. És most a konstansnak ezt az értékét kell „elkapnunk”.) Nos, kezdjük el megfogni?)

A horgászbotunk - görbék családja (parabola) y=x2/2+C.

Állandók - ezek halak. Több és több. De mindegyiknek megvan a maga horogja és csalija.)

Mi a csali? Jobb! A mi pontunk a (-2;2).

Tehát behelyettesítjük pontunk koordinátáit az antideriválták általános alakjába! Kapunk:

y(2) = 2

Innen könnyű megtalálni C=0.

Mit is jelent ez? Ez azt jelenti, hogy a forma teljes végtelen parabolahalmazábóly=x2/2+Ccsak parabola C=0 állandóval megfelel nekünk! Ugyanis:y=x 2 /2. És csak őt. Csak ez a parabola fog áthaladni azon a ponton, amelyre szükségünk van (-2; 2). És bea családunk összes többi parabolája átmegy ez a pont már nem lesznek. A sík néhány más pontján keresztül - igen, de a (2; 2) ponton keresztül - már nem. Megvan?

Az érthetőség kedvéért itt van két kép – a parabolák teljes családja (azaz egy határozatlan integrál) és néhány specifikus parabola, megfelelő az állandó fajlagos értékeés áthaladva konkrét pont:

Látod, mennyire fontos figyelembe venni az állandót VAL VEL az integrációnál! Tehát ne hagyja figyelmen kívül ezt a „C” betűt, és ne felejtse el hozzáadni a végső válaszhoz.

Most nézzük meg, miért lóg ki a szimbólum mindenhol az integrálokon belül dx . A diákok sokszor megfeledkeznek róla... És ez egyébként szintén hiba! És elég durva. A lényeg az, hogy az integráció a differenciálás fordított művelete. És pontosan mi is az a differenciálódás eredménye? Derivált? Igaz, de nem teljesen. Differenciális!

Esetünkben a funkcióra f(x) antideriváltjának különbsége F(x), lesz:

Azok számára, akik nem értik ezt a láncot, sürgősen ismételjék meg a differenciál definícióját és jelentését, és azt, hogy pontosan hogyan derül ki! Ellenkező esetben kíméletlenül lelassul az integrálokban...

Hadd emlékeztesselek a legdurvább filiszter formában arra, hogy bármely f(x) függvény differenciálja egyszerűen a szorzat f'(x)dx. Ez minden! Vegyük a deriváltot és szorozzuk meg a differenciális érvhez(azaz dx). Vagyis minden különbség lényegében a szokásos kiszámításától függ derivált.

Ezért szigorúan véve az integrált nem „leszedik”. funkciókat f(x), ahogyan azt általában hiszik, és attól differenciális f(x)dx! De egyszerűsített változatban ezt szokás mondani "az integrál a függvényből származik". Vagy: "Az f függvény integrálva van(x)". Ez ugyanaz.És pontosan ugyanúgy fogunk beszélni. De a jelvényről dx Ne feledjük! :)

És most elmondom, hogyan ne felejtsd el a felvétel során. Először képzelje el, hogy a közönséges deriváltot számítja ki az x változóra vonatkozóan. Általában hogyan írod?

Így: f’(x), y’(x), y’ x. Vagy még szilárdabban, a differenciálarányon keresztül: dy/dx. Mindezek a rekordok azt mutatják, hogy a származékot pontosan X-re vesszük. És nem az „igrek”, „te” vagy más változó alapján.)

Ugyanez vonatkozik az integrálokra is. Rekord ∫ f(x)dx nekünk is mintha azt mutatja, hogy az integráció pontosan megtörtént x változóval. Természetesen ez az egész nagyon leegyszerűsített és durva, de remélem érthető. És az esélyek elfelejt mindenütt jelenlétet tulajdonítanak dx meredeken csökken.)

Tehát rájöttünk, mi az a határozatlan integrál. Remek.) Most jó lenne megtanulni ugyanezeket a határozatlan integrálokat kiszámítja. Vagy egyszerűen fogalmazva: „vegye”. :) És itt két hír is várja a hallgatókat - jó és nem túl jó. Egyelőre kezdjük a jóval.)

Jók a hírek. Az integrálokhoz és a deriváltokhoz is van egy saját táblázat. És az összes integrál, amellyel útközben találkozni fogunk, még a legszörnyűbbek és legkifinomultabbak is. bizonyos szabályok szerintÍgy vagy úgy leszűkítjük ezeket a táblázatos formákat.)

Szóval itt van integrálok táblázata!

Itt van egy ilyen gyönyörű táblázat a legnépszerűbb függvények integráljairól. Javaslom, hogy fordítsanak különös figyelmet az 1-2 képletek csoportjára (állandó és hatványfüggvény). Ezek a leggyakrabban használt képletek az integrálokban!

A képletek harmadik csoportját (trigonometria), ahogy sejthető, úgy kapjuk meg, hogy egyszerűen megfordítjuk a megfelelő derivált képleteket.

Például:

A negyedik képletcsoporttal (exponenciális függvény) minden hasonló.

És itt van számunkra az utolsó négy képletcsoport (5-8). új. Honnan jöttek, és milyen érdemekért kerültek ezek az egzotikus függvények hirtelen az alapintegrálok táblázatába? Miért tűnnek ki ennyire ezek a függvénycsoportok a többi függvény közül?

Így történt ez történelmileg a fejlődés folyamatában integrációs módszerek . Ha a legkülönfélébb integrálok felvételét gyakoroljuk, akkor megértheti, hogy a táblázatban felsorolt ​​függvények integráljai nagyon-nagyon gyakran előfordulnak. Olyan gyakran, hogy a matematikusok a táblázatosok közé sorolták őket.) Sok más, összetettebb konstrukcióból származó integrál fejeződik ki rajtuk.

Csak a móka kedvéért vehet egy ilyen szörnyű képletet, és megkülönböztetheti. :) Például a legbrutálisabb 7. képlet.

Minden rendben. A matematikusokat nem tévesztették meg. :)

Az integráltáblázatot, valamint a származéktáblázatot célszerű fejből ismerni. Mindenesetre az első négy képletcsoport. Nem olyan nehéz, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Jegyezze meg az utolsó négy csoportot (törtekkel és gyökökkel) Viszlát Nem éri meg. Mindenesetre eleinte zavarban lesz, hogy hova írja a logaritmust, hova az arktangenst, hol az arcszinust, hol 1/a, hol 1/2a... Csak egy kiút van - oldjon meg több példát. Ekkor az asztal fokozatosan magától emlékezni fog, és a kétségek abbamaradnak.)

A különösen érdeklődő emberek, ha közelebbről megnézik a táblázatot, feltehetik a kérdést: hol vannak a táblázatban más elemi „iskolai” függvények integráljai – érintő, logaritmus, „ívek”? Tegyük fel, hogy miért van a táblázatban egy szinuszból származó integrál, de NINCS mondjuk az érintőből származó integrál tg x? Vagy nincs integrálja a logaritmusnak ln x? Az arcszinuszból arcsin x? Miért rosszabbak? De tele van néhány „balkezes” funkcióval – gyökekkel, törtekkel, négyzetekkel...

Válasz. Nem rosszabb.) Csak a fenti integrálok (tangensből, logaritmusból, arcszinuszból stb.) nem táblázatosak . És a gyakorlatban sokkal ritkábban fordulnak elő, mint a táblázatban bemutatottak. Ezért tudd kívülről, amivel egyenlők, egyáltalán nem szükséges. Elég csak tudni hogyan vannak kiszámítják.)

Mi van, valaki még mindig nem bírja? Így legyen, különösen neked!

Nos, meg fogod jegyezni? :) Nem? És ne.) De ne aggódj, biztosan találunk minden ilyen integrált. A vonatkozó leckékben. :)

Nos, most térjünk át a határozatlan integrál tulajdonságaira. Igen, igen, semmit sem lehet tenni! Egy új koncepciót vezetnek be, és annak egyes tulajdonságait azonnal figyelembe veszik.

A határozatlan integrál tulajdonságai.

Most nem túl jó hír.

A megkülönböztetéssel ellentétben az integráció általános standard szabályai, becsületes minden alkalomra, nem a matematikából. Ez fantasztikus!

Például mindannyian nagyon jól tudod (remélem!) azt Bármi munka Bármi két f(x) g(x) függvényt így különböztetjük meg:

(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

Bármi a hányadost a következőképpen különböztetjük meg:

És minden összetett funkció, bármilyen bonyolult is legyen, a következőképpen különböztethető meg:

És függetlenül attól, hogy milyen függvények vannak elrejtve az f és g betűk alatt, az általános szabályok továbbra is működnek, és a származékot így vagy úgy megtaláljuk.

Integrálokkal azonban egy ilyen szám már nem működik: szorzat, hányados (tört), valamint általános integrációs képletek összetett függvénye nem létezik! Nincsenek általános szabályok! Vagy inkább léteznek. Hiába sértettem meg a matematikát.) De először is sokkal kevesebb van belőlük, mint a megkülönböztetés általános szabályai. Másodszor, a legtöbb integrációs módszer, amelyről a következő leckékben beszélni fogunk, nagyon-nagyon specifikus. És csak a függvények bizonyos, nagyon korlátozott osztályára érvényesek. Mondjuk csak azért tört racionális függvények. Vagy néhány más.

És egyes integrálok, bár léteznek a természetben, egyáltalán nem fejeződnek ki elemi „iskolai” függvényekkel! Igen, igen, és rengeteg ilyen integrál van! :)

Éppen ezért az integráció sokkal időigényesebb és fáradságosabb feladat, mint a differenciálás. De ennek is megvan a maga csavarja. Ez a tevékenység kreatív és nagyon izgalmas.) És ha jól elsajátítod az integrálok táblázatát, és elsajátítod legalább két alaptechnikát, amelyekről később ( és ) fogunk beszélni, akkor nagyon fogod szeretni az integrációt. :)

Most ismerkedjünk meg a határozatlan integrál tulajdonságaival. Egyáltalán nincsenek. Itt vannak.

Az első két tulajdonság teljesen analóg a származékok azonos tulajdonságaival, és ún a határozatlan integrál linearitási tulajdonságai . Itt minden egyszerű és logikus: az összeg/különbség integrálja egyenlő az integrálok összegével/különbségével, a konstans tényező pedig kivehető az integrál előjeléből.

De a következő három ingatlan alapvetően új számunkra. Nézzük meg őket részletesebben. Oroszul a következőképpen hangzanak.

Harmadik tulajdonság

Az integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal

Minden egyszerű, mint a mesében. Ha integrál egy függvényt, majd visszakeresi az eredmény deriváltját, akkor... megkapja az eredeti integrand függvényt. :) Ezzel a tulajdonsággal mindig lehet (és kell is) ellenőrizni az integráció végeredményét. Kiszámoltad az integrált – differenciáld a választ! Megkaptuk az integrand függvényt - OK. Ha nem kaptuk meg, az azt jelenti, hogy valahol elrontottuk. Keresd a hibát.)

A válasz persze olyan brutális és nehézkes funkciókat eredményezhet, hogy nincs kedvünk visszakülönböztetni őket, igen. De ha lehetséges, jobb, ha megpróbálja ellenőrizni magát. Legalábbis azokban a példákban, ahol ez könnyű.)

Negyedik ingatlan

Az integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal .

Nincs itt semmi különös. A lényeg ugyanaz, csak a dx jelenik meg a végén. A korábbi tulajdoni és differenciális nyitási szabályok szerint.

Ötödik ingatlan

Valamely függvény differenciáljának integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével .

Ez is egy nagyon egyszerű tulajdonság. Az integrálok megoldása során is rendszeresen fogjuk használni. Különösen - és.

Ezek a hasznos tulajdonságok. Nem foglak untatni önt a szigorú bizonyítékaikkal. Azt javaslom, hogy aki ezt akarja, tegye meg saját maga. Közvetlenül a derivált és a differenciál értelmében. Csak az utolsó, ötödik tulajdonságot bizonyítom, mert az kevésbé nyilvánvaló.

Tehát van egy nyilatkozatunk:

Kivesszük integrálunk „töltelékét”, és kinyitjuk a differenciál definíciója szerint:

Minden esetre emlékeztetem, hogy a származékos és antiderivatív jelölésünk szerint F’(x) = f(x) .

Most visszahelyezzük az eredményt az integrálba:

Pontosan megkapta határozatlan integrál meghatározása (az orosz nyelv bocsásson meg)! :)

Ez minden.)

Jól. Ezzel az integrálok titokzatos világával való kezdeti ismerkedésünket teljesnek tekintem. Mára azt javaslom, hogy zárjuk le a dolgokat. Már elég felfegyverzettek vagyunk ahhoz, hogy felderítésre induljunk. Ha nem is géppuskát, de legalább egy vízipisztolyt alaptulajdonságokkal és asztallal. :) A következő leckében a táblázat és az írott tulajdonságok közvetlen alkalmazására szolgáló integrálok legegyszerűbb ártalmatlan példái várnak ránk.

Találkozunk!

Dokumentum

Néhány intervallum X. Ha Mert tetszőleges xХ F"(x) = f(x), akkor funkció F hívottantiderivatívMertfunkciókat f az X intervallumon. AntiderivatívMertfunkciókat megpróbálhatod megkeresni...

Antiderivált a funkcióért

Dokumentum

... . Funkció F(x) hívottantiderivatívMertfunkciókat f(x) az (a;b) intervallumon, ha Mert minden x(a;b) teljesül az F(x) = f(x) egyenlőség. Például, Mertfunkciókat x2 antiderivatív akarat funkció x3...

Az integrálszámítás alapjai Tanulmányi útmutató

oktatóanyag

... ; 5. Keresse meg az integrált. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funkcióhívottantiderivatív Nak nek funkciókat egy készleten, ha: Mert mindenki; egy bizonyos ponton; Mert mindenki; bizonyos... időközönként. 1. definíció. FunkcióhívottantiderivatívMertfunkciókat sokon...

Antiderivatív határozatlan integrál

Dokumentum

Integráció. Antiderivatív. Folyamatos funkció F(x) hívottantiderivatívMertfunkciókat f (x) az X intervallumon, ha Mert mindegyik F’ (x) = f (x). PÉLDA Funkció F(x) = x 3 van antiderivatívMertfunkciókat f(x) = 3x...

A SZVSZSZK KÜLÖNOKTATÁSA Felsőoktatási Oktatási és Módszertani Igazgatóság által jóváhagyott FELSŐ MATEMATIKAI MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK ÉS ELLENŐRZÉSI FELADATOK (A PROGRAMMAL) mérnöki és műszaki szakos hallgatók részére.

Irányelvek

Kérdések Mertönteszt Határozza meg antiderivatívfunkciókat. Adja meg az aggregátum geometriai jelentését! primitívfunkciókat. Mit hívott bizonytalan...

Az antiderivatív definíciója.

Egy f(x) függvény antideriváltja az (a; b) intervallumon egy F(x) függvény, amelyre az egyenlőség az adott intervallum bármely x-ére érvényes.

Ha figyelembe vesszük, hogy a C állandó deriváltja nulla, akkor az egyenlőség igaz . Így az f(x) függvénynek van egy F(x)+C antiderivált egy halmaza egy tetszőleges C állandóhoz, és ezek az antideriválták tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Az f(x) függvény antideriváltjainak teljes halmazát e függvény határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, és f(x) – integrand függvény. Az integrandus az f(x) függvény differenciálját reprezentálja.

Azt a műveletet, amely során egy ismeretlen függvényt találunk a differenciálértéke alapján, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye nem egy F(x) függvény, hanem annak F(x)+C antideriváltjainak halmaza.

A derivált tulajdonságai alapján lehet megfogalmazni és bizonyítani a határozatlan integrál tulajdonságai(egy antiderivatív tulajdonságai).

Az egyértelműség kedvéért megadjuk a határozatlan integrál első és második tulajdonságának köztes egyenlőségeit.

A harmadik és negyedik tulajdonság bizonyításához elég megkeresni az egyenlőségek jobb oldalának deriváltjait:

Ezek a deriváltak egyenlők az integrandusokkal, ami az első tulajdonság miatti bizonyíték. Az utolsó átmeneteknél is használatos.

Így az integráció problémája a differenciálódási probléma fordítottja, és e problémák között nagyon szoros kapcsolat van:

• az első tulajdonság lehetővé teszi az integráció ellenőrzését. Az elvégzett integráció helyességének ellenőrzéséhez elegendő kiszámítani a kapott eredmény deriváltját. Ha a differenciálás eredményeként kapott függvény egyenlőnek bizonyul az integrandusszal, ez azt jelenti, hogy az integrációt helyesen hajtották végre;
• a határozatlan integrál második tulajdonsága lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az antideriváltját egy függvény ismert differenciáljából. A határozatlan integrálok közvetlen számítása ezen a tulajdonságon alapul.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Keresse meg annak a függvénynek az antideriváltját, amelynek értéke egyenlő eggyel x = 1-nél.

Megoldás.

A differenciálszámításból tudjuk, hogy (csak nézd meg az alapvető elemi függvények deriváltjainak táblázatát). És így, . A második ingatlannál . Azaz sok antideriváltunk van. x = 1 esetén megkapjuk az értéket. A feltétel szerint ennek az értéknek egynek kell lennie, ezért C = 1. A kívánt származékellenes szer a következő formában jelenik meg: .

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált és differenciálással ellenőrizzük az eredményt.

Megoldás.

A trigonometriából származó kettős szögszinusz-képlet használata , Ezért