Mi a különbség a logaritmusok között? A logaritmus definíciója és tulajdonságai: elmélet és problémamegoldás

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a xés naplózza a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x+ napló a y=napló a (x · y);
2. log a x− log a y=napló a (x : y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

6 4 napló + 6 9 napló.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, tehát van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály követi az első kettőt. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartják a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x> 0. És még valami: tanulj meg minden képletet nem csak balról jobbra alkalmazni, hanem fordítva is, pl. A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Kép felirat]

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:

[Kép felirat]

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük a fő tört. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus log a x. Aztán bármilyen számra c oly módon, hogy c> 0 és c≠ 1, az egyenlőség igaz:

[Kép felirat]

Különösen, ha feltesszük c = x, kapunk:

[Kép felirat]

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk egy párat ezek közül:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

[Kép felirat]

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

[Kép felirat]

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

[Kép felirat]

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben a szám n az érvelés fokának jelzőjévé válik. Szám n teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: az alapvető logaritmikus azonosság.

Valójában mi lesz, ha a szám b emeljük olyan hatványra, hogy a szám b ehhez a hatványhoz adja a számot a? Így van: ugyanazt a számot kapja a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra költözés képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Kép felirat]

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 - egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

[Kép felirat]

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

1. log a a= 1 egy logaritmikus egység. Emlékezz egyszer s mindenkorra: logaritmus bármilyen bázisra a ettől az alaptól egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 logaritmikus nulla. Bázis a bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a A 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Mi az a logaritmus?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Főleg a logaritmusos egyenletek.

Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:

1. Értsd mi az a logaritmus.

2. Tanuljon meg egy egész osztály exponenciális egyenletet megoldani. Még ha nem is hallottál róluk semmit.

3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.

Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...

Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!

Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Az e szám alapján: ln x = log e x.

A természetes logaritmust széles körben használják a matematikában, mert származéka a legegyszerűbb: (ln x)′ = 1/x.

Alapján definíciók, a természetes logaritmus alapja a szám e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Az y = függvény grafikonja ln x.

A természetes logaritmus grafikonja (függvények y = ln x) az exponenciális gráfból az y = x egyeneshez viszonyított tükörreflexióval kapjuk meg.

A természetes logaritmus az x változó pozitív értékeire van definiálva. Meghatározási területén monoton módon növekszik.

x-nél → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen (-∞).

Mint x → + ∞, a természetes logaritmus határa plusz a végtelen (+ ∞). Nagy x esetén a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármely x a hatványfüggvény, amelynek pozitív kitevője a, gyorsabban növekszik, mint a logaritmus.

A természetes logaritmus tulajdonságai

Meghatározási tartomány, értékkészlet, szélsőség, növekedés, csökkenés

A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. A természetes logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

ln x érték

ln 1 = 0

Természetes logaritmusok alapképletei

Az inverz függvény definíciójából következő képletek:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

Bármely logaritmus kifejezhető természetes logaritmusban az alaphelyettesítési képlet segítségével:

Ezeknek a képleteknek a bizonyítása a „Logaritmus” részben található.

Inverz függvény

A természetes logaritmus inverze a kitevő.

Ha akkor

Ha akkor.

Származék ln x

A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modulus természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

Integrál

Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a z komplex változó függvényét:
.
Fejezzük ki a komplex változót z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
ugyanaz a szám lesz a különböző n-ekhez.

Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Logaritmikus kifejezések, megoldási példák. Ebben a cikkben a logaritmusok megoldásával kapcsolatos problémákat nézzük meg. A feladatok egy kifejezés jelentésének megtalálását teszik fel. Megjegyzendő, hogy a logaritmus fogalmát számos feladatban használják, és jelentésének megértése rendkívül fontos. Ami az Egységes Államvizsgát illeti, a logaritmust egyenletek megoldásánál, alkalmazott feladatoknál, valamint függvénytanulmányozási feladatoknál is alkalmazzák.

Adjunk példákat, hogy megértsük a logaritmus jelentését:

Alapvető logaritmikus azonosság:

A logaritmusok tulajdonságai, amelyeket mindig emlékezni kell:

*A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével.

* * *

*Egy hányados (tört) logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusai közötti különbséggel.

* * *

*Egy kitevő logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával.

* * *

*Átállás új alapokra

* * *

További ingatlanok:

* * *

A logaritmusok számítása szorosan összefügg a kitevők tulajdonságainak használatával.

Soroljunk fel néhányat közülük:

Ennek a tulajdonságnak az a lényege, hogy amikor a számlálót átvisszük a nevezőbe, és fordítva, a kitevő előjele az ellenkezőjére változik. Például:

Ennek az ingatlannak a következménye:

* * *

Ha egy hatványt hatványra emelünk, az alap ugyanaz marad, de a kitevők megszorozódnak.

* * *

Mint láthatta, maga a logaritmus fogalma egyszerű. A lényeg az, hogy jó gyakorlatra van szükséged, ami bizonyos készségeket ad. Természetesen képletek ismerete szükséges. Ha az elemi logaritmusok konvertálásának készsége nem fejlődött ki, akkor egyszerű feladatok megoldása során könnyen hibázhat.

Gyakorold, oldd meg először a matematika tantárgy legegyszerűbb példáit, majd térj át a bonyolultabbakra. A jövőben mindenképpen megmutatom, milyen „ijesztő” logaritmusokat oldanak meg, nem fognak megjelenni az Egységes Államvizsgán, de érdekesek, ne hagyd ki!

Ez minden! Sok szerencsét!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.